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2021-2022学年七年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（北师大版）
专题06 平行线中的拐点问题
【典型例题】
1．（2022·全国·七年级）如图所示，AB∥CD，分别写出下面四个图形中∠A与∠P，∠C的数量关系，请
你从所得到的关系中任选一图的结论加以说明．
【答案】（1）∠A+∠C＝∠P；（2）∠A+∠P+∠C＝360°；（3）∠A＝∠P+∠C；（4）∠C＝∠P+∠A，证
明见解析
【解析】
【分析】
（1）作PE∥AB，利用两直线平行内错角相等证明即可；
（2）作PE∥AB，利用两直线平行同旁内角互补证明即可；
（3）作PH∥AB ，利用两直线平行同旁内角互补证明即可；
（4）作PE∥AB，利用两直线平行内错角相等证明即可；
【详解】
解：（1）∠A+∠C＝∠P；证明如下：
如图所示，作PE∥AB，则PE∥CD，
∴∠A=∠1，∠C=∠2，
∵∠APC=∠1+∠2，
∴∠APC=∠A+∠C，
即：∠A+∠C＝∠P；
（2）∠A+∠P+∠C＝360°；证明如下：如图所示，作PE∥AB，则PE∥CD，
∴∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°，
∴∠A+∠C+∠1+∠2=360°，
∵∠APC=∠1+∠2，
∴∠A+∠C+∠APC=360°，
即：∠A+∠P+∠C＝360°；
（3）∠A＝∠P+∠C；证明如下：
如图所示，作PH∥AB ，则PH∥CD，
∴∠HPA＋∠A＝180°，
∴∠HPA＝180°－∠A，
∵∠HPA＋∠APC＋∠C＝180°，
∴180°－∠A＋∠P＋∠C＝180°，
即：∠A＝∠P+∠C；
（4）∠C＝∠P+∠A；证明如下：
如图所示，作PE∥AB，则PE∥CD，
∴∠EPC=∠C，∠EPA=∠A，
∵∠APC=∠EPC－∠EPA，
∴∠APC=∠C－∠A，
即：∠C＝∠P+∠A．【点睛】
本题考查平行线的性质运用，理解并熟练运用平行线的性质，灵活构造辅助线是解题关键．
【专题训练】
一、选择题
1．（2021·重庆实验外国语学校七年级阶段练习）如图，AB//CD，∠1＝90°，∠2＝32°，则∠3的度数是
（ ）
A．68° B．102° C．122° D．138°
【答案】C
【解析】
【分析】
设∠3的顶点是O，过点O做OP∥AB，再结合两直线平行内错角相等的性质，即可得出∠3的度数．
【详解】
解：过点O作OP∥AB，
∵AB∥CD，
∴OP∥AB∥CD，∴∠POF＝∠2＝32°，∠4＝∠POE，
∵∠1＝90°，
∴∠4＝180°−∠1＝90°，
∴∠POE＝90°，
∴∠POF＝32°，
∴∠3＝∠POE＋∠POF＝90°＋32°＝122°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了对平行线性质的综合应用，关键在于做对辅助线，找出相等的内错角．
2．（2021·山西左权·七年级期中）如图，已知 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
过点C作CF∥AB，根据平行线的性质及题意可直接求出．
【详解】
解：过点C作CF∥AB，
DE∥AB， ，
CF∥AB∥DE
，
．
故选B．【点睛】
本题主要考查平行线的性质定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
3．（2022·广东·红岭中学八年级期末）如图，一条公路经过两次转弯后又回到原来的方向，如果第一次的
拐角为150°，则第二次的拐角为（ ）
A．40° B．50° C．140° D．150°
【答案】D
【解析】
【分析】
由于拐弯前、后的两条路平行，可考虑用平行线的性质解答．
【详解】
解：∵拐弯前、后的两条路平行，
∴∠B=∠C=150°（两直线平行，内错角相等）．
故选：D．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解答此题的关键是将实际问题转化为几何问题，利用平行线的性质求解．
4．（2021·辽宁和平·七年级期末）如图，直线a//b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若
∠1=60°，则∠2余角的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．150°
【答案】C
【解析】
【分析】先利用平行线的性质得出∠3，进而利用三角板的特征求出∠4，最后利用平行线的性质可求∠2，再根据
