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第 03 讲 二项式定理 (精练）
A 夯实基础 B 能力提升 C 综合素养
A 夯实基础
一、单选题
1．（2022·全国·高二单元测试）已知 的展开式中含 的项的系数为（ ）
A．30 B．-30 C．25 D．-25
【答案】A
【详解】 展开式的第 项为 ，令
，得 ，故展开式中含 的项的系数为 ．
故选：A．
2．（2022·全国·高二课时练习）若 的展开式有9项，则自然数 的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【详解】解：因为 的展开式共有 项，所以 ，所以 ，
故选：B．
3．（2022·广东广州·高二期末）已知二项式 展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为
（ ）
A． B． C．15 D．20
【答案】B
【详解】根据题意可得 ，解得 ，
则 展开式的通项为 ，
令 ，得 ，
所以常数项为： .
故选：B.
4．（2022·福建厦门·高二期末）在 的展开式中，含 的项的系数是（ ）A．5 B．6 C．7 D．11
【答案】C
【详解】因为 中只有 和 中含 的项，
的含 的项为 ， 的含 的项为 ，
所以 的展开式中含 的项的系数是 .
故选：C.
5．（2022·黑龙江·大庆市东风中学高二期末）在 （ ）的展开式中，若第5项为二项式系数最
大的项，则n的值不可能是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【详解】当 时， 的展开式有8项， 的展开式中二项式系数 最大，
即第四项和第五项的二项式系数最大；
当 时， 的展开式有9项， 的展开式中二项式系数 最大，
即第五项的二项式系数最大；
当 时， 的展开式有10项， 的展开式中二项式系数 最大，
即第五项和第六项的二项式系数最大.
当 时， 的展开式有11项， 的展开式中二项式系数 最大，
即第六项的二项式系数最大.
故选：D．
6．（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））定义函数 ，已知
为虚数单位 ，则 的展开式中常数项是（ ）
A．180 B．120 C．90 D．45
【答案】A
【详解】 ，
由题可知 ，所以 .
所以 的展开式的通项为 .
令 ，解得 .所以展开式中的常数项是 .
故选：A
7．（2022·河南南阳·高二期末（理）） 的展开式中 的系数为（ ）A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【详解】 的通项公式 ，
令 ，则 ，
所以 的系数为 ，
故选：B
8．（2022·福建·泉州市城东中学高二期中）若 ，且
，则实数 的值可以为（ ）
A．1或 B． C． 或3 D．
【答案】A
【详解】在 中，
令 可得 ，即 ，
令 ，可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
整理得 ，
解得 ，或 ．
故选：A
二、多选题
9．（2022·全国·高二课时练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【详解】令 ，得 ，故A错误；
令 ，得 ，
即 ，所以 ，故B错误；
因为 的展开式的通项为 ，所以 ，故C正确；
由 的展开式的通项及题意，
得 ，
令 ，得 ，
则 ，故D正确．
故选：CD
10．（2022·广东·佛山市南海区狮山高级中学高二阶段练习）已知
，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】解：对于A，取 得 ，所以 ，故A正确；
对于B， 的展开式中第7项为 ，所以 ，故B正确；
对于C，取 得 ，故C错误；
对于D，由 ，
取 得 ，
取 得 ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
11．（2022·全国·高二课时练习）计算： ________．
【答案】1
【详解】
,
故答案为：1
12．（2022·贵州·贵阳市白云区第二高级中学高二期末（理））若 ，则
_________.（用数字作答）【答案】127
【详解】因为 ，
所以 奇次方系数为负， 偶次方系数为正，
所以 ，
对于 ，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
两式相减，得 ，
即 .
故答案为：127
四、解答题
13．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高二阶段练习（理））已知 的二项式展开式的各项二项
式系数和与各项系数和均为128，
(1)求展开式中所有的有理项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【答案】(1)展开式中所有的有理项为 ， (2) 和
(1)解：因为 的二项展开式的各二项式系数和为 ，各项系数和为 ，
所以由已知得 ，故 ，
所以 ，解得 ，
所以该二项式为 ，其通项为 ， ，
所以当 时，该项为有理项，
所以展开式中所有的有理项为 ， ；
(2)解：因为 展开式的通项公式为 ， ，
所以展开式中系数最大的项即为展开式中二项式系数最大的项，而由二项式系数的性质可知最大的项为展
开式的第 或第 项，
所以展开式中系数最大的项为 和 ；14．（2022·广东·南海中学高二阶段练习）已知 展开式的二项式系数和为512，且
.
