文档内容
【赢在中考·黄金8卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（陕西专用）
黄金卷 5
（满分120分，考试用时120分钟）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）1．（2022·山东淄博·统考中考真题）若实数a的相反数是﹣1，则a+1等于（ ）
1
A．2 B．﹣2 C．0 D．
2
【答案】A
【分析】根据相反数的定义即可求解．
【详解】解：∵1的相反数是﹣1，
∴a＝1，
∴a+1=2
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相反数，熟记相反数的定义是解题的关键．
2．（2022·内蒙古·中考真题）如图，直线a∥b，截线c，d相交成30°角，∠1=146°33'，则∠2的度数
是（ ）
A．63°27' B．64°27' C．64°33' D．63°33'
【答案】A
【分析】由邻补角的定义可求得∠3＝33°27'，再由平行线的性质可得∠4＝∠3＝33°27'，利用三角
形的外角性质即可求∠2．
【详解】解：如图，∵∠1＝146°33'，
∴∠3＝180°−∠1＝33°27'，
∵a∥b，
∴∠4＝∠3＝33°27'，
∵∠A＝30°，∠2＝∠4＋∠A，
∴∠2＝33°27'＋30°＝63°27'，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
3．（2022·四川巴中·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．√(−2) 2=−2 B．
(1) −1
=−
1
C．(a2) 3 =a6 D．a8÷a4=a2 (a≠0)
3 3
【答案】C
【分析】根据算术平方根及负整数指数幂、幂的乘方、同底数幂的除法依次计算判断即可．
【详解】解：A、√(−2) 2=2，选项错误，不符合题意；
1 −1
B、( ) =3，选项错误，不符合题意；
3
C、(a2
)
3=a6，选项正确，符合题意；
D、a8÷a4=a4 (a≠0)，选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】题目主要考查算术平方根及负整数指数幂、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握各个运算法则
是解题关键．
4．（2022·湖南衡阳·统考中考真题）下列命题为假命题的是（ ）
A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形【答案】C
【分析】根据矩形、菱形、正方形判定方法，一一判断即可．
【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，本选项不符合题意．
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题，本选项不符合题意．
C、有一个内角是直角的平行四边形可能是长方形，是假命题，应该是矩形，推不出正方形，本选项符合
题意．
D、有一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查命题与定理，矩形、菱形、正方形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的判定
方法，属于中考常考题型．
5．（2022·广西贵港·中考真题）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰
角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB=16m，则这棵树
CD的高度是（ ）
A．8(3−√3)m B．8(3+√3)m C．6(3−√3)m D．6(3+√3)m
【答案】A
【分析】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD中，用∠B的正切函数
值即可求解．
【详解】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，
∴CD=AD=x，
∴BD=16-x，
在Rt△BCD中，∠B=60°，
CD
∴tanB= ，
BD
x
即： =√3，
16−x解得x=8(3−√3)，
故选A．
【点睛】本题考查三角函数，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键．
6．（2022·湖北鄂州·统考中考真题）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b
1 1
（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝ x都经过点A（3，1），当kx+b＜ x时，x的取值范围是（
3 3
）
A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1
【答案】A
1
【分析】根据不等式kx+b＜ x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围求解
3
即可
1
【详解】解：由函数图象可知不等式kx+b＜ x的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量
3
的取值范围，
1
∴当kx+b＜ x时，x的取值范围是x>3，
3
故选A．
【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用图象法解不等式是解题的关键．
7．（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形．若∠BCD=121°，则
∠BOD的度数为（ ）A．138° B．121° C．118° D．112°
【答案】C
【分析】由圆内接四边形的性质得∠A=59°，再由圆周定理可得∠BOD=2∠A=118°．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠A+∠C=180°
∵∠BCD=121°
∴∠A=59°
∴∠BOD=2∠A=118°
故选：C
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键
