文档内容
2022-2023 学年北师大版数学七年级上册压轴题专题精选汇编
专题 10 一元一次方程的实际应用—几何问题
考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021七上·普宁期末）如图，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长条后，再从剩下
的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为
（ ）
A．16 B．20 C．80 D．160
【答案】C
【完整解答】解：设原来正方形纸的边长是xcm，则第一次剪下的长条的长是xcm，宽是4cm，第二次剪
下的长条的长是（x﹣4）cm，宽是5cm，
则4x＝5（x﹣4），
去括号，可得：4x＝5x﹣20，
移项，可得：5x﹣4x＝20，
解得x＝20
4x＝4×20＝80（cm2）
所以每一个长条面积为80cm2．
故答案为：C．
【思路引导】设原来正方形纸的边长是xcm， 根据题意两次剪下的长条面积正好相等列方程，解方程即可。
2．（2分）（2021七上·会宁期末）一个底面半径为10cm、高为30cm的圆柱形大杯中存满了水，把水倒
入底面直径为10cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为（ ）
A．6cm B．8cm C．10cm D．12 cm
【答案】C【完整解答】解：设小杯的高为x，
根据题意得：π×102×30=π×（10÷2）2•x×12
解得：x=10
则小杯的高为10cm.
故答案为：C.
【思路引导】设小杯的高为x，根据圆柱体的体积计算方法，由大圆柱杯中水的体积等于12个小圆柱杯中
水的体积建立关于x的方程求解即可.
3．（2分）（2021七上·上虞期末）如图是一纸条的示意图，第1次对折，使A，B两点重合后再打开，折
痕为l；第2次对折，使A，C两点重合后再打开，折痕为l；第3次对折，使B，D两点重合后再打开，
1 2
折痕为l.已知CE=2cm，则纸条原长为（ ）cm
3
A．18 B．16 C．14 D．12
【答案】B
【完整解答】解：由折叠可知：
点C是AB中点，点D是AC中点，点E是BD中点，设AB=x，
∵CE=2cm，
∴AC=BC= x，AD=CD= x，DE=BE= x-2，
而DE=CD+CE= x+2，
∴ x-2= x+2，
解得：x=16，即AB=16cm，
故答案为：B.
【思路引导】根据折叠得到点C是AB中点，点D是AC中点， 点E是BD中点， 设AB=x， 用两种方
法表示出DE，依此建立关于x的方程求解，即可解答.
4．（2分）（2021七上·盐田期末）如图，直线AB，CD相交于点O，AOC30，OE⊥AB，OF是AOD的角平分线．若射线OE，OF分C别以18/s，3/s的速度同时绕点O顺时针转动，当射线OE，OF重合时，至
少需要的时间是（ ）
A．8s B．11s C． s D．13s
【答案】D
【完整解答】∵∠BOD=∠AOC=30゜，OE⊥AB
∴∠EOD=∠EOB+∠BOD=90゜+30゜=120゜，∠AOD=180゜ - ∠AOC=150゜
∵OF平分∠AOD
∴
∴∠EOD+∠DOF=120゜+75゜
设OE、OF首次重合需要的时间为t秒，则由题意得：18t−3t=120+75
解得：t=13
即射线OE，OF重合时，至少需要的时间是13秒
故答案为：D
【思路引导】先求出∠DOF=75°，再求出t=13，最后求解即可。
5．（2分）（2021七上·德惠期末）一个角的余角的3倍比这个角的4倍大18°，则这个角等于（ ）
A．36° B．40° C．50° D．54°
【答案】A
【完整解答】解：设这个角是x°，则它的余角是（90-x）°，
根据题意得3（90-x）-4x=18，
去括号，得270-3x-4x=18，
移项、合并，得7x=252，
系数化为1，得x=36．
故这个角的度数为36°．故答案为：A．
【思路引导】先求出3（90-x）-4x=18，再解方程计算求解即可。
6．（2分）（2021七上·济宁月考）图①为一正面白色、反面灰色的长方形纸片．今沿虚线剪下分成甲、
乙两长方形纸片，并将甲纸片反面朝上粘贴于乙纸片上，形成一张白、灰相间的长方形纸片，如图②所示．
