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第 12 节 导数的综合应用
核心素养要做实
题型一 利用导数证明不等式
【例1】设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值；
(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
【方法归纳】
待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其
单调性，借助所构造函数的单调性即可得证．
【跟踪训练1】已知函数f(x)＝ex－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在(0,1)处的切线斜率为
－1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值；
(2)证明：当x>0时，x2<ex.
题型二 导数与函数的零点问题
探究1 确定函数的零点个数
【例2】已知函数f(x)＝ln x－x＋2sin x，f′(x)为f(x)的导函数．
(1)求证：f′(x)在(0，π)上存在唯一零点；
(2)求证：f(x)有且仅有两个不同的零点．
【方法归纳】
利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法
(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用
导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象
草图，数形结合求解函数零点的个数．
(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单
调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上的零点的个数．
探究2 根据函数的零点个数求参数范围
【例3】若函数f(x)＝ex－ax2，a∈R在(0，＋∞)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
【方法归纳】
已知函数零点个数求参数的常用方法
(1)分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构
建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题
意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．
【跟踪训练2】若函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点，求实数m的取值范围．题型三 导数在解决实际问题中的应用
【例4】某地需要修建一条大型输油管道通过720千米宽的荒漠地带，该段输油管道两端的输油站
已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称
泵站)．经预算，修建一个增压站的工程费用为108万元，铺设距离为x千米的相邻两增压站之间的
输油管道费用为(2＋)x万元．设余下工程的总费用为y万元．
(1)试将y表示成关于x的函数；
(2)需要修建多少个增压站才能使总费用y最小？
【方法归纳】
利用导数的方法解决实际问题．当在定义区间内只有一个点使 f′(x)＝0时，如果函数在这点有极
大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．
【跟踪训练3】某商场为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年
投入广告费t(百万元)，可增加的销售额为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．
(1)若该商场将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产
生的收益最大．(注：收益＝销售额－投入费用)
(2)现在该商场准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预算，每投入技术改造费x(百
万元)，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(百万元)，请设计一个资金分配方案，使该商场由这两项
共同产生的收益最大．
达标检测要扎实
1．已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，若方程 在(0，1)内存在唯一实根 ，求证： ．
2．已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数.
(1)若 ， ，证明：当 时， ；当 时，
(2)若 ，函数 在区间 内不单调，求 的取值范围
【解析】 (1) ， ，
当 时， ，故 单调递增，
当 时， ，故 单调递减，
故 ，故 单调递增，又 ，所以当 时， ；当 时，
(2)函数 在区间 内不单调，即 存在零点，
由 可知 ，又 ，
而函数 在区间 内有零点，则函数 在区间 内至少有三个单调区间，
令 ，又
①若 ，则 ， ，
所以函数 在区间 上单增，
函数 即 在区间 上单调，不可能满足“函数 在区间 内至少有三个单调区
间”这一要求.
②若 ，则 ， ，
所以函数 在区间 上单减，
函数 即 在区间 上单调，不可能满足“函数 在区间 内至少有三个单调区
间”这一要求.
③若 ，则 ，
于是当 时， ，
当 时， ，
所以函数 在区间 上单减，在区间 上单增，
若 ，则则 ，由
所以 在区间 上单增，在区间 上单减
，
即 恒成立
于是，函数 在区间 内至少有三个单调区间，
所以 ，得 ，
又 ，所以
综上， 的取值范围为
3．已知函数 ，
(1)若函数 在 处的切线也是函数 图象的一条切线，求实数 的值；
(2)若 ，且 ，判断 与 的大小关系，并说明理由．
4．已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若函数 在 无零点，求实数a的取值范围．
5．已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调递增区间；
(2)设函数 ，若 在 上存在极值，求a的取值范围.
6．已知函数 ．(1)若 在 处的切线与 轴平行，求 的值；
(2) 有两个极值点 ，比较 与 的大小；
(3)若 在 上的最大值为 ，求 的值．
7．已知函数 .
(1)若 有两个零点， 的取值范围；
(2)若方程 有两个实根 、 ，且 ，证明： .
8．设函数 ， ．
(1)当 时，求 在点 处的切线方程；
(2)当 时， 恒成立，求a的取值范围；
(3)求证：当 时， ．
x+4 y=0
9．已知函数 在 处的切线 与直线 垂直，函数 .
(1)求实数 的值；
(2)若函数 存在单调递减区间，求实数 的取值范围；
(3)设 是函数 的两个极值点，证明： .
10．已知函数 .
(1)若函数 有两个极值
（i）求实数 的取值范围；
（ii）求 极大值的取值范围.(2)对于函数 ，都有 ，则称 在区间 上是凸函数.利用
上述定义证明，当 时， 在 上是凸函数.
11．已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若当 时， 恒成立，求a的取值范围.
12．已知 .
(1)若 恒有两个极值点 ， （ ），求实数a的取值范围；
(2)在（1）的条件下，证明 .
13．已知函数 ．
(1)当 且 时，试判断函数 的单调性；
(2)若 在 上是单调函数，求ab的最小值．
.
