文档内容
第 29 节 椭圆
基础知识要夯实
1.椭圆的定义
在平面内与两定点F ，F 的距离的和等于常数(大于|F F |)的点的轨迹叫做椭圆.这两定
1 2 1 2
点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF |＋|MF |＝2a}，|F F |＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c
1 2 1 2
为常数：
(1)若 a ＞ c ，则集合P为椭圆；
(2)若 a ＝ c ，则集合P为线段；
(3)若 a ＜ c ，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
＋＝1 ＋＝1
标准方程
(a>b>0) (a>b>0)
图形
－a≤x≤a －b≤x≤b
范围
－b≤y≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
性 A (－a，0)，A (a，0)， A (0，－a)，A (0，a)，
1 2 1 2
顶点
质 B (0，－b)，B (0，b) B (－b，0)，B (b，0)
1 2 1 2
轴 长轴A A 的长为 2 a ；短轴B B 的长为 2 b
1 2 1 2
焦距 |F F |＝ 2 c
1 2
离心率 e＝∈ (0 ， 1)
a，b，c的关系 c2＝ a 2 － b 2
1.点P(x ，y )和椭圆的位置关系
0 0
(1)点P(x ，y )在椭圆内⇔＋<1；
0 0
(2)点P(x ，y )在椭圆上⇔＋＝1；
0 0
(3)点P(x ，y )在椭圆外⇔＋>1.
0 0
2.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则(1)b≤|OP|≤a；
(2)a－c≤|PF|≤a＋c.
3.焦点三角形：椭圆上的点 P(x ，y )与两焦点构成的△PF F 叫作焦点三角形，r ＝|
0 0 1 2 1
PF |，r ＝|PF |，∠F PF ＝θ，△PF F 的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中：
1 2 2 1 2 1 2
(1)当r ＝r 时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
1 2
(2)S＝b2tan ＝c|y |，当|y |＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为
0 0
bc.
4.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l ＝.
min
5.AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x ，y )，B(x ，y )，弦中点M(x ，y )，则直线AB的
1 1 2 2 0 0
斜率k ＝－.
AB
基本技能要落实
考点一 椭圆的定义及其应用
【例1】1.(2022·保定模拟)与圆C ：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C ：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆
1 2
圆心P的轨迹方程为________.
【答案】＋＝1
【解析】设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，
则有|PC |＝r＋1，|PC |＝9－r.
1 2
所以|PC |＋|PC |＝10＞|C C |＝6，
1 2 1 2
即P在以C (－3，0)，C (3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，
1 2
得点P的轨迹方程为＋＝1.
2.椭圆C：＋y2＝1(a>0)的左、右焦点分别为F ，F ，P为椭圆上异于端点的任意一点，PF ，PF 的
1 2 1 2
中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2，则△PFF 的周长为________.
1 2
【答案】2＋2
【解析】由于O，M，N分别为FF ，PF ，PF 的中点，所以OM∥PF ，ON∥PF ，所以四边形
1 2 1 2 2 1
OMPN为平行四边形，且|OM|＝|PF|，|ON|＝|PF|，所以▱OMPN的周长为2(|OM|＋|ON|)＝|PF|＋|
2 1 1
PF|＝2a＝2，所以a＝，又知a2＝b2＋c2，b2＝1.
2
所以c2＝a2－1＝2，所以|FF|＝2c＝2，所以△PFF 的周长为2a＋2c＝2＋2.
1 2 1 2
3.设点 P为椭圆 C：＋＝1(a>2)上一点，F ，F 分别为 C 的左、右焦点，且∠FPF ＝60°，则
1 2 1 2
△PFF 的面积为________.
1 2【答案】
【解析】由题意知，c＝.又∠FPF ＝60°，|FP|＋|PF|＝2a，|FF|＝2，∴|FF|2＝(|FP|＋|PF|)2－2|
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
FP||PF|－2|FP|·|PF|cos 60°＝4a2－3|FP|·|PF|＝4a2－16，
1 2 1 2 1 2
∴|FP|·|PF|＝，∴S PFF＝|FP|·|PF|sin 60°＝××＝.