8．（2022·浙江衢州·统考中考真题）已知二次函数y=a(x−1) 2−a(a≠0)，当−1≤x≤4时，y的最小值
为−4，则a的值为（ ）
1 4 1 4 1
A． 或4 B． 或− C．− 或4 D．− 或4
2 3 2 3 2
【答案】D
【分析】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答．
【详解】解：二次函数y=a(x−1) 2−a(a≠0)的对称轴为：直线x=1，
（1）当a>0时，当−1≤x≤1时，y随x的增大而减小，当1≤x≤4，y随x的增大而增大，
∴ 当x=1时，y取得最小值，
∴ y=a(1−1) 2−a=−4，
∴a=4；
（2）当a<0时，当−1≤x≤1时，y随x的增大而增大，当1≤x≤4，y随x的增大而减小，
∴ 当x=4时，y取得最小值，
∴ y=a(4−1) 2−a=−4，1
∴a=− ．
2
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不
需要解答过程）
9．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）计算：2−2−√4=______．
7
【答案】−
4
【分析】先计算2−2、√4，再算减法．
1 7
【详解】解：原式= −2=− ．
4 4
7
故答案为：− ．
4
【点睛】本题考查了实数的计算，掌握负整数指数幂、二次根式的化简是解决本题的关键．
10．（2022·四川资阳·中考真题）根据国家统计局开展的“带动三亿人参与冰雪运动”调查报告数据显示，
全国冰雪运动参与人数达到3.46亿人，成功实现了“三亿人参与冰雪运动”的宏伟目标．数3.46亿用科学
记数法表示为___________．
【答案】3.46×108
【分析】科学计数法表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据
此换算即可．
【详解】将数据3.46亿用科学计数法表示为346000000=3.46×108，
故答案为：3.46×108．
【点睛】此题考查了用科学计数法表示较大的数，正确理解科学计数法的形式并运用是解题的关键．
1 1 x+a
11．（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知关于x的方程 + = 的解为负数，则a的取值范围
x x+1 x(x+1)
是__________．
【答案】a<1且a≠0
【分析】把a看作常数，去分母得到一元一次方程，求出x的表达式，再根据方程的解是负数及分母不为0
列不等式并求解即可．1 1 x+a
【详解】解：由 + = 得x=a−1，
x x+1 x(x+1)
1 1 x+a
∵关于x的方程 + = 的解为负数，
x x+1 x(x+1)
∴ ¿，即¿，解得¿，即a<1且a≠0，
故答案为：a<1且a≠0．
【点睛】本题考查解分式方程，根据题意及分式的分母不等于零列出不等式组是解决问题的关键．
12．（2022·江苏南通·统考中考真题）平面直角坐标系xOy中，已知点
k
A(m,6m),B(3m,2n),C(−3m,−2n)是函数y= (k≠0)图象上的三点.若S =2，则k的值为
x △ABC
___________．
3
【答案】 ##0.75
4
【分析】由点A、B、C的坐标可知k=6m2>0，m＝n，点B、C关于原点对称，求出直线BC的解析式，不
妨设m＞0，如图，过点A作x轴的垂线交BC于D，根据S =2列式求出m2，进而可得k的值．
△ABC
k
【详解】解：∵点A(m,6m),B(3m,2n),C(−3m,−2n)是函数y= (k≠0)图象上的三点，
x
∴k=6m2>0，k=6mn，
∴m＝n，
∴B(3m,2m)，C(−3m,−2m)，
∴点B、C关于原点对称，
∴设直线BC的解析式为y=kx(k≠0)，
代入B(3m,2m)得：2m=3mk，
2
解得：k= ，
3
2
∴直线BC的解析式为y= x，
3
不妨设m＞0，如图，过点A作x轴的垂线交BC于D，
2 2
把x＝m代入y= x得：y= m，
3 3
2
∴D（m， m），
3
2 16
∴AD＝6m− m= m，
3 31 16
∴S = × m⋅(3m+3m)=2，
△ABC 2 3
1
∴m2=
，
8
1 3
∴k=6m2=6× = ，
8 4
3
而当m＜0时，同样可得k= ，
4
3
故答案为： ．
4
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，中心对称的性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握反比
例函数的图象和性质，学会利用数形结合的数学思想解答是解题的关键．
13．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD
于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3√3，则△ABC的周长为_____．
【答案】5√3
【分析】如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT//AE交BC于点T．证明AB=3AD，设AD=CD=a，证明ET=CT，设ET=CT=b，则BE=3b，求出a+b，可得结论．
【详解】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT//AE交BC于点T．
∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，
∴FM=FN，
1
⋅AB⋅FM
S BF 2
∴ ΔABF = = =3，
S DF 1
ΔADF ⋅AD⋅FN
2
∴AB=3AD，
设AD=DC=a，则AB=3a，
∵AD=DC，DT//AE，
∴ET=CT，
BE BF
∴ = =3，
ET DF
设ET=CT=b，则BE=3b，
∵AB+BE=3√3，
∴3a+3b=3√3，
∴a+b=√3，
∴ΔABC的周长=AB+AC+BC=5a+5b=5√3，
故答案为：5√3．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解
决问题．
三、解答题（本大题共13小题，满分81分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(1) −1
