文档内容
知识点 13：物体的动力学问题
考点一：物体在五类光滑斜面上运动的特点及应用
题型一：“等高斜面”模型的特点及应用问题
【知识思维方法技巧】
等高斜面模型的特点：倾角越小，时间越长。
由L＝at2，a＝gsin θ，L＝可得：t＝ ，可知倾角越小，时间越长，图中t＞t＞t.
1 2 3
【典例1基础题】如图所示，一物体分别从高度相同、倾角不同的三个光滑斜面顶端由静
止开始下滑。下列说法正确的是( )
A．滑到底端时的速度相同 B．滑到底端所用的时间相同
C．在倾角为30°的斜面上滑行的时间最短 D．在倾角为60°的斜面上滑行的时间最短
【典例1基础题】【答案】D
【解析】关系式v＝可知物体从高度相同的斜面滑到底端时的速度大小相同，但方向不同，
选项A错误；由关系式t＝ 可知物体在倾角θ＝60°的斜面上滑行时间最短，选项D正确。
题型二：“同底斜面”模型的特点及应用问题
【知识思维方法技巧】
同底斜面模型的特点：倾角45°时，时间最短。
由L＝at2，a＝gsin θ，L＝可得：t＝ ，可见θ＝45°时时间最短，图中t＝t＞t.
1 3 2
【典例2基础题】如图，将光滑长平板的下端置于铁架台水平底座上的挡板 P处，上部架
在横杆上．横杆的位置可在竖直杆上调节，使得平板与底座之间的夹角θ可变．将小物块
由平板与竖直杆交点Q处静止释放，物块沿平板从Q点滑至P点所用的时间t与夹角θ的
大小有关．若由30°逐渐增大至60°，物块的下滑时间t将( )
1
学科网（北京）股份有限公司A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大
【典例2基础题】【答案】D
【解析】设PQ的水平距离为L，由运动学公式可知＝gt2sin θ，可得t2＝，可知θ＝45°时，
t 有最小值，故当θ从由30°逐渐增大至60°时下滑时间t先减小后增大．故选D.
【典例2基础题对应练习】一间新房即将建成，现要封顶，若要求下雨时落至房顶的雨滴
能最快地淌离房顶(假设雨滴沿房顶下淌时做无初速度、无摩擦的运动)，则必须要设计好
房顶的高度，下列四种情况中最符合要求的是( )
【典例2基础题对应练习】【答案】C
【解析】如图，设房顶宽为2b，高度为h，斜面倾角为θ。由图中几何关系有h＝btan θ
由运动学关系可得t＝ .联立解得t＝，可见，当θ＝45°时，t最小，选项C正确。
题型三：“等时圆”模型的特点及应用问题
【知识思维方法技巧】
所谓“等时圆”就是物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆由静止下滑，到达圆周的
最低点（或从最高点到达同一圆周上各点）的时间相等，都等于物体沿直径做自由落体运
动所用的时间。
类型一：单个竖直圆圆周内同顶端的斜面模型
【知识思维方法技巧】
基本规律：物体从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，
如图所示。
在竖直面内的同一个圆周上，各斜面的顶端都在竖直圆周的最高点，底端都落在该圆周上
如图所示．设某一条光滑弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d，根据物体沿光滑弦做初
速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝gsin α，位移为x＝ d sin α ，所以运动时间为t ＝
0
＝＝.
【典例3a基础题】如图所示，竖直半圆环中有多条起始于A点的光滑轨道，其中AB通过
环心O并保持竖直．一质点分别自A点沿各条轨道下滑，初速度均为零．那么，质点沿各
轨道下滑的时间相比较( )
2
学科网（北京）股份有限公司A．无论沿图中哪条轨道下滑，所用的时间均相同
B．质点沿着与AB夹角越大的轨道下滑，时间越短
C．质点沿着轨道AB下滑，时间最短
D．轨道与AB夹角越小（AB除外），质点沿其下滑的时间越短
【典例3a基础题】【答案】A
【解析】由图中等时圆可知t ＝t ＝t ，故选A.
