文档内容
第 03 讲 二项式定理 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：二项展开式的通项及其应用
角度1：求二项展开式的特定项（或系数）
角度2：两个二项式之积中特定项（或系数）问题
角度3：三项展开式中特定项（或系数）问题
题型二：二项式系数与各项的系数和问题
角度1：二项式系数和与系数和
角度2：展开式的逆应用
题型三：项式系数的性质
角度1:二项式系数最大问题
角度2：系数最大问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：二项式定理
（1）二项式定理
一般地，对于每个 （ ）， 的展开式中 共有 个，将它们合并同类项，
就可以得到二项展开式：(a+b) n =C0anb0 +C1an−1b1 +C2an−2b2 +⋯+Cran−rbr +⋯+Cna0bn （
n n n n n
）.这个公式叫做二项式定理.
（2）二项展开式
公式中：(a+b) n =C0anb0 +C1an−1b1 +C2an−2b2 +⋯+Cran−rbr +⋯+Cna0bn ， 等号右边的
n n n n n
多项式叫做 的二项展开式.
（3）二项式系数与项的系数二项展开式中各项的二项式系数为 ( ),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号
等.
（4）二项展开式的通项
二项展开式中的 ( )叫做二项展开式的通项,用 表示,即通项为展开式的第
项: .通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展
开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛
的应用.
知识点二：二项式系数的性质
①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：
②增减性：当 时，二项式系数递增，当 时，二项式系数递减；
③最大值：当 为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当 为偶数时，最中间一项的二项式系数最大.
知识点三：各二项式系数和
（1） 展开式的各二项式系数和：
；
（2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高二课时练习）若 的展开式中各项系数的和为256，则 的值为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
2．（2022·云南昆明·高二期中）已知 ，则
（ ）
A．31 B．32 C．15 D．16
3．（2022·全国·高二单元测试） 的展开式中各项的二项式系数之和为________．
4．（2022·广西贵港·高二期末（理））在 展开式中，含 的项的系数是__________．
5．（2022·广东·南海中学高二阶段练习）（1）已知 的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，
则 __________.
（2） __________.第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：二项展开式的通项及其应用
角度1：求二项展开式的特定项（或系数）
典型例题
例题1．（2022·四川广安·模拟预测（理））在 的展开式中，常数项为（ ）
A．-60 B．60 C．-240 D．240
例题2．（2022·河北·唐山市第五中学高三开学考试） 的二项展开式中第三项是（ ）
A． B．240 C． D．
同类题型归类练
1．（2022·云南红河·高二期末） 的展开式中的常数项为________（用数字作答）．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高二期中）求二项式 展开式的第7项及含 的项的
系数．
角度2：两个二项式之积中特定项（或系数）问题
典型例题
例题1．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习） 的展开式中的 项系数为（ ）
A．30 B．10 C．-30 D．-10
例题2．（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）若 的展开式中 的系数为0，则
（ ）A． B． C． D．
例题3．（2022·安徽·合肥工业大学附属中学高二期末） 的展开式中，含 项的系数为
（ ）
A．160 B．140 C．120 D．100
例题4．（2022·福建福州·高二期末）在 的展开式中，记 项的系数为 ，则
_____.
同类题型归类练
1．（2022·四川省资阳中学高二期末（理）） 展开式中 的系数为（ ）
A． B． C．20 D．40
2．（2022·浙江舟山·高二期末） 的展开式中的常数项为___________.
3．（2022·全国·高二课时练习）已知正整数 ，若 的展开式中不含 的项，则
n=______．
4．（2022·福建省福州第二中学高二期末） 的展开式中 的系数为___________.
角度3：三项展开式中特定项（或系数）问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习） 的展开式中， 的系数是（ ）
A．120 B．-120 C．60 D．30
例题2．（2022·山东济南·高二期末） 的展开式中，所有不含 的项的系数之和为（ ）
A．16 B．32 C．27 D．81
例题3．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（理）） 的展开式中 的系数是___________（用数字
作答）
同类题型归类练1．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）在 的展开式中，含 项的系数为（ ）
A．21 B．15 C．9 D．-6
2．（2022·广东·中山一中高三阶段练习） 的展开式中，含 项的系数为___________.
3．（2022·全国·高二课时练习） 的展开式中 的系数是______（用数字作答）．
4．（2022·上海·复旦附中高二期末）在 的展开式中， 项的系数为___________.
