文档内容
专题 20 排列组合原理与二项式定理经典常考小题
目录
01考情透视·目标导航...................................................................................................2
02知识导图·思维引航...................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.................................................................................................6
05 核心精讲·题型突破.................................................................................................8
题型一：二项式定理之特定项、三项式问题 8
题型二：二项式定理之系数和问题 8
题型三：二项式定理之系数最值问题 9
题型四：特殊优先与正难则反策略 10
题型五：相邻问题与不相邻问题 11
题型六：定序问题 11
题型七：多面手问题 13
题型八：错位排列问题 13
题型九：涂色问题 14
题型十：分组与分配问题 16
题型十一：隔板法 16
题型十二：环排与多排问题 17
题型十三：电路图模型 18
重难点突破：机器人跳动、波浪数、卡特兰数模型 19排列组合与二项式定理构成了高考数学中的一个重要考查领域，预计未来的考试形式仍将侧重于选择
题或填空题。这些题目将主要测试学生对基本概念和基本方法的掌握程度，难度水平预计会保持在中等偏
下，与教材内容保持一致。值得注意的是，这部分内容与日常生活紧密相连，考生可以关注一些常见的排
列组合实例，例如体育比赛的赛程安排、彩票中奖规则等，以此来培养运用数学知识解决实际问题的意识
和能力。
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
2024年天津卷第11题，5分 预计 2025 年高考数
学将呈现以下新趋势：一
2024年甲卷第13题，5分
方面，小题形式将更为多
掌握定理应用， 2023年北京卷第5题，4分 样，可能涵盖选择题或填
二项式定理
提升解题技能。 2023年天津卷第11题，5分 空题，着重考查学生的数
学抽象思维、数学建模能
2022年I卷第13题，5分
力、逻辑推理能力以及数
2021年浙江卷第13题，6分 学运算技巧，这些构成了
数学四大核心素养。另一
2024年II卷第14题，5分
方面，考试的热点内容可
2023年乙卷第7题，5分
能会聚焦于应用二项式定
理解概念公式， 2023年II卷第3题，5分 理求解系数相关问题，以
排列组合 培养解题能力。 2023年I卷第13题，5分 及运用排列组合理论来解
决实际生活中的数学问
2022年II卷第5题，5分 题，体现数学与生活的紧
2021年乙卷第6题，5分 密联系。1、如图，在圆中，将圆分 等份得到 个区域 ， ， ， ， ，现取 种颜色
对这 个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有 种．
M M
... 3 2
M
1
...
M
... n
M
n-1
2、错位排列公式
3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项
（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主
要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优
先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数
时，应分类讨论．
4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，
被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：
（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元
素；
（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位
置；
（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．
5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻
位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其
他元素一起排列，共有 种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有 种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有 种．
6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将 个不同元素排成一排，其中某 个元素互不相
邻（ ），求不同排法种数的方法是：先将（ ）个元素排成一排，共有 种排法；然后
把 个元素插入 个空隙中，共有 种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有
· 种．
7、解决排列、组合综合问题时需注意“四先四后”：
（1）先分类，后分步：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类加法计数原理解决或
分成若干步，再由分步乘法计数原理解决．常常既要分类，又要分步，其原则是先分类，再分步．
（2）先特殊，后一般：解排列、组合问题时，常先考虑特殊情形（特殊元素，特殊位置等），再考
虑其他情形．
（3）先分组，后分配：对不同元素且较为复杂的平均分组问题，常常“先分组，再分配”．
（4）先组合，后排列：对于既要选又要排的排列组合综合问题，常常考虑先选再排．
8、求二项展开式中的特定项的方法
求二项展开式中的特定项问题，实质是考查通项 的特点，一般需要建立方程求 ，再将
的值代回通项求解，注意 的取值范围 ．
（1）第 项：此时 ，直接代入通项；
（2）常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为 建立方程；
（3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．
特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．
9、赋值法研究二项式的系数和问题
“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如 ， 的式
子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 即可；对形如 的式子求其展
开式各项系数之和，只需令 即可．
10、二项式系数最大项的确定方法（1）若 是偶数，则中间一项（第 项）的二项式系数最大；
（2）若 是奇数，则中间两项（第 项与第 项）的二项式系数相等数最大．1．（2024年北京高考数学真题）在 的展开式中， 的系数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题） 的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
3．（2024年天津高考数学真题）在 的展开式中，常数项为 ．
4．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一
