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微专题：二项式系数的最值问题
【考点梳理】
求二项式系数最大项，如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；如果n是奇数，则中间两项(第项与第
＋1项)的二项式系数相等并最大.
【题型归纳】
典例1．在 （ ）的展开式中，若第5项为二项式系数最大的项，则n的值不可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
典例2．设 ，若 ，则展开式中系数最大的项是（ ）
A． B． C． D．
典例3．已知 的展开式共有13项，则下列说法中正确的有（ ）
A．展开式所有项的系数和为 B．展开式二项式系数最大为
C．展开式中没有常数项 D．展开式中有理项共有5项
典例4．关于 的展开式中共有7项，下列说法中正确的是（ ）
A．展开式中二项式系数之和为32 B．展开式中各项系数之和为1
C．展开式中二项式系数最大的项为第3项 D．展开式中系数最大的项为第4项
典例5． 按 降幕排列的展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第 项和第 项 B．第 项
C．第 项和第 项 D．第 项
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【双基达标】
6．二项式 的展开式中，系数最大的项为（ ）
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
7．定义函数 ，若 （i为虚数单位），则 的展开式中系数最大项为
（ ）
A． B．
C． D．
8．在 的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是（ ）
A． B． C． D．28
9．在 的展开式中，只有第 项的二项式系数最大，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．若 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则 （ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
11．关于 的说法，错误的是（ ）
A．展开式中的二项式系数之和为2048 B．展开式各项系数和为0
C．展开式中只有第6项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小
12．在 的展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A．第3项和第4项 B．第4项和第5项 C．第3项 D．第4项
13．在二项式 的展开式中，前三项的系数成等差数列，则展开式中二项式系数最大的项是第几项
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
14．二项式 的展开式的各项中，二项式系数最大的项为
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． 和
C． 和 D．
15． 的展开式中x的系数等于其二项式系数的最大值，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
16．在 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式中二项式系数最大的项的系数为（ ）
A．-960 B．960 C．1120 D．1680
17．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的
《详解九章算法》一书中出现.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，若第n行中从左至右只有第12个
数为该行中的最大值，则n=（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
18．若二项式 的展开式中所有项的系数和为 ，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A． B． C． D．
19． 的二项展开式中，二项式系数最大的项是第（ ）项.
A．6 B．5 C．4和6 D．5和7
20．在 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小项的系数为（ ）
A．-126 B．-70 C．-56 D．-28
21．若 的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
22．若 的展开式中只有第三项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．6 B．12 C．24 D．48
23．已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．
24．在 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中 的系数为（ ）
A． B． C． D．7
25．若二项式 的展开式中所有项的系数和为 ，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．若 的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含 项的系数是（ ）
A．132 B． C． D．66
27．若 的展开式中只有第 项的二项式系数最大，则展开式中含 项的系数是
A． B．
C． D．
28．在 的展开式中，所有奇数项的二项式系数和为32，则展开式中系数最大的项为（ ）
A． B． C． D．
29． 展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A． B． C． 和 D． 和
30．设 为正整数， 的展开式中二项式系数的最大值为 ， 的展开式中的二项式系数的最大值
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司为 .若 ，则 的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
31．设 若 ，则展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A． B． C． D．
32．在二项式 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的第4项为（ ）．
A． B． C． D．
二、多选题
33．已知 的展开式中第3项的二项式系数为45，且展开式中各项系数和为1024，则下列说法正
确的是（ ）
A． B．展开式中偶数项的二项式系数和为512
C．展开式中第6项的系数最大 D．展开式中的常数项为45
34．已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（ ）
A．7 B．8
C．9 D．10
35．设 ，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C． 中最大的是
D．当 时， 除以2000的余数是1
36．关于 的说法，正确的是
A．展开式中的二项式系数之和为2048
B．展开式中只有第6项的二项式系数最大
C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司37．对于二项式 的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．各项系数之和为0 B．二项式系数的最大值为
C．不存在常数项 D．x的系数为－28
38．已知二项式 的展开式中各项系数之和是 ，则下列说法正确的有（ ）
A．展开式共有7项 B．二项式系数最大的项是第4项
C．所有二项式系数和为128 D．展开式的有理项共有4项
三、填空题
39．已知 的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为 ，则展开式中最大的二项式系数值为
______．
40．在 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中含 项的系数为______．
41．若 的二项展开式中二项式系数最大项为 ，则 ___________.
