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2021-2022学年七年级数学下册期中期末综合复习专题提优训练（北师大版）
专题05 平行线的性质在生活中的应用
【典型例题】
1．（2022·全国·七年级）如图，某工程队从 点出发，沿北偏西 方向修一条公路 ，在 路段出现
塌陷区，就改变方向，在 点沿北偏东 的方向继续修建 段，到达 点又改变方向，使所修路段
，求 的度数.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据平行线的性质求出∠2的度数，再由平角的定义求出 的度数，根据CE∥AB即可得出结论．
【详解】
∠ECB=90°．
理由：∵∠1=67°，
∴∠2=67°．
∵∠3=23°，
∴∠CBA=180°-67°-23°=90°．
∵CE∥AB，
∴∠ECB=∠CBA=90°．【点睛】
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
【专题训练】
一、选择题
1．（2021·浙江浙江·七年级期末）如图， 的两边 均为平面反光镜， ，在 上有
一点 ，从 点射出一束光线经 上的点 反射后，反射光线 恰好与 平行，这里 ，
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
过点D作DF⊥AO交OB于点F．根据题意知，DF是∠CDE的角平分线，可得∠1=∠3；然后又由两直线
CD∥OB推知内错角∠1=∠2；最后由三角形的内角和定理求得∠DEB的度数是70°．
【详解】
解：过点D作DF⊥AO交OB于点F．
∵入射角等于反射角，∴∠1=∠3，
∵CD∥OB，
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）；
∴∠2=∠3（等量代换）；
在Rt△DOF中，∠ODF=90°，∠AOB=35°，
∴∠2=55°；
∴在△DEF中，∠DEB=180°-2∠2=70°．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质．解答本题的关键是根据题意找到法线，然后由法线的性质来解答问题．
2．（2022·全国·七年级）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的 ，第
二次拐的 ，第三次拐的 ，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则 是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
过点B作直线BD与第一次拐弯的道路平行，由题意可得 ，进而可得 ，然
后问题可求解．
【详解】
解：过点B作直线BD与第一次拐弯的道路平行，如图所示：∵第三次拐的 ，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，
∴直线BD与第三次拐弯的道路也平行，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故选D．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
3．（2020·河南汝阳·七年级期末）如图所示是跷跷板示意图，横板 绕中点O上下转动，立柱 与地
面垂直，当横板 的A端着地时，测得 ，则在玩跷跷板时，小明坐在A点处，他上下最大可
以转动的角度为（ ）
A．28° B．56° C．62° D．84°
【答案】B
【解析】
【分析】
此题可以构造平行线，根据平行线的性质进行分析计算．
【详解】
解：如图所示，过点O作DE∥AC，
则有∠1=
而∠2=∠1，
所以，上下最大可以转动的角度为∠2=∠1=56°．
故选：B．
【点睛】
本题是一道生活问题，将其转化为关于平行线的问题，解题关键是利用“两直线平行,同位角相等”解答．
4．（2021·山东潍坊·中考真题）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射
光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【解析】
【分析】
作CD⊥平面镜，垂足为G，根据EF⊥平面镜，可得CD//EF，根据水平线与底面所在直线平行，进而可得
夹角α的度数．
【详解】
解：如图，作CD⊥平面镜，垂足为G，
∵EF⊥平面镜，∴CD//EF，
∴∠CDH＝∠EFH＝α，
根据题意可知：AG∥DF，
∴∠AGC＝∠CDH＝α，
∴∠AGC＝α，
∵∠AGC AGB 60°＝30°，
∴α＝30°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了入射角等于反射角问题，解决本题的关键是法线CG平分∠AGB．
5．（2021·安徽阜南·七年级期末）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要
发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，当∠1=45°，∠2=122°