1 2 1 2 1 2
4.已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最
△
大值为________，最小值为________.
【答案】6＋ 6－
【解析】椭圆方程化为＋＝1，
设F 是椭圆的右焦点，则F(2，0)，
1 1
∴|AF|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF|＋6，
1 1
又－|AF|≤|PA|－|PF|≤|AF|(当P，A，F 三点共线时等号成立)，
1 1 1 1
∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋.
【方法技巧】
1.椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、
面积及弦长、最值和离心率等.
2.与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF |＋|PF |＝2a，得到
1 2
a，c的关系.
考点二 椭圆的标准方程
【例2】(1)(2021·湖北四地七校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为
F ，F ，离心率为，过F 的直线与椭圆C交于A，B两点，若△F AB的周长为8，则椭
1 2 2 1
圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为
________.
(3)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________.
【答案】(1)A (2)＋＝1 (3)＋＝1
【解析】(1)如图，由椭圆的定义可知，△F AB的周长为4a，
1
∴4a＝8，a＝2，又离心率为，∴c＝1，b2＝3，
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n).
由
解得m＝，n＝.
∴椭圆方程为＋＝1.
(3)法一(待定系数法) 设所求椭圆方程为＋＝1(k<9)，将点(，－)的坐标代入可得＋＝
1，解得k＝5(k＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二(定义法) 椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝＋，解得a＝2.
由c2＝a2－b2可得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
【方法技巧】
根据条件求椭圆方程的主要方法有：
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上
时，一般可设所求椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，
用待定系数法求出m，n的值即可.
(3)椭圆系方程
①与＋＝1共焦点的椭圆系为＋＝1(k0).
【跟踪训练】
1.已知椭圆的长轴长是短轴长的 3倍，且过点A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭
圆的标准方程为________________.
【答案】＋y2＝1或＋＝1
【解析】法一 若椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0).
由题意，得解得
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
若焦点在y轴上，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0).
由题意得解得所以椭圆的标准方程为＋＝1.
综上所述，椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
法二 设椭圆的方程为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，
则由题意，知或
解得或
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
考点三 椭圆的几何性质
【例3】(1)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
(2)(2022·成都质检)已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，直线l：y＝x与椭圆
C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为( )
A. B.
C. D.
(3)(2022·淮北一模)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F ，F ，过F 作x轴
1 2 2
的垂线与C相交于A，B两点，F B与y轴相交于点D，若AD⊥F B，则椭圆C的离心
1 1
率为________.
【答案】(1)C (2)A (3)
【解析】(1)不妨设a>0.因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以焦点在 x轴上，且c＝
2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2，所以椭圆C的离心率e＝＝.
(2)设第一象限的交点为A(x，y)，直线y＝x的倾斜角为α，由tan α＝，得sin α＝，cos
α＝，
即A，
把点 A 的坐标代入椭圆方程，整理得 8e4－18e2＋9＝0，即(4e2－3)·(2e2－3)＝0，又
0b>0)的两个焦点为F (－c，0)，F (c，0)，M是
1 2
椭圆上一点，且满足F1M·F2M＝0.则椭圆离心率e的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】(1) (2)D
【解析】(1)设P(x ，y )，则－2≤x ≤2，－1≤y ≤1，
0 0 0 0
∴|PA|2＝x＋(y －2)2.∵＋y＝1，∴|PA|2＝4(1－y)＋(y －2)2＝－3y－4y ＋8＝－3＋.
0 0 0
∵－1≤y ≤1，∴当y ＝－时，|PA|＝，
0 0
即|PA| ＝.
max
(2)法一 设点 M的坐标为(x ，y )，∵F1M·F2M＝0，F (－c，0)，F (c，0)，∴(x ＋
0 0 1 2 0
c)·(x －c)＋y＝0，即x＋y＝c2.①
0
又知点M在椭圆G上，∴＋＝1，②
由①②联立结合a2－b2＝c2解得x＝，由椭圆的性质可得0≤x≤a2，即即所以c2≥b2，又知
b2＝a2－c2，∴c2≥a2－c2，即2c2≥a2，解得e2≥，又知01)上两点A，B满足＝2，则当m＝________时，点
B横坐标的绝对值最大.