题型二：二项式系数与各项的系数和问题
角度1：二项式系数和与系数和
典型例题
例题1．（2022·河南河南·高二期末（理）） 的展开式中所有奇数项的二项式系数和为
（ ）．
A．128 B．256 C．512 D．1024
例题2．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校高二阶段练习）已知 的展开式中各
项的二项式系数之和为256，则展开式中的常数项为（ ）
A．-70 B．70 C．-40 D．30
例题3．（2022·河北唐山·高二期中）已知 的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 ．
(1)求展开式中各项系数的和与二项式系数的和；
(2)求展开式中含 的项．
例题4．（2022·广东茂名·高二期中）已知 .求下列
各式的值：(1) ；
(2) ；
(3) .
例题5．（2022·江苏宿迁·高二阶段练习）在①只有第5项的二项式系数最大，②第4项与第6项的二项式
系数相等，③奇数项的二项式系数的和为128，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，
解决下面两个问题.
已知， 的展开式中，_________.
(1)展开式中的第6项；
(2)若 .
①求 的值；
②求 的值.
同类题型归类练
1．（2022·上海中学东校高二期末）（1）设 ，求
①展开式中各二项式系数的和；
② 的值．
2．（2022·重庆市永川北山中学校高二期中）已知 的展开式中各项的二项式系数之和为
16．
(1)求 的值及展开式中各项的系数之和；
(2)求展开式中的常数项．3．（2022·广东·新会陈经纶中学高二期中）设(2－ x)10=a+ax+ax2+…+a ·x10，求下列各式的值.
0 1 2 10
(1)求a；
0
(2)求(a+a+…+a )2－(a+a+…+a)2；
0 2 10 1 3 9
(3)求二项式系数的和.
4．（2022·广东·南海中学高二阶段练习） .求：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式系数和；
(5) .
5．（2022·重庆长寿·高二期末）二项式的展开式 中，中间项的系数为-160.
(1)求 的值；
(2)求 .6．（2022·河北邯郸·高二阶段练习）已知
(1)求 ；
(2)求 .
7．（2022·北京石景山·高二期末）在 的展开式中，二项式系数之和为_________；各项系数之和为
_________．（用数字作答）
8．（2022·浙江·湖州市菱湖中学模拟预测）二项式 的展开式中所有的二项式系数之和为64，则
______，则展开式中含 的项的系数为____________．
角度2：展开式的逆应用
典型例题
例题1．（2022·云南昆明·高二期中）已知 ，则
（ ）
A．31 B．32 C．15 D．16
例题2．（2022·辽宁·建平县实验中学高二期中）已知 ，则 除以10所得的余数是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
同类题型归类练
1．（2022·山东·临沭县教育和体育局高二期中）
除以78的余数是（ ）
A． B．1 C． D．87
2．（2022·北京大兴·高二期末）化简 等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）数列 中， ， ，
的值为（ ）
A．761 B．697 C．518 D．454
题型三：项式系数的性质
角度1:二项式系数最大问题
典型例题
例题1．（2022·山西·祁县中学高二阶段练习） 展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A． B． C． 和 D． 和
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知 的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比
为 ，则展开式中二项式系数最大的项为第（ ）项.
A．3 B．4 C．5 D．6
例题3．（2022·山西师范大学实验中学高二阶段练习）在 的展开式中，偶数项的二项式系数之和
为128，则展开式中二项式系数最大的项的系数为（ ）
A．-960 B．960 C．1120 D．1680
例题4．（2022·全国·高二课时练习）设 若 ，则展
开式中二项式系数最大的项是（ ）A． B． C． D．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）在 的展开式中，只有第 项的二项式系数最大，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2022·广东·广州市禺山高级中学高二期中）设 若
，则展开式中二项式系数最大的项是
A． B． C． D．
3．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模） 的展开式中，二项式系数最大的项的系数是
___________.
4．（2022·河北·高碑店市崇德实验中学高二阶段练习）已知 的展开式中，第4项的系数与倒数
第4项的系数之比为 ，则展开式中最大的二项式系数值为______．
角度2：系数最大问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）设 ，若 ，则展开式中系
数最大的项是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））若 的展开式中各项的二项式系数之和为512，
且第6项的系数最大，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
同类题型归类练
1．（2022·广东·盐田高中高二阶段练习）在 的展开式中，所有奇数项的二项式系数和为32，
则展开式中系数最大的项为（ ）A． B． C． D．
2．（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））已知 的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系
数最大的项为___________．
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·北京·高考真题）若 ，则 （ ）
A．40 B．41 C． D．
2．（2022·全国·高考真题） 的展开式中 的系数为________________（用数字作答）．
3．（2022·浙江·高考真题）已知多项式 ，则
__________， ___________．
4．（2022·天津·高考真题） 的展开式中的常数项为______.