时，∠3和∠4的度数分别是（ ）
A．58°，122° B．45°，68° C．45°，58° D．45°，45°
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据EG∥FH得出∠3的度数，再由AB∥CD得出∠ECD的度数，根据CE∥DF即可得出结论．
【详解】
解：∵EG∥FH，∠1=45°，∴∠3=∠1=45°．
∵AB∥CD，∠2=122°，
∴∠ECD=180°﹣122°=58°．
∵CE∥DF，
∴∠4=∠ECD=58°．
故选：C．
．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．
6．（2021·河北沧县·七年级期中）为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上
分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的
光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先
转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是
（ ）
A．1或6秒 B．8.5秒 C．1或8.5秒 D．2或6秒
【答案】C
【解析】
【分析】
设 灯旋转的时间为 秒，求出 的取值范围为 ，再分① ，② 和③ 三种
情况，先分别求出 和 的度数，再根据平行线的性质可得 ，由此建立方程，
解方程即可得．
【详解】
解：设 灯旋转的时间为 秒，灯光束第一次到达 所需时间为 秒， 灯光束第一次到达 所需时间为 秒，
灯先转动2秒， 灯才开始转动，
，即 ，
由题意，分以下三种情况：
①如图，当 时， ，
，
，
，
，即 ，
解得 ，符合题设；
②如图，当 时， ，
，
，
，
，即 ，
解得 符合题设；
③如图，当 时， ，
，
同理可得： ，即 ，解得 ，不符题设，舍去；
综上， 灯旋转的时间为1秒或 秒，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、一元一次方程的几何应用等知识点，正确求出时间 的取值范围，并据此分三
种情况讨论是解题关键．
二、填空题
7．（2021·江西·南昌市心远中学七年级期末）一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于
地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝_____．
【答案】270°
【解析】
【分析】
过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE．根据平行线的性质即可求解．
【详解】
过B作BF∥AE，
∵CD∥ AE，
则CD∥BF∥AE，
∴∠BCD+∠1=180°，
又∵AB⊥AE，
∴AB⊥BF，
∴∠ABF=90°，∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°．
故答案为：270．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．正确作出辅助线是解题的关键．
8．（2021·浙江浙江·七年级期末）如图，安装某管道，需经过两次拐弯，若要求拐弯后的管道与拐弯前的
管道平行，第一次拐弯处的 ，那么第二次拐弯处的 ________ ．
【答案】140
【解析】
【分析】
根据平行线的性质直接求解．
【详解】
解：由平行线的性质得：
∠B=∠C=140°．
故答案为：140．
【点睛】
本题考查平行线的性质，关键在于掌握两直线平行，内错角相等．
9．（2021·全国·河南省淮滨县第一中学七年级期末）如图，在甲，乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地
测得公路的走向是北偏东 ，若同时开工，则在乙地公路按南偏西___度的走向施工，才能使公路准确接
通．
【答案】55
【解析】
【分析】
先求出∠COD，然后根据方向角的知识即可得出答案．【详解】
解：如图：
，
，
即在乙地公路应按南偏西55度的走向施工，才能使公路准确接通．
故答案为：55．
【点睛】
此题考查了方向角、平行线的知识，解答本题的关键是求出∠COD的度数，另外要熟练方向角的表示方法．
10．（2021·湖南岳阳·一模）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．
如图，水面 与水杯下沿 平行，光线变成 ，点G在射线 上， ，则
__°．
【答案】25
【解析】
【分析】
根据平行线的性质知 ，结合图形求得 的度数．
【详解】
解：∵ ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
故答案为：25．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，属于基础题，熟练掌握平行线的性质是解决本类题的关键．