【答案】5
【解析】设A(x ，y )，B(x ，y )，由＝2，
1 1 2 2
得即x ＝－2x ，y ＝3－2y .因为点A，B在椭圆上，所以得y ＝m＋，所以x＝m－(3－
1 2 1 2 2
2y )2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最
2
大值为2.
考点四 直线与椭圆的位置关系
【例4】已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点.
【解析】将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－33时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直
线l与椭圆C没有公共点.
【方法技巧】研究直线与椭圆位置关系的方法
(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解
的个数.
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.
【跟踪训练】
1.若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A.m>1 B.m>0
C.00且m≠5，∴m≥1－5k2恒成立，∴m≥1且m≠5.
考点五 中点弦及弦长问题
【例5】已知P为椭圆＋y2＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此
弦所在的直线方程为________.
【答案】2x＋4y－3＝0
【解析】易知此弦所在直线斜率存在，设斜率为k，
弦的两端点为A(x ，y )，B(x ，y )，则有＋y＝1，＋y＝1，两式作差，得＋(y －y )(y ＋
1 1 2 2 2 1 2
y )＝0，
1
∵x ＋x ＝1，y ＋y ＝1，
1 2 1 2
∴＋(y －y )＝0，
2 1
∴k＝＝－，
经检验，k＝－满足题意，
∴此弦所在的直线方程为y－＝－，
即2x＋4y－3＝0.
【例6】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，过椭圆右焦
点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程.
【解析】(1)由题意知e＝＝，2a＝4.
又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝，
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由
题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件.
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为 0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x ，
1
y )，B(x ，y )，
1 2 2
则直线CD的方程为y＝－(x－1).
将直线AB的方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x ＋x ＝，
1 2x ·x ＝，
1 2
所以|AB|＝|x －x |
1 2
＝·＝.
同理，|CD|＝＝.
所以|AB|＋|CD|＝＋
＝＝，
解得k＝±1，
所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
【方法技巧】弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关系表示中点；
(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.
1.弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x ，y )，B(x ，y )两个不同
1 1 2 2
的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：
①|AB|＝|x －x |；
1 2
②|AB|＝|y －y |(k≠0)；
1 2
③|AB|＝；
④|AB|＝.
2.注意两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的
焦点.
【跟踪训练】
1.(2022·石家庄模拟)过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)相交于
A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________.
【答案】
【解析】设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则
∴＋＝0，
∴＝－·.
∵＝－，x ＋x ＝2，y ＋y ＝2，
1 2 1 2∴－＝－，∴a2＝2b2.
又∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，
∴a2＝2c2，∴＝.
即椭圆C的离心率e＝.
2.已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB
的长为________.
【答案】
【解析】设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则
∴＋＝0，
∴＝－·.
∵＝－，x ＋x ＝2，y ＋y ＝2，
1 2 1 2
∴－＝－，∴a2＝2b2.
又∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，
∴a2＝2c2，∴＝.
即椭圆C的离心率e＝.
(2)法一 由题意知，椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)，
由消去y，得3x2－5x＝0，
故得A(0，－2)，B，则
|AB|＝＝.
法二 由题意知，椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)，
由消去y得3x2－5x＝0，
设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则x ＋x ＝，x x ＝0，
1 2 1 2
则|AB|＝
＝
＝＝.
考点六 直线与椭圆的综合问题
【例6】(2021·广州综合测试)已知椭圆Γ：＋＝1(a＞b＞0)经过点M(－2，1)，且右焦
点F(，0).(1)求椭圆Γ的标准方程；
(2)过N(1，0)且斜率存在的直线AB交椭圆Γ于A，B两点，记t＝MA·MB，若t的最大
值和最小值分别为t ，t ，求t ＋t 的值.
1 2 1 2
【解析】(1)由椭圆＋＝1的右焦点为(，0)，
知a2－b2＝3，即b2＝a2－3，
则＋＝1，a2＞3.
又椭圆过点M(－2，1)，∴＋＝1，
又a2＞3，∴a2＝6.