14.（5分）（2022·山东济南·统考中考真题）计算：|−3|−4sin30°+√4+ ．
3
【答案】6【分析】先根据绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，算术平方根定义进行化简，然后再
进行计算即可．
(1) −1
【详解】解：|−3|−4sin30°+√4+
3
1 1
=3−4× +2+
2 1
3
=3−2+2+3
=6
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，
算术平方根定义，是解题的关键．
2 x−1
15.（5分）（2022·四川广元·统考中考真题）先化简，再求值： ÷（1﹣ ），其中x是不等式组¿
x2+x x2−1
的整数解．
2 1
【答案】 ，当x=2时，原分式的值为
x2 2
【分析】由题意先把分式进行化简，求出不等式组的整数解，根据分式有意义的条件选出合适的x值，进
而代入求解即可．
2 (x2−1−x+1) 2 (x+1)(x−1) 2
【详解】解：原式= ÷ = × = ；
x(x+1) x2−1 x(x+1) x(x−1) x2
由¿可得该不等式组的解集为：−1≤x<3，
∴该不等式组的整数解为：-1、0、1、2，
当x=-1，0，1时，分式无意义，
∴x=2，
2 1
∴把x=2代入得：原式= = ．
22 2
【点睛】本题主要考查分式的运算及一元一次不等式组的解法，要注意分式的分母不能为0．
a2+2a a 2
16.（5分）（2022·西藏·统考中考真题）计算： ⋅ − ．
a a2−4 a−2
【答案】1【分析】首先对各项进行因式分解，然后约分，最后得到的两个分式相减即可得到答案．
a2+2a a 2
【详解】 · −
a a2−4 a−2
a(a+2) a 2
= · −
a (a+2)(a−2) a−2
a 2
= −
a−2 a−2
=1
【点睛】本题考查了分式的化简，理解并掌握分式的计算法则，注意在解题过程中需注意的事项，仔细计
算是本题的解题关键．
17．（5分）（2022·湖北襄阳·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．
(1)作∠ACB的角平分线，交AB于点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：AD＝AE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）按照角平分线的作图步骤作图即可．
（2）证明△ACE≌△ABD，即可得出AD＝AE．
（1）
解：如图所示，CE即为所求．（2）
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD是∠ABC的角平分线，CE是∠ACB的角平分线，
1 1
∴∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，
2 2
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，∠A＝∠A，
∴△ACE≌△ABD（ASA），
∴AD＝AE．
【点睛】本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图步骤以及全等三角形的
判定与性质是解答本题的关键．
18．（5分）（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，
且BE＝CD，连接BD，CE．求证：BD＝CE．
【答案】证明见解析
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠EBC=∠DCB，进而利用SAS证明ΔEBC与ΔDCB全等，再利用
全等三角形的性质解答即可．
【详解】证明：∵ΔABC是等腰三角形，
∴∠EBC=∠DCB，在ΔEBC与ΔDCB中，
BE=CD
{∠EBC=∠DCB，
BC=CB
∴ΔEBC≅ΔDCB(SAS)，
∴BD=CE．
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用SAS证明ΔEBC与ΔDCB全等．
19．（5分）（2022·湖北武汉·统考中考真题）如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点
叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图（1）中，D，E分别是边AB，AC与网格线的交点．先将点B绕点E旋转180°得到点F，画出点F，
再在AC上画点G，使DG∥BC；
(2)在图（2）中，P是边AB上一点，∠BAC=α．先将AB绕点A逆时针旋转2α，得到线段AH，画出线
段AH，再画点Q，使P，Q两点关于直线AC对称．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）取格点，作平行四边形，利用平行四边形对角顶点关于对角线交点对称即可求点F；平行四
边形对边在网格中与格线的交点等高，连接等高点即可作出DG∥BC；
（2）取格点，作垂直平分线即可作出线段AH；利用垂直平分线的性质，证明三角形全等，作出P，Q两
点关于直线AC对称
【详解】（1）解：作图如下：取格点F，连接AF，AF∥BC且AF=BC，所以四边形ABCF是平行四边形，连接 BF，与AC的交点
就是点E，所以BE=EF，所以点F即为所求的点；
连接CF，交格线于点M，因为四边形ABCF是平行四边形，连接DM交AC于一点，该点就是所求的G点；
（2）解：作图如下：
取格点D、E，连接DE，AC平行于DE，取格点R，连接BR并延长BR交DE于一点H，连接AH，此线段即
为所求作线段；
理由如下：取格点W连接AW、CW，连接CR，
∴△AWC≅△RCB，
∴∠WAC=∠CRB，
∵∠WAC+∠ACW =90°，
∴∠CRB+∠ACW =90°，
∴∠RKC=90°，
∴AC⊥BH，
∵DH∥CK，
BK BC
∴ = ，
BH BD
∵点C是BD的中点，∴点K是BH的中点，
即BK=KH，
∴AC垂直平分BH，
∴AB=AH．
连接PH，交AC于点M，连接BM交AH于点Q，则该点就是点P关于AC直线的对称点．
理由如下：∵AC垂直平分BH，
∴△BMH是等腰三角形，∠PAM=∠QAM，
∴ ∠BMK=∠AMQ=∠HMK=∠AMP，
∴△AMP≅△AMQ，
∴AP=AQ，
∴P，Q两点关于直线AC对称.
