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微专题：利用不等式性质求代数式的取值范围
【考点梳理】
由a<f(x，y)<b，c<g(x，y)<d，求F(x，y)的取值范围，可利用待定系数法解决，即设 F(x，y)＝mf(x，y)＋
ng(x，y)(或其他形式)，通过恒等变形求得m，n的值，再利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求得 F(x，
y)的取值范围. 不可忽略x，y的制约关系，而单独求出x，y的范围，再求F(x，y).
【题型归纳】
题型一： 由不等关系求范围
1．已知 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知 且满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型二： 由等量关系求范围
4．已知实数a，b，c满足 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知 且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知实数x，y满足 ，则代数式 的值为（ ）
A．1 B． C．2020 D．
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【双基达标】
7．王老师是高三的班主任，为了在新型冠状病毒疫情期间更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一
个学习小组的钉钉群，群的成员由学生､家长､老师共同组成.已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生
人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该钉钉群人数的最小值为（
）
A． B． C． D．
8．已知 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．设 ，且1是一元二次方程 的一个实根，则 的取值范围为
A． B． C． D．
10．若实数 、 满足 ，则 的取值范围是（ ）.
A．
B．
C．
D．
11．已知实数x，y满足 ，则以下结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
12．高斯是德国著名数学家，享有“数学王子”的称号，以他名字命名的“高斯函数”是数学界非常重要的函数．
“高斯函数”为 ，其中 表示不超过 的最大整数．例如 ，则函数 的
值不可能为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司13．在西方，人们把宽与长之比为 的矩形称为黄金矩形，这个比例 被
称为黄金分制比例．如图，名画《蒙娜丽莎的微笑》的整个画面的主体部分便很好地体现了黄金分割比例，其中
矩形 ，矩形 ，矩形 ，矩形 ，矩形 为黄金矩形．若画中点G与点K间的距离超过
，点C与点F间的距离不超过 ，则该名画中，A与B间的距离可能为（ ）（参考数据：
）
A． B． C． D．
14．已知 ， ，则 与 之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法比较
15．若 ， ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
16．已知 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．已知 ，则 的值可能为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
18．已知 ， ， 为正整数， ，则方程 的解得个数为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．12
19．若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司20．已知点 在直线 上，且满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
21．若 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
22．若实数x，y满足约束条件 则z=x+2y的取值范围是（ ）
A．(-∞,5] B．(-∞,7] C．[7,+∞) D．[5,+∞)
23．设实数 、 满足 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
24．已知 ，则 的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．4
25．已知－3<a<－2，3<b<4，则 的取值范围为（ ）
A．(1，3)
B．
C．
D．
【高分突破】
一、单选题
26．对任意 及 ，不等式 恒成立，则实数a的取
值范围是（ ）
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
27．若α，β满足 ，则2α－β的取值范围是
A．－π < 2α－β < 0 B．－π < 2α－β < π
C．－ < 2α－β < D．0 < 2α－β < π
28．已知 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
29．在复平面内，复数z满足 ，且z所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则
的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多选题
30．已知 ， ，则 的值可能是（ ）
A． B． C． D．
31．已知实数 ， 满足 ， ，则 可能取的值为（ ）
A． B． C． D．
32．下列说法正确的是（ ）
A．已知集合 ， ，若 ，则实数m组成的集合为
B．
C． ， ，则 的取值范围是
D．当 时， 的最小值为
33．已知实数x，y满足 则（ ）
A． 的取值范围为 B． 的取值范围为
C． 的取值范围为 D． 的取值范围为
三、填空题
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司34．设二次函数 ，若函数 的值域为 ，且 ，则 的取
值范围为___________.
35．设x，y为实数，满足 ， ，则 的最小值是______.
36．已知实数 ， ，满足 则 的取值范围是________．（用区间表示）
37．已知正数x，y满足x2+2xy+4y2＝1，则x+y的取值范围是____.
38．已知实数 、 满足 ， ，则 的取值范围为______．
39．设 ， ，那么 的取值范围是________．
四、解答题
40．（1）若 ， ，求 ， 的取值范围；
（2）已知 ， 满足 ， ，求 的取值范围．
41．若 ，求 的取值范围.
42．已知函数 ．
（1）求不等式 的最小整数解 ；
（2）在（1）的条件下，对任意 ， ，若 ，求 的最小值．
43．（1）已知 ，求证： ；
（2）已知 ，求 的取值范围；
（3）已知 ，求 的取值范围．
44．已知1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，求4a-2b的取值范围.
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．A
【解析】
【分析】
设 ，求出 的值，根据 的范围，即可求出答案.