AD AC AB
【典例3a基础题对应练习】如图为竖直面内的一个圆，从圆上最高点P到圆上A、B两个
斜面PA和PB，斜面与竖直方向夹角为α和β，α β，物块从P点由静止释放，沿PA经时
间t 到A，沿PB经时间t 到B，则( )
1 2
A．若不计摩擦，则t=t B．若不计摩擦，则t t
1 2 1 2
C．若有摩擦且动摩擦因数相同，则t t ，D．若有摩擦且动摩擦因数相同，则t t
1 2 1 2
【典例3a基础题对应练习】【答案】AC
【解析】AB.物块从P点由静止释放，弦PA长度为 ，若斜面光滑，物体沿PA下
滑时加速度为 ，因此从P运动到A的过程中，由运动学知识，有
，运动的时间 ，可知下滑的时间与倾角 大小无关，
即沿PB下滑时间与PA相同，故A正确；B错误；BC.若斜面有摩擦且动摩擦因数相同，
则物块沿PA下滑时加速度 ，
从P运动到A的过程中，有 ，
可得运动时间 ，可知倾角越大时，运动时间越长，由于 ，因此
从P到A的运动时间比从P到B运动时间长，即t t，故C正确，D错误。
1 2
故选AC。
类型二：单个竖直圆圆周内同底端的斜面模型
【知识思维方法技巧】
基本规律：物体从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相
等，如图所示。
3
学科网（北京）股份有限公司如图所示．设某一条光滑弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d，根据物体沿光滑弦做初
速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝gsin α，位移为x＝ d sin α ，所以运动时间为t ＝
0
＝＝.
即物体从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点所用时间相等。
【典例3b基础题】(多选)如图所示，让物体分别同时从竖直圆上的 P 、P 处由静止开始下
1 2
滑，沿光滑的弦轨道PA、PA滑到A处，PA、PA与竖直直径的夹角分别为θ 、θ 。则(
1 2 1 2 1 2
)
A．物体沿PA、PA下滑加速度之比为sin θ∶sin θ
1 2 1 2
B．物体沿PA、PA下滑到A处的速度之比为cos θ∶cos θ
1 2 1 2
C．物体沿PA、PA下滑的时间之比为1∶1
1 2
D．若两物体质量相同，则两物体所受的合外力之比为cos θ∶cos θ
1 2
【典例3b基础题】【答案】BCD
【解析】将物体的重力分别沿光滑的弦轨道PA、PA方向和垂直轨道方向分解，则沿光滑
1 2
的弦轨道PA、PA方向分力分别为mgcos θ 和mgcos θ，其加速度分别为gcos θ 和gcos
1 2 1 1 2 2 1
θ ，若两物体质量相同，则两物体所受的合外力之比为cos θ∶cos θ ，选项D正确；两物
2 1 2
体沿PA、PA下滑加速度之比为cos θ∶cos θ ，选项A错误；因为弦轨道长度L＝dcos
1 2 1 2
θ，由L＝at2，解得t＝ ，由速度公式v＝at可得，物体沿PA、PA下滑到A处的速度之比
1 2
为cos θ∶cos θ，选项B、C正确。
1 2
【典例3b基础题对应练习】 如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xOy，该平面内有
AM、BM、CM三条光滑固定轨道，其中A、C、M三点处于同一个圆上，C是圆上任意一