42．若函数 ，其中 ≤x≤ ，则 的最大值为_______．
43． 的展开式中，二项式系数最大的项的系数是___________.
44． 的展开式中，系数最大的项是第________项．
四、解答题
45．（1）求 展开式中系数最大项；
（2）求 展开式中系数最大项．
46．已知 的展开式中前三项的二项式系数之和为46，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求n；
(2)求展开式中系数最大的项．
47．在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.条件①：展开式前三项的二项式
系数的和等于37；条件②：第3项与第7项的二项式系数相等；问题：在二项式 的展开式中，已知
__________.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)设 ，求 的值；
(3)求 的展开式中 的系数.
48．已知(1+3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992.求：
(1)展开式中二项式系数最大的项；
(2)展开式中系数最大的项．
49．已知m，n是正整数，f（x）＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为7．
（1）对于使f（x）的x2的系数为最小的m，n，求出此时x3的系数；
（2）利用上述结果，求f(0.003)的近似值；(精确到0.01)
（3）已知(1＋2x)8的展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，求 ．
50．已知 的展开式中二项式系数和为16．
(1)求 展开式中二项式系数最大的项；
(2)设 展开式中的常数项为p，展开式中所有项系数的和为q，求 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【分析】由题意，利用二项式系数的性质，求得 的值．
【详解】当 时， 的展开式有8项， 的展开式中二项式系数 最大，
即第四项和第五项的二项式系数最大；
当 时， 的展开式有9项， 的展开式中二项式系数 最大，
即第五项的二项式系数最大；
当 时， 的展开式有10项， 的展开式中二项式系数 最大，
即第五项和第六项的二项式系数最大.
当 时， 的展开式有11项， 的展开式中二项式系数 最大，
即第六项的二项式系数最大.
故选：D．
2．B
【分析】利用赋值法可求得 ，继而求得 ，由此可得 ,求得n的值，即可
求得答案.
【详解】因为 ，所以当 时，可得 ；
当 时，可得 ．
又 ，所以 ，得 ，
所以 的展开式中系数最大的项为第4项，即 ,
故选：B
3．D
【分析】根据二项式展开式的项数、展开式的系数和、二项式系数最大值、常数项、有理项等知识求得正确选项.
【详解】因为 ，所以 ，令 ，得所有项的系数和为 ，故A错误.
由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第7项的二项式系数为 ，故B错误.
因为 展开式的通项为 ，
当 时， ， 故C错误.
当 为整数时， ，3，6，9，12，共有5项，故D正确.
故选：D
4．B
【分析】依题意可得 ，再根据二项式系数和为 判断A，令 即可求出展开式系数和，即可判断B，根据
二项式系数的特征判断C，再求出展开式系数最大值，即可判断D；
【详解】解：因为二项式 的展开式中共有7项，所以 ，
第 8 页选项A：所有项的二项式系数和为 ，故A不正确；
选项B：令 ，则 ，所以所有项的系数的和为1，故B正确；
选项C：二项式系数最大的项为第4项，故C不正确；
选项D：二项式的展开式的通项为 ，
故系数为 ，系数的最大项只从 中选择，
当 时 ，当 时 ，当 时 ，当 时 ，
故当 时系数最大，所以展开式中系数最大的项为第3项，故D不正确.
故选：B
5．B
【分析】利用二项展开式通项结合二项式系数的单调性可得出结论.
