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微专题：二项式系数和与系数和
【考点梳理】
1.二项式系数的性质
二项式系数是一组仅与二项式的幂指数n有关的n＋1个组合数，与a，b无关. 其性质如下：
(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 事实上，这一性质可直接由 C ＝
C __ 得到. 直线r＝将函数f(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.
(2)增减性与最大值：当k<时，C随k的增加而增大；当k>时，C随k的增加而减少. 如果二项式的幂指数n是
偶数，那么其展开式中间一项，即 T ＋ 1 的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项 T 与 T ＋ 1 的二
项式系数相等且最大.
(3)各二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＝ 2 n ，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即 C＋
C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
2. ①“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法. 对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋
c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式
各项系数之和，只需令x＝y＝1即可. ②若f(x)＝a ＋ax＋ax2＋…＋axn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇
0 1 2 n
数项系数之和为a＋a＋a＋…＝，偶数项系数之和为a＋a＋a＋…＝.
0 2 4 1 3 5
【典例剖析】
典例1．在 的展开式中，若二项式系数的和为 ，则 的系数为（ ）
A． B． C． D．
典例2．设 ，若 ，则展开式中系数最大的项是（ ）
A． B． C． D．
典例3．若二项式 的展开式中各项的系数和为1024，则该展开式中含 项的系数是（ ）
A．120 B．320 C．100 D．300
典例4．若 ，且 ，则
实数 的值可以为（ ）
A．1或 B． C． 或3 D．
典例5．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
第 1 页
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6．在 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含 的项系数为（ ）
A．45 B．-45 C．120 D．-120
7．已知 ，若 ，则 （ ）
A．992 B．－32 C．－33 D．496
8．在 的展开式中，除 项之外，剩下所有项的系数之和为（ ）
A．299 B． C．300 D．
9．已知 的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，则 的展开式的各项系数之和为（ ）
A． B． C． D．
10．若 ，则 的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．设 若 ，则展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A． B． C． D．
12．已知 展开式中，奇数项的二项式系数之和为64，则 展开式中常数项为（ ）．
A．-14 B．-13 C．1 D．2
13．若 的展开式中所有二项式系数和为64，则展开式中的常数项是（ ）
A．240 B．－240 C．160 D．－160
14． 的展开式中各项系数之和为2，则该展开式中常数项为（ ）
A．-40 B．-20 C．20 D．40
15．若 的展开式中第3项为常数项，则该展开式中各项系数的和为（ ）
A．729 B．64 C．1 D．
16． 的展开式中所有不含 的项的系数之和为（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C．10 D．64
17．已知 的展开式中，二项式系数的和为 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
18．已知 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
19．已知 ，则 （ ）
A．256 B．255 C．512 D．511
20．若 ，则 =（ ）
A．244 B．1 C． D．
21．已知(3－x)n＝a＋ax＋ax2＋…＋anxn，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等．则a－a＋a
0 1 2 0 1 2
＋…＋(－1)nan等于（ ）
A．32 B．64
C．128 D．256
22．已知 的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（ ）
A．－34 B．－672 C．84 D．672
23．若 ，则 （ ）
A．40 B．41 C． D．
24．若 ，则 的值为（ ）
A．1 B．-1 C．1023 D．1024
25．已知(2x－1)5＝ax5＋ax4＋ax3＋ax2＋ax＋a，则|a|＋|a|＋…＋|a|＝（ ）
5 4 3 2 1 0 0 1 5
A．1 B．243 C．121 D．122
【高分突破】
一、单选题
26．如图，杨辉三角出现于我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》中，它揭示了 （n为非负
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．由此可得图中第10行排在偶数位置的所有数字之和为（ ）
A．256 B．512 C．1024 D．1023
27．若 （ ），则 （ ）
A． B． C． D．
28．已知二项式 的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含 项的系数是（ ）
A．-84 B．-14 C．14 D．84
29．已知 ，若 ，则自然数 （ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
30．若 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．120
31．若二项式 的展开式中所有项的系数和为 ，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A． B． C． D．
32．如果 的展开式中各项系数之和为 ，则展开式中 的系数是（ ）
A．90 B．80 C．-90 D．-92
二、多选题
33． 的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．展开式中常数项为3
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．展开式中 的系数为30 D．展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64
34．若 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
35．若 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
36．关于 的说法，正确的是
A．展开式中的二项式系数之和为2048
B．展开式中只有第6项的二项式系数最大
C．展开式中第6项和第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
37．已知 的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下
列说法正确的是（ ）
A．展开式中奇数项的二项式系数和为256
B．展开式中第6项的系数最大
C．展开式中存在常数项
D．展开式中含 项的系数为45
38．已知 的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．展开式中常数项为160
C．展开式系数的绝对值的和1458
D．若 为偶数，则展开式中 和 的系数相等
三、填空题
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司39．若 ，则 的值 ___________________.