点，A、M分别为此圆与y轴、x轴的切点，B点在y轴上且在A点上方，O′为圆心。现将
a、b、c三个小球分别从A、B、C点同时由静止释放，它们将沿轨道运动到M点。如所用
时间分别为t 、t 、t ，则t 、t 、t 的大小关系是( )
A B C A B C
A．t μmg。下列说法正确的是( )
0
A．小球先做加速度减小的加速运动，后做加速度增大的减速运动直到静止
7
学科网（北京）股份有限公司B．小球先做加速度增大的加速运动，后做加速度减小的加速运动，直到最后做匀速运动
C．小球的最大加速度为
D．小球的最大速度为
【典例4a基础题】【答案】BCD
【解析】本题考查受约束的直线运动。由牛顿第二定律有F －μ(mg－kv)＝ma，小球在F
0 0
作用下向右做加速运动，随着速度的增加，向上的力 F越来越大，导致杆对小球的弹力越
来越小，摩擦力越来越小，加速度越来越大，当F＝mg时，弹力减小到零，摩擦力减小到
零，此时加速度达到最大值，最大加速度a＝，C正确；接下来，F>mg杆对小球的弹力向
下，随速度的增加，F越来越大，杆对小球的弹力越来越大，摩擦力越来越大，加速度越
来越小，当摩擦力增大到与拉力F 相等时，小球匀速运动，因此小球的加速度先增大后减
0
小，最后做匀速运动，B正确，A错误；小球取得最大速度时，F ＝μ(F－mg)，而F＝
0
kv，可求得最大速度v＝，故D正确。
类型二：斜面式运动模型
考点三：物体动力学的图象问题
【知识思维方法技巧】
单个物体动力学图象问题的解题的方法：
（1）函数斜率面积法：先由牛顿运动定律推导出两个物理量间的函数表达式，再根据函数
表达式的斜率、截距的意义求出相应的问题，特别是解决对于不太熟悉的如－t、x－v2、
at、Ft、Fa图像等要注意这种转化。
①x－t图象的斜率表示速度的大小及方向，纵轴截距表示t＝0时刻的初始位置，横轴截距
表示位移为零的时刻。
②v－t图线(或切线)的斜率表示物体的加速度，v－t图线(或切线)的斜率表示物体的加速度。
③a－t图线与t轴所围的“面积”代表速度改变量。
④由x＝vt＋at2可得＝v＋at，由此知－t图象的斜率为a，纵轴截距为v。
0 0 0
⑤由v2－v2＝2ax可知v2＝v2＋2ax，故v2－x图象斜率为2a，纵轴截距为v2。
0 0 0
⑥由v2－v＝2ax得x＝v2－v，故x－v2图象斜率为1/2a，纵轴截距为v2。
0
⑦由x＝at2，可知x－t2图线的斜率表示a。
（2）函数数据代入法：先由牛顿运动定律推导出两个物理量间的函数表达式，再把图像中
的特殊位置或特殊时刻或特殊情况的特殊数据代入函数公式进行计算。
题型一：根据动力学情境选择动力学图象问题
【典例1基础题】一物块静止在粗糙的水平桌面上。从某时刻开始，物块受到一方向不变
的水平拉力作用，假设物块与桌面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。以 a表示物块的加
速度大小，F表示水平拉力的大小。能正确描述F与a之间的关系的图象是( )
【典例1基础题】【答案】C
【解析】当拉力F小于最大静摩擦力时，物块静止不动，加速度为零，当F大于最大静摩
擦力时，根据F－f＝ma知，随F的增大，加速度a增大，故选项C正确。
【典例1基础题对应练习】如图所示，M为AB的中点，人用水平恒力推着物体由A运动
8
学科网（北京）股份有限公司到M，然后撤去推力让物体自由滑到B停下．以推力的方向为正方向，则物体由A到B过
程中的位移x、速度v、合力F、加速度a与时间t的关系图像可能正确的是( )