11．（2021·江苏·南京玄武外国语学校七年级阶段练习）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当
光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，
如图，∠1+∠2＝103°，则∠3﹣∠4的度数为_____．
【答案】77°．
【解析】
【分析】
光在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，依据平行线的性质进行判断，即可得出图中∠3﹣∠4的度
数．
【详解】
解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠5+∠2＝180°，
∴∠5＝180°﹣∠2，
∵AC∥BD，
∴∠3＝∠5，
∵AE∥BF，
∴∠1＝∠6，∵EF∥AB，
∴∠4＝∠6，
∴∠3﹣∠4＝∠5-∠6=∠5-∠1=180°﹣∠2﹣∠1＝180°﹣（∠1+∠2）＝77°．
故答案为：77°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
12．（2021·广东白云·七年级期末）探照灯、汽车灯等很多灯具的光线都与平行线有关，如图所示是一探
照灯碗的剖面，从位于 点的灯泡发出的两束光线 ， ，经灯碗反射以后平行射出，其中
， ，则 的度数是______
【答案】116
【解析】
【分析】
过O点作OE∥AB，则OE∥CD，利用平行线的性质，得内错角相等，从而求解．
【详解】
解：过O点作OE∥AB，则OE∥CD，
∴∠EOB=∠ABO，∠EOC=∠DCO，
∵∠ABO=38°，∠DCO=78°，
∴∠EOB=38°，∠EOC=78°，
即∠BOC=∠BOE+∠EOC=38°+78°=116°．
故答案为：116．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键．
三、解答题
13．（2021·全国·七年级）如图，在 、 两处之间要修一条笔直的公路，从 地测得公路走向是北偏东
，公司要求 、 两地同时开工，并保证若干天后公路准确接通．
（1） 地修公路的走向应该是 ；
（2）若公路 长12千米，另一条公路 长6千米，且 的走向是北偏西 ，试求 到公路 的距
离？
【答案】（1） 地所修公路的走向是南偏西 ；（2）12km
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质的性质可得到结论；
（2）求得∠ABC=90°即可得到结论．
【详解】
（1）由两地南北方向平行，根据内错角相等，可知 地所修公路的走向是南偏西 ．
故答案为：南偏西 ．
（2） ，
，
地到公路 的距离是 千米．
【点睛】
此题考查了方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实
际生活的思想．
14．（2021·浙江上城·七年级期末）如图，政府规划由西向东修一条公路．从A修至B后为了绕开村庄，
改为沿南偏东25°方向修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD＝70°，在D处继续改变方
向，朝与出发时相同的方向修至E．（1）补全施工路线示意图，求∠CDE的度数；
（2）原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连结DM和MN，求∠CDM
与∠DMN的数量关系．
【答案】（1）画图见解析，135°；（2）∠DMN-∠CDM=45°
【解析】
【分析】
（1）补全DE∥AB即可，过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H，则l∥m，由平行
线性质可得到∠CDH=45°，又∠HDE=90°，从而可得∠CDE的度数；
（2）设∠DMN=x，∠CDM=y，由于DE∥FN，所以∠EDM=180°-x．∠CDM=y=135°-（180°-x）=x-45°，则x-
y=45°，从而得∠DMN-∠CDM=45°．
【详解】
解：（1）补全施工路线如图1所示．过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H，
则l∥m，
根据平行线的性质可得：∠BCG=25°，∠CDH=∠GCD=70°-∠BCG=70°-25°=45°，
又∠HDE=90°，
∴∠CDE=∠CDH+∠HDE=45°+90°=135°．
（2）如图所示，设∠DMN=x，∠CDM=y，
由于DE∥FN，
∴∠EDM=180°-∠DMN=180°-x，
又∠CDM=y=∠CDE-∠EDM=135°-（180°-x）=x-45°，
则x-y=45°，
即∠DMN-∠CDM=45°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，作出正确的辅助线以及得到∠CDF=135°是解题的关键．
15．（2021·全国·七年级课时练习）潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，如图1，光线经过镜子反射时，
