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专题 10 一次函数中面积问题的三类综合题型
目录
典例详解
类型一、求几何图形的面积
类型二、根据几何图形面积求点的坐标
类型三、几何图形面积的取值范围问题
压轴专练
类型一、求几何图形的面积
例1．如图，在平面直角坐标系 中，正比例函数 的图象与一次函数 的图象交于点A，
x轴的负半轴上有一点 ．
(1)求点A的坐标．
(2)过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的左侧），分别交正比例函数 的图象和一次函数
的图象于点B，C，连接 ．
①线段 的长为______（用含m的代数式表示）．②若 ，求 的面积．
变式1-1．已知直线 的表达式为 ，点A，B分别在x轴、y轴上．
(1)求出点的A，B的坐标，并在下图中画出直线 的图象；
(2)将直线 向上平移4个单位得到直线 ，点C，D分别在x轴、y轴上．求出点C，D的坐标及直线
的表达式，并在下图中画出直线 的图象；
(3)若点P到x轴的距离为4，且在直线 上，求 的面积．
变式1-2．一次函数 的图像与 轴、 轴分别交于点 、 ，以 为边在第二象限内作等边
．(1)求点 坐标；
(2)在第二象限内有一点 ，使 ，求 点的坐标；
(3)将 沿着直线 翻折，点 落在点 处；再将 绕点 顺时针方向旋转 ，点 落在点 处，
过点 作 轴于 ．求 的面积．
变式1-3．（1）探索发现：如图1，已知 中， ， ，直线 过点 ，过点 作
，过点 作 ，垂足分别为 、 ．求证： ．
（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶
点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N的坐标为 ，试求出 的面积．
（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
将直线 绕 点沿逆时针方向旋转 后，所得的直线交 轴于点 ．求 的面积．类型二、根据几何图形面积求点的坐标
例2-1．如图，直线 与直线 相交于点 ， 交y轴于点B， 交y轴负半轴
于点C，且 ．
(1)求直线 和 的解析式；
(2)若D是直线 上一点，且 的面积是9，求点D的坐标．
例2-2．如图，已知在平面直角坐标系中，点 在直线 ： 上，过点P的直线 ：
(k、b为常数，且 )与x轴交于点 ，与y轴交于点B， 轴于点H．(1)求直线 的函数解析式和点B的坐标；
(2)在直线 上是否存在点C，使得 的面积等于四边形 的面积的6倍？若存在，求出点C的坐
标；若不存在，请说明理由．
变式2-1．在平面直角坐标系中，已知 ，连 ，将 向下平移 个单位长度，再向左平移
个单位长度，得线段 ，点 的对应点为点 ．
(1)如图1，求四边形 的面积；
(2)如图2，点 为 轴正半轴上一动点，连 交 于点 ；
①设 ，显然三角形 分成三角形 与三角形 两部分，请你探究 ， 间满足的数量关
系，并说明理由；
②是否存在点 ，使 将四边形 的面积分成 两部分，若存在，请求出 点坐标；若不存在，请
说明理由．变式2-2．如图，在平面直角坐标系中，直线， 与 轴、 轴分别交于点 ，直线
与 轴、 轴分别交于点 ，交直线 于点 ．
(1)直线 ______定点 （填“经过”或“不经过”）；
(2)若点 关于点 对称，求此时直线 的解析式；
(3)若直线 将 的面积分为 两部分，请求出 的值．
变式2-3．如图，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，且经过定点
，直线 与 交于点 ．
(1)填空： ______， ______， ______；
(2)求 的面积；
(3)若动点 在射线 上从点 开始以每秒1个单位长度的速度运动，连接 ，设点 的运动时间为 秒，
是否存在 的值，使 和 的面积比为 ？若存在，直接写出 的值；若不存在，请说明理由．变式2-4．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线 与x轴负半轴交于点B，与y轴正半
轴交于点A，A点坐标 ，三角形 的面积是4．
(1)求点B的坐标；
(2)点C是y轴正半轴点A上方一点（点C与点A不重合），C点坐标 ，连接 ，点E是x轴正半轴
上一点，且 ，连接 ．
①如图2，若三角形 的面积是8，求m的值；
②如图3，点F是线段 上一点（点F与点B，点O不重合），连接 ， ，当四边形 的面积
与三角形 的面积相等时，用只含有m的代数式表示三角形 的面积，并说明理由．
类型三、几何图形面积的取值范围问题
例3．如图，在 中， ， ， ，动点 从点 出发，沿折线 方向
运动，速度为每秒1个单位长度，到达点 时停止运动．设点 的运动时间为 秒， 的面积为 ．
(1)直接写出 关于 的函数关系式，并注明自变量 的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中，画出 的函数图象，并写出函数 的一条性质；
(3)结合函数图象，直接写出 的面积大于3时 的取值范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2）
变式3-1．已知，在平面直角坐标系中，点A在y轴上， ，点 ，且a、b满足