∴椭圆Γ的标准方程为＋＝1.
(2)设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
由得x2＋2k2(x－1)2＝6，
即(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－6＝0，
∵点N(1，0)在椭圆内部，∴Δ＞0，
∴
则t＝MA·MB＝(x ＋2)(x ＋2)＋(y －1)(y －1)
1 2 1 2
＝x x ＋2(x ＋x )＋4＋(kx －k－1)(kx －k－1)
1 2 1 2 1 2
＝(1＋k2)x x ＋(2－k2－k)(x ＋x )＋k2＋2k＋5③，
1 2 1 2
将①②代入③得，
t＝(1＋k2)·＋(2－k2－k)·＋k2＋2k＋5，
∴t＝，
∴(15－2t)k2＋2k－1－t＝0，k∈R，
则Δ ＝22＋4(15－2t)(1＋t)≥0，
1
∴(2t－15)(t＋1)－1≤0，
即2t2－13t－16≤0，
由题意知t ，t 是2t2－13t－16＝0的两根，∴t ＋t ＝.
1 2 1 2
【方法技巧】1.求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，列出
有关的方程，利用代数的方法求解.为减少计算量，在代数运算中，经常运用设而不求
的方法.
2.直线方程的设法，根据题意，如果需要讨论斜率不存在的情况，则设直线方程为 x＝
ty＋m，避免讨论；若所研究的直线的斜率存在，则可设直线方程为 y＝kx＋b的形式，若平行于坐标轴的直线都包含，则不要忘记斜率不存在的情况的讨论.
【跟踪训练】
已知椭圆C：＋＝1，过A(2，0)，B(0，1)两点.
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交
于点N，求四边形ABNM的面积.
【解析】(1)由题意知，a＝2，b＝1，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
因为c＝＝，
所以椭圆C的离心率e＝＝.
(2)设P(x ，y )(x <0，y <0)，则x＋4y＝4.
0 0 0 0
因为A(2，0)，B(0，1)，
所以直线PA的方程为y＝(x－2)，令x＝0，得y ＝－，从而|BM|＝1－y ＝1＋.
M M
直线PB的方程为y＝x＋1，令y＝0，得x ＝－，从而|AN|＝2－x ＝2＋.
N N
所以四边形ABNM的面积
S＝|AN|·|BM|
＝·
＝
＝＝2，
所以四边形ABNM的面积为2.
达标检测要扎实
一、单选题
1．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，
北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、（2）、
（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别 、 、 ，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心
率分别为 、 、 ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为椭圆的离心率 ，
所以椭圆的长轴长与短轴长的比值越大，离心率越大.
因为 ， ， ，则 ，所以 .故选：A.
2．椭圆 的右焦点为F，直线 与椭圆E交于A，B两点，若 周长
的最大值是8，则m的值等于（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】设椭圆的左焦点为 ，
则 的周长为 ，
当 、 、 三点共线时等号成立， 的周长取得最大值，
如图，所以 ，此时直线 过左焦点 ，
所以 ，所以 .故选：B
3．已知 是椭圆 的右焦点，点 在 上，直线 与 轴交于点 ，点 为
C上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可得 ，
∴ ，即椭圆 ，
∴ ，直线 方程为 ，
∴ ，又 ，
设 ，则 ， ，
∴，又 ，
∴当 时， 有最小值为 .故选：C.
4．若椭圆 ： 的一个焦点坐标为 ，则 的长轴长为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】因为椭圆 ： ，焦点 ，
所以 ， ， ，即 ，解得 或 （舍去）.
所以 ，长轴为 .故选：D
5．“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若 ，则方程 表示焦点在 轴上的椭圆；
反之，若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则
所以“ ”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件故选：C
6．已知椭圆 ： 的离心率为 ，则椭圆 的长轴长为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】C【解析】由题意知 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以椭圆 的长轴长为 .故选：C.
7．已知 是椭圆 上的一个点， 、 是椭圆的两个焦点，若 ，则 等于
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在椭圆 中， ，则 .故选：B.