【点睛】本题考查了用无刻度直尺在网格中作图的知识，找准格点作出平行四边形和垂直平分线是解决本
题的关键．
20．（5分）（2022·内蒙古·中考真题）一个不透明的口袋中装有四个完全相同的小球，上面分别标有数字
1，2，3，4．
(1)从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是奇数的概率（直接写出结果）；
(2)先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为x，在剩下的三个小球中再随机摸出一个小球，将
小球上的数字记为y．请用列表或画树状图法，求由x，y确定的点(x,y)在函数y=−x+4的图象上的概率．
1
【答案】(1)P（奇数）=
2
1
(2)P（点在函数y=−x+4的图象上）=
6
【分析】（1）直接利用简单事件的概率公式计算可得；
（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与由x，y确定的点(x,y)在函数
y=−x+4的图象上的的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
1
【详解】（1）解：P（奇数）=
2
（2）解：列表得：
x
1 2 3 4
y1 (1,2) (1,3) (1,4)
2 (2,1) (2,3) (2,4)
3 (3,1) (3,2) (3,4)
4 (4,1) (4,2) (4,3)
共有12种等可能的结果，其中点在函数y=−x+4的图象上的有2种(1,3)，(3,1)
1
∴.P（点在函数y=−x+4的图象上）=
6
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适
合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意区分所摸球是放回实验还是不放回
实验是解题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．（6分）（2022·山东日照·统考中考真题）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热
情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度
i=1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB=30°．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m．
(1)求该滑雪场的高度h；
(2)据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪
量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙两种
设备每小时的造雪量．
【答案】(1)235m
(2)甲种设备每小时的造雪量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3
【分析】（1）过B作BF∥AD，过D过AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面于E，根据题知1
∠ABF=∠DAB=30°，可得AF= AB=135(m)，由BC的坡度i=1：2.4，设BE=tm，则CE=2.4tm，可得
2
t2+（2.4t）2=2602，即可得h=AF+BE=235（m）；
150 500
（2）设甲种设备每小时的造雪量是xm3，可得： = ，即方程并检验可得甲种设备每小时的造雪
x x+35
量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3．
【详解】（1）解：过B作BF∥AD，过A过AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面于E，如图：
根据题知∠ABF=∠DAB=30°，
1
∴AF= AB=135(m)，
2
∵BC的坡度i=1：2.4，
∴BE：CE=1：2.4，
设BE=tm，则CE=2.4tm，
∵BE2+CE2=BC2，
∴t2+（2.4t）2=2602，
解得t=100（m），（负值已舍去），
∴h=AF+BE=235（m），
答：该滑雪场的高度h为235m；
（2）设甲种设备每小时的造雪量是xm3，则乙种设备每小时的造雪量是（x+35）m3，
150 500
根据题意得： = ，
x x+35
解得x=15，
经检验，x=15是原方程的解，也符合题意，
∴x+35=50，
答：甲种设备每小时的造雪量是15m3，则乙种设备每小时的造雪量是50m3．
【点睛】本题考查解直角三角形和分式方程的应用，解题的关键是构造直角三角形和列出分式方程．22．（7分）（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B
地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时
间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地
路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
(1)填空：甲的速度为______米/分钟，乙的速度为______米/分钟；
(2)求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值