．
(1)则 ____________； __________；
(2)如图1，在x轴上是否存在点C，使三角形 的面积等于三角形 面积的一半？若存在，请求出点
C的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，将线段 向左平移m个单位 ，得到线段 ，其中点A，点B的对应点分别为点 ，
点 ．若点 在射线 上，连接 得到三角形 ，若三角形 的面积大于三角形
面积的 并且小于三角形 面积，则m的取值范围是______________．
变式3-2．在平面直角坐标系 中，对于给定的两点 ，若存在点 ，使得 的面积等于1，即
，则称点 为线段 的“单位面积点”．解答下列问题：如图，在平面直角坐标系 中，点
的坐标为 ．(1)在点 ， ， ， 中，线段 的“单位面积点”是__________．
(2)已知点 ， ，将线段 沿 轴向上平移 个单位长度，使得线段 上存在线段
的“单位面积点”，直接写出 的取值范围．
(3)已知点 ， ，点 是线段 的两个“单位面积点”，点 在 的延长线上，若
，直接写出点 纵坐标的取值范围．
变式3-3．已知，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别为 ， ， ，轴，且 、 满足 ．
(1)则 ， ， ；
(2)如图1，在 轴上是否存在点 ，使 的面积等于 的面积？若存在，请求出点 的坐标；若不
存在，请说明理由；
(3)如图2，连接 交 于点 ，是否存在一点 在y轴上，使得 的面积大于 的面
积，若有，请求出n的取值范围；若没有，请说明理由．1．如图，在 中， ， ， ．动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，
沿折线 运动，到达B点时停止运动，设点P的运动时间为 秒 ， 的面积为y．
(1)求y关于t的函数表达式，并注明自变量 的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质；
(3)当 的面积等于4时，结合函数图像，求 的值．
2．如图，直线 与 轴、 轴分别相交于点 ，点 的坐标为 ，点 是直线
上一个动点．(1)在点 运动过程中，试写出 的面积 与 的函数关系式，并写出相应自变量的取值范围；
(2)当点 运动到什么位置时， 的面积为9，求此时点 的坐标；
3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，且a，b满足关系式
成立．
(1)直接写出点A，B的坐标；
(2)如图1，点 是线段 上的一个动点， 轴于点E， 轴于点M， 轴于点F，
连接 ．利用图形间的面积关系，可得到一个关于m与n之间的关系式，请求出这个关系式；
(3)如图2，将线段 沿与坐标轴平行的方向平移1次得到线段 ，当形成的 面积为9时，请直接
写出此时点 的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点B，将直线 沿y轴向上平移4个单
位与直线l交于点A，与x轴交于点C．(1)求点A坐标；
(2)点 ，连接AD，BD，求△ABD的面积；
(3)点P为线段AB上一点，点Q为线段AC延长线上一点，且 ，连接PQ交x轴于点E，设点P的
横坐标为m，四边形APEC的面积为S，求S与m的函数关系式（不需求自变量的取值范围）．
5．如图1，在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴分别交于点 ．
(1)求 的面积：
(2)如图2，点 为 轴上一动点（点 在点 的左侧），将点 绕点 逆时针旋转 至点 ，连接 并
延长与 轴交于点 ，当点 在移动过程中，点 的坐标是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，
请求出点 的坐标；
(3)如图3，点 为直线 上一动点．已知 ，若 三点在某长方形的内
部或边上，该长方形的一条边与坐标轴平行．求点 在移动过程中该长方形的面积最小值及此时 的取值
范围．
6．如图，过点 的直线 与坐标轴相交于 、 两点，已知点 是第二象限的点，设
的面积为 ．(1)写出 与 之间的函数关系，并写出 的取值范围；
(2)当 的面积为 时，求出点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点 ，使得 与 、 、 中任意两点形成的三角形面积也为 ，
若存在，请直接写出点 的坐标．
7．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点P的坐标为 ，过点A分别作 轴于点
B， 轴于点C．已知直线 ．
(1)点C的坐标为___________；
(2)通过计算说明一次函数 的图象一定过点P；
(3)直线 、直线 、直线 不能组成三角形时，求k的值；
(4)当直线 与边 有交点，且将四边形 分成的两部分面积比为 时，直接写
出k的值．8．如图（含备用图），在直角坐标系中，已知直线 与 轴相交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求 的值及 的面积；
(2)点 在 轴上，若 是以 为腰的等腰三角形，直接写出点 的坐标；
(3)点 在 轴上，若点 是直线 上的一个动点，当 的面积与 的面积相等时，求点
的坐标．