【详解】因为 的展开式通项为 ，
其中第 项和第 项的二项式系数最大，但第 项的系数为正，第 项的系数为负，
故 按 降幕排列的展开式中，系数最大的项是第 项.
故选：B.
6．C
【分析】显然二项式 在第 或第 项处取得系数最大，再结合对应符号，即可得解.
【详解】由二项式 的特点可知，
系数最大的项在中间项处取得，
第 项的系数为 ，
第 项的系数为 ，
故第 项的系数最大.
故选：C
7．C
【分析】由 求得n，再利用二项展开式的通项公式求解.
【详解】由已知 ，两边取模，得 ，
所以n＝10．
二项式 的展开式的通项为 ，
因为n＝10，则 ．
第 9 页令第r＋1项的系数最大，则 ，
即 ，解得 ，
因为 ，所以r＝3，
所以 ，
故系数最大的项为 ．
故选：C．
8．B
【分析】根据题意可得： ，求展开式的常数项，要先写出展开式的通项，令 的指数为0，则为常数项，求
出 的值代入展开式，可以求得常数项的值
【详解】展开式中，只有第7项的二项式系数最大，可得展开式有13项，所以 ，展开式的通项为：
，若为常数项，则 ，所以， ，得常数项为：
故选：B
9．C
【解析】利用二项式系数的性质：展开式中间项二项式系数最大，得 ，得出n的值.
【详解】在 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即中间项 项的二项式系数最大， 即 ，
解得：
故选：C．
【点睛】结论点睛：本题考查二项式系数的性质，在 的展开式中，若n是偶数时，中间项 项的二项式系
数最大；若n是奇数时，中间两项 与 项的二项式系数相等且最大．
10．B
【分析】根据二项式系数的性质，中间项的二项式系数最大，即可求解.
【详解】由题意， 展开式中只有第6项的二项式系数最大，
根据二项式系数的性质，可得展开式共有11项，所以 .
故选：B.
11．C
第 10 页【分析】利用二项式系数性质可判断AC；利用赋值法可判断B；根据展开式各项系数为 判断D.
【详解】可得展开式中的二项式系数之和为 ，故A正确；
令 ，可得展开式各项系数和为0，故B正确；
展开式共12项，其中中间第6、7项的二项式系数最大，故C错误;
展开式各项的系数为 ，可得当 时，该项系数最小，故D正确.
综上，错误的选项是C.
故选：C.
12．D
【分析】根据二项式系数的定义计算二项式展开式中各项的二项式系数，进而确定二项式系数最大的项
【详解】二项式 展开式中第 项的二项式系数为
所以题中二项式展开式的第 项的二项式系数为
时， ； 时， ； 时， ；
时， ； 时， ；
时， ； 时， .
所以 时二项式系数最大，即第四项的二次项系数最大，答案D正确.
故选：D.
13．D
【解析】先求得二项式 的展开式的通项，再根据前三项的系数成等差数列，由
求得 ，从而由展开式中中间项二项式系数最大求解.
【详解】二项式 的展开式的通项为： ，因为前三项的系数
成等差数列，
所以 ，
即 ，
解得 （舍去）
所以展开式中共9项，中间一项即第5项的二项式系数最大，
故选：D
14．C
【分析】先由二项式，确定其展开式各项的二项式系数为 ，进而可确定其最大值.
【详解】因为二项式 展开式的各项的二项式系数为 ，
易知当 或 时， 最大，
即二项展开式中，二项式系数最大的为第三项和第四项.
第 11 页故第三项为 ；第四项为 .
故选C
【点睛】本题主要考查二项式系数最大的项，熟记二项式定理即可，属于常考题型.
15．A
【分析】根据 可知二项式系数最大值为 ，再根据二项展开式的通项公式赋值即可求出．
【详解】因为 的展开式的通项公式为 ，令 ，即 时，x的系
数为 ，而二项式系数最大值为 ，所以 ，即 ．
故选：A．
16．C
【分析】根据给定条件，求出幂指数n，再利用二项式系数的性质求解作答.