若图②中白色与灰色区域的面积比为8∶3，图②纸片的面积为33，则图①纸片的面积为（ ）
A． B． C．42 D．44
【答案】C
【完整解答】解：设每一份为x，则图②中白色的面积为8x，灰色部分的面积为3x，由题意，得
8x+3x=33，解得：x=3，∴灰色部分的面积为：3×3=9，∴图（①）纸片的面积为：33+9=42．
故答案为：C．
【思路引导】先求出8x+3x=33，再求出x=3，最后求解即可。
7．（2分）（2021七上·邹城月考）在矩形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所
示，求小长方形的宽AE．若AE＝x（cm），依题意可得方程（ ）
A． B．6+2x＝14﹣x
C．14﹣3x＝6 D．6+2x＝x+（14﹣3x）
【答案】D
【完整解答】解：标字母如图所示：设AE=xcm，MD=3xcm，则AM=（14-3x）cm，
∵AB=AN+6=6+2x，MR=AM=（14-3x）cm，
∴AB=AE+MR，
即6+2x=x+（14-3x）
故答案为：D．
【思路引导】先求出AB=AE+MR，再列方程即可。
8．（2分）（2021七上·路北期中）如图，边长为 的正方形纸片，剪出一个边长为a的正方形之
后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成长方形的一边长为3，则另一边长是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【完整解答】解：设另一边长为x，
根据题意得，3x=（a+3）2-a2，
解得x=2a+3．
故答案为：A．
【思路引导】设另一边长为x，根据图形列出方程3x=（a+3）2-a2，求解即可。
9．（2分）（2021七上·长春期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E为CD的中点，
动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，
则当△APE的面积为5cm2时，x的值为（ ）A．5 B．3或5 C． D． 或5
【答案】D
【完整解答】解： 长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E为CD的中点，
当 在 上时，
当 在 上时，
解得：
当 在 上时，如图，解得： ，经检验不符合题意，舍去，
所以当△APE的面积为5cm2时，x的值为5s或 s，
故答案为：D
【思路引导】分点P再AB上、P在BC上、P在CE上三种情况，再根据三角形的面积公式计算即可。
10．（2分）（2021七上·玉山期末）如图，点O在直线 上，过O作射线 ， ，
一直角三角板的直角顶点与点O重合，边 与 重合，边 在直线 的下方．若三角板
绕点O按每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线 恰好平分锐
角 ，则t的值为（ ）
A．5 B．4 C．5或23 D．4或22
【答案】C
【完整解答】解：∵ ，∴ ，
①如图，
当 的反向延长线恰好平分锐角 时，
∴ ，
此时，三角板旋转的角度为 ，
∴ ；
②如图，
当 在 的内部时，
∴∠CON= ∠AOC=40°，
∴三角板旋转的角度为90°+100°+40°=230°，
∴ ；
∴t的值为：5或23．
故答案为： C ．【思路引导】先求出 ，再分类讨论，进行计算求解即可。
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2022七上·宝安期末）如图，在△ABC中，AB=3cm，BC=6cm，AC=5cm，蚂蚁甲从点A
出发，以1.5cm/s的速度沿着三角形的边按A→B→C→A的方向行走，甲出发1s后蚂蚁乙从点A出发，以
2cm/s的速度沿着三角形的边按A→C→B→A的方向行走，那么甲出发 s后，甲乙第一次相距
2cm．
【答案】4
【完整解答】解：设甲出发t秒后，甲乙第一次相距2cm，
∴（1.5t-3）-[2（t-1）-5]=2，
∴t=4，
∴甲出发4秒后，甲乙第一次相距2cm，
故答案为：4.
【思路引导】设甲出发t秒后，甲乙第一次相距2cm，根据题意列出方程，解方程求出t的值，即可得出
答案.