个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大
值是 ．
5．（2023年天津高考数学真题）在 的展开式中， 的系数为 ．
6．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从
这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数
字作答）．
7．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、
星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（
）
A．120 B．60 C．30 D．20
8．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选
读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种9．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机
抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名
和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A． 种 B． 种
C． 种 D． 种
10．（2022年新高考全国II卷数学真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不
站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
11．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知多项式 ，则
， ．
12．（2022年新高考全国I卷数学真题） 的展开式中 的系数为 （用
数字作答）．题型一：二项式定理之特定项、三项式问题
【典例1-1】 的展开式中， 的系数为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】 的展开式中 的系数为（ ）
A． B． C．6 D．
【变式1-1】 的展开式中，含 的项的系数为（ ）
A．240 B． C．560 D．360
【变式1-2】在 的展开式中，系数为整数的项数是（ ）
A．9 B．4 C．3 D．2
1． 的展开式中， 的系数为（ ）
A．60 B． C．120 D．题型二：二项式定理之系数和问题
【典例2-1】（多选题）若 ，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2-2】（多选题）已知 ，则下列结论成
立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（多选题）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（多选题）已知 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
1．（多选题）若 ，且
，则实数 的值可以是（ ）A． B． C． D．
题型三：二项式定理之系数最值问题
【典例3-1】在二项式 的展开式中，系数最大的一项为 .
【典例3-2】在 的展开式中系数最大的项是第 项．
【变式3-1】在 的二项展开式中，系数最小的项为 .
【变式3-2】在 的展开式中系数最大的项为 .
1．已知 的二项展开式中，二项式系数最大的项为a，系数最大的项为b，则 ．
题型四：特殊优先与正难则反策略
【典例4-1】在学校运动会期间，学校安排甲、乙、丙、丁四名体育教师到 三个比赛场地做比赛安
全指导工作，且每个场地至少安排一人，则甲不安排在C场地，乙安排在A场地的不同安排方法种数为（
）
A． B．10 C．12 D．24
【典例4-2】在某次太空游行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中 ， 两道程序既不能放
在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（ ）
A．18种 B．36种 C．72种 D．108种
【变式4-1】从包含甲、乙两人的 人中选出 人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有 人被选中的不同选法有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【变式4-2】2024年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人
值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则
不同的安排方案共有（ ）
A．1440种 B．1360种
C．1282种 D．1128种
1．某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊 名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步
个项目，每名同学只能报 个项目，每个项目至少有 名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法
共有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
题型五：相邻问题与不相邻问题
【典例5-1】我校田径队有十名队员，分别记为 ，为完成某训练任务，现将十名
队员分成甲、乙两队．其中将 五人排成一行形成甲队，要求 与 相邻， 在 的左边，剩下
的五位同学排成一行形成乙队，要求 与 不相邻，则不同的排列方法种数为（ ）
A．432 B．864 C．1728 D．2592
【典例5-2】春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自
编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排
在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（ ）
A．240种 B．188种 C．144种 D．120种
【变式5-1】小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2不相邻，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A．144 B．72 C．36 D．24
【变式5-2】北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3
人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻
“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合
影留念，唐胜杰与江新林相邻，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（ ）
A．144种 B．204种 C．156种 D．240种
1．某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙
同学不站在正中间，不同的安排方法数有（ ）
A．24 B．36 C．40 D．48
题型六：定序问题
【典例6-1】如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（
）种.
