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专题 03 等式性质与不等式性质（十一大题型+模拟精练）
目录：
01 由已知条件判断所给不等式是否正确
02 由不等式的性质比较数（式）的大小
03 作差法比较代数式的大小
04 作商法比较代数式的大小
05 由不等式的性质证明不等式
06 利用不等式求取值范围
07 不等式与三角函数、平面向量
08 不等式与函数
09 高考新考法—不等式在生活情景、传统文化中的综合应用
10 不等式与数列
10 不等式与数列
11 不等式与导数
01 由已知条件判断所给不等式是否正确
1．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用不等式的性质可判断A项正确，D项错误，通过举反例可说明B,C两项错误.
【解析】 ，即 ，故选项A正确；
当 时，满足 ，但 ，此时 ， ，故选项B，C错误；
当 时，由 可得 ，故选项D错误.
故选:A．
2．（23-24高三上·北京西城·期末）设 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用特殊值以及函数的图象、单调性等知识确定正确答案.【解析】A选项，若 ，满足 ，但 ，所以A选项错误.
B选项，若 ，满足 ，但 ，所以B选项错误.
C选项，若 ，满足 ，但 ，所以C选项错误.
D选项，对于函数 ，图象如下图所示，
由图可知函数在 上单调递增，所以D选项正确.
故选：D
3．（2024高三·全国·专题练习）若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对A、D，可借助特殊值法举出反例即可得；对B、C，借助不等式的基本性质即可得.
【解析】对A，令 ， ，有 ，故A错误；
对B，由 ，故 ，故B错误；
对C， ，
即只需， ，由 ，故 ，故C正确；对D，令 ，有 ，故D错误.
故选：C.
02 由不等式的性质比较数（式）的大小
4．（2024·上海杨浦·二模）已知实数 ， ， ， 满足： ，则下列不等式一定正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C.
【解析】对于ABD，取 ，满足 ，
显然 ， ， ，ABD错误；
对于C， ，则 ，C正确.
故选：C
5．（2024·北京丰台·二模）若 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】举反例即可求解ABC，根据不等式的性质即可求解D.
【解析】由于 ，取 ， ， ，无法得到 ， ，
故AB错误，
取 ,则 ，无法得到 ，C错误，
由于 ，则 ，所以 ，
故选：D
6．（2024·北京西城·一模）设 ，其中 ，则（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得.
【解析】由 ，故 ，故 ，
由对勾函数性质可得 ，
，且 ，
综上所述，有 .
故选：C.
03 作差法比较代数式的大小
7．（2024高三·全国·专题练习）若a＝（x＋1）（x＋3），b＝2（x＋2）2，则a与b的大小关系为
．
【答案】a＜b
【解析】
解析：因为b－a＝2（x＋2）2－（x＋1）（x＋3）＝2x2＋8x＋8－（x2＋4x＋3）＝x2＋4x＋5＝（x＋2）2＋
1＞0，所以a＜b.
【考查意图】
作差比较法比较大小．
8．（23-24高三上·河南·开学考试）已知： ，则 大
小关系是 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用作差法结合不等式性判断作答.
【解析】由 ，得 ，因此 ，
显然 ，则 ，
所以 大小关系是 .
故答案为：
9．（22-23高三·全国·对口高考）若 ，其中 ，则 .【答案】
【分析】由 确定 ，讨论 、 ，应用作差法比较 大小，
即可得答案.
【解析】由 且 ，则 ，
当 时， ，此时 ， ，
所以 ，即 ，满足题设；
当 时， ，此时 ， ，
所以 ，即 ，不满足题设；
综上， .
故答案为：
04 作商法比较代数式的大小
10．（2022高三·全国·专题练习）若a＝ ，b＝ ，则a b(填“＞”或“＜”)．
【答案】＜
【分析】作商法比较大小，结合对数的运算律和性质，即得解
【解析】易知a，b都是正数， ＝ ＝log 9＞1，所以b＞a.
8
故答案为：＜
11．（22-23高二上·广东江门·阶段练习）已知 ，则 大小关系是 ．
【答案】
【分析】设 ，得 ， ， ，然后作商法比较 和 大小
解决即可.
【解析】因为 ，设 ，
所以 ， ， ，因为 ，
所以 ， ， ，
因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
故答案为： ．
12．（2024·吉林·模拟预测）请写出一个幂函数 满足以下条件：①定义域为 ；② 为增函数；
③对任意的 ， ，都有 ，则 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据幂函数的性质可写出一个符合①②的幂函数，利用作差法说明其也满足③，即可得答案.