12．（2分）（2021七上·斗门期末）如图是由六个不同颜色的正方形组成的长方形，已知中间最小的一个
正方形A的边长为2，那么正方形B的面积是 ．
【答案】196
【完整解答】设小正方形D的边长是x，则正方形C的边长为x，正方形E的边长为x+2，正方形F的边长
为x+2+2=x+4，正方形B的边长为x+2+2+2=x+6，根据题意得：3x+2=x+4+x+6，解得：x=8，
∴正方形B的边长为x+6=14，
∴正方形B的面积是14×14=196．
故答案为：196
【思路引导】设小正方形D的边长是x，则正方形C的边长为x，正方形E的边长为x+2，正方形F的边长
为x+2+2=x+4，正方形B的边长为x+2+2+2=x+6，根据题意列出方程3x+2=x+4+x+6求解即可。
13．（2分）（2021七上·官渡期末）如图， ，且 ，则
．
【答案】54°
【完整解答】解：设 ，
，
，
，
，解得： ，
故答案为： ．【思路引导】设 ，根据 可得 ，再列出方程
求解即可。
14．（2分）（2021七上·香洲期末）如图，由3个相同的长方形 和1个正方形 组成的图形，其中长方
形 的长是宽的2倍，则正方形 的周长为 ．
【答案】84
【完整解答】解：设长方形的宽是x，则长是2x，由题意得
x+7.5+2x=2x+16.5-x，
解得x=4.5，
∴正方形 的边长为4.5+7.5+2×4.5=21，
∴正方形 的周长为4×21=84，
故答案为：84．
【思路引导】根据所给图形先求出x+7.5+2x=2x+16.5-x，再解方程求出x=4.5，最后求周长即可。
15．（2分）（2021七上·南宁月考）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为 ，点B表示的
数为30，点M以每6个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运
动，其中点M、点N同时出发，经过 秒，点M、点N分别到点B的距离相等.
【答案】【完整解答】解：设经过t秒，点M、点N分别到点B的距离相等，则点M所表示的数为（-10+6t），点
N所表示的数为2t，
①当点B是MN的中点时，有 ，
解得： ，
②当点M与点N重合时，有 ，
解得： ，
因此， 或 ，
故答案为： 或 .
【思路引导】设经过t秒，点M、点N分别到点B的距离相等，则点M所表示的数为（-10+6t），点N所
表示的数为2t，即①当点B是MN的中点时，②当点N与点M重合时，根据“ 点M、点N分别到点B的
距离相等”分别建立方程求解即可.
16．（2分）（2021七上·平阳月考）如图1是AD//BC的一张纸条，按图1—>图2—>图3，把这一纸条先
沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE=15°，则图2中∠AEF的度数为 .
【答案】115°
【完整解答】解：如图，设∠B'FE=x，当纸条沿EF折叠时，
∴∠BFE=∠B'FE=x，∠AEF=∠A'EF，
∴∠BFC=∠BFE-∠CFE=x-15°，
当纸条沿BF折叠时，
∴∠C'FB=∠CFB=x-15°，
∵∠B'FE+∠BFE+∠CFB=180°，
∴x+x+x-15°=180°，
解得x=65°，
∵A'D'∥B'C'，
∴∠A'EF=180°-∠B'FE=180°-65°=115°，
∴∠AEF=115°.
故答案为：115°.
【思路引导】设∠B'FE=x，根据折叠的性质得∠BFE=∠B'FE=x，∠AEF=∠A'EF， 则∠BFC=x-15°， 再
由两次折叠后得到∠CFB=∠BFC=x-15°，然后根据平角定义列方程求解，再根据平行线的性质得
∠A'EF=180°-∠B'FE=115°，最后根据折叠的性质得出∠AEF=115°.
17．（2分）（2021七上·南浔期末）将长为4宽为a（a大于1且小于4）的长方形纸片按如图所示的方式
折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按同样的方式操
作，称为第二次操作；如此反复操作下去 ，若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止.