余角的定义即可求解．
【详解】
解：如图，过点A作AB∥b，
∴∠3=∠1=60°，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠4=90°-∠3=30°，
∵a∥b，AB∥b，
∴AB∥a，
∴∠2=∠4=30°，
∴∠2余角的度数为60°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，余角，角度的计算，解本题的关键是作出辅助线．
5．（2021·山东青岛·八年级单元测试）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（
）
A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠E
C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，根据平行线的性质可得∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，
根据AB∥EF可得CG∥DH，根据平行线的性质可得∠CDH＝∠DCG，进而根据角的和差关系即可得答案．【详解】
如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，
∴∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，
∵AB∥EF，
∴CG∥DH，
∴∠CDH＝∠DCG，
∴∠ACD＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠CDE﹣（180°﹣∠E），
∴∠A﹣∠ACD+∠CDE+∠E＝180°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角
互补；熟练掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．
二、填空题
6．（2021·云南峨山·七年级期末）如图， ，∠D＝115°，则∠1的度数为______．
【答案】65°
【解析】
【分析】
根据平行线和对顶角的性质，即可求解．
【详解】
解：∵
∴
又
∴
∴故答案为65°
【点睛】
此题考查了平行线的性质和对顶角的性质，两直线平行，同旁内角互补，熟练掌握相关基本性质是解题的
关键．
7．（2021·全国·七年级课时练习）如图，AB∥CD，且∠ABE＝70°，∠ECD＝150°，则∠BEC的度数为___．
【答案】40°
【解析】
【分析】
过点E作EF∥AB，根据两直线平行，内错角相等可得∠BEF＝∠ABE，由两直线平行，同旁内角互补求出
∠CEF，再根据∠BEC＝∠BEF﹣∠CEF计算即可得解．
【详解】
如图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BEF＝∠ABE，∠CEF+∠ECD＝180°，
∵∠ABE＝70°，∠ECD＝150°，
∴∠BEF＝70°，∠CEF＝180°﹣∠ECD＝180°﹣150°＝30°，
∴∠BEC＝∠BEF﹣∠CEF＝70°﹣30°＝40°．
故答案为：40°．【点睛】
本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角的加减运算，关键和难点过点E是作平行线这条辅助线．
8．（2021·吉林宽城·七年级期末）如图，直线m n．若 ， ，则 的大小为_____度．
【答案】70
【解析】
【分析】
如图（见解析），过点 作 ，再根据平行线的性质可得 ，然后根
据角的和差即可得．
【详解】
解：如图，过点 作 ，
，
，
，
，
，
故答案为：70．
【点睛】
本题考查了平行线的性质与推论，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
9．（2021·浙江·杭州市公益中学七年级开学考试）如图，已知AB//CD//EF，则∠1＝60°，∠3＝20°，则
∠2＝_____．【答案】
【解析】
【分析】
根据平行线的性质以及已知条件先求得 ，进而求得 ，最后求得 ．
【详解】
解： ，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质与判定，角度之差的计算，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
10．（2021·四川省成都市石室联合中学七年级开学考试）已知如图， ， ， ，
那么 __________ .