【解析】由题意可知 的定义域为 ，且 在 上为增函数；
下面证明该函数满足③：
取任意的 ， ，
，
则 ，
当且仅当 时取等号，
即 ，即 满足③，
故答案为：05 由不等式的性质证明不等式
13．（22-23高一下·云南玉溪·期中）若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据不等式的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【解析】由不等式 ，可得 ，可得 ，即充分性成立；
反之：由 ，可得 ，又因为 ，所以 ，所以必要性不成立，
所以 是 的充分不必要条件.
故选：A.
14．（2024·四川成都·模拟预测）命题“ ”是“ ，且 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据绝对值三角不等式和充分条件必要条件的定义即可判断.
【解析】若 ，
，即 ，
，即 ，
则充分性成立；
若 且 ，
当 时， ，
当 时， ，
则必要性成立；综上所述：“ ”是“ ，且 ”的充分必要条件.
故选：C.
15．（22-23高三上·上海浦东新·开学考试）已知 为6个不同的正实数，满足：①
，② ，③ ，则下列选项中恒成立的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用不等式的性质，得到 与 ，由此排除A、B选
项，再得到 与 ，由此得到 ，即D选项正确，C选项错误.
【解析】不妨设 ，则由 得 ，故 ， ，
则 ，即 ，即 ，
故 ，
所以 ，即 （1），
又因为 ，
所以 （2），
由（1）（2）可知 或 皆有可能，故A、B错误；
由 得 ，所以 ，
所以 ，
不妨设 ，则 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
同理当 时， ，
所以 ，故D正确，C错误；
故选：D.
06 利用不等式求取值范围
16．（2024·全国·模拟预测）已知实数 满足 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【解析】由 可得 ，所以 ，
故答案为：
17．（2024·浙江·模拟预测）已知正数 满足 ，则 的取值范围为
．
【答案】
【分析】
根据不等式的性质即可求解.
【解析】
正数 、 、 满足 ， ，
， 所以同理：有 得到 ，所以
两式相加：
即
又 ,即
即 ．
故答案为：
18．（2024·河北石家庄·二模）若实数 ，且 ，则 的取值
范围是 .
【答案】
【分析】先得到 ，并根据 得到 ，从而求出 .
【解析】因为 ，故 ，
由 得 ，解得 ，
故 .
故答案为：
07 不等式与三角函数、平面向量
19．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，终边在第三象限.则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对A、B：举出反例即可得；对C、D：借助三角函数的商数关系及其值域计算即可得.
【解析】由题意可得 、 ， ，对A：当 时， ，则 ， ，
此时 ，故A错误；
对B：当 时， ，故B错误；
对C、D： ，由 ，
故 ，则 ，即 ，
故C正确，D错误.
故选：C.
20．（2024高三·全国·专题练习）已知四边形 ， ， ， ， 与
交于点 ，若记 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量形式的余弦定理计算可得 ，再利用作差法即可比较 的大小关系.
【解析】在 中，根据余弦定理有 ；
在 中，根据余弦定理有 ；
两式作差得
即 ，
所以 .
又 ，所以 ，则 ，
由图易知 ，
所以 ，
所以 .故选：C．
08 不等式与函数
21．（2024高三·全国·专题练习）已知函数① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx的大致图
象如图所示，则下列不等关系正确的是（ ）
A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c
C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c
【答案】A
【解析】
解析：由已知可得b＞a＞1＞d＞c，则a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故A正确，D错误；又a＋d与b＋c的大
小不确定，故B，C错误．故选A.
22．（2024·全国·模拟预测）若 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 ，分类讨论 和 可判断A，B；取特值可判断C；根据 的单调性可判
断D.
【解析】因为 ，所以 ，
当 时，解得 ；当 时，解得 ，
所以 ，即 ，A，B错误.当 时， ，C错误.
因为 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
即 ，D正确.
故选：D.
23．（2024·陕西西安·模拟预测）若 ，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意首先得 ，进一步 ，从
而我们只需要比较 的大小关系即可求解，两式作商结合基本不等式、换底公式即可比较.
【解析】 ，所以 ，
，
又因为 ，
所以 ，即 .
故选：B.
09 高考新考法—不等式在生活情景、传统文化中的综合应用
24．（2024高三上·全国·竞赛）某考试评定考生成绩时，采取赋分制度：只有原始分排名前3%的同学才能
赋分97分及以上．若这些学生的原始分的最大值为a，最小值为b，令 为满足 的
一次函数．对于原始分为 的学生，将 的值四舍五入得到该学生的赋分．已知小赵原始分
96，赋分100；小叶原始分81，赋分97；小林原始分89，他的赋分是（ ）A．97 B．98 C．99 D．98或99
【答案】D
【分析】根据题意设 ，得到 ，从而得到
，代入不等式即可求解.
