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第 2 讲 一元函数的导数及其应用（二）
本讲为重要知识点，也是导数中的难点。主要以切线的题型进行总结，也包含了一些隐零点的思想和
极值点偏移的思想解决相关的切线的问题。还是要注意函数的思想和导数的几何意义来理解这类题的
核心思想。
考点一 由导数的几何意义求基础切线问题
导数的几何意义
函数f(x)在点x 处的导数f′(x)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x ，f(x))处的切线的斜率．相应地
0 0 0 0
切线方程为y－f(x)＝f′(x)(x－x)．
0 0 0
给切点求切线
以曲线上的点(x0，f(x0))（已知x0为具体值）为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
有切线无切点求切点
以曲线上的点(x0，f(x0))（x0为未知值，可以设出来）为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
无切点求参
规律同上，注意待定系数法的应用。
无切点多参
思维同上，依旧是设切点，待定系数求解方程（组）。
考点二 复杂切线问题
“过点”型切线
以上是“在点”与“过点”的区别，判断切线条数
1.设点列方程过程同前（求切线过程）
2.切线条数判断，实质是切点横坐标为变量的函数（方程）零点个数判断
多函数（多曲线）的公切线
1.两个曲线有公切线，且切点是同一点
2.两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。
考点三 切线的应用
切线的应用：距离最值
主要思维：利用平移直线，直到与该函数切线重合。
切线的应用：距离公式转化型
1.距离公式形式：平方和
2.以此还可以类比斜率公式形式
切线的应用：恒成立求参等应用
利用切线作为“临界线”放缩。这类思维，有时也应用于大题的不等式证明，称之为“切线放缩”。
切线的应用：零点等
对于函数与直线交点个数，可以借助于切线（临界线）来求解，但是一定要注意函数一般情况下，是比较
简单的凸凹函数。如下图（示意图），可以讲清楚这里边的“非充要”性
高频考点一 由导数的几何意义求基础切线问题
例1、已知函数 ，则曲线 在点 处的切线的方程为__________.【变式训练】
1、曲线 在点 处的切线方程为______.
【变式训练】
2、已知函数 为偶函数，若曲线 的一条切线与直线 垂直，则切点的横
坐标为（ ）
A． B． C． D．
例3、已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 的取值是（ ）
A．-1 B． C．1 D．
【变式训练】
3、若曲线 的一条切线是直线 ，则实数b的值为___________
例4、若直线 是曲线 的切线，且 ，则实数b的最小值是______.
【变式训练】
4、已知函数f（x）=axlnx﹣bx（a，b∈R）在点（e，f（e））处的切线方程为y=3x﹣e，则a+b=_____.
高频考点二 复杂切线问题
例1、过原点作曲线 的切线，则切点的坐标为___________，切线的斜率为__________.
【变式训练】
1、过点 与曲线 相切的直线方程为______________.
例2、已知曲线 ，则过点 可向 引切线，其切线条数为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
2、已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B．（0，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
例3、直线 与曲线 相切也与曲线 相切，则称直线 为曲线 和曲线 的公切线，已知函数 ，其中 ，若曲线 和曲线
的公切线有两条，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
3、函数 与 有公切线 ，则实数 的值为（ ）
A．4 B．2 C．1 D．
高频考点三 切线的应用
例1、点 在函数 的图像上，若满足到直线 的距离为1的点 有且仅有1个，则
（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1、点A在直线y＝x上，点B在曲线 上，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
例2、若 ，则 的最小值是
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练】
2、若 ，则 的最小值是
A．1 B．2 C．3 D．4
例3、已知 为实数，则“ 对任意的实数 恒成立”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式训练】3、已知函数 的图象在 处的切线方程为 ，若 恒成立，则
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