当 时，a的值为 .【答案】
【完整解答】解：第1次操作，剪下的正方形边长为a，剩下的长方形的长宽分别为a、4-a，
（1）当 时，即 时
第二次操作后，剩余长方形的长宽分别为a、4-2a，
①当 时，即 时
第三次操作剩余两边为a、4-3a，
此时为正方形，得
解得
又
不成立；
②当 ，即 时
第三次操作剩余两边边长分别为 ，
此时为正方形，得
解得 ，此时符合题意；
（2）当 ，即 时，第2次操作，剪下的正方形边长为4-a，所以剩下的长方形的两边分
别为4-a、a-（4-a）=2a-4，①当2a-4＜4-a，即a＜ 时，
则第3次操作时，剪下的正方形边长为2a-4，剩下的长方形的两边分别为2a-4、（4-a）-（2a-4）=8-3a，
则2a-4=8-3a，解得a= ；
②2a-4＞4-a，即a＞ 时
则第3次操作时，剪下的正方形边长为4-a，剩下的长方形的两边分别为4-a、（2a-4）-（4-a）=3a-8，
则4-a=3a-8，解得a= ；
故答案为： 或 或 .
【思路引导】第1次操作，剪下的正方形边长为a，剩下的长方形的长宽分别为a、4-a；分当
时，当 ，两种情况；若第二次操作后，剩余长方形的长宽分别为a、4-2a，分两种情况讨论；
第三次操作剩余两边为a、4-3a，此时剩下的恰好为正方形，可得关于a的一元一次方程，解之即可.
18．（2分）（2021七上·吴兴期末）如图，一个盛有水的长方体玻璃容器的内底面为边长为4cm的正方形，
容器内水的高度为2cm，把一根长方体玻璃棒垂直放入容器中，其中玻璃棒底面为边长是2cm的正方形，
则容器内的水将升高 cm（假设水不会溢出）.
【答案】
【完整解答】解：设水升高xcm,依题意可列方程： ,
解得， ,
故答案为： .
【思路引导】设水升高xcm，再根据体积的计算方法以及前后变化，即可列出方程求解.
19．（2分）（2019七上·德阳月考）把四张大小相同的长方形卡片（如图①）按图②、图③两种放法放在
一个底面为长方形（长比宽多 ）的盒底上，底面为被卡片覆盖的部分用阴影表示，若记图②中阴影部
分的周长为 ，图③中阴影部分的周长为 ，则 .
【答案】8
【完整解答】设小长方形的长为acm，宽为bcm，大长方形的宽为xcm，长为（x＋4）cm，
∴②阴影周长为：2（x＋4＋x）＝4x＋8
∴③下面的周长为：2（x−a＋x＋4−a）
上面的总周长为：2（x＋4−2b＋x−2b）
∴总周长为：2（x−a＋x＋4−a）＋2（x＋4−2b＋x−2b）＝4（x＋4）＋4x−4（a＋2b）
又∵a＋2b＝x＋4
∴4（x＋4）＋4x−4（a＋2b）＝4x
∴C −C ＝4x＋8−4x＝8
2 3
故答案为8.
【思路引导】此题要先设小长方形的长为acm，宽为bcm，再结合图形分别得出图形②的阴影周长和图形
③的阴影周长，比较后即可求出答案
20．（2分）（2020七上·金水月考）如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的底面半径为 ，容器内水的高度为 ，把一根半径为 的玻璃棒垂直插入水中，水不会溢出，则容器内的水将升高
cm.
【答案】0.5
【完整解答】解：设容器内的水将升高x cm，
依题意有：π×102×12+π×22（12+x）=π×102（12+x），
1200+4（12+x）=100（12+x），
1200+48+4x=1200+100x，
96x=48，
x=0.5.
故容器内的水将升高0.5cm.
故答案为：0.5.
【思路引导】设容器内的水将升高x cm，根据等量关系：容器的底面积×容器中水的原来高度+玻璃棒的截
面积×（容器中原来水的高度+水面上升的高度）=容器的底面积×（容器中原来水的高度+水面上升的高
度），建立关于x的方程，解方程求出x的值.