【答案】75
【解析】
【分析】
过E作EF∥AB，根据平行线的性质∠1和∠2的度数，即可得到∠AED的度数．
【详解】
解：如图：过E作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，∵∠A=130°，
∴∠1=180°-130°=50°，
∵∠D=25°，
∴∠2=∠D=25°，
∴∠AED=50°+25°=75°，
故答案为：75．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，通过作辅助线，构造同旁内角和内错角是解决问题的关键．
三、解答题
11．（2021·吉林珲春·七年级期中）感知与填空：如图①，直线AB∥CD．求证：∠B+∠D=∠BED．
证明：过点E作直线EF∥CD，
∠2=______，（ ）
AB∥CD(已知），EF∥CD
_____∥EF，（ ）
∠B=∠1，（ ）
∠1+∠2=∠BED，
∠B+∠D=∠BED，（ ）
方法与实践：如图②，直线AB∥CD．若∠D=53°，∠B=22°，则∠E=______度．
【答案】∠D；两直线平行，内错角相等；AB；两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
两直线平行，内错角相等；等量代换；31．
【解析】
【分析】过点E作直线EF//CD，由两直线平行，内错角相等得出∠2=∠D；由两直线都和第三条直线平行，那么这
两条直线也互相平行得出AB//EF；由两直线平行，内错角相等得出∠B=∠1；由∠1+∠2=∠BED，等量代换
得出∠B+∠D=∠BED；方法与实践：如图②，由平行的性质可得∠BOD=∠D=53°，然后再根据三角形外角
的性质解答即可
【详解】
解：过点E作直线EF∥CD，
∠2=∠D，（两直线平行，内错角相等）
AB∥CD(已知），EF∥CD
AB//EF，（两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∠B=∠1，（两直线平行，内错角相等）
∠1+∠2=∠BED，
∠B+∠D=∠BED，（等量代换 ）
方法与实践：如图②，
∵直线AB∥CD
∴∠BOD=∠D=53°
∵∠BOD=∠E+∠B
∴∠E=∠BOD-∠B=53°- 22°=31°．
故答案依次为：∠D；两直线平行，内错角相等；AB；两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互
相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；31．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理等知识点；熟练掌握平行线的性质是解答本题的
关键．
12．（2021·安徽寿县·八年级期中）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DE AB，EF BC，且
DE交BC于点P，∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系，如图1与图2所示．①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；
②由①得出一个真命题（用文字叙述） ．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请求出这两个角的度数．
【答案】（1）① ， ；②如果两个角的两边互相平行，那么这两个角
相等或互补；（2）30°，30°或70°和110°
【解析】
【分析】
（1）①利用平行线的性质即可判断；②根据平行线的性质解决问题即可；
（2）设两个角分别为x和2x-30°，由题意x=2x-30°或x+2x-30°=180°，解方程即可解决问题．
【详解】
解：（1）①如图1
∵
∴
如图2，
故答案为： ，
②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
（2）设两个角分别为x和2x-30°，
由题意x=2x-30°或x+2x-30°=180°，
解得x=30°或x=70°，这两个角的度数为30°，30°或70°和110°
【点睛】
本题考查平行线的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
13．（2021·上海市罗南中学七年级期中）如图1，已知AB∥CD，直线AB、CD把平面分成①、②、③三个
区域（直线AB、CD不属于①、②、③中任何一个区域）．点P是直线AB、CD、AC外一点，联结PA、
PC，可得∠PAB、∠PCD、∠APC．
(1)如图2，当点P位于第①区域一位置时，请填写∠APC＝∠PAB+∠PCD的理由．
解：过点P作PE//AB，
因为AB//CD，PE//AB，
所以PE//CD（ ）．
因为PE//AB，
所以∠APE＝∠PAB（ ）．
同理∠CPE＝∠PCD．
因此∠APE+∠CPE＝∠PAB+∠PCD．
即∠APC＝∠PAB+∠PCD．
(2)在第（1）小题中改变点P的位置，如图3所示，求∠APC+∠PAB+∠PCD等于多少度？为什么？
(3)当点P在第②区域时，∠PAB、∠PCD、∠APC有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出相应的结
论．
【答案】(1)平行的传递性；两直线平行，内错角相等；
(2)360°，理由见解析；
(3)∠PCD =∠PAB+∠APC，见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质解题；
（2）过点P作PE//AB，由两直线平行，同旁内角相等解得∠APE+∠PAB=180°，∠EPC+∠PCD=180°，再
根据∠APC+∠PAB+∠PCD=∠APE+∠EPC+∠PAB+∠PCD解题；（3）根据题意，画出图形，再由两直线平行，内错角相等得到∠APE=∠PAB，∠PCD=∠CPE，结合
∠CPE=∠APE+∠APC解题．
(1)
解：因为AB//CD，PE//AB，
所以PE//CD(平行的传递性)
因为PE//AB，
所以∠APE＝∠PAB（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：平行的传递性；两直线平行，内错角相等；
(2)
∠APC+∠PAB+∠PCD=360°，
见解析：
过点P作PE//AB，
所以∠APE+∠PAB=180°，
因为PE//CD，
所以∠EPC+∠PCD=180°，
所以∠APC+∠PAB+∠PCD=∠APE+∠EPC+∠PAB+∠PCD=180°+180°=360°；
(3)
∠PCD =∠PAB+∠APC，理由如下，
当点P在第②区域时，如图，
过点P作PE//AB，
所以∠APE=∠PAB，
因为PE//CD，
所以∠PCD=∠CPE
因为∠CPE=∠APE+∠APC
所以∠PCD =∠PAB+∠APC．【点睛】
本题考查平行线的拐角问题、平行线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
14．（2021·安徽巢湖·七年级期末）问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC
的度数．
（1）丽丽同学看过图形后立即口答出：∠APC＝85°，请补全她的推理依据．
如图2，过点P作PE∥AB，
因为AB∥CD，所以PE∥CD．（ ）
所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（ ）
因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，
∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．
问题迁移：
（2）如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α、
∠β之间有什么数量关系？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请直接写
出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．