40．若 ，则 _______．
41．若 ， ，则
___________.
42．若二项式 的展开式中所有项的系数和为 ，则该二项式展开式中含有 项的系数为
__________．
43．若 ，则 _____.
44．设 ．若 ，则实数
________．
四、解答题
45．已知 （ ）的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 .
(1)求二项式系数之和；
(2)求展开式中各项系数的和；
(3)求展开式中含 的项.
46． 的展开式一共有16项.
（1）求展开式中二项式系数之和；
（2）求展开式中的常数项.
47．已知 ．
(1)求 ；
(2)求 ；
(3)求 ．
48．设 .
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
49．在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)二项式系数的和；
(2)各项系数的和；
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(4)奇数项系数和与偶数项系数和.
50．已知 的展开式中二项式系数和为16．
(1)求 展开式中二项式系数最大的项；
(2)设 展开式中的常数项为p，展开式中所有项系数的和为q，求 ．
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．A
【分析】根据二项式系数的和为 ，可得 ，再利用展开式的通项，即可得解．
【详解】二项式系数的和为 ，所以 ，展开式的通项为 ，令 ，
则 ，
所以 的系数为 ．
故选：A
2．B
【分析】利用赋值法可求得 ，继而求得 ，由此可得 ,求得n的值，即可
求得答案.
【详解】因为 ，所以当 时，可得 ；
当 时，可得 ．
又 ，所以 ，得 ，
所以 的展开式中系数最大的项为第4项，即 ,
故选：B
3．B
【分析】根据各项系数和，采用赋值法可求得 ，由此可得展开式的通项，进而得到答案
【详解】解：对 ，令 ，得 ，解得 ，
二项式 展开式的通项公式为 ，
令 ，解得 ，
故展开式中含 项的系数为 ，
故选：B.
4．A
【分析】利用赋值法，分别令 ，和 ，
，
，
再根据 ，求得 的值．
【详解】在 中，
令 可得 ，即 ，
令 ，可得 ，
第 8 页∵ ，
∴ ，
∴ ，
整理得 ，
解得 ，或 ．
故选：A
5．D
【分析】令 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，可得 ；令 ，可得 ，进而可得结果.
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 ．
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 ，
所以 ．
故选：D.
6．A
【分析】先由只有第六项的二项式系数最大，求出n=10；再由展开式的所有项的系数和为0，用赋值法求出a= -1,
用通项公式求出 的项的系数.
【详解】∵在 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，
∴在 的展开式有11项，即n=10；
而展开式的所有项的系数和为0，
令x=1，代入 ，即 ，所以a= -1.
∴ 是展开式的通项公式为： ，
要求含 的项，只需10-2r=6，解得r=2，所以系数为 .
故选：A
【点睛】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．
7．D
【分析】先由 求得 ，再通过赋值法令 和 求得 即可.