范围；
(3)出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．
【答案】(1)300，800
(2)y=800x−2400（3≤x≤6）
6 18
(3) 分钟， 分钟，6分钟
11 5
【分析】（1）根据函数图象先求出乙的速度，然后分别求出乙到达C地的时间和甲到达C地的时间，进而
可求甲的速度；
（2）利用待定系数法求出函数解析式，根据题意可得自变量x的取值范围；
（3）设出发t分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米，分两种情况：①乙从B地到A地时，两人相距
600米，②乙从A地前往C时，两人相距600米， 分别列方程求解即可．
（1）
解：由题意可得：乙的速度为：（800+800）÷（3－1）＝800米/分钟，
∴乙到达C地的时间为：3＋2400÷800＝6分钟，
∴甲到达C地的时间为：6＋2＝8分钟，∴甲的速度为：2400÷8＝300米/分钟，
故答案为：300，800；
（2）
解：由（1）可知G（6，2 400），
设直线FG的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵y=kx+b过F（3，0），G（6，2 400）两点，
∴¿，
解得：¿，
∴直线FG的解析式为：y=800x−2400，
自变量x的取值范围是3≤x≤6；
（3）
解：设出发t分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米，
①乙从B地到A地时，两人相距600米，
由题意得：300t＋800t＝600，
6
解得：t= ；
11
②乙从A地前往C时，两人相距600米，
由题意得：300t－800（t－3）＝600或800（t－3）－300t＝600，
18
解得：t= 或6，
5
6 18
答：出发 分钟或 分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．
11 5
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
23．（7分）（2022·内蒙古·中考真题）在“世界读书日”前夕，某校开展了“共享阅读，向上人生”的读
书活动．活动中，为了解学生对书籍种类（A：艺术类，B：科技类，C：文学类，D：体育类）的喜欢情
况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类
型中选择一项）将数据进行整理并绘制成下面两幅不完整的统计图．(1)这次调查中，一共调查了多少名学生？
(2)求出扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
(3)若全校有1200名学生，请估计喜欢B（科技类）的学生有多少名？
【答案】(1)这次调查中，一共调查了200名学生
(2)“D”所在扇形的圆心角的度数是54°，补全条形统计图见解析
(3)估计该校喜欢B（科技类）的学生为420人
【分析】（1）根据A类的人数和所占的百分比，即可求出总人数；
（2）用整体1减去A、C、D类所占的百分比，即可求出扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数以及B
所占的百分比；用总人数乘以所占的百分比，求出C的人数，从而补全图形；
（3）总人数乘以样本中B所占百分比即可得．
【详解】（1）解：这次调查的总学生人数是
40÷20%=200
答：这次调查中，一共调查了200名学生
30
（2）D所占百分比为 ×100%=15%，
200
扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数为：360°×15%=54°；
B所占的百分比是1-15%-20%-30%=35%，
C的人数是：200×30%=60（名），
补图如下：（3）估计全校喜欢B（科技类）的学生是
70
1200× ×100%=420
200
答：估计该校喜欢B（科技类）的学生为420人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的应用，利用样本估计总体，正确利用条形统计图得出
正确信息是解题关键．
24．（8分）（2022·西藏·统考中考真题）如图，已知BC为⊙O的直径，点D为C´E的中点，过点D作
DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．
【答案】(1)见解析
10
(2)AC＝
3
【分析】（1）连接OD，BE，根据“同圆中，等弧所对的圆周角相等”及等腰三角形的性质得到
∠ODB=∠EBD，进而得到OD//BE，根据圆周角定理结合题意推出AD⊥OD，即可判定AD是⊙O
的切线；（2）根据平行线的性质得到∠BFE=∠GDB，∠A=∠ECB，解直角三角形求出OC，OA的长，根据线段的和
差求解即可．
（1）
证明：如图，连接OD，BE，
∵点D为C´E的中点，
∴C´D=E´D，
∴OD⊥CE，∠CBD＝∠EBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠EBD，
∴OD//BE，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CEB＝90°，
∴CE⊥BE，
∵AD//CE，OD⊥CE，
∴AD⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）
解：∵DG//CE，