三．解答题（共8题，满分60分）
21．（5分）（2021七上·瑞安期中）如图，用直径为200mm的钢柱锻造成一块长、宽、高分别为
350mm，314mm，180mm的长方体坯底板.问应截取钢柱多长？（不计耗损，π取3.14）
【答案】解：设截取钢柱xmm，由题意得，3.14×（ ）2×x＝350×314×180，
解得x＝630，
答：截取钢柱630mm.
【思路引导】设截取钢柱xmm，根据两者体积相等可得建立方程，求解即可.
22．（6分）（2021七上·北京开学考）如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的
正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为2，求这个长方形色块图的面积．
【答案】解：设D边长为x，则B、C边长 ，E边长 ，F边长 ．
由题意可得： ，
解得 ．
故长方形的长为26，宽为22，面积为 ．
【思路引导】先求出 ， 再解方程求解即可。
23．（6分）（2021七上·宜州期末）已知 与 互为余角，且 的补角比 的 倍少
，假设 ，求 ， 的度数.
【答案】解： ，则∠B=（90-x）º，根据题意列方程得，180-x=3（90-x）-50，
解得，x=20，90-x=70.
答：∠A的度数为20º，∠B的度数为70º.
【思路引导】 ，则∠B=（90-x）º， 根据 的补角比 的 倍少 列方程求解即可.
24．（9分）（2021七上·锦江期末）已知一个长方体合金底面长为80，宽为40，高为60．
（1）（4分）现要锻压成新的长方体，其底面是边长为40的正方形，则新长方体的高为多少？
（2）（5分）若将长方体合金锻压成圆柱体，其底面是直径为80的圆，则新圆柱体合金的高为多少？
（ 取3）
【答案】（1）解：设新长方体的高为x，
根据题意得：40×40•x=80×40×60，
解得：x=120．
答：新长方体的高为120．
（2）解：设新圆柱体合金的高为y，
根据题意得： ，
解得： .
答：新圆柱体合金的高为40.
【思路引导】（1）设新长方体的高为x，则新长方体体积为40×40•x，原来长方体体积为80×40×60，然后
根据体积相等建立方程，求解即可；
（2）设圆柱体合金的高为y，则新圆柱体合金体积为3×(80÷2)2y，原来长方体体积为80×40×60，然后根据
体积相等建立方程，求解即可.
25．（10分）（2021七上·和平期末）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且
∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）（3分）求∠AOC，∠BOC的度数；（2）（3分）作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，求
∠MON的度数；
（3）（4分）过点O作射线OD，若2∠AOD＝3∠BOD，求∠COD的度数．
【答案】（1）解：∵∠AOC：∠BOC=1：2，∠AOB=120°，
∴∠AOC= ∠AOB= ×120°=40°，
∠BOC= ∠AOB= ×120°=80°；
（2）解：∵OM平分∠AOC，
∴∠COM= ∠AOC= ×40°=20°，
∵∠CON：∠BON=1：3，
∴∠CON= ∠BOC= ×80°=20°，
∴∠MON=∠COM+∠CON=20°+20°=40°；
（3）解：如图，当OD在∠AOB内部时，
设∠BOD=x°，
∵2∠AOD=3∠BOD，
∴∠AOD= ，
∵∠AOB=120°，
∴x+ =120，解得：x=48，
∴∠BOD=48°，
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=80°-48°=32°，
如图，当OD在∠AOB外部时，
设∠BOD=y°，
∵2∠AOD=3∠BOD，
∴∠AOD= ，
∵∠AOB=120°，
∴ +y+120°=360°
解得：y=96°，
∴∠COD=∠BOD+∠BOC
=96°+80°
=176°，
综上所述，∠COD的度数为32°或176°．
【思路引导】（1） 由∠AOC：∠BOC=1：2 ，可得∠AOC= ∠AOB，∠BOC= ∠AOB ，据此计算
即可
（2）由角平分线的定义可得∠COM= ∠AOC=20°，由∠CON：∠BON=1：3，可得∠CON=
∠BOC=20°， 根据∠MON=∠COM+∠CON计算即可；
（3） 分两种情况：当OD在∠AOB内部时和当OD在∠AOB外部时， 据此分别求解即可.26．（7分）（2021七上·南京期末）如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分
∠AOE，∠COF＝37°.
