文档内容
第 03 讲 二项式定理 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：二项展开式的通项及其应用
角度1：求二项展开式的特定项（或系数）
角度2：两个二项式之积中特定项（或系数）问题
角度3：三项展开式中特定项（或系数）问题
题型二：二项式系数与各项的系数和问题
角度1：二项式系数和与系数和
角度2：展开式的逆应用
题型三：项式系数的性质
角度1:二项式系数最大问题
角度2：系数最大问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：二项式定理
（1）二项式定理
一般地，对于每个 （ ）， 的展开式中 共有 个，将它们合并同类项，
就可以得到二项展开式：(a+b) n =C0anb0 +C1an−1b1 +C2an−2b2 +⋯+Cran−rbr +⋯+Cna0bn （
n n n n n
）.这个公式叫做二项式定理.
（2）二项展开式
公式中：(a+b) n =C0anb0 +C1an−1b1 +C2an−2b2 +⋯+Cran−rbr +⋯+Cna0bn ， 等号右边的
n n n n n
多项式叫做 的二项展开式.
（3）二项式系数与项的系数二项展开式中各项的二项式系数为 ( ),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号
等.
（4）二项展开式的通项
二项展开式中的 ( )叫做二项展开式的通项,用 表示,即通项为展开式的第
项: .通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它
在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有
着广泛的应用.
知识点二：二项式系数的性质
①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：
②增减性：当 时，二项式系数递增，当 时，二项式系数递减；
③最大值：当 为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当 为偶数时，最中间一项的二项式系数最大.
知识点三：各二项式系数和
（1） 展开式的各二项式系数和：
；
（2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高二课时练习）若 的展开式中各项系数的和为256，则 的值为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】D
【详解】解：设 ，
令 得 ，
解得 ．
故选：D
2．（2022·云南昆明·高二期中）已知 ，则
（ ）
A．31 B．32 C．15 D．16
【答案】A
【详解】逆用二项式定理得 ，即 ，所以n=5，所以．
故选:A
3．（2022·全国·高二单元测试） 的展开式中各项的二项式系数之和为________．
【答案】512
【详解】 的展开式中各项的二项式系数之和为 ．
故答案为：512．
4．（2022·广西贵港·高二期末（理））在 展开式中，含 的项的系数是__________．
【答案】20
【详解】 的展开式中 的系数为 ，
的展开式中 的系数为 ，
故在 展开式中，含 的项的系数为20．
故答案为：20
5．（2022·广东·南海中学高二阶段练习）（1）已知 的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，
则 __________.
（2） __________.
【答案】 5 21
【详解】（1）根据二项式定理可知， ，所以 ；
（2）根据组合数性质可知， ，
解得 ，又因为 ，所以 ，
所以 .
故答案为：5；21
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：二项展开式的通项及其应用
角度1：求二项展开式的特定项（或系数）
典型例题
例题1．（2022·四川广安·模拟预测（理））在 的展开式中，常数项为（ ）
A．-60 B．60 C．-240 D．240【答案】D
【详解】由题知，展开式中第 项 ，
令 ，得 ，所以展开式中常数项为 .
故选：D
例题2．（2022·河北·唐山市第五中学高三开学考试） 的二项展开式中第三项是（ ）
A． B．240 C． D．
【答案】D
【详解】由题意可得 的二项展开式中第三项是 ，
故选：D
同类题型归类练
1．（2022·云南红河·高二期末） 的展开式中的常数项为________（用数字作答）．
【答案】135
【详解】 的展开式的通项公式为 ，
令 ，解得 ，所以展开式中的常数项为 .
故答案为：135.
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高二期中）求二项式 展开式的第7项及含 的项的
系数．
【答案】 ； ．
【详解】解：二项式 展开式的通项为
所以展开式的第 项为 ，
令 ，
所以 ，
所以含 的项的系数为 ．
角度2：两个二项式之积中特定项（或系数）问题
典型例题例题1．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习） 的展开式中的 项系数为（ ）
A．30 B．10 C．-30 D．-10
【答案】B
【详解】因为 ， 的通项为：
令 ，则 ，令 ，则 ，
所以 的系数为 ．
故选：B.