∴∠BFE＝∠GDB，∠A＝∠ECB，
∵tan∠GDB＝2，
∴tan∠BFE＝2，BF
在Rt△BEF中，EF＝3，tan∠BFE＝ ，
EF
∴BE＝6，
∵EF＝3，CF＝5，
∴CE＝EF+CF＝8，
∴BC＝√CE2+BE2=10，
∴OD＝OC＝5，
BE 6 3
在Rt△BCE中，sin∠ECB＝ = = ，
BC 10 5
3
∴sinA＝sin∠ECB＝ ，
5
OD 3
在Rt△AOD中，sinA＝ = ，OD＝5，
OA 5
25
∴OA＝ ，
3
10
∴AC＝OA﹣OC＝ ．
3
【点睛】本题是圆的综合题，考查了平行线的性质、切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、解直
角三角形等知识，熟练掌握切线的判定、圆周角定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
25.（8分）（2022·甘肃定西·统考模拟预测）有一个抛物线的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨
度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；
(2)如图，在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是多少？4
【答案】(1)y=− (x−5) 2+4
25
96
(2)在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是 m
25
【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为顶点式，然后根据抛物线过点(0,0)，代入即可求解；
（2）根据对称轴为：x=5，得出对称轴右边1m处为：x=6，代入即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得：抛物线顶点坐标为(5,4)，
设抛物线解析式为：y=a(x−5) 2+4，
∵抛物线过点(0,0)，
4
∴0=a(0−5) 2+4，解得：a=− ，
25
4
∴这条抛物线所对应的函数关系式为：y=− (x−5) 2+4．
25
（2）解：对称轴为：x=5，则对称轴右边1m处为：x=6，
4 4 96
将x=6代入y=− (x−5) 2+4，可得：y=− (6−5) 2+4，解得：y= ，
25 25 25
96
答：在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是 m．
25
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答此题的关键是明确题意，求出抛物线的解析式．
26.（10分）（2022·山东菏泽·菏泽一中校考模拟预测）如图1，在△ABC中，AB=AC，AC平分∠BCD，
连接BD，∠ABD=2∠CBD，∠BDC=∠ABD+∠ACD．
(1)求∠A的度数；
(2)如图2，连接AD，AE⊥AD交BC于E，连接DE，求证：∠DEC=∠BAE；
(3)如图3，在（2）的条件下，点G为CE的中点，连接AG交BD于点F，若S =32，求线段AF的长．
❑△ABC
【答案】(1)∠A=90°
(2)见解析(3)AF=4
【分析】（1）设∠DBC=x．则∠ABD=2x，∠ABC=∠ACB=3x，由AC平分∠BCD，得到
∠ACD=∠ACB=3x，由三角形内角和定理5x+x+6x=180°，求得x=15°，进一步即可得到答案；
（2）先证明△ABE≌△ACD，则∠BAE=∠CAD,AE=AD,BE=CD，则∠AED=∠ADE=45°，又
由∠ACB=45°得∠DEC=∠CAD，即可得到结论；
1
（3）由O是DE的中点及S = AB2=32得到AB=8，再证明△AOG∽△DEB，得到
❑△ABC 2
∠GAO=∠BDE，则∠AFD=∠DOA=90°，又由∠ABF=30°，即可得到答案．
【详解】（1）解：如图1中，设∠DBC=x．
∵AB=AC，∠ABD=2∠CBD，
∴∠ABD=2x，∠ABC=∠ACB=3x，
∵AC平分∠BCD，
∴∠ACD=∠ACB=3x，
∵∠D=∠ABD+∠ACD=5x，∠D+∠DBC+DCB=180°，
∴5x+x+6x=180°，
∴x=15°，
∴∠ABC=∠ACB=∠ACD=45°，∠ABD=30°，
∴∠A=180°−45°−45°=90°．
（2）证明：∵EA⊥DA，
∴∠EAD=∠A=90°，
∴∠BAE=∠CAD，
∵AB=AC,∠ABE=∠ACD=45°，
∴△ABE≌△ACD，
∴AE=AD，BE=CD，
∴∠AED=∠ADE=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠DEC=∠CAD，
∴∠DEC=∠BAE．
（3）解：如图3中，连接DE，取O是DE的中点，1
∵S = AB2=32，
❑△ABC 2
∴AB=8或−8（舍去），
由（1）、（2）及根据G是CE的中点可知：
1 1 1
AO= DE，GO= CD= BE，AO⊥DE，OG⊥CE，
2 2 2
∴∠AOG=∠BED=90°+∠EOG，
∵AO:DE=GO:BE=GO:CD=1:2，
∴△AOG∽△DEB，
∴∠GAO=∠BDE，
∴∠AFD=∠DOA=90°，
又∠ABF=30°，
1
∴AF= AB=4．
2
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理、30°角直
角三角形的性质，熟练掌握三角形的全等和相似是解题的关键．