第 9 页【详解】由题意知： ，则 ，解得 ；令 ，则
，
令 ，则 ，两式相加得 ，则 .
故选：D.
8．A
【分析】先 ，求出展开式中所有项的系数和，然后求出 项的系数，从而可得答案.
【详解】令 ，得 .
所以 的展开式中所有项的系数和为 .
由 可以看成是5个因式 相乘.
要得到 项，则5个因式中有1个因式取 ，一个因式取 ，其余3个因式取1，然后相乘而得.
所以 的展开式中含 的项为 ，
所以 的展开式中，除 项之外，剩下所有项的系数之和为 .
故选：A
9．A
【分析】由已知条件解出n，令x＝1即可得到答案﹒
【详解】由题知 ，由组合数性质解得n＝8，
∴ ＝
令x＝1，得展开式各项系数之和为 ，
故选：A﹒
10．A
【分析】分别把 与 代入题干所给的式子中，再求出 的系数，即可得到答案.
【详解】令 ，得 ；
令 ，得 ；
展开式中 的系数为2，故 .
所以 .
故选：A.
11．C
【分析】根据已知条件先求解出 的值，然后根据二项式系数和求解出 的值，从而确定出二项式系数的最大值
及其对应的项.
【详解】由题可知， ，
当 时， ，
的展开式中，通项为： ，
第 10 页则常数项对应的系数为： ，即 ，得 ，
所以 ，解得： ，
则 展开式中二项式系数最大为： ，
则二项式系数最大的项为：
故选：C．
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于 的值的求解以及二项式系数最大值的确定；注意：当 时，二
项式系数 是递增的，当 时，二项式系数 是递减的；当 为偶数时，中间一项的二项式系数最大，当
为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大.
12．B
【分析】首先利用二项式系数公式求 ，再将 展开成 ，再分别
求常数项.
【详解】由条件可知， ，所以 ，
则 ，其中常数项分为两部分， 的常数项是 ， 的常数项是
中含 项的系数， ，所以常数项是 .
故选：B
13．A
【分析】根据二项式系数和公式可求得 ，再由二项定理展开式的通项求得常数项.
【详解】由二项式定理性质可知，二项式系数和为 ，
所以 ，
根据二项展开式的通项公式为 ，
令 ，则 ，
所以展开式中的常数项为240.
故选：A.
14．D
【分析】由题设知 ，即可求a，再写出展开式通项，即可求其常数项.
【详解】令 知： 展开式中各项系数和为 ，
由题设有 ，即 ，
∴该展开式中常数项为 ，
故选：D．
第 11 页15．C
【分析】先利用通项公式写出第3项，解出 ，再令 ，求出各项系数的和.
【详解】因为 为常数项，所以 ，所以 ．令 ，得 展开式
的各项系数和为 ．
故选：C．
16．A
【分析】根据二项式的通项公式，运用赋值法进行求解即可.
【详解】在 的展开式中，通项公式为
若展开式中的项不含 ，则 ，此时符合条件的项为 展开式中的所有项.
令 ，得这些项的系数之和为
故选：
17．A
【分析】由题意可得 ，即可求解.
【详解】由题意可得： ，解得： ，
故选：A.
18．B
【分析】根据给定条件结合组合数计算公式变形和式的通项 ，再借助二项式性质即可得
解.
【详解】依题意， ，
当 时，
，
于是得
.
故选：B
19．D
【分析】令 ，求得 ，再分别令 和 ，两式相加，从而可得出答案.
【详解】解：令 ， ①，
令 ， ②，
①+②得： ，
第 12 页∴ ，
令 ， ，
∴ .
故选：D．
20．D
【分析】分别令 代入已知关系式，再两式求和即可求解.
【详解】根据 ，
令 时，整理得：
令x = 2时，整理得:
由①+②得， ，所以 .
故选：D.
21．D
【分析】根据二项式系数的性质，结合赋值法进行求解即可.