【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行（或平行公理推论），两直线平行，同旁内角互补；
（2） ，理由见解析；（3） 或
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的判定与性质填写即可；
（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（3）画出图形（分两种情况①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得
出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【详解】
解：（1）如图2，过点P作PE∥AB，
因为AB∥CD，所以PE∥CD．（平行于同一条直线的两条直线平行）
所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（两直线平行同旁内角互补）
因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，
所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，
∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；
（2）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图3所示，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）当P在BA延长线时，如图4所示：过P作PE∥AD交CD于E，
同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠β-∠α；
当P在AB延长线时，如图5所示：
同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠α-∠β．
综上所述，∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系为：∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定定理，正确作出辅助线是解答此题的关键．
15．（2022·吉林农安·七年级期末）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．
（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+ ∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°．
【解析】
【分析】
（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即
可求解；
（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质，即可证得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
（3）先证明∠NOD= ∠PAB，∠ODN= ∠PDC，利用（2）的结论即可求解．
【详解】
解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，
过点P作PQ∥AB，
∴∠A=∠APQ=50°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°，
∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；
（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
如图，作PQ∥AB，
∴∠PAB=∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，
∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，
∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；
∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
(3)设PD交AN于O，如图，
∵AP⊥PD，
∴∠APO=90°，
由题知∠PAN+ ∠PAB=∠APD，即∠PAN+ ∠PAB=90°，
又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，
∴∠POA= ∠PAB，
∵∠POA=∠NOD，∴∠NOD= ∠PAB，
∵DN平分∠PDC，
∴∠ODN= ∠PDC，
∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°- (∠PAB+∠PDC)，
由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，
∴∠AND=180°- (∠PAB+∠PDC)
=180°- (180°+∠APD)
=180°- (180°+90°)
=45°，
即∠AND=45°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
16．（2021·北京·七年级期末）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N=360°，则
称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M=90°，∠N=45°，则∠N为∠M的6系补周角．
(1)若∠H=120°，则∠H的4系补周角的度数为 °；
(2)在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE；
①如图1，∠D=60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数；
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中
n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的
位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．【答案】(1)60
(2)①∠B=75°，②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，
此时k=2n．
【解析】
【分析】
（1）设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义列出方程求解便可；
（2）①过E作EF∥AB，得∠B+∠D=∠BED，再由已知∠D=60°，∠B是∠E的3系补周角，列出∠B的方程，
求得∠B便可；
②根据k系补周角的定义先确定P点的位置，再结合∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE求解k与n的关系即
可求解．
(1)
解：设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义得，120+4x=360，
解得，x=60，
∠H的4系补周角的度数为60°，
故答案为：60；
(2)
解：①过E作EF∥AB，如图1，
∴∠B=∠BEF，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，∠D=60°，
∴∠D=∠DEF=60°，
∵∠B+60°=∠BEF+∠DEF，
即∠B+60°=∠BED，
∵∠B是∠BED的3系补周角，
∴∠BED=360°-3∠B，∴∠B+60°=360°-3∠B，
∴∠B=75°；
②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k=2n．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，理解题意是解题的关键．