【详解】
设 ，
所以 ，解得： ，
因为 ，所以 ，
故选：A.
2．C
【解析】
【分析】
设 ，求出 结合条件可得结果.
【详解】
设 ，可得 ，
解得 ， ，
因为 可得 ，
所以 .
故选：C.
3．C
【解析】
【分析】
由不等式的性质求解
【详解】
，
故 ， ，得
故选：C
4．C
【解析】
【分析】
第 7 页根据题意可得 ， ，结合基本不等式，求出 的范围，即可求出 的
取值范围．
【详解】
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故选：C.
5．C
【解析】
【分析】
首先求得 及 的取值范围，再把 转化为关于 的代数式 ，利用函数 的单调性去求
的取值范围即可解决
【详解】
由 ，可得 ，
则 ，则 ，令 ，则
，
又 在 单调递增，在 单调递减
， ，
则 ，即
故选：C
6．A
【解析】
【分析】
由已知可得 ，进而计算可得.
第 8 页【详解】
因为 ，所以由 ，可得 ，
解得 ，所以 ，
故选：A.
7．C
【解析】
【分析】
设教师人数为 ，家长人数为 ，女学生人数为 ，男学生人数为 ，由题意得到 ，再由教师人
数的两倍多于男学生人数得到x的范围求解.
【详解】
设教师人数为 ，家长人数为 ，女学生人数为 ，男学生人数为 ， ､ ､ ､ ，
则 ， ， ，则 ，
又“教师人数的两倍多于男学生人数，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
此时总人数最少为 ，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题关键是抓住“多于”抽象出不等关系，再由不等式关系的传递性确定教师人数的范围而得解.
8．C
【解析】
【分析】
由不等式的性质可求解
【详解】
， ，
故选：C
9．C
【解析】
【分析】
首先根据条件1是一元二次方程 的一个实根，再结合 ，从而得出 ，对b的符号进
行分类讨论，从而求得结果.
【详解】
又因为1是一元二次方程 的一个实根，
所以有 ，且 ，
所以 ，
第 9 页所以 ，所以排除A、B两项，
当 时， ，所以 ，此时 ，
当 时， ，此时 ，
当 时， ，所以 ，此时 ，
所以 ，
故选C.
【点睛】
该题考查的是有关式子的取值范围的求解问题，涉及到的知识点有一元二次方程根的特征，对题的条件的转化，
不等式的性质，分类讨论的思想，属于简单题目.
10．D
【解析】
【分析】
利用不等式的性质即可求解.
【详解】
解： ，
， ，
又 ，
.
故选：D.
11．D
【解析】
【分析】
由题可得 ，然后逐项分析即得.
【详解】
由 得 ，
所以 ，所以 ，故A正确；
， ，所以 ，故B正确；
∵ ，故C正确：
由选项A，得 .则 ；另一方面， ，则 ，所以 不成立，故D错误.
第 10 页故选：D.
12．D
【解析】
【分析】
设 ,利用基本不等式结合不等式的性质求出函数 的取值范围，即得解.
【详解】
解：设 ，
因为 （当且仅当 时等号成立），
所以 ，
所以 ，
所以 有可能为 .
故选：D
13．B
【解析】
【分析】
根据黄金矩形的定义，列式后表示 ， ，根据题中的条件，表示 的范围.
【详解】
由黄金矩形的定义可知 ，所以
，所以 ．
，所以 ，即 ，对照各选项，只有
B符合．
故选：B．
14．B
【解析】
【分析】
构造函数 ，得到 ，然后利用不等式的性质，由 与 的大小判断.
第 11 页【详解】
设 ，则 ，
所以 ，
，
而 ，
所以 ，即 ，
故选：B
15．B
【解析】
【分析】
利用不等式的基本性质即可得出．
【详解】
解：因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：B
16．A
【解析】
【分析】
设 ，利用待定系数法求得 ，利用不等式的性质即可求
的取值范围.
【详解】
设 ，
所以 ，解得： ， ，
因为 ， ，所以 ，
故选：A.
17．B
【解析】
【分析】
利用基本不等式直接求解即可
【详解】
，
第 12 页， ，即 ，
当且仅当 ，即 取等号，所以 的取值范围为 ，
故选：B
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的
因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的
最值，这也是最容易发生错误的地方.
18．B
【解析】
首先根据题中所给的条件，可以断定 ，之后对 分别求解，得到结果.
【详解】
因为 ，所以 ，
当 时，则 ，即 ，
可得 可取 ；
当 时，则 ，
可得 可取 ；
当 时，则 ，解得 ， 或 ，
进而解得 为 ；
当 时，则 ，可得 为 ；
所以方程 的解的个数为 ，
故选：B.