【详解】因 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则有 ，解得 ，
即 的展开式共有9项，于是得展开式的第5项的二项式系数最大， ，
所以展开式中二项式系数最大的项的系数为1120.
故选：C
17．B
【分析】由题意可知，第n行的数就是二项式 的展开式中各项的二项式系数，再利用二项式的系数的性质
可求得结果.
【详解】由题意可知，第n行的数就是二项式 的展开式中各项的二项式系数.
因为只有第12项的二项式系数 最大，
所以n为偶数，故 ，解得 ，
故选：B
18．A
【分析】令 可求得 的值，再根据二项式系数的性质结合展开式的通项可求得二项式系数最大的项.
【详解】令 可得 ，
所以 ，展开式有 项，
所以二项式 展开式中二项式系数最大的为第 项，
，
故选：A.
19．A
【分析】由二项展开的中间项或中间两项二项式系数最大可得解.
第 12 页【详解】因为二项式 展开式一共11项，其中中间项的二项式系数最大，
易知当r＝5时， 最大，即二项展开式中，二项式系数最大的为第6项.
故选：A
20．C
【解析】根据只有第5项的二项式系数最大，得到 ，再利用 的展开式的通项
，分析二项式系数和项的系数间的关系求解.
【详解】 只有第5项的二项式系数最大，
， 的展开式的通项为 ，
展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的展开式系数相等，
偶数项的二项式系数与相应偶数项的展开式系数互为相反数.
而展开式中第5项的二项式系数最大，
因此展开式第4项和第6项的系数相等且最小，
系数为 .
故选：C
【点睛】本题主要考查二项式定理的展开式、通项公式以及二项式系数与项的系数间的关系，还考查了运算求解
的能力，属于中档题.
21．C
【分析】根据二项式系数之和求得 ，根据第 项的系数最大求得 的取值范围.
【详解】由于二项式 的展开式中各项的二项式系数之和为512，
所以 ，即 ，
展开式的通项公式为 ，
依题意可知 ，
.
故选：C
22．C
【分析】由题知 ，进而得其展开式的通项公式 ，进而 时 为常数项.
【详解】解：∵二项式系数最大的项只有第三项，
∴展开式中共有5项，∴ ．
∴ 展开式第 项为 ，
∴当 时， 为常数项.
第 13 页故选：C．
23．A
【分析】根据二项式系数的性质求得 ，系数的最大值为 求得 ，从而求得 的值．
【详解】由题意可得 ，又展开式的通项公式为 ，
设第 项的系数最大，则 ，即 ，
求得 或6，此时， ， ，
故选：A．
【点睛】方法点睛：求最大二项式系数时：如果n是奇数，最大的就是最中间一个，如果n是偶数,最大的就是最
中间两个；
求系数的最大项时：设第r+1项为系数最大项，需列出不等式组 ，解之求得 .
24．D
【解析】根据二项式系数的单调性，求得 ；再结合二项式展开式的通项公式，即可求得指定项的系数.
【详解】因为在 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大所以
所以 的展开式的通项
令 ，得
所以展开式中 的系数为
故选：D
【点睛】本题考查二项式系数的单调性，以及利用二项式展开式的通项公式求指定项的系数，属基础题.
25．A
【分析】令 ，根据题意求得 ，再利用二项式展开式的通项公式即可求得结果.
【详解】因为二项式 的展开式中所有项的系数和为 ，
故令 ，则 ，解得 ，
对二项式 ，其展开式的通项公式 ，
又其展开式中二项式系数最大的项为第 项，
第 14 页故令 ，则 .
故选： .
26．D
【分析】利用二项式系数的单调性求得 ；再结合二项式展开式的通项公式，即可求得结果.
【详解】因为 展开式中只有第7项的二项式系数最大，
所以 为偶数，展开式有13项， ，
所以二项式展开式的通项为
由 得 ，
所以展开式中含 项的系数为 .