【详解】由题意可知： ， ，
令二项式中x＝－1，可得a－a＋a－a＋a＝44＝256．
0 1 2 3 4
故选：D
22．B
【解析】由二项式系数公式求得 ，再根据通项公式令 指数为0解出参数 然后代回公式求得常数项.
【详解】由已知， ，则 ，所以 .
令 ，得 ，所以常数项为 ，
故选：B．
【点晴】方法点晴：求二项式展开式的指定项问题，一般由通项公式建立方程求参数，再代回公式求解.
23．B
【分析】利用赋值法可求 的值.
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 ，
故选：B.
24．C
【分析】利用赋值法求解，先令 ，求出 ，再令 ，求出 ，从而可求得答案
【详解】解：令 ，则 ，
令 ，则 ，
第 13 页所以 ，
故选：C
25．B
【分析】运用赋值法建立方程组，解之可得选项.
【详解】令x＝1，得a＋a＋a＋a＋a＋a＝1①，
5 4 3 2 1 0
令x＝－1，得－a＋a－a＋a－a＋a＝－243②，
5 4 3 2 1 0
①＋②，得2(a＋a＋a)＝－242，即a＋a＋a＝－121.，
4 2 0 4 2 0
①－②，得2(a＋a＋a)＝244，即a＋a＋a＝122.
5 3 1 5 3 1
所以|a|＋|a|＋…＋|a|＝122＋121＝243.
0 1 5
故选：B.
【点睛】方法点睛：对形如 的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 即可；
对形如 的式子求其展开式中各项系数之和，只需令 即可.
26．B
【分析】由图形以及二项式系数和的有关性质可得.
【详解】由图知，第10行的所有数字之和为 ，
由二项式系数和的性质知，第10行排在偶数位置的所有数字之和为 ．
故选：B
27．B
【分析】根据赋值法分别令 、 ，然后可得.
【详解】令 ，则 ，再令 ，则 ，
∴ .
故选：B.
28．A
【解析】根据二项式系数之和等于128，可求得n的值，利用二项式展开式的通项公式，即可求得含 项的系数.
【详解】因为二项式的系数之和等于128，
所以 ，解得 ，
所以二项式展开式的通项公式为 ，
令 ，解得 ，
所以展开式中含 项的系数为 ，
故选：A
【点睛】本题考查已知二项式系数和求参数、求指定项的系数问题，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题.
第 14 页29．B
【分析】赋值法可得方程进而求解,
【详解】令 ，得 ，
令 ，得 ，
所以 ， .
故选：B.
30．B
【分析】首先利用 求出 ，然后再利用二项式展开式的通项即可求解.
【详解】根据题意可得 ，解得 ，
则 展开式的通项为 ，
令 ，得 ，
所以常数项为： .
故选：B.
31．A
【分析】令 ，根据题意求得 ，再利用二项式展开式的通项公式即可求得结果.
【详解】因为二项式 的展开式中所有项的系数和为 ，
故令 ，则 ，解得 ，
对二项式 ，其展开式的通项公式 ，
又其展开式中二项式系数最大的项为第 项，
故令 ，则 .
故选： .
32．C
【解析】根据条件求出 ，然后写出其通项公式，然后可算出答案.
【详解】令 ，得展开式中各项系数之和为 .由 ，得 ，
通项公式为 ，
令 ，得 ，所以 的系数是
故选：C
33．ABD
【分析】设 ，分别令 和 ，两式相加减，即可判定A、D正确；令
第 15 页，可判定B正确，结合二项展开式的系数求法，可判定C不正确.
【详解】设 ，
令 ，则 ，……①
令 ，则 ，……②
由① ②得 ，所以 ，解得 ，
即 ，
令 ，可得 ，即展开式中常数项为3，
由① ②得 ，所以 ，
即展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64，
又由 展开式中 的系数为 .
故选：ABD.