8．椭圆 焦点坐标是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为椭圆的方程为 ，所以焦点在x轴上，且 ， ，所以选A.
9．设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足 ，则 的离
心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，由 ，因为 ， ，所以
，因为 ，当 ，即 时， ，即 ，符合题意，由
可得 ，即 ；
当 ，即 时， ，即 ，化简得， ，
显然该不等式不成立．故选：C．
10．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度
越小.已知椭圆 ： （ ）上点 处的曲率半径公式为 ．
若椭圆 上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小，
故椭圆在 处曲率半径最小，则 ，而椭圆在 处曲率半径最大，
则 ，因为 ，所以 ，所以 ， ．
故选：C.
11．已知椭圆 的右焦点为 ，过 点作 轴的垂线交椭圆于 ， 两点，若
，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】椭圆 的右焦点为 ，过 作 轴的垂线交椭圆 于 ， 两点，由 ，
若 ，则 是等腰直角三角形 为坐标原点），
可得 ，即 ，可得 且 ，
解得 ．故选：A．
12．已知 ， 分别为椭圆 的左､右焦点，过原点O且倾斜角为60°的直线
l与椭圆C的一个交点为M，若 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意可得 ．
又
， ， ， ．
故选：D．
二、填空题13．已知椭圆G： （ ）左、右焦点分别为 ， ，短轴的两个端点分别为 ，
，点P在椭圆C上，且满足 ，当m变化时，给出下列四个命题：①点P
的轨迹关于y轴对称；②存在m使得椭圆C上满足条件的点P仅有两个；③ 的最小值为2；④
最大值为 ，其中正确命题的序号是__．
【答案】①③
【解析】由椭圆的对称性及 ，
所以可得以 ， 为焦点的椭圆为椭圆 ，
则点 P 为椭圆 与椭圆 的交点，
因为椭圆G的长轴顶点 ，短轴的绝对值小于 ，
椭圆 的长轴顶点 ，短轴的交点的横坐标的绝对值小于 ，
所以两个椭圆的交点有4个，①正确②不正确，
点 P 靠近坐标轴时（ 或 ）， 越大，
点 P 远离坐标轴时， 越小，易得 时，取得最小值，
此时两椭圆方程为： ， ，
两方程相加得 ，即 的最小值为 2，③正确；
椭圆上的点到中心的距离小于等于a，由于点 P 不在坐标轴上，
∴ ，④错误．
故答案为：①③．14．若方程 表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围为______．
【答案】 ## 且
【解析】方程 表示的曲线是椭圆，则：
，解得： 且 ；
故答案为： .
15．已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的最大值为
________．
【答案】9
【解析】∵ 在椭圆 上
∴
∴根据基本不等式可得 ，即 ，当且仅当
时取等号.故答案为：9.
16．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ， ， 为椭圆 上任意一点， 为圆上任意一点，则 的最小值为___________.
【答案】
【解析】如图，
由 为椭圆 上任意一点，则
又 为圆 上任意一点，则 （当且仅当M、N、E共线时取等
号），
∴ ，
当且仅当M、N、E、 共线时等号成立.
∵ ， ，则 ，
∴ 的最小值为 ．故答案为： ．
三、解答题
17．已知椭圆 ： ( )的四个顶点组成的四边形的面积为 ，且经过点 .
过椭圆右焦点 作直线 与椭圆 交于 、 两点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 ，求直线 的方程.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）四边形的面积为 ，∴ ，又点 在 ： 上，则 ，
∴ ， ，∴椭圆的方程为 ；
（2）由（1）可知椭圆 的右焦点 ，
①当直线 无斜率时，直线 的方程为 ，
则 、 ， 不成立，舍，
②当直线 有斜率时，设直线方程为将 ，
代入椭圆方程，整理得 ， 在椭圆内， 恒成立，
设 、 ，则 ， ，
又 ，
，
即 ，解得 ，
则直线 的方程为： .
18．已知椭圆 ： （ ）的左右焦点分别为 ， ， 分别为左右顶点，直线 ： 与椭圆 交于 两点，当 时， 是椭圆的上顶点，且 的
周长为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 交于点 ，证明：点 在定直线上.