A．10 B．20 C．60 D．120
【典例6-2】满足 ，且 的有序数组 共有（ ）个.
A． B． C． D．
【变式6-1】已知 ，则满足 的有序数组
共有（ ）个A． B． C． D．
【变式6-2】六位爸爸站在幼儿园门口等待接六位小朋友放学，小朋友们随机排成一列队伍依次走出幼儿
园，爸爸们也随机分两列队伍依次排队站在幼儿园门口的两侧，每列3人.则爸爸们不需要通过插队就能接
到自己家的小朋友的概率为（ ）
A． B． C． D．
1．三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破
下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（ ）
A．350 B．140 C．560 D．280
题型七：多面手问题
【典例7-1】某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．
现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）
A．56种 B．68种
C．74种 D．92种
【典例7-2】我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，2人只会
跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳舞，有（ ）种不同的选
法．
A． B． C． D．
【变式7-1】某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（ ）种不同的选法
A．225 B．185 C．145 D．110
1．有 名歌舞演员，其中 名会唱歌， 名会跳舞，从中选出 人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不
同的选派方法有 （ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D．72种
题型八：错位排列问题
【典例8-1】“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这
九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相间，若
中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是
从大到小排列的，则不同的填法种数为（ ）
A．72 B．108 C．144 D．196
【典例8-2】编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只
有两个人的编号与座位号一致的坐法有（ ）
A．10种 B．20种 C．30种 D．60种
【变式8-1】将编号为 、 、 、 、 、 的小球放入编号为 、 、 、 、 、 的六个盒子中，
每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】将编号为1､2､3､4､5､6的六个小球放入编号为1､2､3､4､5､6的六个盒子里，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的方法总数是（ ）
A．20 B．40 C．120 D．240
1．元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，
则四张贺卡不同的分配方式有（ ）
A．6种 B．9种 C．11种 D．23种
题型九：涂色问题
【典例9-1】已知正四棱锥 ，现有五种颜色可供选择，要求给每个顶点涂色，每个顶点只涂一种
颜色，且同一条棱上的两个顶点不同色，则不同的涂色方法有（ ）
A．240 B．420 C．336 D．120
【典例9-2】如图，用4种不同的颜色对图中 5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜
色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（ ）
A．24 B．96 C．48 D．108
【变式9-1】如图，对 ， ， ， ， 五块区域涂色，现有 种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区
域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【变式9-2】中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成 个区域，每个区域分别印有数字 ， ， ， ， 现准备给该伞面的每个区域涂色，
要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域 如区域 与区域 所涂颜色
相同．若有 种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有
（ ）
A． 种 B． 种
C． 种 D． 种
1．五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学､中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.
古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金､木､水､火､土，彼此之间存在相生相克的关系.下图
是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生
木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂
色方法种数有（ ）
A．3125 B．1000 C．1040 D．1020题型十：分组与分配问题
【典例10-1】某宾馆安排甲、乙、丙、丁、戊五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且甲和乙住同一
个房间，则共有 种不同的安排方法．（用数字作答）
【典例10-2】为深入贯彻党的二十大精神，我市邀请 、 、 、 、 五位党的二十大代表分别到一中、
五中、铁中、蒙中做宣讲工作，每个学校至少一人参加.若其中 、 因只会汉语不能到蒙中宣讲，其余三
人蒙汉兼通，可选派到任何学校宣讲.则不同的选派方案共有 种.
【变式10-1】在杭州亚运会比赛中，6名志愿者被安排到安检、引导运动员入场、赛场记录这三项工作，
若每项工作至少安排1人，每人必须参加且只能参加一项工作，则合适的安排方案共有 种.（用数字
作答）
【变式10-2】将分别标有号码 的6个小球平均分为两组，则“标号为4的小球不是所在组标号最大的
且标号为3的小球不是所在组标号最小的”的分组方式有 种.