故选：D
【点睛】本题考查利用二项式展开式的通项公式求指定项的系数，涉及二项式系数的单调性，属综合基础题.
27．D
【详解】∵ 的展开式中只有第 项的二项式系数最大，∴ 为偶数，展开式共有 项，则 .
的展开式的通项公式为 ，令 ，得 .
∴展开式中含 项的系数是 ，故选D．
【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：
(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出 值即可；
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第 项，由特定项得出 值，最
后求出其参数.
28．B
【分析】根据奇数项的二项式系数和为 求得 ，写出二项展开式，从而可得出答案.
【详解】解：因为在 的展开式中，所有奇数项的二项式系数和为32，
所以 ，解得 ，
则
，
所以展开式中系数最大的项为 .
第 15 页故选：B.
29．C
【分析】由二项式展开式的系数的性质可知第4项和第5项的二项式系数最大，再求出二项式展开的通项公式，从
而可求出二项式系数最大的项
【详解】 展开式的通项公式为 ，
因为 展开式共有8项，
所以第4项和第5项的二项式系数最大，
所以 展开式中二项式系数最大的项为 和 ，
即为 和 ，
故选：C
30．C
【分析】根据二项式系数的性质得到a，b的值，列出方程求出m.
【详解】 的展开式中二项式系数的最大值为 ，故 ， 的展开式中的二项式系数的最大
值为 或 ，两者相等，不妨令 ，则有 ，解得： .
故选：C
31．C
【分析】根据已知条件先求解出 的值，然后根据二项式系数和求解出 的值，从而确定出二项式系数的最大值
及其对应的项.
【详解】由题可知， ，
当 时， ，
的展开式中，通项为： ，
则常数项对应的系数为： ，即 ，得 ，
所以 ，解得： ，
则 展开式中二项式系数最大为： ，
则二项式系数最大的项为：
故选：C．
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于 的值的求解以及二项式系数最大值的确定；注意：当 时，二
项式系数 是递增的，当 时，二项式系数 是递减的；当 为偶数时，中间一项的二项式系数最大，当
为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大.
32．B
【分析】根据题意得 ，求解计算即可.
【详解】由 的展开式中只有第5项的二项式系数最大可知 ，
第 16 页则 的展开式的通项为 ，
则展开式的第4项为 ．
故选：B．
33．BCD
【解析】由二项式定理及二项式系数的性质逐项判断即可得解.
【详解】由题意， ，所以 （负值舍去），
又展开式中各项系数之和为1024，所以 ，所以 ，故A错误；
偶数项的二项式系数和为 ，故B正确；
展开式的二项式系数与对应项的系数相同，
所以展开式中第6项的系数最大，故C正确；
的展开式的通项 ，
令 ，解得 ，所以常数项为 ，故D正确.
故选：BCD.
34．ABC
【分析】若 为偶数，则展开式中间一项 的二项式系数 最大；若 为奇数，则展开式中间两项 与 的
二项式系数 和 相等，且最大.
【详解】若展开式只有第五项的二项式系数最大，则 ，解得：n＝8；若展开式第四项和第五项的二项式系
数最大，则 ，解得：n＝7；若展开第五项和第六项的二项式系数最大，则 ，解得：n＝9；
故选：ABC
35．ABD
【分析】A赋值法求 即可；B由 ，写出展开式通项，求 ；
C：由B求得 ，与 比较大小；D将 代入右式，并确定 、 的值，即可.
【详解】A：令 ， ，正确；
B：由 ，则展开式通项为 ，故 ，
，所以 ，正确；
C：由B知： ，显然比 大，错误；
第 17 页D： 时， ，而 ， ，即可知 除以2000的余
数是1，正确.