， ，那么 和 有什么关系？为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？
先画几何图形，如图2，再写已知未知．
如图， ，
（1）猜想 和 有什么关系，并进行证明；
（2）求证： ．
【答案】（1） ，证明见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据两面镜子是互相平行放置的可知 ，再根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）
即可直接证明 ．
（2）结合题意可证明 ，再由 ， ，即可证明
，最后由平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行），即可证明 ．
【详解】
解：（1）根据题意可知 ，
∴ （两直线平行，内错角相等）.（2）∵ ，
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ （内错角相等，两直线平行）．
【点睛】
本题考查平行线的判定与性质在生活中的应用．掌握平行线的性质与判定是解答本题的关键．
16．（2021·宁夏·平罗县教学研究室（平罗县教师发展中心）七年级期末）如图，钱塘江入海口某处河道
两岸所在直线（PQ，MN）夹角为20°，在河道两岸安装探照灯B和A，若灯A射线自AM顺时针旋转至
AN便立即回转，灯B射线自BQ逆时针旋转至BP便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．设灯A转动的速
度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒．已知∠BAN＝50°．
（1）当b＝2时，问灯B转动几秒后，射出的光束第一次经过灯A？
（2）当a＝3，b＝6时，若两灯同时转动，在1分钟内（包括1分钟），问A灯转动几秒，两灯的光束互
相平行？
（3）若A、B两灯同时转动（a＞b），在45秒与90秒时，两灯的光束各平行一次，求a，b的值．
【答案】（1）15秒；（2） 秒；（3） ， ．
【解析】
【分析】
（1）根据B灯转动30度时第一次经过灯A，列出方程即可得解；
（2）根据内错角相等，两灯的光线平行，构建方程求解可得结果；
（3）分两种情形，根据平行线的判定，构建方程解决问题即可．
【详解】
解：（1）设灯B转动t秒后，射出的光束第一次经过灯A．
由题意得：2t＝30，解得：t＝15，
答：灯B转动15秒后，射出的光束第一次经过灯A．
（2）设A灯转动x秒，两灯的光束互相平行．
根据题意得：180﹣50﹣3x＝6x﹣30时，两灯的光束互相平行，
解得：x＝ ，
答：A灯转动 秒，两灯的光束互相平行．
（3）在45秒与90秒时，两灯的光束各平行一次
45秒时第一次平行，由题意得：45a﹣130＝30﹣45b，
90秒时第二次平行，由题意得：90a﹣180﹣50＝90b﹣30，
解得：a＝ ，b＝
答：a，b的值分别为 ， ．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题
时注意：内错角相等，两直线平行．
17．（2021·全国·河南省淮滨县第一中学七年级期末）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸
各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，如图，灯A射线自 顺时针旋转至 便立
即回转，灯B射线自 顺时针旋转至 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，若灯A转动的速度是
a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足 ．假定这一带长江两岸河堤是平行的，
即 ，且
（1）求a、b的值；（2）若灯B射线先转动45秒，灯A射线才开始转动，当灯B射线第一次到达 时运动停止，问A灯转
动几秒，两灯的光束互相平行?
（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达 之前．若射出的光束交于点C，过C作 交 于
点D，则在转动过程中， 与 的数量关系是否发生变化?若不变，请求出其数量关系；若改变，
请求出其取值范围．
【答案】（1） ， ；（2）15秒或63秒；（3）不发生变化，
【解析】
【分析】
（1）利用非负数的性质解决问题即可．
（2）分三种情形，利用平行线的性质构建方程即可解决问题．
（3）由参数 表示 ， 即可判断．
【详解】
解：（1）∵ ,
∴ ,
， ；
（2）设 灯转动 秒，两灯的光束互相平行，
①当 时，
，
解得 ；
②当 时，
，
解得 ；
③当 时，
，
解得 ，（不合题意）
综上所述，当t=15秒或63秒时，两灯的光束互相平行；
（3）设 灯转动时间为 秒，，
，
又 ，
，
而 ，
，
，
即 ．
【点睛】
本题考查平行线的性质和判定，非负数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解
决问题，属于中考常考题型．
