文档内容
微专题：利用导数解决函数的极值问题
【考点梳理】
1. 函数的极值
(1)函数极值的定义：如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)
＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0. 类似地，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附
近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0. 我们把a叫做函数y＝f(x)的极
小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值；b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值. 极小值点、
极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
(2)函数在某点取得极值的必要条件和充分条件：一般地，函数 y＝f(x)在某一点的导数值为0是函数y＝f(x)在
这点取得极值的必要条件. 可导函数y＝f(x)在x＝x 处取极大(小)值的充分条件是：
0
① f ′( x ) ＝ 0 ；
0
②在x＝x 附近的左侧f′(x)>0(<0)，右侧f′(x)<0(>0).
0 0 0
(3)导数求极值的方法：解方程f′(x)＝0，当f′(x)＝0时，如果在x 附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)＜0，那么f(x)
0 0 0
是极大值；如果在x 附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)>0，那么f(x)是极小值.
0 0
【题型归纳】
题型一：求已知函数的极值
1．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时， 取得极小值1 B．当 时， 取得极大值1
C．当 时， 取得极大值33 D．当 时， 取得极大值
2．若函数 ，给出下面结论：① 为奇函数，② 时有极大值 ，③ 在 单调递减，
④ ．其中正确的结论个数（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．函数f(x)的导函数为f′(x)＝－x(x＋2)，则函数f(x)有 ( )
A. 最小值f(0) B. 最小值f(－2)
C. 极大值f(0) D. 极大值f(－2)
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司题型二：根据函数的极值、极值点求参数
4．已知函数 有极值，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．函数 在 处有极大值 ，则 的值等于（ ）
A．0 B．6 C．3 D．2
6．若函数 有2个极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型三：函数（导函数）图象与极值、极值点的关系
7．函数 的导函数为 的图象如图所示，关于函数 ，下列说法不正确的是（ ）
A．函数在 ， 上单调递增
B．函数在 ， 上单调递减
C．函数存在两个极值点
D．函数有最小值，但是无最大值
8．已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．函数 在 上不单调
B．函数 在 的切线的斜率为0
C． 是函数 的极小值点
D． 是函数 的极大值点
9．已知函数 的定义域为(a，b)，导函数 在(a，b)上的图象如图所示，则函数 在(a，b)上的极大值点
的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【双基达标】
10．设函数 在 上可导，其导函数为 ，且函数 在 处取得极小值，则函数 的图象可
能是（ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
11．若函数 有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 在 上是增函数，且在 上仅有一个极大值点，则 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
13．已知函数 ，则当 时，函数 一定有（ ）
A．极大值，且极大值为 B．极小值，且极小值为
C．极大值，且极大值为0 D．极小值，且极小值为0
14．已知函数 （ 为自然对数的底数），若 的零点为 ，极值点为 ，则
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
15．函数 在 的极大值点为（ ）
A． B． C． D．
16．已知函数 的定义域为 ，导函数 在区间 上的图象如图所示，则函数 在区间 上的极
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司大值点的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
17．已知函数 ，则“ ”是“ 有极值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
18．已知函数 ，则（ ）
A． 在 上为增函数 B． 在 上为减函数
C． 在 上有极大值 D． 在 上有极小值
19．已知 在 处取得极值，则 的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
20．已知函数 有极值，则c的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
21．设函数 在 上可导，其导函数为 ，且函数 的图像如图所示，则下列结论中一定成
立的是（ ）
A．函数 有极大值 和极小值
B．函数 有极大值 和极小值
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．函数 有极大值 和极小值
D．函数 有极大值 和极小值
22．已知函数 在 处取得极值，且 ， ，若 的单调递减区间为
；则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
23．已知函数 的导函数为 ，函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． 在 ， 上为减函数
B． 在 ， 上为增函数
C． 的极小值为 ，极大值为
D． 的极大值为 ，极小值为
24．设 ， 在 上有3个根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
25．若函数 没有极值，则
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．若函数 在 上无极值，则实数 的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
27．已知 ，则
A．在 上单调递增 B．在 上单调递减
C．有极大值 ，无极小值 D．有极小值 ，无极大值
28．已知函数 有极大值和极小值，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
29．已知函数 有两个不同的极值点 ， ，若不等式 恒成立，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
30．函数 的极值点的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
31．若函数 恰有三个极值点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
32．已知函数 的导函数 的图像如下，若 在 处有极值，则 的值为（ ）
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
33．若函数 的极大值点与极小值点分别为a，b，则（ ）
A． B．
C． D．
34．如图是函数 的导数 的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在 内 是增函数 B．在 内 是增函数
C．在 时 取得极大值 D．在 时 取得极小值
二、多选题
35．已知函数 ，下列结论中正确的是（ ）
A．函数 在 时，取得极小值-1
B．对于 ， 恒成立
C．若 ，则
D．若 ，对于 恒成立，则 的最大值为 ， 的最小值为1
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司36．（多选）设 为函数 的导函数，已知 ， ，则下列结论不正确的是
（ ）
A． 在 单调递增 B． 在 单调递增
C． 在 上有极大值 D． 在 上有极小值
37．已知 ，下列说法正确的是（ ）
A． 在 处的切线方程为 B．单调递增区间为
C． 的极大值为 D．方程 有两个不同的解
38．已知函数 ，下列说法中正确的有（ ）
A．函数 的极大值为 ，极小值为
B．当 时，函数 的最大值为 ，最小值为
C．函数 的单调减区间为
D．曲线 在点 处的切线方程为
三、填空题
39．函数 在 上的极值点为______.