例题2．（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）若 的展开式中 的系数为0，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 的展开式中 的系数为 ， 的系数为 ，
所以 的展开式中 的系数为 ，
由 ，得 .
故选：C.
例题3．（2022·安徽·合肥工业大学附属中学高二期末） 的展开式中，含 项的系数为
（ ）
A．160 B．140 C．120 D．100
【答案】A
【详解】 的展开式中，含 项为 ，
故选：A
例题4．（2022·福建福州·高二期末）在 的展开式中，记 项的系数为 ，则
_____.
【答案】75
【详解】 的展开式中含 的项为 ，含 的项为 ，
则 ， .
故答案为：75.
同类题型归类练
1．（2022·四川省资阳中学高二期末（理）） 展开式中 的系数为（ ）A． B． C．20 D．40
【答案】A
【详解】解：因为 ，
其中 展开式的通项为 ，
所以展开式中 的系数为 .
故选：A
2．（2022·浙江舟山·高二期末） 的展开式中的常数项为___________.
【答案】
【详解】 ，
对于 ，通项公式为 ，
令 ，得r=3， ；
对于 ，通项公式为 ，不存在常数项；
∴常数项为-10；
故答案为：-10.
3．（2022·全国·高二课时练习）已知正整数 ，若 的展开式中不含 的项，则
n=______．
【答案】10
【详解】因为 的展开式的通项为 ，
所以 展开式中 的系数为 ， 的系数为 ．
又 ，
所以若展开式中不含 ，则 ，由组合数的性质以及 ，得 ．
故答案为：
4．（2022·福建省福州第二中学高二期末） 的展开式中 的系数为___________.
【答案】
【详解】 展开式的通项为：
由于 ，所以当 当时， ，当 当时， ，
所以 的展开式中 的项为， ，
所以 的展开式中 的系数为 .
故答案为： .
角度3：三项展开式中特定项（或系数）问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习） 的展开式中， 的系数是（ ）
A．120 B．-120 C．60 D．30
【答案】A
【详解】 ，展开式的
第 项为 ，
令 ，可得第3项为 ，
的展开式的第 项为 ，令 ，
可得第3项为 ，
所以 的展开式中，
的系数是 ．
故选：A．
例题2．（2022·山东济南·高二期末） 的展开式中，所有不含 的项的系数之和为（ ）
A．16 B．32 C．27 D．81
【答案】D
【详解】解： 展开式的通项公式为 ，
若展开式中的项不含z，则 ，此时符合条件的项为 展开式中的所有项，
令 ，可得所有不含z的项的系数之和为 ，
故选：D.
例题3．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（理）） 的展开式中 的系数是___________（用数字
作答）
【答案】
【详解】展开式通项为： ； 展开式通项为： ；
则当 ， 时， 的系数为 ；当 ， 时， 的系数为
；当 ， 时， 的系数为 ；当 ， 时， 的
系数为 ；
的展开式中 的系数为 .
故答案为： .
同类题型归类练
1．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）在 的展开式中，含 项的系数为（ ）
A．21 B．15 C．9 D．-6
【答案】C
【详解】解：
，
可知含 项的系数是 ．
故选：C．
2．（2022·广东·中山一中高三阶段练习） 的展开式中，含 项的系数为___________.
【答案】
【详解】 相乘的5项中，含 的项只能由4个2与1个 相乘所得，故含 项的系数为
.
故答案为：
3．（2022·全国·高二课时练习） 的展开式中 的系数是______（用数字作答）．
【答案】-4480
【详解】解： ，
其展开式的通项为 ，令 ，则 ，
的通项为 ，
令 的系数为 .
所以 的展开式中 的系数是 .
故答案为：-44804．（2022·上海·复旦附中高二期末）在 的展开式中， 项的系数为___________.
【答案】
【详解】由题设，展开式通项可写为 ，
而 项中 的指数为0，故 项包含于 ，
所以 ，
则 有 .
