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专题4.2 平方差和完全平方运算和几何背景（五大类型）
【题型1 平方差运算】
【题型2 平方差的几何背景】
【题型3 完全平方公式运算】
【题型4 完全平方公式的几何背景】
【题型5 完全平方公式的逆运算】
【题型1 平方差运算】
1．下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．(−m+n)(m−n)B．(m−3)(−3−m)C．(2n+m)(2m−n) D．(−m−n)(m+n)
2．计算 等于（ ）
(a−b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)
A．a4−b4 B．a6+b6 C．a6−b6 D．a8−b8
3．发现：41=4，42=16，43=64，44=256，45=1024，46=4096，47=16384，48=65536，依据上
述规律，通过计算判断 的结果的个位数字是（ ）
3×(4+1)(42+1)(44+1)…(432+1)+1
A．2 B．4 C．6 D．8
4．已知x+y=5,x−y=2，则x2−y2的值为（ ）
A．10 B．−10 C．7 D．−7
5．计算：(x+3)(x−3)= ．
6．计算：2002×2004−20032= ．
7．20242−2022×2026= ．
1 1 1 1 1
8．计算：(1− )(1− )(1− )⋯(1− )(1− )
22 32 42 992 10029．简便运算
(1)20212−2022×2020；
2 1
(2)20 ×19 ．
3 3
【题型2 平方差的几何背景】
10．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)（如图甲），把余下的部分拼成一个矩
形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ）
A． B．
(a+b) 2 =a2+2ab+b2 (a−b) 2 =a2−2ab+b2
C． D．
a2−b2=(a+b)(a−b) (a+b)(a−b)=a2−b2
11．综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”：
(1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)；
(2)【应用】利用“平方差公式”计算：20242−2023×2025；(3)【拓展】计算： ．
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)⋯(264+1)
12．综合探究：某数学兴趣小组用“等面积法”构造了可以验证恒等式的图形：
(1)【探究】图中求阴影部分面积能够验证的恒等式是 ；
(2)【应用】利用（1）中的结论计算：20242−2026×2022；
(3)【拓展】利用（1）中的结论计算： ．
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)⋯(232+1)
13．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图
②）．
(1)上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）．
A． B．
a2−2ab+b2=(a−b) 2 a2−b2=(a+b)(a−b)
C．
a2+ab=a(a+b)
(2)若x2−9 y2=12，x+3 y=4，求x−3 y的值．
(3)计算：( 1 )( 1 )( 1 ) ( 1 )( 1 )．
1− 1− 1− ⋯ 1− 1−
22 32 42 20242 2025214．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个平行四边方
形（如图2所示）．
(1)上述操作能验证的公式是______（请选择正确的一个）．
A．
a2+ab=a(a+b)
B．
a2−b2=(a−b)(a+b)
C．
a2−2ab+b2=(a−b) 2
(2)请应用上面的公式完成下列各题：
①若4a2−b2=24，2a+b=6，则2a−b=______；
②计算：242−232+222−212+202−192+⋯22−1；
【题型3 完全平方公式运算】
15．
(−2−3x2) 2
计算结果正确的是（ ）
A．9x4−12x+4B．9x4+12x2+4 C．9x4−12x−4 D．−9x4−12x+4
16．若9x2−mx+4是完全平方式，则m的值为（ ）
A．±12 B．−12 C．−6 D．±6
17．代数式 是一个完全平方式，则 ．
25x2+(k+1)x+1=0 k=【题型4 完全平方公式的几何背景】
18．如图，从边长为(a+4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a+1)cm的正方形(a>0)，剩余部分沿虚线
剪下，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则此长方形的面积为（ ）
A． B．
(6a+15)cm2 (6a+9)cm2
C． D．
(3a+15)cm2 (5a+15)cm2
19．现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．嘉嘉要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，
先取甲纸片4块，再取乙纸片9块，还需取丙纸片 块．
20．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②
的方式拼成一个正方形．
(1)你认为图②中阴影部分的正方形的边长等于_______．
(2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积.
