文档内容
第 29 节 椭圆
基础知识要夯实
1.椭圆的定义
在平面内与两定点F ，F 的距离的和等于常数(大于|F F |)的点的轨迹叫做椭圆.这两定
1 2 1 2
点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF |＋|MF |＝2a}，|F F |＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c
1 2 1 2
为常数：
(1)若 a ＞ c ，则集合P为椭圆；
(2)若 a ＝ c ，则集合P为线段；
(3)若 a ＜ c ，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
＋＝1 ＋＝1
标准方程
(a>b>0) (a>b>0)
图形
－a≤x≤a －b≤x≤b
范围
－b≤y≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
性 A (－a，0)，A (a，0)， A (0，－a)，A (0，a)，
1 2 1 2
顶点
质 B (0，－b)，B (0，b) B (－b，0)，B (b，0)
1 2 1 2
轴 长轴A A 的长为 2 a ；短轴B B 的长为 2 b
1 2 1 2
焦距 |F F |＝ 2 c
1 2
离心率 e＝∈ (0 ， 1)
a，b，c的关系 c2＝ a 2 － b 2
1.点P(x ，y )和椭圆的位置关系
0 0
(1)点P(x ，y )在椭圆内⇔＋<1；
0 0
(2)点P(x ，y )在椭圆上⇔＋＝1；
0 0
(3)点P(x ，y )在椭圆外⇔＋>1.
0 0
2.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则(1)b≤|OP|≤a；
(2)a－c≤|PF|≤a＋c.
3.焦点三角形：椭圆上的点 P(x ，y )与两焦点构成的△PF F 叫作焦点三角形，r ＝|
0 0 1 2 1
PF |，r ＝|PF |，∠F PF ＝θ，△PF F 的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中：
1 2 2 1 2 1 2
(1)当r ＝r 时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
1 2
(2)S＝b2tan ＝c|y |，当|y |＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为
0 0
bc.
4.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长l ＝.
min
5.AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x ，y )，B(x ，y )，弦中点M(x ，y )，则直线AB的
1 1 2 2 0 0
斜率k ＝－.
AB
基本技能要落实
考点一 椭圆的定义及其应用
【例1】1.(2022·保定模拟)与圆C ：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C ：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆
1 2
圆心P的轨迹方程为________.
2.椭圆C：＋y2＝1(a>0)的左、右焦点分别为F ，F ，P为椭圆上异于端点的任意一点，PF ，PF 的
1 2 1 2
中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2，则△PFF 的周长为________.3.设点
1 2
P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F ，F 分别为C的左、右焦点，且∠FPF ＝60°，则△PFF 的面
1 2 1 2 1 2
积为________.
4.已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最
大值为________，最小值为________.
【方法技巧】
1.椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、
面积及弦长、最值和离心率等.
2.与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF |＋|PF |＝2a，得到
1 2
a，c的关系.
考点二 椭圆的标准方程
【例2】(1)(2021·湖北四地七校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为
F ，F ，离心率为，过F 的直线与椭圆C交于A，B两点，若△F AB的周长为8，则椭
1 2 2 1
圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为________.
(3)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________.
【方法技巧】
根据条件求椭圆方程的主要方法有：
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上
时，一般可设所求椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，
用待定系数法求出m，n的值即可.
(3)椭圆系方程
①与＋＝1共焦点的椭圆系为＋＝1(k0).
【跟踪训练】
1.已知椭圆的长轴长是短轴长的 3倍，且过点A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，则椭
圆的标准方程为________________.
考点三 椭圆的几何性质
【例3】(1)已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
(2)(2022·成都质检)已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，焦距为2c，直线l：y＝x与椭圆
C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为( )
A. B.
C. D.
(3)(2022·淮北一模)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F ，F ，过F 作x轴
1 2 2
的垂线与C相交于A，B两点，F B与y轴相交于点D，若AD⊥F B，则椭圆C的离心
1 1
率为________.
【例4】(1)已知点A(0，2)及椭圆＋y2＝1上任意一点P，则|PA|的最大值是________.
(2)(2021·江西大联考)椭圆G：＋＝1(a>b>0)的两个焦点为F (－c，0)，F (c，0)，M是
1 2
椭圆上一点，且满足F1M·F2M＝0.则椭圆离心率e的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【方法技巧】求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e
的方程(或不等式)求解.
(3)利用公式e＝求解.
利用椭圆几何性质求值域或范围的思路
(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系.
(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围.
【跟踪训练】
1.(2022·长沙一模)设F ，F 分别是椭圆E：x2＋＝1(01)上两点A，B满足＝2，则当m＝________时，点
B横坐标的绝对值最大.
考点四 直线与椭圆的位置关系
【例4】已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点.
【方法技巧】研究直线与椭圆位置关系的方法
(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解
的个数.
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.
【跟踪训练】
1.若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A.m>1 B.m>0
C.0b>0)的离心率为，过椭圆右焦
点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，|AB|＝4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若|AB|＋|CD|＝，求直线AB的方程.
【方法技巧】弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关系表示中点；
(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.
1.弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x ，y )，B(x ，y )两个不同
1 1 2 2
的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：
①|AB|＝|x －x |；
1 2
②|AB|＝|y －y |(k≠0)；
1 2
③|AB|＝；
④|AB|＝.