【解析】(1)当 时，直线 为 ，
令 ，得 .即椭圆的上顶点为 ，所以 ，
又 的周长为 ，即 ，又 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
(2)设 ，由 ，消去 得 ，所以
，
又 ，所以直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
联立直线 、 的方程得
.
由 得 代入上式，得，
解得 所以点 在定直线 上.
19．已知椭圆 的离心率为 ，左顶点为A，右焦点F， .过F且斜率
存在的直线交椭圆于P，N两点，P关于原点的对称点为M.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线 ， 的斜率分别为 ， ，是否存在常数 ，使得 恒成立？若存在，请
求出 的值，若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为离心率为 ，所以 ，又 ，所以 ，解得 ， ，
又 ，所以 ，所以椭圆方程为
（2）由（1）知 ， ，设直线 的方程为 ， ，
因为 与 关于原点对称，所以
所以 ，
若存在 ，使得 恒成立，所以
所以
两边同乘 得
又因为 在椭圆上，所以
所以所以
当 时，则
所以 ①；
当 时， 与 重合，
联立方程 ，消元得 ，所以
所以 ，
代入①得 ，整理得 ，解得
20．如图， ， 分别是椭圆 的左顶点和上顶点，圆 经过点 ，
为椭圆 上一点，过 且与 垂直的直线交圆 于两点 ， .若点 在椭圆 上，其中
为椭圆 的离心率.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)求 面积的最大值.
【解析】 (1)由题可得： ，解得：b=c=1，
所以椭圆的标准方程为： .
(2)设直线 ，则 ，
联立 ， .
又 到直线 的距离 且 ，于是 ，
又 ，从而
，
当且仅当 ，即 时等号成立，（满足 且 ）.
综上， 面积的最大值为 .
21．已知椭圆C ： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C 的焦点重合，C 的中心与C 的顶点重
1 2 1 2
合.过F且与x轴垂直的直线交C 于A，B两点，交C 于C，D两点，且|CD|= |AB|.
1 2
（1）求C 的离心率；
1
（2）设M是C 与C 的公共点，若|MF|=5，求C 与C 的标准方程.
1 2 1 2
【解析】（1） ， 轴且与椭圆 相交于 、 两点，
则直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，则 ，抛物线 的方程为 ，联立 ，
解得 ， ，
，即 ， ，
即 ，即 ，
，解得 ，因此，椭圆 的离心率为 ；
（2）[方法一]：椭圆的第二定义
由椭圆的第二定义知 ，则有 ，
所以 ，即 ．
又由 ，得 ．
从而 ，解得 ．
所以 ．
故椭圆 与抛物线 的标准方程分别是 ．
[方法二]：圆锥曲线统一的极坐标公式
以 为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．由（Ⅰ）知 ，又由圆锥曲线统一的极坐标公式 ，得 ，由
，得 ，两式联立解得 ．
故 的标准方程为 ， 的标准方程为 ．
[方法三]：参数方程
由（1）知 ，椭圆 的方程为 ，
{x=2c⋅cosθ,
所以 的参数方程为 （ 为参数），
y=√3c⋅sinθ
将它代入抛物线 的方程并化简得 ，
解得 或 （舍去），
所以 ，即点M的坐标为 ．
又 ，所以由抛物线焦半径公式有 ，即 ，解得 ．
故 的标准方程为 ， 的标准方程为 ．
[方法四]【最优解】：利用韦达定理
由（1）知 ， ，椭圆 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
解得 或 （舍去），由抛物线的定义可得 ，解得 .
因此，曲线 的标准方程为 ，
曲线 的标准方程为 .
22．已知椭圆 ： 的离心率为 ，短轴长为2．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 的直线 与椭圆 交于两点 ， 若 的面积为 （ 为坐标原点），求直线
的方程．
【解析】（1）由题意可得 ，解得：
故椭圆C的标准方程为 .
（2）由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为
联立 ，整理得
,
则 ，故
,
因为 的面积为 ,所以 ，设 ，则 整理得 ，解得 或 （舍去），即 .
故直线的方程为 ，即 .