方法①___________；方法②__________．
(3)观察图②，试写出 ， ， 这三个代数式之间的等量关系______．
(m+n) 2 (m−n) 2 mn
(4)根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若 ， ，则求 的值．
a+b=6 ab=5 (a−b) 2
21．（1）下图中的①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．小明用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，发现了以下等
量关系：________．
（2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题：
① ， ，求 和 的值；
a−b=5 ab=−6 (a+b) 2 a2+b2
1 1
②已知x−
=3，求x2+
的值．
x x2
22．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长
为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张
拼成如图2的大正方形．
(1)观察图 ，请你写出下列三个代数式： ， ， 之间的等量关系；
2 (a+b) 2 a2+b2 ab
(2)若要拼出一个面积为(a+2b)(a+b)的矩形，则需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片______张．
(3)根据(1)题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b=5，a2+b2=11，求ab的值；
②已知 ，求 的值．
(x−2021) 2+(x−2023) 2=20 x−2022
23．图1，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的
形状拼成一个正方形．(1)图2中的阴影部分的面积为 ；
(2)观察图2，三个代数式 ， ， 之间的等量关系是 ；
(m+n) 2 (m−n) 2 mn
11
(3)若x+y=−6，xy= ，则x−y= ；（直接写出答案）
4
24．图1是一个长为4b，宽为a(a＞b)的长方形，沿图中虚线用剪刀平均裁成四块小长方形，然后按如图
2所示的形状拼成一个大正方形．
(1)图2中的阴影部分正方形的边长是 （用含a，b的代数式表示）；
(2)观察图1，图2，能验证的等式是： （请选择正确的一个）；
A．
(a+b) 2 =a2+2ab+b2
B．
(a−b) 2 =a2−2ab+b2
C．
(a+b) 2−4ab=(a−b) 2
(3)如图3，C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向上分别作正方形ACDE和正方形BCFG，连接
AF．若AB=11，DF=5，求△AFC的面积．25．完全平方公式： 适当的变形，可以解决很多的数学问题．
(a±b) 2 =a2±2ab+b2
例如：若a+b=3，ab=1，求a2+b2的值．
解：因为 ，所以 ，即： ，
a+b=3 (a+b) 2 =9 a2+2ab+b2=9
又因ab=1，所以a2+b2=7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若x+y=8，x2+y2=40，则xy的值为______；
(2)拓展：若 ，则 ______．
(4−x)x=3 (4−x) 2 +x2=
(3)应用：如图，在长方形ABCD中，AB=20，BC=12，点E、F是BC、CD上的点，且
BE=DF=x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN，若长方形
CEPF的面积为160，求图中阴影部分的面积和．
26．在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题：
(1)如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系：________________．
(2)如图1中，a，b满足a+b=9，ab=15，求a2+b2的值．
(3)如图2，点C在线段AB上，以AC，BC为边向两边作正方形，AC+BC=14，两正方形的面积分
别为S ，S ，且S +S =40，求图中阴影部分面积．
1 2 1 2【题型5 完全平方公式的逆运算】
27．若m+n=8，mn=15，则m2+mn+n2= ．
28．已知x+y=5，xy=3，那么x2+5xy+y2= ．
29．已知a−b=−5，ab=8．则a2−3ab+b2的值为 ．
30．已知a+b=5,ab=6，求下列各式的值：
①a²+b²
②a²−ab+b²
31．若a+b=6，ab=4，
(1)求a2+b2的值；
(2)求 的值．
(a−b) 2
32．阅读材料，回答下列问题：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题．
【初步思考】观察下列式子：
（1）
x2+4x+2=(x2+4x+4−4)+2=(x+2) 2−4+2=(x+2) 2−2
∵
(x+2) 2≥0
∴
x2+4x+2=(x+2) 2−2≥−2
∴代数式x2+4x+2的最小值为−2；
（2）
−x2+4x+3=−(x2−4x)+3=−(x2−4x+4−4)+3=−(x−2) 2 +4+3 =−(x−2) 2 +7
∵
−(x−2) 2≤0
∴
−x2+4x+3=−(x−2) 2 +7≤7
∴代数式−x2+4x+3的最大值为7．
【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题：(1)代数式x2−4x+1的最小值为 ；
(2)已知A=2x2−3x+2；B=x2−x−1，请比较A与B的大小，并说明理由．
33．已知a2+b2=7，a+b=3，求下列代数式的值：
(1)ab；
(2)(a−2)(b−2)．