【解析】设 ( , 为常数) ，由题可得 ，
，即 ，
由于 ，令 ，即 ，解得： ，
所以 ，则 ，即
，
所以小林原始分89，他的赋分是98或99.
故选：D
25．（2024·全国·模拟预测）如图，一个筒车按逆时针方向转动．设筒车上的某个盛水筒 到水面的距离
为 （单位：米）（在水面下，则 为负数）．若以盛水筒 刚浮出水面时开始计算时间， 与时间
（单位：分钟）之间的关系为 ．某时刻 （单位：分钟）时，盛水筒 在过点 （
为筒车的轴心）的竖直直线的左侧，且到水面的距离为5米，则再经过 分钟后，盛水筒 （ ）
A．在水面下 B．在水面上C．恰好开始入水 D．恰好开始出水
【答案】B
【分析】根据题意列出计算式，再用两角和差公式计算即可.
【解析】由题意， ，
可得 ， 或 （舍去）．
所以 ，
所以再经过 分钟，可得 ，所以盛水筒在水面上．
在判断 时，可以采用放缩法更为直接，过程如下：
，
,故盛水筒在水面上．
故选：B．
26．（2024·全国·一模）我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使
用新型材料-强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料
水滴角测试结果如图所示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气—液两相界面的切线与液—固两相交线
所成的角），圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液—
固两者的相交线，椭圆的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别
为 ， ，则（ ）
附：椭圆 上一点 处的切线方程为 .
A． B．C． D． 和 的大小关系无法确定
【答案】A
【分析】运用圆和椭圆的切线方程分别求得 、 ，结合 可判断两者大小.
【解析】由题意知，若将水滴轴截面看成圆的一部分，圆的半径为 ，如图所示，
则 ，解得 ，
所以 ，
若将水滴轴截面看成椭圆的一部分，设椭圆方程为 ，如图所示，
则切点坐标为 ，
则椭圆 上一点 的切线方程为 ，
所以椭圆的切线方程的斜率为 ，
将切点坐标 代入切线方程可得 ，解得 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
所以 .
故选：A.
10 不等式与数列
27．（2022·全国·模拟预测）已知 是数列 的前 项和， 是数列 的前 项积，
，则 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用 求出 ，进而求出 ，再结合不等式的性质及累乘法的思
想推理判断得解.
【解析】当 时， ，当 时， ，则 ，
显然 符合上式，因此 ，由 ，得 ，
则 ，而 ，即有 ，
于是 ，
从而 ，
所以 ，即 .
故选：B
【点睛】易错点睛：由数列前 项和求通项，需按 和 分段求解，并且还要验证 的结果是否
满足 时的表达式.
11 不等式与导数
28．（2024·四川攀枝花·三模）已知正数 满足 ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：由 得 ，构造函数 ，求导利用导数判断函数的单调性求
最值，进而比较 、 ；由 两边同除以 得 ，构造函数 ，求导利用导数判
断函数的单调性求最值，进而比较 、 ，由此可比较 ， ， 的大小. 法二：化 为 ，作差法
并构造函数 ，求导利用导数求出函数最值，比较 、 大小，再利用作差法比较 、
大小，即可比较 ， ， 的大小.
【解析】法一：
由 得 ，令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
所以 ，所以 在 上恒成立，
所以 ，即 ，所以 ，所以 ；
由 两边同除以 得 ，令 ，
则 ，所以 在 上恒成立，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上恒成立，
所以 ，即 ，所以 ，从而 ．法二：
由 得 ，即 ，所以 ，
令 ， ，
当 时， ， 在 单调递增，
所以 ，所以 ，
则有 ；
由 得 ，即 ，
所以 ，
因为 ， ， ，所以 ，即
故 ．
故选：A
【点睛】方法点睛：比较大小时，可根据数值构造函数，利用函数的单调性，最值比较大小.
29．（2024·辽宁·一模）设 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用导数证明不等式 ，可得 ；根据不等式的性质可证得 ，则 ，
即可求解.
【解析】对于函数 ， ，
令 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，则 ，即 .
所以 ， .由 ，得 ，所以 ，则 ，
所以 ，即 .
所以 .
故选：B
【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：
（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，
（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，
（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.