【点睛】二项展开式中系数和问题的求解策略：
二项式定理给出的是一个恒等式，对于 的一切值都成，因此，可将 设定为一些特殊值，在使用赋值法时，
令 等于多少，应视具体情况而定，一般取“ 或 ”，有时也取其他值：
如：（1）形如： 的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令 即可；
（2）形如： 的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令 即可.
34．AC
【分析】令 、 可得答案.
【详解】因为
所以令 可得：
令 可得
故选：AC
35．ABC
【分析】利用二项展开式的通项公式计算项的系数可得 ， ，判断A，B；利用赋值法计算判断C；计算出
可判断D作答.
【详解】二项式 的展开式通项公式为 ，
， ，A，B都正确；
显然，展开式中的奇数项系数为正，偶数项系数为负，
，C正确；
， ， ， ，
因此， ，D不正确.
故选：ABC
36．ACD
第 16 页【解析】根据二项式系数的性质即可判断选项A；
由 为奇数可知，展开式中二项式系数最大项为中间两项，据此即可判断选项BC；
由展开式中第6项的系数为负数，且其绝对值最大即可判断选项D.
【详解】对于选项A：由二项式系数的性质知， 的二项式系数之和为 ，故选项A正确；
因为 的展开式共有 项，中间两项的二项式系数最大，即第6项和第7项的二项式系数最大，故选项C正
确，选项B错误；
因为展开式中第6项的系数是负数，且绝对值最大，所以展开式中第6项的系数最小，故选项D正确；
故选：ACD
【点睛】本题考查利用二项式定理求二项展开式的系数之和、系数最大项、系数最小项及二项式系数最大项；考
查运算求解能力；区别二项式系数与系数是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
37．BCD
【解析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知 ,由展开式的各项系数之和为1024可得
,则二项式为 ,易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同,利用二项式系数的对称性
判断A,B；根据通项判断C,D即可.
【详解】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知 ,
又展开式的各项系数之和为1024,即当 时, ,所以 ,
所以二项式为 ,
则二项式系数和为 ,则奇数项的二项式系数和为 ,故A错误；
由 可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,
因为 与 的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确；
若展开式中存在常数项,由通项 可得 ,解得 ,故C正确；
由通项 可得 ,解得 ,所以系数为 ,故D正确,
故选: BCD
【点睛】本题考查二项式的定理的应用,考查系数最大值的项,考查求指定项系数,考查运算能力.
38．ACD
【分析】由题意令 ，可得 的值，所以选项A正确；计算得展开式中常数项为 ，故选项B不正确；即项
的各系数和，为 ，故选项C正确；展开得展开式中 和 的系数相等，故选项D正
确，
【详解】令 ，可得 的展开式中各项系数的和为 ， ，故选项A正确；
，故展开式中常数项为 ，故选项B不正确；
第 17 页的展开式中各项系数绝对值的和，即项 的各系数和，为 ，故选项C正确；
根据
可得若 为偶数，则展开式中 和 的系数相等，故选项D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是最快速度判断选项C的真假，直接求解比较复杂，转化为项
的各系数和，简洁高效.
39．
【分析】根据赋值法分别令 、 ，然后可得.
【详解】令 ，得 ，令 ，得 ，所以
故答案为：
40．243##
【分析】根据二项展开式可得 ，令 ，即可得解.
【详解】解： 的展开式得通项为 ，
则 ，
令 ，则 ，
即 .
故答案为：243.
41．
【解析】本题首先可令 ，得出 ，然后令 ，得出 ，最后两者
相减，即可得出结果.
【详解】令 ，则 ，即 ，
令 ，则 ，
即 ，
故 ，
故答案为： .
42．
【解析】令 ，可得 解得 ，再写出二项式展开式的通项，令 的指数位置等于 即可求解.
【详解】令 ，可得 ，解得： ，
所以 的展开式通项为： ，
第 18 页令 可得 ，
所以该二项式展开式中含有 项的系数为 .