40．写出一个存在极值的奇函数______________.
41．若函数 在区间 上有最大值，则实数 的取值范围是_________．
42．已知函数 的一个极值点为1，则 在[-2，2]上的最小值为_____________．
43．已知函数 在 上存在极值点，则实数a的取值范围是_____________.
44．已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值点和极大值点．若 ，则a的取
值范围是____________．
四、解答题
45．已知函数 .
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）当 时，求曲线 上在点 处的切线方程；
（2）这下面三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.若 ___________，求实数m的取值范围.
①在区间 上是单调减函数；②在 上存在减区间；③在区间 上存在极小值.
46．在① 的一个极值点为0，②若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，③
为奇函数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答下列问题．
已知函数 ，且，求 在 上的最大值与最小值．
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
47．已知函数 ， ．
（1）求函数 的极大值；
（2）求证： ；
（3）对于函数 与 定义域上的任意实数 ，若存在常数 ， ，使得 和 都成立，
则称直线 为函数 与 的“分界线”．设函数 ，试探究函数 与 是否存在“分界
线”？若存在，请加以证明，并求出 ， 的值；若不存在，请说明理由．
48．已知函数 ，从① 是函数 的一个极值点，②函数 的图象在 处的切线方程为
这两个条件中任选一个作为已知条件，并回答下列问题．
（1）求a的值；
（2）求 的单调区间．
49．已知函数 ， .
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)当 时，求证： .
第 10 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．B
【解析】
【分析】
求导可得 解析式，令 ，可得极值点，利用表格法，可得 的单调区间，代入数据，可得 的极
值，分析即可得答案.
【详解】
由题意得 ，
令 ，解得 或 ，
当x变化时， 、 变化如下
x -1
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
所以当 时， 取得极大值1，故B正确、C、D错误，
当 时， 取得极小值，故A错误，
故选：B
2．D
【解析】
【分析】
由奇函数的定义即可判断①；求导得出 时 的单调性，进而得出极值即可判断②；直接由导数得出
在 上的单调性即可判断③；利用单调性比较函数值大小即可判断④.
【详解】
易得定义域为 ，对于①， ，则 为奇函数，①正确；
对于②，当 时， ， ，当 时， ， 单增，
当 时， ， 单减，则 时， 有极大值 ，②正确；
对于③，当 时， ， ， 单增，③错误；
对于④，由上知， 在 单调递增，则 ，又 ，则 ，
④正确.
则正确的结论有3个.
故选：D.
第 11 页3．C
【解析】令f′(x)＝－x(x＋2)>0，解得－20或x<－2，
即函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，(0，＋∞).
所以函数f(x)有极大值f(0). 故选C.
4．D
【解析】
【分析】
先求导，由题设得 必有两个不等的实根，再利用判别式求解即可.
【详解】
由题意知，定义域为R， ，要使函数 有极值，则 必有两个不等的实根，
则 ，解得 .
故选：D.
5．A
【解析】
【分析】
求导，根据 列方程组求解可得.
【详解】
因为 在 处有极大值 ，
所以 ，解得
所以
故选：A
6．B
【解析】
【分析】
求导，根据题意可得 有2个不同的正实数根，从而可得出答案.