1． 展开式共 项.
题型十一：隔板法
【典例11-1】满足不等式 的有序整数组 的数目为（ ）
A．228 B．229 C．230 D．231
【典例11-2】小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择（可以有笔记本不被选
择），单价均为一元一本，小明只有 元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【变式11-1】把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分
得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（ ）A．60 B．36 C．30 D．12
【变式11-2】在空间直角坐标系 中， ，则三棱锥 内部整点
（所有坐标均为整数的点，不包括边界上的点）的个数为（ ）
A． B． C． D．
1．已知 ， ， ，则关于 ， ， 的方程 共有（ ）组不同的解.
A． B． C． D．
题型十二：环排与多排问题
【典例12-1】甲、乙等6人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有（ ）
A．6种 B．12种 C．24种 D．48种
【典例12-2】一对夫妻带着3个小孩和一个老人，手拉着手围成一圈跳舞，3个小孩均不相邻的站法种数
是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．36
【变式12-1】 A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面
的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（ ）
A．60种 B．48种 C．30种 D．24种
【变式12-2】现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨
一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（ ）
A．6种 B．8种 C．12种 D．16种1．已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙丙”与该排列旋转一个或几个位置后得
到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一个排列．现有 位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的
站法共有 种，那么这 位同学围成一个圆时，不同的站法总数为（ ）
A． B． C． D．
题型十三：电路图模型
【典例13-1】如题图所示，要选择一条路径接通从A到B的电路，不同的接法共有（ ）．
A．6种 B．7种 C．8种 D．12种
【典例13-2】如图是一个空气开关，又名空气断路器，是家中非常重要的一种电器，它集控制和多种保护
功能于一身，能对电路或电气设备发生的短路、严重过载及欠电压等进行保护．某学校配电房共有18个空
气开关排成一列，电工准备进行电路调试，打算关闭3个，头尾不能关闭，关闭的相邻两个开关之间至少
有两个是打开的，则不同的方案种数是（ ）
A．220 B．364 C．560 D．680
【变式13-1】如图所示，在 间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通,今发
现 之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有（ ）A．9种 B．11种 C．13种 D．15种
【变式13-2】一个电路中含有（1）（2）两个零件，零件（1）含有A，B两个元件，零件（2）含有C，
D，E三个元件，每个零件中有一个元件能正常工作则该零件就能正常工作，则该电路能正常工作的线路
条数为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．5
1．已知如图所示的电路中，每个开关都有闭合、不闭合两种可能，因此5个开关共有 种可能，在这
种可能中，电路从P到Q接通的情况有 种．
重难点突破：机器人跳动、波浪数、卡特兰数模型
【典例14-1】形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，由
1，2，3，4，5构成的无重复数字的五位“波浪数”的个数为（ ）
A．13 B．16 C．20 D．25
【典例14-2】几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；（3）丙在下落的过程中依次
撞击到树枝G，A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；（5）戊在下落的过程中依次
撞击到树枝I，C，E,则这九棵树枝从高到低不同的顺序共有（ ）
A．23 B．24 C．32 D．33
【变式14-1】清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学
家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在 的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能
往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连
线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数 .如图，现有 的格子，每一步只
能往上或往右走一格，则从左下角 走到右上角 共有 种不同的走法；若要求从左下角 走到
右上角 的过程中只能在直线 的右下方，但可以到达直线 ，则有 种不同的走法.
【变式14-2】一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个
单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位．若小蜜蜂经过5次飞行后，停在数轴上实数3位于的点处，
则小蜜蜂不同的飞行方式有 种．
1．若某人对机器狗发出一次指令，使机器狗沿着直线方向要么前进一步，要么后退一步，允许重复过任
何一点．若此人发出6次指令后，机器狗相对于初始位置前进了两步，则不同指令方案数有 种；
若此人发出 次指令后，机器狗相对于初始位置前进了两步，则不同指令方案数有 种．