30．（2024·云南贵州·二模）已知 ，则 的大关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据 的特点，构造函数 ，判断其单调性，得到 ，故有
，再运用作差法比较 即得.
【解析】设 ，则 ，
当 时， ， 在 上递增；
当 时， ， 在 上递减,
故 .
则 ，即 ；
由 可知 ，故 .
故选：B.一、单选题
1．（2024·河北沧州·一模）下列命题为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据指数函数和余弦函数的性质即可判断AC；举出反例即可判断B；由作差法即可判断D.
【解析】对于AC，当 时， ，
所以 ，故A正确，C错误；
对于B，当 时， ，故B错误；
对于D， ，
因为 ，所以 ，故D错误.
故选：A.
2．（2024·全国·模拟预测） 是 的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用不等式的性质，分别判断充分性和必要性.
【解析】由不等式的性质可知， 时一定有 成立，
而 成立时，若 就不能推出 .
所以 是 的充分不必要条件.
故选：B.3．（2024·陕西安康·模拟预测）若 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数、对数函数性质得 ，由不等式的性质可判定AC，由特殊值法可判定
BD.
【解析】由 ，得 ，所以 ，所以 ，所以 错误；
令 ，此时 与 无意义，所以 错误；
因为 ，所以由不等式的性质可得 ，所以 正确；
令 ，则 ，所以 错误.
故选： .
4．（2024·浙江台州·二模）已知x，y为正实数，则可成为“ ”的充要条件的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】作差法可判断A；构造函数 、 ，利用导数研究其单调性，并结合充分、
必要性的定义可判断BD；特值法可判断C.
【解析】对于A，已知x，y为正实数，若 ， ，
则 ，故A错误；
对于B，由 可得： ，令 ，
，令 ，解得： ，
则 在 上单调递减，
若 ，则 ，故B错误；
对于C，已知x，y为正实数，若 ，取 ，
则 ，故C错误；
对于D，由 ，则 ，
令 ，则 ，
即 在定义域上递增，故 ，
反之 也有 成立，满足要求，故D正确.
故选：D.
5．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由不等式的性质即可得解.
【解析】因为 ，所以 ， ，
所以 .
故选：D.
6．（2024·全国·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，利用导数判断单调性，可得 ，进而得 ，再结合对数的性质，利用作差比较法可得 ，从而可得正确答案.
【解析】构造函数 ，
则 ，
所以 在 内单调递增，又 ，
于是 在 内 ，即 恒成立.
由 ，得 ，
所以 ，故 ；
又 ，
易知，函数 在 内单调递增，又 ，所以 ，
于是 ，即 ，故 ．
综上所述， ．
故选:D.
7．（2024·全国·模拟预测）已知 的解集为 ，则下列结论错误的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造相应函数并借助导数解出不等式 及 ，可得 ， ， ，
再逐项判断即可得.
【解析】由 可得 ，
设函数 ，则 ，当 时， ， 单调递增，
当 时 ， 单调递减，
则函数 的极小值 ，又 ， ，
所以由零点存在定理可得，存在 使得 ，
则 的解集为 且 ，
令 ，易知 为偶函数，且当 时， ，
单调递增，又 ， ，故若 ，则 ，
由 为偶函数可知当 时，若 ，则 ，
故 的解集为 ，
故原不等式的解集为 且 ，
则 ， ， ，
选项A：因为 ， ， ，所以 ，A正确；
选项B：因为 ， ，所以 ，B正确；
选项C： ，C正确；
选项D： ， ，所以 ，D错误.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造相应函数并借助导数解出不等式 及 ，从
而解出 ， ， .
8．（2024·陕西咸阳·模拟预测）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型： ，其中正实数 ， 分别为红、蓝两方
的初始兵力， 为战斗时间； ， 分别为红、蓝两方 时刻的兵力；正实数 ， 分别为红方对蓝方、
蓝方对红方的战斗效果系数； 和 分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定：
当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为 ．则
下列结论不正确的是（ ）
A．若 且 ，则
B．若 且 ，则
C．若 ，则红方获得战斗演习胜利
D．若 ，则红方获得战斗演习胜利
【答案】C
【分析】对于A根据已知条件利用作差法比较大小即可得出 ，对于B，利用A
中结论可得蓝方兵力先为0，即 解得 ；对于C和D，若要红方获得战斗演习胜
利，分别解出红、蓝两方兵力为0时所用时间 、 ，比较大小即可.