【详解】
解： ，
因为函数 的定义域为 ，且函数 有2个极值点，
则 有2个不同的正实数根，
所以 且 ，
第 12 页即实数 的取值范围是 .
故选：B．
7．C
【解析】
【分析】
根据导函数的图象判断导函数的正负，从而可求出函数的单调区间和极值
【详解】
由导函数的图象可知，当 或 时， ，
当 或 时， ，
所以 在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减，
所以 和 为极小值点， 为极大值点，所以函数有3个极值点，
所以 和 中的最小的，为函数的最小值，无最大值，
所以ABD正确，C错误，
故选：C
8．D
【解析】
【分析】
根据导函数的图象与原函数的关系逐个判断即可
【详解】
对A，在 上 ，故函数 在 上单调，故A错误；
对B， ，故函数 在 的切线的斜率大于0，故B错误；
对C， 左右两边都有 ，故 不是函数 的极小值点；
对D， 且在 左侧 ， 右侧 ，故 是函数 的极大值点，故D正确；
故选：D
9．B
【解析】
【分析】
根据极大值点的定义结合导函数的图象分析判断即可
【详解】
由函数极值的定义和导函数的图象可知， 在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于
零，故x＝0不是函数f(x)的极值点．
其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，
故极大值点有2个．
故选：B
10．C
【解析】
【分析】
第 13 页根极值与导函数的关系确定 在 附近的正负，得 的正负，从而确定正确选项．
【详解】
由题意可得 ，而且当 时， ，此时 ，排除B、D；
当 时， ，此时， ，若 ， ，
所以函数 的图象可能是C．
故选：C
11．D
【解析】
由 在 有2个不同的零点，结合二次函数的性质可求．
【详解】
解：因为 有两个不同的极值点，
所以 在 有2个不同的零点，
所以 在 有2个不同的零点，
所以 ，
解可得， ．
故选： ．
12．A
【解析】
【分析】
首先根据函数的单调性列出 ，求出 ，再由 在 处取得极大值，列出
，解不等式即可求解.
【详解】
由题 ，所以有 ，得 ，
又因为 ，所以 ；
又 在 处取得极大值，
可得 ，所以 ，则 ，
故选：A.
13．A
【解析】
第 14 页【分析】
根据导数的性质，结合余弦函数的性质、极值的定义进行求解即可.
【详解】
，
因为 ，所以 ，
当 时， 单调递增，此时 ，
当 时， 单调递减，此时 ，
所以该函数当 时，有极大值，没有极小值，
且极大值为 ，
故选：A
14．C
【解析】
【分析】
令 可求得其零点，即 的值，再利用导数可求得其极值点，即 的值，从而可得答案．
【详解】
解： ，
当 时， ，即 ，解得 ；
当 时， 恒成立，
的零点为 ．
又当 时， 为增函数，故在 ， 上无极值点；
当 时， ， ，
当 时， ，当 时， ，
时， 取到极小值，即 的极值点 ，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数的零点，考查分段函数的应用，突出分析运算能力的考查，属于中
档题．
15．D
【解析】
第 15 页【分析】
求出函数的导数，利用导数确定函数的单调性，即可求出函数的极大值点.
【详解】
，
∴当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
∴函数 在 的极大值点为 ．
故选：D
16．B
【解析】
【分析】
通过导函数的图象得到导函数的符号，进而得到原函数的单调性，进而判断出极大值个数.
【详解】
极大值点在导函数 的零点处，且满足零点的左侧为正，右侧为负，由导函数的图象可知极大值点共有3个.
故选:B.
17．B
【解析】
求导函数，判断导函数的符号，确定有极值时 的范围即可.
【详解】
， ， ．
若 ， 则 恒成立，
为增函数，无极值；
若 ，即 ，则 有两个极值．
所以“ ”是“ 有极值”的必要不充分条件．
故选:B
18．A
【解析】
【分析】
求导后，令 ，需要再次求导，从而求得 的正负，来判断原函数的单调性及极值情况.
【详解】
， ，令 ，则 ，
因此在 上， ， 单减；在 上， ， 单增；
第 16 页又 ，因此 ，即 ，
故在 及 上， 单增， 无极值，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：求导后，需要对导数再次求导，从而求得原函数的单调性及极值情况.
19．D
【解析】
求导 ，根据极值点得到 ， ，展开利用均值不等式计算得
到答案.