故选：ABD
36．ACD
【解析】根据二项式系数的性质即可判断选项A；
由 为奇数可知，展开式中二项式系数最大项为中间两项，据此即可判断选项BC；
由展开式中第6项的系数为负数，且其绝对值最大即可判断选项D.
【详解】对于选项A：由二项式系数的性质知， 的二项式系数之和为 ，故选项A正确；
因为 的展开式共有 项，中间两项的二项式系数最大，即第6项和第7项的二项式系数最大，故选项C正
确，选项B错误；
因为展开式中第6项的系数是负数，且绝对值最大，所以展开式中第6项的系数最小，故选项D正确；
故选：ACD
【点睛】本题考查利用二项式定理求二项展开式的系数之和、系数最大项、系数最小项及二项式系数最大项；考
查运算求解能力；区别二项式系数与系数是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
37．AC
【分析】对A，令 可得；对B，由 可判断；对C，求出通项公式，令 的指数为0，求解可判断；对D，令
的指数为1可求出.
【详解】对于A，令 ，则可得各项系数之和为 ，故A正确；
对于B，二项式系数最大的为 ，故B不正确；
对于C， 的展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ，不
是非负整数，故不存在常数项，故C正确；
对于D， ，令 ，解得 ，则 的系数为 ，故D错误.
故选：AC.
38．CD
【分析】运用代入法，结合二项式系数和公式、通项公式以及二项式系数性质逐一判断即可.
【详解】因为二项式 的展开式中各项系数之和是 ，
所以令 可得： .
A：因为 ，所以展开式共有 项，因此本选项说法不正确；
B：因为 ，所以二项式系数最大的项是第4项和第 项，
因此本选项说法不正确；
C：因为 ，所以所有二项式系数和为 ，所以本选项说法正确；
D：由B可知： ，当 时，对应的项是有理项，
第 18 页故本选项说法正确，
故选：CD
39．
【分析】写出通项公式，然后得第4项的系数与倒数第4项的系数，列式求解 ，利用二项式系数的性质求解答案.
【详解】由题意， 的展开式的通项为 ，所以展开式中第4项的系
数为 ，倒数第4项的系数为 ，所以 ，即 ，得 ，所以展开式中
最大的二项式系数值为 或 .
故答案为：
40．
【分析】首先根据题意，可得 ，进而可得其二项式展开式的通项，令x的指数为3，可得r的值，最后将r的
值代入通项可得其展开式中的 项，即可得答案．
【详解】由题知 ，则 ，
令 ，得 ，
所以展开式中 的系数为 .
故答案为： .
41．3
【分析】先由二项式系数性质得出二项式系数最大项是第5项，再由通项写出第5项，比较可得 .
【详解】因为 的二项展开式共有9项，所以二项式系数最大项是第5项.
，所以 ，又 ，所以 .
故答案为：3.
42．22021；
【分析】先换元，再用二项式定理展开合并求最值.
【详解】令 ，则有 ，按 的升幂排列，
，
，
两者相加时， 的奇数次幂抵消，偶数次幂系数相同，
所以 ，则 偶数次幂的最大值为1，
所以 最大值为：
.
第 19 页故答案为： .
【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是换元思想，二是组合数的化简运算.
43．
【分析】利用二项式定理的展开式二项式系数的性质求解即可.
【详解】解：因为 的展开式有 项，
所以第 项的二项式系数最大，
所以 的展开式中的二项式系数最大的项为 .
所以， 的展开式中，二项式系数最大的项的系数是 .
故答案为：
44．
【分析】在 的展开式中，第 项的系数与第 项的二项式系数相同，再利用二项式的性质可得答案
【详解】解：因为在 的展开式中，第 项的系数与第 项的二项式系数相同，而二项展开式共有
项，中间项的二项式系数最大，
所以第 项的系数最大，
故答案为：
45．（1） ；（2） .