（1）（3分）求∠EOB的度数.
（2）（3分）若射线OF、OD分别绕着点O按顺时针方向转动，两射线同时出发，射线OF每分钟转动
6°，射线OD每分钟转动0.5°，多少分钟后，射线OF与射线OD第一次重合.
（3）（1分）在（2）的条件下，假设转动时间不超过60分钟，若∠FOD=33°，则两射线同时出发
分钟.
【答案】（1）解：∵∠COE＝90°，∠COF＝37°，
∴∠EOF＝90°－37°＝53°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF=53°×2＝106°，
∴∠EOB＝180°－106°＝74°；
（2）∵∠COD＝180°，∠COE＝90°，
∴∠EOD＝90°，
∴∠FOD＝90°＋53°＝143°，
设x分钟后射线OF与射线OD第一次重合，
依题意，得：6x－0.5x＝143，
解得：x＝26.
答：26分钟后，射线OF与射线OD第一次重合；
（3）20或32
【完整解答】解：（3）由（2）可知，开始时∠FOD＝143°，
设两射线同时出发t分钟后，∠FOD=33°，
当射线OF与射线OD第一次重合前，根据题意，
得：6t+33=143+0.5t，
解得：t=20；
射线OF与射线OD第一次重合后，根据题意，得：6t=143+33+0.5t，
解得：t=32，
综上，两射线同时出发20或32分钟后，∠FOD=33°.
故答案为：20或32.
【思路引导】（1）根据∠EOF=90°-∠COF可得∠EOF的度数，根据角平分线的概念可得
∠AOE=2∠EOF，然后利用平角的概念进行计算；
（2）易得∠EOD=∠COD-∠COE＝90°，然后根据∠FOD=∠EOD+∠EOF求出∠FOD的度数， 设x分钟
后射线OF与射线OD第一次重合，则6x-0.5x＝143，求解即可；
（3）由（2）可知：开始时∠FOD＝143°，设两射线同时出发t分钟后，∠FOD=33°，当射线OF与射线
OD第一次重合前，有6t+33=143+0.5t；射线OF与射线OD第一次重合后，有6t=143+33+0.5t，求解即可.
27．（7分）（2021七上·潮安期末）已知点B在线段AC上，点D在线段AB上．
（1）（3分）如图1，若AB=6cm，BC=4cm，D为线段AC的中点，求线段DB的长度；
（2）（4分）如图2，若BD= AB= CD，E为线段AB的中点，EC=12cm，求线段AC的长度．
【答案】（1）解：如图1所示：
∵AC=AB+BC，AB=6cm，BC=4cm
∴AC=6+4=10cm
又∵D为线段AC的中点
∴DC= AC= ×10=5cm
∴DB=DC-BC=6-5=1cm
（2）解：如图2所示：
设BD=xcm∵BD= AB= CD
∴AB=4BD=4xcm，CD=3BD=3xcm，
又∵DC=DB+BC，
∴BC=3x-x=2x，
又∵AC=AB+BC，
∴AC=4x+2x=6xcm，
∵E为线段AB的中点
∴BE= AB= ×4x=2xcm
又∵EC=BE+BC，
∴EC=2x+2x=4xcm
又∵EC=12cm
∴4x=12
解得：x=3，
∴AC=6x=6×3=18cm．
【思路引导】（1）由线段的中点、线段的和差求出线段DB的长度为1厘米；
（2）由线段的中点、线段的和差倍分求出AC的长度为18厘米。
28．（10分）（2021七上·海珠期末）如图，∠AOB＝90°，∠COD＝60°．
（1）（3分）若OC平分∠AOD，求∠BOC的度数；
（2）（3分）若∠BOC＝ ∠AOD，求∠AOD的度数；（3）（4分）若同一平面内三条射线OT、OM、ON有公共端点O，且满足∠MOT＝ ∠NOT或者
∠NOT＝ ∠MOT，我们称OT是OM和ON的“和谐线”．若射线OP从射线OB的位置开始，绕点O