【详解】
，故 ，
根据题意 ，即 ，
经检验 在 处取得极值.
，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故选： .
【点睛】
本题考查了根据极值点求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.
20．A
【解析】
【分析】
求导得 ，则 ，由此可求答案．
【详解】
解：由题意得 ，
若函数 有极值，则 ，
解得 ，
故选：A．
21．B
【解析】
【分析】
由函数图象，确定 的零点并判断 的区间符号，进而可得 的单调性，即可知极值情况.
【详解】
由图知：当 时，有 、 ，
第 17 页∴ ， ，
又 时 ，而 则 ，即 递增；
时 ，而 则 ，即 递减；
时 ，而 则 ，即 递增；
时 ，而 则 ，即 递增；
综上， 、 上 递增； 上 递减.
∴函数 有极大值 和极小值 .
故选：B
22．D
【解析】
【分析】
求出导函数并根据极值点求得 的关系，然后用判别式和根与系数的关系讨论导函数的零点问题，最后求出答
案.
【详解】
由 可得 ，由条件可得 ，故 ，由
可得 ，故 .
对于方程 ， ，当且仅当 时取
等号，与 矛盾，故等号不成立，即 ，故方程 有两个实数根： ， ，由 ，
得 ，故 ，
因为函数的单调递减区间为 ，容易判断，m=1，于是 .
故选：D.
23．D
【解析】
根据 图象，可知该函数的正负性，再结合导数的性质对 的性质进行判断即可.
【详解】
根据函数 的图象可知：
当 时， ，即 ，因此当 时，函数 单调递增；
当 时， ，即 ，因此当 时，函数 单调递减，显然当 ，函
数有极小值，极小值为 ；
当 时， ，即 ，因此当 时，函数 单调递减；
当 时， ，即 ，因此当 时，函数 单调递增，显然当 ，函数
第 18 页有极大值，极大值为 ，
由上可以判断D是正确的.
故选：D
24．A
【解析】
【分析】
由方程 分离参数并换元成 ，利用函数 的图象与直线 有三个公共
点即可得解.
【详解】
由 得 ，而 ，
令 ，于是得 ，
令 ，
当 时， ，即 在 上单调递减，
当 时， ，于是得 在 上单调递增，在 上单调递减， 时， 取得极大值
，
作出函数 在 上的图象及直线 ，如图，
方程 在 上有3个根，当且仅当函数 的图象与直线 有三个公共点，
观察图象知，函数 的图象与直线 有三个公共点，
当且仅当 ，即 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：A
25．A
第 19 页【解析】
【分析】
先求出导函数 ，然后采用分类讨论的方法分析 是否有极值，注意定义域的限制.
【详解】
， ，
当 时， .令 ，得 ；令 ，得 . 在 处取极小值.
当 时，方程 必有一个正数解 ，
（1）若 ，此正数解为 ，此时 ， 在 上单调递增，无极值.
（2）若 ，此正数解为 ， 必有 个不同的正数解， 存在 个极值.
综上， .
故选：A.
【点睛】
本题考查根据函数的极值存在情况求解参数，难度一般.利用导函数分析函数的极值时，要注意到：极值点对应的
导函数值一定为零，但是导数值为零的 值对应的不一定是极值点，因为必须要求在导数值为零处的左右导数值异
号.
26．D
【解析】
【分析】
求 ，由分析可得 恒成立，利用 即可求得实数 的取
值范围.
【详解】
由 可得
，
恒成立， 为开口向上的抛物线，
若函数 在 上无极值，
则 恒成立，所以 ，
解得： ，
所以实数 的取值范围为 ，
故选：D.
27．C
【解析】
【分析】
第 20 页求出导函数 ，根据导函数的正负，导函数的零点判断各选项．
【详解】
由题意 ，当 时， ， 递增， 时， ， 递减， 是函数的极大值，
也是最大值 ，函数无极小值．
故选：C．
28．B
【解析】
【分析】
由题，求导函数 ，由函数有极大值和极小值，即 有两个不同解，由此 ， ，求解即可
【详解】
由题， ，函数有极大值和极小值，所以 有两个不同解，所以 ，
，解得 ，
故选：B
29．B
【解析】
【分析】
求得导函数 且 ，根据极值点可得 ， 关于 的表达式及 的范围，由此可得
关于 的函数式，构造 ，则只需 恒成立，利用导数研究 的最值，即可求 的
取值范围.