【分析】（1）本题要求二项式中系数最大的项，设出第 项系数最大，则这一项不小于它的前一项且不小于它
的后一项，列出不等式组，解不等式组，根据 是正整数得到结果．
（2）根据（1）可得展开式系数绝对值最大项，结合系数的正负，即可得出结论．
【详解】解：（1）设第 项系数最大，则有 ，
即 ，即 ，
且 ， ，
．
系数最大项为 ；
（2） 展开式中系数的绝对值等于 展开式中对应项的系数，
根据（1）可得 展开式中系数的绝对值为第六项，
而第6项的系数为负数，所以 展开式中系数最大为第5项或第7项，
只需比较 和 两项系数大小即可．
， ，
第 20 页系数最大的项是第五项为 ．
【点睛】本题是一个典型的二项式问题，主要考查二项式的性质，注意二项式系数和项的系数之间的关系，这是
容易出错的地方，本题考查展开式的通项式，这是解题的关键，属于中档题．
46．(1)9
(2)
【分析】（1）根据要求列出方程，求出 的值；（2）求出二项式展开式的通项，列出不等式组，求出 的取值范
围，从而求出 ，得到系数最大项.
(1)
由题意得： ，解得： 或 ，因为 ，所以 （舍去），从而
(2)
二项式的展开式通项为： ，则系数为 ，要求其最大值，则只要满足 ，
9! 9!
{ ⋅2r≥ ⋅2r−1)
r!(9−r)! (r−1)!(10−r)!
即 ，解得： ，因为 ，所以 ，所以系数最大项为
9! 9!
⋅2r≥ ⋅2r+1
r!(9−r)! (r+1)!(8−r)!
47．(1)答案见解析
(2)0
(3)560
【分析】（1）选择①，由 ，得 ，选择②，由 ，得 ；
（2）利用赋值法可求解；
（3）分两个部分求解后再求和即可.
(1)
选择①，因为 ，解得 ，
所以展开式中二项式系数最大的项为
选择②，因为 ，解得 ，
所以展开式中二项式系数最大的项为
(2)
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 ，
第 21 页(3)
因为
所以 的展开式中含 的项为：
所以展开式中 的系数为560.
48．(1) ，
(2)
【分析】（1）求出展开式中各项系数和，二项式系数和可求出 ，即可得出二项式系数最大的项为第三、四两
项，求出即可；
（2）求出展开式通项，即可得出系数最大的项.
(1)
令x=1，则展开式中各项系数和为 ，
又∵展开式中二项式系数和为 ，
，即n=5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
∴ ， ；
(2)
展开式为 ， ，
设展开式中第r+1项系数最大，
则 ，即 ，解得 ，
因此r=4，即展开式中第5项系数最大， .
49．（1）5；（2）2.02；（3） ．
【分析】（1）由题可得 ，即得；
（2）利用二项式展开式可得；
（3）由题可得a，再列出不等式组，即解.
【详解】（1）根据题意得 ，即m＋n＝7，①
f（x）中的x2的系数为 ，
将①变形为n＝7－m代入上式得x2的系数为
第 22 页m2－7m＋21＝ ＋ ，
故当m＝3或m＝4时，x2的系数有最小值为9．
当m＝3，n＝4时，x3的系数为 ；
当m＝4，n＝3时，x3的系数为 ．
即此时x3的系数为5.
（2）f(0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3≈ ＋ ×0.003＋ ＋ ×0.003≈2.02．
（3）由题意可得，a＝ ＝70，
∵展开式的通项为 ，
由 即
∴k＝5或6时系数最大，此时，b＝7×28，
∴ .
50．(1)
(2)
【分析】（1）由二项式系数和的性质得出 ，再由性质求出展开式中二项式系数最大的项；
（2）由通项得出 ，利用赋值法得出 ，再求解 ．
(1)
由题意可得 ，解得 ． ，展开式中二项式系数最大的项为 ；
(2)
，其展开式的通项为
，令 ，得 ．
∴常数项
令 ，可得展开式中所有项系数的和为 ，∴ ．
第 23 页第 24 页