故答案为：
题型二：二项式系数与各项的系数和问题
角度1：二项式系数和与系数和
典型例题
例题1．（2022·河南河南·高二期末（理）） 的展开式中所有奇数项的二项式系数和为
（ ）．
A．128 B．256 C．512 D．1024
【答案】C
【详解】解： 的展开式中所有奇数项的二项式系数和为 ，
故选：C．
例题2．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校高二阶段练习）已知 的展开式中各
项的二项式系数之和为256，则展开式中的常数项为（ ）
A．-70 B．70 C．-40 D．30
【答案】B
【详解】解：依题意可得 ，所以 ，
则 展开式的通项为 ，
令 ，解得 ，所以展开式中常数项为 ；
故选：B
例题3．（2022·河北唐山·高二期中）已知 的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是 ．
(1)求展开式中各项系数的和与二项式系数的和；
(2)求展开式中含 的项．【答案】(1)二项式系数之和为 ，展开式中各项系数的和为1(2)
(1)解：因为 的展开式的通项为 ，
所以第五项系数为 ，第三项系数为 ，
则 ，解得 或 （舍），
所以令 可得展开式中各项系数的和为1，二项式系数和为 ；
(2)解：二项式的通项公式为 ，令 ，则 ，
所以展开式中含 的项为 ．
例题4．（2022·广东茂名·高二期中）已知 .求下列
各式的值：
(1) ；
(2) ；
(3) .
【答案】(1)-1(2)2187(3)-1094
(1)令 ，得
(2)令 ，得
由 的展开式的通项为 ，知 ， ， 为负数
，
所以
(3)由 ，
得 ，
所以
例题5．（2022·江苏宿迁·高二阶段练习）在①只有第5项的二项式系数最大，②第4项与第6项的二项式
系数相等，③奇数项的二项式系数的和为128，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，
解决下面两个问题.
已知， 的展开式中，_________.
(1)展开式中的第6项；(2)若 .
①求 的值；
②求 的值.
【答案】(1)选①②③答案一样：
(2)①0；②0
(1)选①：只有第5项的二项式系数最大，即只有 最大
则 ，
则展开式通项公式为 ，
当 时， ；
选②：第4项与第6项的二项式系数相等，即 ，则 ，
则展开式通项公式为 ，
当 时， ；
选③：奇数项的二项式系数的和为128，
即 ，则
则展开式通项公式为 ，
当 时， ；
(2)①由第一问可知： ，
，
令 得： ，
令 得： ，
所以
② ，求导得：
，
令 得：
同类题型归类练
1．（2022·上海中学东校高二期末）（1）设 ，求
①展开式中各二项式系数的和；
② 的值．【答案】（1）① ；② ；（2）13或14
【详解】（1）①展开式中各二项式系数的和为 ；
②令 得： ，
令 得： ，
所以 ，
2．（2022·重庆市永川北山中学校高二期中）已知 的展开式中各项的二项式系数之和为
16．
(1)求 的值及展开式中各项的系数之和；
(2)求展开式中的常数项．
【答案】(1) ；展开式中各项的系数之和为81.
(2)24
(1)由题意知， ,
解得 ．
在 展开式中，令x＝1，得展开式中各项的系数之和为 .
(2) 展开式的通项为
令 ，得 ，
所以 .
即展开式中的常数项为24．
3．（2022·广东·新会陈经纶中学高二期中）设(2－ x)10=a+ax+ax2+…+a ·x10，求下列各式的值.
0 1 2 10
(1)求a；
0
(2)求(a+a+…+a )2－(a+a+…+a)2；
0 2 10 1 3 9
(3)求二项式系数的和.
【答案】(1)1024(2)1(3)1024
(1)令x=0，得a=210=1024.
0
(2)令x=1，可得a+a+a+…+a =(2－ )10，①
0 1 2 10
令x=－1，可得a－a+a－a+…+a =(2+ )10.②
0 1 2 3 10
结合①②可得，
(a+a+…+a )2－(a+a+…+a)2=(a+a+a+…+a )(a－a+a－…+a )
0 2 10 1 3 9 0 1 2 10 0 1 2 10
=(2－ )10×(2+ )10=1.