【点睛】
该题考查的是有关根据题中条件，判断方程根的个数的问题，在解题的过程中，注意结合不等式的性质，求得某
个变量的取值，分类讨论求得结果.
19．C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质即可求出．
【详解】
因为 ，所以 ，即 的取值范围是 ．
第 13 页故选：C．
20．B
【解析】
由 ，求出 的取值范围，再求出 的范围.
【详解】
由题意 ， ，
， ，解得 ，
，
， 或 ，
或 ，所以 .
故选： .
【点睛】
本题考查直线方程，考查不等式的性质，解题过程是利用点在直线上，且满足的不等式关系求出 的范围，然后
再利用不等式的性质求解.
21．A
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，求得 ，且 ，即可求解.
【详解】
由 ，可得 ，
又由 ，可得 ，
因为 ，可得 ，
所以 ，即 的取值范围是 .
故选：A.
22．C
【解析】
【分析】
由待定系数法得到 ，由 可得 ，进而由不等式性质可得结果.
第 14 页【详解】
令 ，
由 得 ， ，所以 .
由 ，
故 .
故选：C.
23．B
【解析】
【分析】
利用不等式的基本性质可求得 的取值范围.
【详解】
由已知得， ， ，故 ，
故选：B.
24．B
【解析】
【分析】
将 ，变形为 ，令 ，根据 确定 ，得到
，然后由 ，，进一步确定 ，然后由 ，
利用三角函数性质求解.
【详解】
因为 ，
，
令 ，
则 ，
第 15 页因为 ，
所以 ，即 ，
解得 ，
所以 ，
，
，
，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，则 ，
所以 ，
所以 的最小值是3，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：本题关键是将 ，变形为 ，利用三角换元，转化为三角函数求解.
25．A
【解析】
【分析】
先求出a2的范围，利用不等式的性质即可求出 的范围.
【详解】
因为－3<a<－2，所以a2∈(4，9)，而3<b<4，故 的取值范围为(1，3)，故选：A．
第 16 页26．D
【解析】
【分析】
先分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，令 ，利用不等式的性质求出 的范围，再利用
基本不等式求得最值，进而求出 的范围.
【详解】
依题意，对任意 及 ，
不等式 恒成立等价于
对任意 及 ，
恒成立.
设 ，则 .
因为 ， ，
所以 ，则 ，
即 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
∴ .
故选：D.
27．C
【解析】
【分析】
由不等式的同向可加性得到 ，结合 将右侧范围进一步缩小，即可得到答案
【详解】
由 知：
由 知：
∴
又∵ 即
第 17 页∴
故选：C
【点睛】
本题考查了不等式的性质，应用不等式的同向可加性及同减相同的数符号不变，求范围
28．D
【解析】
【分析】
利用待定系数法得出 ，并计算出 的取值范围，利用不等式的性质可得出 的
取值范围.
【详解】
设 ， ，解得 ，
，
， ， ，
由不等式的性质可得 ，即 ，
因此， 的取值范围是 ，故选D.
【点睛】
本题考查求代数式的取值范围，解题的关键就是将所求代数式用已知的代数式加以表示，在求解可充分利用待定
系数法，考查运算求解能力，属于中等题.
29．B
【解析】
【分析】
求出z，由z所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上得到 ，设 ，解得
可得 ，从而得到答案.
【详解】
由 ，得 ，
因为z所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，
所以 ，即 ，
设 ，解得 ，
第 18 页所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：B.
30．ABC
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性子，根据 ，先计算 范围，最后简答计算即可.
【详解】
解析已知 ， ，
那么有 ，
所以 ．
故选：ABC．
31．BC
【解析】
【分析】
令 ，根据 ，求得 的值，结合不等式的性质，即可求解.
【详解】
由题意，实数 ， 满足 ， ，
令 ，即 ，
可得 ，解得 ，所以 ，
则 ， ，
所以 .
故选：BC.
32．BCD
【解析】
【分析】
A.考虑特殊情况： ；B.先根据分母有理化进行化简，然后作差比较大小即可；C.将 表示为
的线性组合，由此可求出范围；D.利用对勾函数单调性求解出最小值.
【详解】
A.当 时， ，此时 满足，故错误；
B.因为 ，所以 ，所以 ，故正确；
第 19 页C.不妨设 ，所以 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，故正确；
D.设 ，令 ，
所以 ，由对勾函数的单调性可知 在 上单调递增，
所以 ，此时 ，即 ，故正确；
故选：BCD.
33．ABD
【解析】
利用不等式的性质直接求解.