(1)求 的值；
(2)设 ，其中 ，且 ，求 的值.
【答案】(1) (2)
（1）因为 展开式的二项式系数和为512，所以 ，得 ，所以
，所以 .
（2）
，因为 能被6整除，而 ，
，所以 .
B 能力提升
1．（2022·全国·高二单元测试）在二项式 的展开式中，二项式系数最大的项只有一项，且是
第4项．
(1)求 的值；
(2)求展开式中所有有理项的系数之和；
(3)把展开式中的项重新排列，求有理项互不相邻的排法种数．
【答案】(1)6(2)32(3)144
（1）由题意知 ，所以 ．
（2）二项式 的展开式的通项为 ，
当 时， 的次数为整数，对应的项为有理项．
于是展开式中有理项共有四项，分别为第1项第3项、第5项、第7项，
所以展开式中所有有理项的系数之和为 （或
）．
（3）展开式共有7项，其中4项为有理项，3项为无理项．
将无理项排列，有 种排法，
将有理项插空排列，有 种排法，
故有理项互不相邻的排法共有 （种）．2．（2022·全国·高二课时练习）在①若展开式倒数后三项的二项式系数之和等于46，②若展开式所有项的
系数和为512，③若展开式中第3项与第4项的系数之比为3：7这三个条件中任选一个，并且解答下列问
题．
在二项式 的展开式中，______．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的常数项．
【答案】(1) 和 (2)84
（1）选择条件①：由题意，得 ，整理得 ，
解得 （ 舍去）．因此，二项展开式中共有10项，所以二项式系数最大的项有两项：第5项和
第6项．又 ， ，所以展开式中二项式系数最大的项为
和 ．选择条件②：因为展开式所有项的系数和为512，所以 ，解得 ．因此，二项
展开式中共有10项，所以二项式系数最大的项有两项：第5项和第6项．又 ，
，所以展开式中二项式系数最大的项为 和 ．选择条件③：依题意可得
，即 ，所以 ．因此，二项展开式中共有10项，所以二项式系数最大的项有两项：第
5项和第6项．又 ， ，所以展开式中二项式系数最大的项
为 和 ．
（2）由（1）得 ，二项式为 ，二项展开式的通项为
，令 ，得 ，所以展开式中的常数项为
．
C 综合素养
1．（2022·江苏·苏州中学高二期末）在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数
相等；③奇数项的二项式系数的和为128；这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.
已知 （n∈N*），___________
(1)求 的值：
(2)求 的值.
【答案】(1)-1(2)16
（1）解：若选①：因为只有第5项的二项式系数最大，所以展开式中共有9项，即 ，得 ，若
选②：因为第4项与第6项的二项式系数相等，所以 ，若选③：因为奇数项的二项式系数
的和为128，所以 ，解得 .因为 ，令 ，则有
，即有 ，令 ，得 ，所以
；综上所述： ；
（2）由(1)可知：无论选①，②，③都有 ， ，两边求导得
，令 ，则有 ，所以
.
2．（2022·江苏淮安·高二期末）（1）用二项式定理求 除以5的余数；
（2）某小组有8人，从中选择4人参加活动，有两种选法：第一种：直接选4人，有 种选法．第二种：
如果该组的组长参加活动，则从剩余的7人中选3人，有 种选法；如果该组的组长不参加活动，则从剩
余的7人中选4人，有 种选法．因为这两种选法的效果是一致的，所以我们可以得到一个等式：
．试将这种情形推广：从 个元素中选择m个元素的不同选法得到的等式是
．并以此求解： ．（用数字作答）．
【答案】（1）4；（2） ，84.
（2）利用类比推理及组合数的性质即可求解.
【详解】（1）因为 ．
在展开式中，前5项均可以被5整除，最后一项为 ，因此 除以5的余数为4．
（2）类比引例方法可得 ．
所以
．