(3)二项式系数的和为 + +…+ =210=1024.4．（2022·广东·南海中学高二阶段练习） .求：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)展开式中二项式系数和以及偶数项的二项式系数和；
(5) .
【答案】(1)1(2) (3) (4) ， (5)第1012项.(6)4044
（1）令 ，得 ①.
（2）令 ，得 ②.由①-②得 ，
.
（3）相当于求展开式 的系数和，令 ，得 .
（4）展开式中二项式系数和是 .展开式中偶数项的二项系数和是
.
（5） 两边分别求导得：
，令 ，得
.
5．（2022·重庆长寿·高二期末）二项式的展开式 中，中间项的系数为-160.
(1)求 的值；
(2)求 .
【答案】(1)-2；(2)729.
(1)依题意， 展开式的中间项为 ，因此 ，解得 ，
所以 的值是-2.
(2)由（1）知 ，显然， 均为负数，另4项的系数为正数，
取 ，有 ，
所以 .
6．（2022·河北邯郸·高二阶段练习）已知(1)求 ；
(2)求 .
【答案】(1)255(2)32895
(1)令 ，则 .
令 ，则 ，①
故 .
(2)令 ，则 ，②
①+②可得 ，
故 .
7．（2022·北京石景山·高二期末）在 的展开式中，二项式系数之和为_________；各项系数之和为
_________．（用数字作答）
【答案】 16 256
【详解】在 的展开式中，二项式系数之和为 ；
令 ， ，即各项系数和为 .
故答案为：① ；② .
8．（2022·浙江·湖州市菱湖中学模拟预测）二项式 的展开式中所有的二项式系数之和为64，则
______，则展开式中含 的项的系数为____________．
【答案】
【详解】解：由已知可得 ，解得 ，
故 的展开式的通项公式为 ，
令 ，解得 ，则展开式中含 项的系数为 ，
故答案为： ； ．
角度2：展开式的逆应用
典型例题
例题1．（2022·云南昆明·高二期中）已知 ，则
（ ）
A．31 B．32 C．15 D．16
【答案】A【详解】逆用二项式定理得 ，即 ，所以n=5，所以
．
故选:A
例题2．（2022·辽宁·建平县实验中学高二期中）已知 ，则 除以10所得
的余数是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】D
【详解】解：
，
所以 除以10的余数为8．
故选：D．
同类题型归类练
1．（2022·山东·临沭县教育和体育局高二期中）
除以78的余数是（ ）
A． B．1 C． D．87
【答案】B
【详解】因为
所以 ，除了第一项之外，其余每一项都含有 的倍数，所
以原式除以 的余数为1.
故选:B．
2．（2022·北京大兴·高二期末）化简 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 ，
所以 .
故选：B
3．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）数列 中， ， ，
的值为（ ）
A．761 B．697 C．518 D．454【答案】D
【详解】解：因为 ，又 ，
所以 以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ，所以 ，
则
又
，
，
所以 ，
故选：D
题型三：项式系数的性质
角度1:二项式系数最大问题
典型例题
例题1．（2022·山西·祁县中学高二阶段练习） 展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A． B． C． 和 D． 和
【答案】C
【详解】 展开式的通项公式为 ，
因为 展开式共有8项，
所以第4项和第5项的二项式系数最大，
所以 展开式中二项式系数最大的项为 和 ，
即为 和 ，
故选：C
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知 的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比
为 ，则展开式中二项式系数最大的项为第（ ）项.
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】 的展开式通项为 ，第3项为 ，其系数为 ，
倒数第3项为 ，其系数为 ，
由题意， ，所以 ，
所以展开式中二项式系数最大的项为 ，即为展开式的第4项.
故选：B.