【详解】
由题设， 且 ，由 有两个极值点，
∴令 ，则 在 上有两个不等的实根 ， ，
∴ ， ，且 ，得 .
又 ，且 ，
∴ ， ，即 ，
∴ ，
令 且 ，要使题设不等式恒成立，只需 恒成立，
∴ ，即 递增，故 ，
∴ .
第 21 页故选：B
【点睛】
关键点点睛：先求导函数，根据极值点、韦达定理求 ， 关于 的表达式及 的范围，再将题设不等式转
化为 恒成立，最后利用导数研究最值求参数范围.
30．C
【解析】
【分析】
对函数求导并求出导函数的零点，再判断导函数在各零点左右的正负即可得解.
【详解】
对函数 求导得： ，
由 得 或 ，而当 和 时，都有 ，当 时， ，
所以0不是 的极值点， 是 的极小值点，函数 只有一个极值点.
故选：C
31．A
【解析】
【分析】
因为二次函数最多有一个极值点，故先分析 的部分； 时，令 ，利用参变分离将 变形为
，构造新函数 ，判断 的单调性，得出结论： 最多仅有两解，因此可确定：
时有两个极值点， 时有一个极值点. 时，利用 与 有两个交点时(数形结合)，对应求出
的范围； 时，利用二次函数的对称轴进行分析可求出 的另一个范围，两者综合即可.
【详解】
由题可知 ，当 时，令 ，可化为 ，令 ，则
，则函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 的图象如图所示，所以当 ，
即 时， 有两个不同的解；当 ，令 ， ，解得 ，综上，
.
第 22 页【点睛】
分析极值点个数的时候，可转化为导函数为零时方程解的个数问题，这里需要注意：并不是导数值为零就一定是
极值点，还需要在该点左右两侧导数值符号相异.
32．B
【解析】
根据极值与导数的关系判断．
【详解】
由 知， 时， ， 时， ， 时， ， 是极值点．虽然有 ，
但在7的两侧， ，7不是极值点．
故选：B．
33．C
【解析】
利用导数求函数的极值点，再比较选项.
【详解】
，当 ， ；
当 或 时， ．
故 的极大值点与极小值点分别为 ， ，
则 ， ，所以 ．
故选：C
34．B
【解析】
【分析】
根据 图象判断 的单调性，由此求得 的极值点，进而确定正确选项.
【详解】
由图可知， 在区间 上 递减；在区间 上 递增.
第 23 页所以 不是 的极值点， 是 的极大值点.
所以ACD选项错误，B选项正确.
故选：B
35．BCD
【解析】
【分析】
利用导数研究 在 上单调性及最值即可判断A、B的正误；构造 ，应用导数研究单调性即知C
的正误；构造 ，应用导数并结合分类讨论的方法研究 上 、 恒成立时m的
取值范围，即可判断正误.
【详解】
，
∴ 上 ，即 上 递减，则 ，
∴A错误，B正确；
令 ，则在 上 ，即 递减，
∴ 时，有 ，C正确；
，则 等价于 ， 等价于 ，
令 ，则 ， ，
∴当 时， ，则 递增，故 ；
当 时， ，则 递减，故 ；
当 时，存在 使 ，
∴此时， 上 ，则 递增， ； 上 ，则 递减，
∴要使 在 上恒成立，则 ，得 .
综上， 时， 上 恒成立， 时 上 恒成立，
∴若 ，对于 恒成立，则 的最大值为 ， 的最小值为1，正确.
故选：BCD
【点睛】
关键点点睛：选项D，由题设不等式构造 ，综合应用分类讨论、导数研究恒成立对应的参数范围，
进而判断不等式中参数的最值.
第 24 页36．AC
【解析】
【分析】
由题意构造函数 ，利用导数判断 的单调性和极值情况.
【详解】
由 可得： ， ，即 .
令 ，则令 ，解得： ；令 ，解得： ；
所以函数 在 单减，在 单增.
在 处取得极小值，也是最小值 ，无极大值.
故选：AC
37．AC
【解析】
对 求导，结合导数的几何意义可得切线的斜率，再用两点式写出切线方程，可判断选项 ；利用导数分析函
数 的单调性，极值可判断选项 ， ；将方程的解个数转化为两个函数图象交点个数，数形结合即可判断选
项 ．
【详解】
解：因为 ，所以函数的定义域为
所以 ， ， ，
∴ 的图象在点 处的切线方程为 ，
即 ，故A正确；
在 上， ， 单调递增，
在 上， ， 单调递减，故B错误，
的极大值也是最大值为 ，故C正确；
方程 的解的个数，即为 的解的个数，
即为函数 与 图象交点的个数，
作出函数 与 图象如图所示：
第 25 页由图象可知方程 只有一个解，故D错误.