【解析】对于A，若 且 ，则 ，即 ，所以 ，
由 可得 ，即A正确；
对于B，当 时根据A中的结论可知 ，所以蓝方兵力先为 ，
即 ，化简可得 ，
即 ，两边同时取对数可得 ，
即 ，所以战斗持续时长为 ，所以B正确；
对于C，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可，
设红方兵力为 时所用时间为 ，蓝方兵力为 时所用时间为 ，
即 ，可得
同理可得 ，即 ，解得 ，
又因为 都为正实数，所以可得 ，红方获得战斗演习胜利；
所以可得C错误，D正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题给的信息比较多，关键是理解题意，然后利用相应的知识（作差法、指数函数
的性质）进行判断.
二、多选题9．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】根据不等式的性质可得A、B的正误；根据基本不等式可得C的正误；利用作差法可得D的正误.
【分析】由 ，得 ，所以 ，A正确．
因为 ，所以 ，所以 0，所以 ，B正确．
因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，C正确．
因为 ，所以 ，D错误．
故选：ABC．
10．（2024·湖北·模拟预测）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． ， B．
C． 的最小值为 ，最大值为4 D． 的最小值为12
【答案】BD
【分析】对于选项A: 由已知得 ， ，整理即可判断；对于选项B:结合双钩函数的单调性即
可判断；对于选项C:结合题意可得 ，通过构造函数利用单调性即可判断；对于选项D:设
，借助导数分析单调性即可求最值.
【解析】对于选项A:由已知得 ， ，则 ， .故A错误；
对于选项B:令 ，
则 在 单调递减，在 单调递增，
得 ，故B正确；
对于选项C:结合题意可得 ，令 ，
则 在 上单调递增，得 ，故C错误.
对于选项D:设 ，则 ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
所以 .故D正确.
故选:BD.
11．（2024·河南·模拟预测）1889年瑞典的阿伦尼乌斯提出了阿伦尼乌斯公式： （ 和 均为大
于0的常数）， 为反应速率常数（与反应速率成正比）， 为热力学温度（ ），在同一个化学反应
过程中 为大于0的定值.已知对于某一化学反应，若热力学温度分别为 和 时，反应速率常数分别为
和 （此过程中 ， 与 的值保持不变），则（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则【答案】AD
【分析】利用不等式性质以及指数型函数单调性即可判断AB，由 ，利用对数运算可求得D正确.
【解析】由 ， ， ，根据不等式性质可得 ，
所以 ，又 ，所以 ，故 ，故A选项正确，B选项错误；
易知 ，
若 ，可得 ，所以 ，故C选项错误，D选项正确.
故选：AD.
三、填空题
12．（2023·内蒙古赤峰·一模）已知 ， ， ，则 的大小关系是 .
【答案】
【分析】构造函数 ，利用函数的单调性比较出 与 的大小，再用作差比较出 与 的大小，
即可得出结果.
【解析】根据题意，设 ，则其导数 .
令 ，
故在区间 上， 恒成立，则有 ，即 恒成立
在 上恒成立， 函数 在 上单调递减，
则有 ，即
又 ，而 ，，即
故答案为：
【点睛】方法点睛：构造适当的函数，利用函数的单调性来比较大小是一种常用的方法.
13．（2021·全国·模拟预测）已知不为 的正实数 满足 则下列不等式中一定成立的是
.（将所有正确答案的序号都填在横线上）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．
【答案】④⑤.
【分析】根据对数函数单调性先分析出 的大小关系，然后结合函数性质以及不等式的性质逐项分析.
【解析】因为 且 不为 ，由对数函数 的单调性可知 ，
①当 时， ，所以 ，故①不一定成立；
②因为 ，由指数函数 的单调性可知 ,故②不成立；
③当 时， ，所以 ，故③不一定成立；
④因为 ，所以 ，故④一定成立；
⑤因为 ，所以 ，故⑤一定成立；
故答案为：④⑤.
14．（2024·河北邯郸·三模）记 表示x，y，z中最小的数．设 ， ，则
的最大值为 ．
【答案】2
【分析】分 是否大于 进行讨论，由此即可简化表达式，若 ，则可以得到 ，并且
存在 ， ，使得 ，，同理 时，我们可以证明 ，由此即
可得解.【解析】若 ，则 ，此时 ，
因为 ，所以 和 中至少有一个小于等于2，
所以 ，又当 ， 时， ，
所以 的最大值为2．
若 ，则 ，此时 ，
因为 ，所以 和 中至少有一个小于2，
所以 ．
综上， 的最大值为2．
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：关键是分 是否大于 进行讨论，结合不等式的性质即可顺利得解.