例题3．（2022·山西师范大学实验中学高二阶段练习）在 的展开式中，偶数项的二项式系数之和
为128，则展开式中二项式系数最大的项的系数为（ ）
A．-960 B．960 C．1120 D．1680
【答案】C
【详解】因 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则有 ，解得 ，
即 的展开式共有9项，于是得展开式的第5项的二项式系数最大， ，
所以展开式中二项式系数最大的项的系数为1120.
故选：C
例题4．（2022·全国·高二课时练习）设 若 ，则展
开式中二项式系数最大的项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题可知， ，
当 时， ，
的展开式中，通项为： ，
则常数项对应的系数为： ，即 ，得 ，
所以 ，解得： ，
则 展开式中二项式系数最大为： ，
则二项式系数最大的项为：
故选：C．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）在 的展开式中，只有第 项的二项式系数最大，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【详解】在 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即中间项 项的二项式系数最大， 即，解得：
故选：C．
2．（2022·广东·广州市禺山高级中学高二期中）设 若
，则展开式中二项式系数最大的项是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题可知， ，
当 时， ，
的展开式中，通项公式为： ，
则常数项对应的系数为： ，即 ，得 ，
所以 ，解得： ，
则 展开式中二项式系数最大为： ，
则二项式系数最大的项为： .
故选：A.
3．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模） 的展开式中，二项式系数最大的项的系数是
___________.
【答案】
【详解】解：因为 的展开式有 项，
所以第 项的二项式系数最大，
所以 的展开式中的二项式系数最大的项为 .
所以， 的展开式中，二项式系数最大的项的系数是 .
故答案为：
4．（2022·河北·高碑店市崇德实验中学高二阶段练习）已知 的展开式中，第4项的系数与倒数
第4项的系数之比为 ，则展开式中最大的二项式系数值为______．
【答案】【详解】由题意， 的展开式的通项为 ，所以展开式中第4
项的系数为 ，倒数第4项的系数为 ，所以 ，即 ，得 ，
所以展开式中最大的二项式系数值为 或 .
故答案为：
角度2：系数最大问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高二课时练习）设 ，若 ，则展开式中系
数最大的项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，所以当 时，可得 ；
当 时，可得 ．
又 ，所以 ，得 ，
所以 的展开式中系数最大的项为第4项，即 ,
故选：B
例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））若 的展开式中各项的二项式系数之和为512，
且第6项的系数最大，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由于二项式 的展开式中各项的二项式系数之和为512，
所以 ，即 ，
展开式的通项公式为 ，
依题意可知 ，
.
故选：C
同类题型归类练1．（2022·广东·盐田高中高二阶段练习）在 的展开式中，所有奇数项的二项式系数和为32，
则展开式中系数最大的项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：因为在 的展开式中，所有奇数项的二项式系数和为32，
所以 ，解得 ，
则
，
所以展开式中系数最大的项为 .
故选：B.
2．（2022·江西抚州·高二阶段练习（理））已知 的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中系
数最大的项为___________．
【答案】
【详解】令 ，则 的展开式各项系数之和为 ，则 ；
由 的展开式通项公式 知二项展开式的系数最大项在奇数项，
设二项展开式中第 项的系数最大，
则 ，化简可得：
经验证可得 ，
则该展开式中系数最大的项为 .
故答案为: .
第四部分：高考真题感悟
1．（2022·北京·高考真题）若 ，则 （ ）
A．40 B．41 C． D．【答案】B
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 ，
故选：B.
2．（2022·全国·高考真题） 的展开式中 的系数为________________（用数字作答）．
【答案】-28
【详解】因为 ，
所以 的展开式中含 的项为 ，
的展开式中 的系数为-28
故答案为：-28
3．（2022·浙江·高考真题）已知多项式 ，则
__________， ___________．
【答案】
【详解】含 的项为： ，故 ；
令 ，即 ，
令 ，即 ，
∴ ，
故答案为： ； ．
4．（2022·天津·高考真题） 的展开式中的常数项为______.
【答案】
【详解】由题意 的展开式的通项为 ，
令 即 ，则 ，
所以 的展开式中的常数项为 .
故答案为： .