【详解】
因为 ，所以 .因为 ，所以 ，则 ，故A正确；
因为 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 ，所以
，故B正确；
因为 ，所以 ，则 ，故C错误；
因为 ，所以 ，则 ，故D正确.
故选：ABD.
34．[1,13]
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质和已知条件得到m与n的关系，化简 后利用不等式即可求出其范围.
【详解】
二次函数f(x)对称轴为 ，
∵f(x)值域为 ，
∴ 且 ，n＞0.
，
∵
第 20 页= = = =
∴ ， ，
∴ ∈[1,13].
故答案为：[1,13].
35．
【解析】
利用方程组形式，可得 ，求得 后结合不等式性质即可求得 的最小值.
【详解】
设
即
所以 ，解得
所以
因为 ， ，
所以
由不等式性质可知
即 ，当且仅当 时取等号，解得 .
综上可知， 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了不等式的化简变形应用，不等式性质求最值，关键是要求出两个不等式间的关系，属于中档题.
36．
【解析】
【分析】
直接用 表示出 ，然后由不等式性质得出结论．
第 21 页【详解】
,
则 解得 ，则 ，
又 ，
∴ ，
即 ，
故答案为： ．
37．（ ，1）
【解析】
【分析】
由题意x2+2xy+4y2＝1，可得4y2＜1，即有0＜y ，又x2+2xy+y2＝1﹣3y2 ，即 （x+y）2＜1，解关于
x+y的不等式可得.
【详解】
∵正数x，y满足x2+2xy+4y2＝1，
可得4y2＜1，即有0＜y ，
∴x2+2xy+y2＝1﹣3y2 ，即 （x+y）2＜1，
解得 x+y＜1
故x+y的取值范围为（ ，1）
故答案为：（ ，1）
38．
【解析】
【分析】
设 ，利用待定系数法求出 的值，然后根据不等式的性质即可求解.
【详解】
解：设 ，则 ，解得 ，
所以 ，
因为 ， ，
第 22 页所以 ， ，
所以 ，
故答案为： .
39．
【解析】
【分析】
根据不等的性质，即可求出结果.
【详解】
因为 ， ，
所以 ， ，
∴ .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查不等式性质的应用，属于基础题型.
40．（1） ， ；（1） .
【解析】
（1）根据 ，得到 ，同理由 ，得到 ，再利用不等式的基
本性质加法和乘法求解.
（2）设 ，利用待定系数法求得m，n再根据 ， 求解.
【详解】
（1）因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ， ；
所以 的取值范围是 ； 的取值范围是 ；
（2）设 ，
则 ，
第 23 页解得 ，
所以 ，
又因为 ， ，
所以 ，
所以 的取值范围是
【点睛】
本题主要考查不等式的基本性质的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
41．
【解析】
分类讨论 和 ，利用不等式的性质得出 的取值范围.
【详解】
当 时有 ， ，故 ，即 ；
当 时， ，故 ，因为 所以
又 ，所以 ，即 .
综上 .
【点睛】
本题主要考查了利用不等式的性质求范围，属于中档题.
42．（1） ；（2）8
【解析】
【分析】
（1）利用分类讨论法求解不等式，进而得到最小整数解 ；
（2）化简整理 ，再利用基本不等式及不等式的性质求出 ，进而求得结果.
【详解】
（1）当 时，原不等式化为 ，解得 ，所以 ；
当 时，原不等式化为 ，解得 ，所以 ；
当 时，原不等式化为 ，解得 ，所以 ．
综上，原不等式的解集为 ．
所以最小整数解 ．
（2）由（1）知 ， ，又 ，
第 24 页所以
．
， ， ，
又 ，当且仅当 时等号成立，
， ， ，所以 的最小值为8
【点睛】
方法点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数与基本不等式的综合应用，含有多个绝对值符合的不等式，
一般可用零点分段法求解，对于形如 或 ，利用实数绝对值的几何意义求解，解答题采用零
点分段法求解，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.
43．（1）证明见解析；（2） ；（3） ．
【解析】
【分析】
（1）根据不等式的性质可证明该不等式.
（2）先求出 的范围，从而可求 的取值范围.
（3）根据 可求 的取值范围．
【详解】
（1）因为 ，所以 ,则 ．
（2）因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
（3）已知 ，
因为 ，所以
44．
【解析】
【分析】
令4a-2b=x(a+b)+y(a-b)，利用待定系数法求得x，y，再利用不等式的基本性质求解.
【详解】
令4a-2b=x(a+b)+y(a-b)，
所以4a-2b=(x+y)a+(x-y)b.
第 25 页所以
解得
因为1≤a+b≤4，-1≤a-b≤2，
所以
所以-2≤4a-2b≤10.
第 26 页第 27 页