故选：AC.
38．ACD
【解析】
【分析】
利用导数研究函数 的极值、最值、单调性，利用导数的几何意义可求得曲线 在点 处的切线方程，
根据计算结果可得答案.
【详解】
因为
所以 ，
由 ，得 或 ，由 ，得 ，
所以函数 在 上递增，在 上递减，在 上递增，故选项 正确，
所以当 时， 取得极大值 ，
在 时， 取得极小值 ，故选项 正确，
当 时， 为单调递增函数，所以当 时， 取得最小值 ，当 时，
取得最大值 ，故选项 不正确，
因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，故选项 正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的极值、最值、单调区间，考查了导数的几何意义，属于基础题.
39．
第 26 页【解析】
【分析】
对已知函数求导，研究其在 上的单调性，即可得出极值点．
【详解】
∵ ，∴当 时， ；当 时， .故极值点为 .
故答案为 ．
【点睛】
本题考查利用导数研究极值，是基础题．
40． （答案不唯一，满足条件即可）
【解析】
【分析】
根据基本初等函数的奇偶性及极值的定义即可求解.
【详解】
根据题意，函数可以为 ，
当 时， 取得极大值, 当 时， 取得极小值.
又 ，所以函数是奇函数，
故答案为： （答案不唯一，满足条件即可．
41．
【解析】
【分析】
由导函数求得极大值，利用极大值点在区间 上，且 的极大值可得参数范围．
【详解】
，
或 时， ， 时， ，
所以 在 和 上都递增，在 上递减，
，
在区间 上有最大值，则 ，解得 ．
故答案为： ．
42．-20
【解析】
【分析】
根据 ，求出 ，再利用导数判断函数的单调性，从而求出最值.
第 27 页【详解】
因为 ，所以 ，得 ．
因为 ，
所以 在(-2，- )，(1，2)上单调递增，在（- ，1）上单调递减．
因为 ， ，所以 在[-2，2]上的最小值为-20．
故答案为：-20
43． 或
【解析】
计算 ，然后转化为 有解，可得 的范围，最后进行简单检验可得结果.
【详解】
由题可知： ，
因为函数 在 上存在极值点，所以 有解
所以 ，则 或
当 或 时，函数 与 轴只有一个交点，即
所以函数 在 单调递增，没有极值点，故舍去
所以 或 ，即 或
故答案为： 或
44．
【解析】
【分析】
由 分别是函数 的极小值点和极大值点，可得 时， ，
时， ，再分 和 两种情况讨论，方程 的两个根为 ，即函数 与
函数 的图象有两个不同的交点，构造函数 ，利用指数函数的图象和图象变换得到 的图象，
利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】
解： ，
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
所以当 时， ，当 时， ，
若 时，当 时， ，则此时 ，与前面矛盾，
故 不符合题意，
第 28 页若 时，则方程 的两个根为 ，
即方程 的两个根为 ，
即函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
∵ ,∴函数 的图象是单调递减的指数函数，
又∵ ,∴ 的图象由指数函数 向下关于 轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持
不变，纵坐标伸长或缩短为原来的 倍得到，如图所示：
设过原点且与函数 的图象相切的直线的切点为 ，
则切线的斜率为 ，
故切线方程为 ，
则有 ，解得 ，
则切线的斜率为 ，
因为函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，
综上所述， 的范围为 .
【点睛】
本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度.
45．（1） ；
（2）若选①： ；若选②： ；若选③： .
【解析】
第 29 页【分析】
（1）求得 和 ，进而可得切线方程；
（2）若选①，则转化为 在区间 上恒成立，根据“三个二次”可得结果；
若选②，则转化为 在区间 上有解，分离变量可得结果；
若选③，求得 的极小值点为 ，解不等式 可得结果.
