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考点 02 练 导数应用：单调性、极值与最值
1．（2022·全国·高考真题（文））函数 在区间 的最小值、最大值分别为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用导数求得 的单调区间，从而判断出 在区间 上的最小值和最大值.
【详解】
，
所以 在区间 和 上 ，即 单调递增；
在区间 上 ，即 单调递减，
又 ， ， ，
所以 在区间 上的最小值为 ，最大值为 .
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 （ ）的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D． 和
【答案】B【分析】
求导可得 ，求 即可得解.
【详解】
（ ），
令 ，解得 ，
故 在 上单调递增，
故选：B．
3．（2022·陕西西安·二模（理））函数 的定义域为 ，其导函数 的图像如图所示，则函数
极值点的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
根据给定的导函数的图象，结合函数的极值的定义，即可求解.
【详解】
如图所示，设导函数 的图象与 轴的交点分别为 ，
根据函数的极值的定义可知在该点处的左右两侧的导数符号相反，可得 为函数 的极大值点， 为函数 的极小值点，
所以函数 极值点的个数为4个.
故选：C.
4.（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 在 上的最大值是__________．
【答案】
【分析】
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值即可．
【详解】
由题意可知， ，
， ．
当 时， ，
函数 在区间 上单调递增，则 ．
故答案为：
5．（2022·全国·高三专题练习）若函数 有三个单调区间，则实数a的取值范围是
________．
【答案】
【分析】由 有两个不相等的实数根求得 的取值范围.
【详解】
，
由于函数 有三个单调区间，
所以 有两个不相等的实数根，所以 .
故答案为：
6.（2022全国·高三专题练习）已知 是函数 的一个极值点，则 的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题知 ，可得 ，由二倍角公式可算得 ，进而有 ，所以
.
【详解】
，
∴ ，∴ ，∴
故选：D
7．（2021·全国·高考真题（理））设 ，若 为函数 的极大值点，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对 进行分类讨论，
画出 图象，即可得到 所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】
若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 .
有 和 两个不同零点，且在 左右附近是不变号，在 左右附近是变号的.依题意，
为函数 的极大值点， 在 左右附近都是小于零的.
当 时，由 ， ，画出 的图象如下图所示：由图可知 ， ，故 .
当 时，由 时， ，画出 的图象如下图所示：
由图可知 ， ，故 .
综上所述， 成立.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
8．（2023·全国·高三专题练习）函数 ，若 在 上有最小值，则实数a的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求得导数 ，当 时，得到 在 上单调递减，不符合题意；
当 时，结合函数 与 的图象，得到存在 ，使得 ，结合函数的单调
性，即可求解.
【详解】
由题意，函数 ，可得 ，若 时，当 时，可得 ， 在 上单调递减，
此时函数 在 没有最小值，不符合题意；当 时，令 ，即 ，即 与
的交点，
画出函数 与 的图象，如图所示，
结合图象，可得存在 ，使得 ，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，此时函数 在 上有最小值，符合题意，
综上可得，实数a的取值范围是 .故选：A.
9.（2021·全国·高考真题）函数 的最小值为______.
【答案】1
【分析】
由解析式知 定义域为 ，讨论 、 、 ，并结合导数研究的单调性，即可求 最小值.
【详解】
由题设知： 定义域为 ，
∴当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，有 ，此时 单调递减；当 时， ，有 ，此时 单调递增；
又 在各分段的界点处连续，
∴综上有： 时， 单调递减， 时， 单调递增；
∴
故答案为：1.
10．（2021·四川成都·高三阶段练习（文））已知 ，且 ，则 的最大值为
_______．
【答案】 ##
【分析】
利用对数的运算解方程，得 关系，代入 ，然后构造函数，利用导数求最值.
【详解】
解： ，即 ，即 ，
解得 或 ，即 或 （舍， ），
将 代入 得 ，
设 ，
则 ，
当 时， ，当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，即 时，函数取最大值
.故答案为： .
11．（2012·全国·高考真题（理））设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 最小值为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意知函数y＝ ex与y＝ln(2x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，两曲线上点之间的最小距离就
是y＝x与y＝ ex上点的最小距离的2倍．设y＝ ex上点(x，y)处的切线与直线y＝x平行．则 ，
0 0
∴x＝ln 2，y＝1，
0 0
∴点(x，y)到y＝x的距离为 ＝ (1－ln 2)，
0 0
则|PQ|的最小值为 (1－ln 2)×2＝ (1－ln 2)．
12．（2022·福建·三明一中模拟预测）己知e为自然对数的底数，a，b均为大于1的实数，若
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意化简得到 ，设 ，得到 ，结合题意和函数 的单调性，即
可求解.
【详解】由 ，可得 ，即 ，
设 ，可得 ，
因为 ，可得 ，
又因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
当 时， ，可得函数 在 为单调递增函数，
所以 ，即 .
故选：B.
13．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知函数 的极大值点 ，极小值点
，则 的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
求出 的导函数 ，由当 时取得极大值，当 时取得极小值，可得 、 是方程
的两个根，根据一元二次方程根的分布可以得到参数 、 满足的不等式组，画出其表示的平面
区域，根据 的几何意义即可求解
【详解】又因为当 时取得极大值，当 时取得极小值，可得 、 是方程
的两个根，根据一元二次方程根的分布可得
即： 作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示（不包括边界），可
求出边界交点坐标分别为 、 、 ， 表示平面区域内的点 与点
连线的斜率，由图可知 ，根据倾斜角的变化，可得
故选:B
14．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知正实数 ， 满足 ，则 的最大值为
______．
【答案】
【分析】
把已知等式变形为 ，利用函数 （ ）的单调性得 的关系，这样把转化为 的函数，再利用导数求得最大值．
【详解】
由 得 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，
设 （ ），则 ， 递增，
所以由 得 ，所以 ，
，
设 ，则 ，
所以 时， ， 递增， 时， ， 递减，
所以 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了导数的单调性的应用，考查用导数求函数的最大值．解题关键是已知等式进行同构变形：
，然后利用函数的单调性得出变量间的关系．考查了学生的逻辑思维能力，属于较难题．
15．（2022·安徽安庆·二模（文））若函数 在 内单调递增，则实数
的取值范围是___________.
【答案】
【分析】求出函数 的导数，由给定条件可得 恒成立，再分类讨论作答.
【详解】
因函数 在 内单调递增，则 ， ，
即 ，整理得 ，
当 时，则 成立， ，
当 时， ，而 ，
当且仅当 ，即 时取“=”，则有 ，
当 时， ，而 ，
当且仅当 ，即 时取“=”，则有 ，
综上得，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】
思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.