按逆时针方向以每秒12°的速度旋转，同时射线OQ从射线OA的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒
9°的速度旋转，射线OP旋转的时间为t（单位：秒），且0＜t＜15，求当射线OP为两条射线OA和OQ的
“和谐线”时t的值．
【答案】（1）解：∵OC平分∠AOD，
∴∠COD＝∠AOC＝ ∠AOD，
∵∠COD＝60°，
∴∠AOC＝60°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=30°
（2）解：设∠AOD＝x，则∠BOC＝ x，
∵∠AOD＝∠AOB＋∠BOD，∠BOD＝∠COD−∠BOC，
∴∠AOD＝∠AOB＋∠COD−∠BOC，
∵∠AOB＝90°，∠COD＝60°，
∴∠AOD＝150°−∠BOC，
∴x＝150− x，
解得：x＝140°，
∴∠AOD的度数为140°．
（3）解：当射线OP与射线OQ未相遇之前，如图，由题意得：∠AOQ＝9t，∠BOP＝12t，
∴∠AOP＝90°−∠BOP＝90°−12t，∠QOP＝90°−∠AOQ−∠BOP＝90°−21t，
∵射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”，
∴∠QOP＝ ∠AOP（因为此时∠AOP大于∠QOP），
∴90°−21t＝ （90°−12t），
解得：t＝3；
当射线OP与射线OQ相遇后且均在∠AOB内部时，如图，
由题意得：∠AOQ＝9t，∠BOP＝12t，
∴∠AOP＝90°−∠BOP＝90°−12t，∠QOP＝∠BOP−∠BOQ＝∠BOP−（90°−∠AOQ）＝21t−90°，
∵射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”，
∴∠QOP＝ ∠AOP或∠AOP＝ ∠QOP，
∴21t−90°＝ （90°−12t）或90°−12t＝ （21t−90），
解得：t＝5或t＝6；
当射线OP在∠AOB的外部，射线OQ在∠AOB的内部时，如图，同理可得∠BOP=12t，∠AOQ=9t，
∴∠AOP=12t-90°，∠QOP=∠AOQ+∠QOP=21t-90°，
∵射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”，
∴∠AOP＝ ∠QOP（因为∠QOP大于∠AOP），
∴12t-90°＝ （21t−90°），
解得：t＝30，不符合题意；
∴此时射线OP不可能为两条射线OA和OQ的“和谐线”；
当射线OP与射线OQ均在∠AOB的外部时，如图，
由题意得：∠AOQ＝9t，∠BOP＝12t，
∴∠AOP＝12t−90°，∠QOP＝360°−∠AOP−∠AOQ＝450°−21t，
∵射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”，
∴∠AOP＝ ∠QOP，
∴12t−90°＝ （450°−21t），
解得：t＝14．
综上所述，在0＜t＜15时，当射线OP为两条射线OA和OQ的“和谐线”时t的值为3或5或6或14．
【思路引导】（1）由角平分线的定义可得 ∠COD＝∠AOC＝ ∠AOD=60°，利用∠BOC=∠AOB-
∠AOC计算即得；（2）设∠AOD＝x，则∠BOC＝ x， 易求 ∠AOD＝150°−∠BOC， 据此建立关于x方程，解之即可；
（3） 分四种情况：①当射线OP与射线OQ未相遇之前，②当射线OP与射线OQ相遇后且均在∠AOB内
部时，如图，③当射线OP在∠AOB的外部，射线OQ在∠AOB的内部时，如图，④当射线OP与射线
OQ均在∠AOB的外部时，如图， 据此分别解答即可.