2.注意两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直；(2)直线过圆锥曲线的
焦点.
【跟踪训练】
1.(2022·石家庄模拟)过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)相交于
A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________.
【答案】
【解析】设A(x ，y )，B(x ，y )，
1 1 2 2
则
∴＋＝0，
∴＝－·.∵＝－，x ＋x ＝2，y ＋y ＝2，
1 2 1 2
∴－＝－，∴a2＝2b2.
又∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，
∴a2＝2c2，∴＝.
即椭圆C的离心率e＝.
2.已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB
的长为________.
考点六 直线与椭圆的综合问题
【例6】(2021·广州综合测试)已知椭圆Γ：＋＝1(a＞b＞0)经过点M(－2，1)，且右焦
点F(，0).
(1)求椭圆Γ的标准方程；
(2)过N(1，0)且斜率存在的直线AB交椭圆Γ于A，B两点，记t＝MA·MB，若t的最大
值和最小值分别为t ，t ，求t ＋t 的值.
1 2 1 2
【方法技巧】1.求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，列出
有关的方程，利用代数的方法求解.为减少计算量，在代数运算中，经常运用设而不求
的方法.
2.直线方程的设法，根据题意，如果需要讨论斜率不存在的情况，则设直线方程为 x＝
ty＋m，避免讨论；若所研究的直线的斜率存在，则可设直线方程为 y＝kx＋b的形式，
若平行于坐标轴的直线都包含，则不要忘记斜率不存在的情况的讨论.
【跟踪训练】
已知椭圆C：＋＝1，过A(2，0)，B(0，1)两点.
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交
于点N，求四边形ABNM的面积.
达标检测要扎实
一、单选题
1．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，
北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆.已知图（1）、（2）、
（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别 、 、 ，设图（1）、（2）、（3）中椭圆的离心率分别为 、 、 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．椭圆 的右焦点为F，直线 与椭圆E交于A，B两点，若 周长
的最大值是8，则m的值等于（ ）
A．0 B．1 C． D．2
3．已知 是椭圆 的右焦点，点 在 上，直线 与 轴交于点 ，点 为
C上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．若椭圆 ： 的一个焦点坐标为 ，则 的长轴长为（ ）
A． B．2 C． D．
5．“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件6．已知椭圆 ： 的离心率为 ，则椭圆 的长轴长为（ ）
A． B．4 C． D．8
7．已知 是椭圆 上的一个点， 、 是椭圆的两个焦点，若 ，则 等于
（ ）
A． B． C． D．
8．椭圆 焦点坐标是
A． B． C． D．
9．设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足 ，则 的离
心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度
越小.已知椭圆 ： （ ）上点 处的曲率半径公式为 ．
若椭圆 上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知椭圆 的右焦点为 ，过 点作 轴的垂线交椭圆于 ， 两点，若
，则椭圆的离心率等于（ ）A． B． C． D．
12．已知 ， 分别为椭圆 的左､右焦点，过原点O且倾斜角为60°的直线
l与椭圆C的一个交点为M，若 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知椭圆G： （ ）左、右焦点分别为 ， ，短轴的两个端点分别为 ，
，点P在椭圆C上，且满足 ，当m变化时，给出下列四个命题：①点P
的轨迹关于y轴对称；②存在m使得椭圆C上满足条件的点P仅有两个；③ 的最小值为2；④
最大值为 ，其中正确命题的序号是__．
14．若方程 表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围为______．
15．已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则 的最大值为
________．
16．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ， ， 为椭圆 上任意一点， 为圆
上任意一点，则 的最小值为___________.
三、解答题17．已知椭圆 ： ( )的四个顶点组成的四边形的面积为 ，且经过点 .
过椭圆右焦点 作直线 与椭圆 交于 、 两点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 ，求直线 的方程.
18．已知椭圆 ： （ ）的左右焦点分别为 ， ， 分别为左右
顶点，直线 ： 与椭圆 交于 两点，当 时， 是椭圆的上顶点，且 的
周长为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 交于点 ，证明：点 在定直线上.
19．已知椭圆 的离心率为 ，左顶点为A，右焦点F， .过F且斜率
存在的直线交椭圆于P，N两点，P关于原点的对称点为M.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线 ， 的斜率分别为 ， ，是否存在常数 ，使得 恒成立？若存在，请
求出 的值，若不存在，请说明理由.
20．如图， ， 分别是椭圆 的左顶点和上顶点，圆 经过点 ，
为椭圆 上一点，过 且与 垂直的直线交圆 于两点 ， .若点 在椭圆 上，其中
为椭圆 的离心率.(1)求椭圆 的标准方程；
(2)求 面积的最大值.
21．已知椭圆C ： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C 的焦点重合，C 的中心与C 的顶点重
1 2 1 2
合.过F且与x轴垂直的直线交C 于A，B两点，交C 于C，D两点，且|CD|= |AB|.
1 2
（1）求C 的离心率；
1
（2）设M是C 与C 的公共点，若|MF|=5，求C 与C 的标准方程.
1 2 1 2
22．已知椭圆 ： 的离心率为 ，短轴长为2．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 的直线 与椭圆 交于两点 ， 若 的面积为 （ 为坐标原点），求直线
的方程．