故答案为： .
43．
【分析】利用赋值法可求代数式的和.
【详解】令 ，得 ，
所以 .
故答案为：
44．
【分析】令 ，即可求出 的值.
【详解】令 ，则
解得： .
故答案为： .
45．(1)256；
(2)1；
(3) .
【分析】（1）利用通项公式求出第五项的系数与第三项的系数，可得 的值，进而即求；
（2）利用赋值法 可得展开式中各项系数的和;
（3）利用通项公式，令 的指数等于 ，求通项中的 ，可得答案．
(1)
由题意知： 展开式的通项为 ，
所以第五项系数为 ，第三项系数为 ，
则 ，
解得： ，或 （舍去）．
所以二项式系数之和为 ；
(2)
令 可得展开式中各项系数的和为 ；
(3)
二项式的通项公式为 ，
令 ，则 ，
第 19 页∴展开式中含 的项为 ．
46．（1） ；（2） .
【分析】（1）先由 的展开式一共有16项得 ，即可求得展开式中二项式系数之和；
（2）根据展开式的通项 ，令 ，即可求出常数项.
【详解】（1）由 的展开式一共有16项得 ，
得展开式中二项式系数之和为： ；
（2）由 得展开式的通项为：
，
令 ，得 ，
展开式中的常数项为 .
【点睛】本题考查二项式定理及其应用，其中 的展开式通项 的熟练运用是关键，是基础题.
47．(1)49
(2)301
(3)179
【分析】（1）由二项式定理求解
（2）由赋值法求解
（3）由赋值法求解
(1)
就是 项的系数，所以 ．
(2)
令 ，得 ，
令 ，得 ，
所以 ．
(3)
令 ，得 ， ①
令 ，得 ， ②
由②－①可得 ，所以 ．
48．（1）1；（2） ；（3） .
【分析】（1）令 可得所求的值；
第 20 页（2）再令 ，结合（1）可得所求的值.
（3）根据通项公式可判断出项的系数的正负，利用（2）中的结果可得所求的值.
【详解】（1）令 ，得 ，
故 .
（2）令 ，得 ，
故 即 .
（3）∵ ，
故当 为偶数时， ， 为奇数时， ，
故 .
49．(1)210
(2)1
(3)29，29
(4)奇数项系数和为 ，偶数项系数和为
【分析】（1）二项式系数的和直接使用公式进行求解；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和，
直接利用公式进行求解；第（2）问和第（4）问：设(2x－3y)10＝ax10＋ax9y＋ax8y2＋…＋a y10(*),各项系数和为a
0 1 2 10 0
＋a＋…＋a ，奇数项系数和为a＋a＋…＋a ，偶数项系数和为a＋a＋a＋…＋a.由于(*)是恒等式，故可用
1 10 0 2 10 1 3 5 9
“赋值法”求出相关的系数和.
（1）
二项式系数的和为 .
（2）
令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.
（3）
奇数项的二项式系数和为 ，偶数项的二项式系数和为 .
（4）
设(2x－3y)10＝ax10＋ax9y＋ax8y2＋…＋a y10
0 1 2 10
令x＝y＝1，得到a＋a＋a＋…＋a ＝1，①
0 1 2 10
令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a－a＋a－a＋…＋a ＝510，②
0 1 2 3 10
其中①＋②得： ，∴奇数项系数和为 ；①－②得： ，
∴偶数项系数和为 .
50．(1)
(2)
第 21 页【分析】（1）由二项式系数和的性质得出 ，再由性质求出展开式中二项式系数最大的项；
（2）由通项得出 ，利用赋值法得出 ，再求解 ．
(1)
由题意可得 ，解得 ． ，展开式中二项式系数最大的项为 ；
(2)
，其展开式的通项为
，令 ，得 ．
∴常数项
令 ，可得展开式中所有项系数的和为 ，∴ ．
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