【详解】
（1）当 时， ，所以 ，
点 为切点， ，
函数在点 处的切线方程为： ，即 ；
（2）∵ ，
∴若选①：函数 在区间 上是单调减函数，则有：
在区间 上恒成立，即 在 上恒成立，
∴ ，解得 ；
若选②：函数 在 上存在减区间，则有 在区间 上有解，
即得 在区间 上有解，
此时令 ，显然 在区间 上单调递减，
所以 ，故有 ；
若选③：函数在区间 上存在极小值，则函数 的极小值点应落在 内.
令 ，求得 ， ，
此时可得， 在 ， 上单调递增；在 上单调递减；
所以 是函数 的极小值点，
即得 ，
当 时，不等式恒成立，
当 时， ，解之可得 ，
所以 .
第 30 页46．选择性条件见解析， 的最大值为 ，最小值为0
【解析】
【分析】
若选①，根据导数和函数极值的关系求出 的值，再根据导数与函数最值的关系即可求出最值；
若选②，先利用导数的几何意义求出 的值，再根据导数与函数最值的关系即可求出最值；
若选③，先根据奇函数的性质求出 的值，再根据导数与函数最值的关系即可求出最值；
【详解】
解：选择①，因为 ．
所以 ，故 ， ．
，令 ．得 ．
当 时， ；当 时， ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ．
因为 ．
所以 的最大值为 ．
选择②，因为 ，
所以 ，故 ， ．
，令 ，得 ．
当 时， ；当 时， ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ．
因为 ．
所以 的最大值为 ．
选择③，因为 ．
所以 ，
因为 为奇函数，
所以由 ，可得 ．
，令 ，得 ．
当 时， ；当 时， ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ．
第 31 页因为 ．
所以 的最大值为 ．
【点睛】
此题考查导数和函数的最值的关系，以及导数与函数极值，曲线的切线方程，函数的奇偶性，属于中档题
47．（1） （2）证明见解析 （3）存在
【解析】
【分析】
（1）求出函数 得到函数大单调性，从而得到函数的极大值.
（2）由（1）可得 ，即 ，然后可得 ， ， ，相加可
证明.
(3) 与 的图象在 处有公共点 ,设函数 与 存在“分界线” ,由令
，由 求出参数 的值，再证明 成立即可.
【详解】
（1） ，则
由 ，可得 ， ，可得
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以当 时， 有极大值
（2）由（1）可知， 为 的最大值，即
所以 ，即 （当且仅当 时等号成立）
令 ，则 ，取 ，则 ，即
则 ， ，
由上面不等式相加得
即
即
（3）设 ，则
第 32 页当 时， ，当 时，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以
即 与 的图象在 处有公共点
设函数 与 存在“分界线”
令
由 ，即 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
成立，而 ，
所以 ，则
再证明 ，即 恒成立.
设 ，则
当 时， ，当 时，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以当 时， 有最大值，即
所以 恒成立.
综上所述，可得 且
故函数 与 存在 “分界线” ，此时
【点睛】
本题考查利用导数求函数的极值，利用导数证明不等式，考查恒成立求参数，考查转化思想的应用，属于难题.
48．（1）条件性选择见解析， ；（2）单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 ．
【解析】
【分析】
（1）选①，求出函数的导函数，根据 是函数 的一个极值点，得函数在 处得到函数值为0，即可
得出答案；
选②，根据函数 的图象在 处的切线方程为 ，即函数在 处得导数值为3，即可的解；
第 33 页（2）由（1）得 ，求出函数得导函数，再根据导函数得符号即可得出答案.
【详解】
解：（1）选①．
由题意知， ，
依题意得， ，
即 ，经检验 符合题意．
选②．
由题意知， ，
因为函数 的图象在 处的切线方程为 ，
所以 ，得 ．
（2）由（1）得 ，
，
令 得， 或 ，
列表：
-1 3
- 0 + 0 -
所以 的单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 ．
49．(1)有极小值 ，无极大值
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求函数的导数，结合函数极值和单调性的关系进行求解即可；
（2）当 时，利用零点的存在性定理可得函数 存在零点，结合函数极值和导数之间的关系求最值，
利用基本不等式法进行证明即可.
(1)
函数 的定义域为 ，当 时 ，
函数的导数为 ，且
第 34 页又 ，故 在区间 上单调递增，
则当 时 ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 单调递增，
所以函数在 时有极小值 ，无极大值
(2)
当 时，
故 在区间 上单调递增，其中
且当 上时， ，取
则有
故导函数 存在零点 ，且 为极小值点，
满足 ，
故 (当且仅当 即 时取等号)，
即
第 35 页第 36 页