A. B.
C. D.
【典例1基础题对应练习】【答案】B
【解析】物体在水平面上从A到M做匀加速直线运动，位移—时间图像为开口向上的抛物
线的一部分，撤去推力后物体做匀减速直线运动，位移—时间图像为开口向下的抛物线的
一部分，故A错误；物体在水平面上从A到M做匀加速直线运动，撤去推力后物体做匀减
速直线运动，由于到达B点的速度为零，则物体在前后两段的平均速度相等，位移也相等，
故物体在AM段和MB段的运动时间相等，物体做匀加速和匀减速直线运动的加速度大小
相等，方向相反，故物体在AM段和MB段所受合外力大小相等，方向相反，B正确，C、
D错误．
题型二：根据运动学图象分析计算动力学的问题
类型一：根据运动学xt图象分析计算动力学的问题
【典例2a基础题】一质量为m的乘客乘坐竖直电梯下楼，其位移s与时间t的关系图像如
图所示．乘客所受支持力的大小用F 表示，速度大小用v表示．重力加速度大小为g.以下
N
判断正确的是( )
A．0～t 时间内，v增大，F >mg B．t～t 时间内，v减小，F mg
2 3 N 2 3 N
【典例2a基础题】【答案】D
【解析】根据st图像的斜率表示速度可知，0～t 时间内v增大，t ～t 时间内v减小，t ～t
1 2 3 1 2
时间内v不变，B、C错误；0～t 时间内速度越来越大，加速度向下，处于失重状态，则
1
F mg，
N 2 3 N
D正确．
类型二：根据运动学vt图象分析计算动力学的问题
【典例2b基础题】（多选）受水平外力F作用的物体，在粗糙水平面上做直线运动，其v
t图线如图2所示，则下列说法正确的是( )
9
学科网（北京）股份有限公司A．在0～t 时间内，外力F大小不断增大
1
B．在t 时刻，外力F为零
1
C．在t～t 时间内，外力F大小可能不断减小
1 2
D．在t～t 时间内，外力F大小可能先减小后增大
1 2
【典例2b基础题】【答案】CD
【解析】0～t 时间内，物体先做匀加速直线运动，然后做加速度减小的加速运动，由F －
1 1
F＝ma ，a 先恒定不变后减小，可知外力先恒定不变后不断减小，A错；由图线斜率可知
f 1 1
t 时刻的加速度为零，故外力大小等于摩擦力大小，B错；t ～t 时间内，物体做加速度增
1 1 2
大的减速运动，若外力方向与物体运动方向相同，由F－F ＝ma ，a 增大，可知外力逐渐
f 2 2 2
减小，若外力方向与物体运动方向相反，由F＋F ＝ma ，a 增大，可知外力逐渐增大，又
f 3 2 2
由于在t 时刻，外力F大小等于摩擦力F 的大小，所以F可能先与物体运动方向相同，大
1 f
小逐渐减小，减小到0后再反向逐渐增大，故C、D对．
【典例2b基础题对应练习】沿固定斜面下滑的物体受到与斜面平行向上的拉力F的作用，
其下滑的速度－时间图线如图所示。已知物体与斜面之间的动摩擦因数为常数，在 0～5
s、5～10 s、10～15 s内F的大小分别为F 、F 和F ，则( )
1 2 3
A．F F C．F >F D．F ＝F
1 2 2 3 1 3 1 3
【典例2b基础题对应练习】【答案】A
【解析】由题图可知，0～5 s内加速度a＝0.2 m/s2，方向沿斜面向下，设斜面倾角为θ，物
1
体与斜面之间的动摩擦力为f，根据牛顿第二定律有mgsin θ－f－F ＝ma ，F ＝mgsin θ－
1 1 1
f－0.2m；5～10 s内加速度a ＝0，根据牛顿第二定律有mgsin θ－f－F ＝ma ，F ＝mgsin
2 2 2 2
θ－f；10～15 s内加速度a＝－0.2 m/s2，方向沿斜面向上，根据牛顿第二定律有mgsin θ－
3
f－F ＝ma ，F ＝mgsin θ－f＋0.2m。故可得：F >F >F ，选项A正确。
3 3 3 3 2 1
类型三：根据运动学v2－x图象分析计算动力学的问题
类型五：根据运动学a－t图象分析计算动力学的问题
【典例5e基础题】如图甲所示，一个物体放在粗糙的水平地面上．从t＝0时刻起，物体在
水平力F作用下由静止开始做直线运动．在0到t 时间内物体的加速度a随时间t的变化规
0
律如图乙所示．已知物体与地面间的动摩擦因数处处相等．则( )
10
学科网（北京）股份有限公司A．在0到t 时间内，物体的速度逐渐变小
0
B．t 时刻，物体速度增加到最大值
0
C．在0到t 时间内，物体做匀变速直线运动
0
D．在0到t 时间内，力F大小保持不变
0
【典例5e基础题】【答案】B
【解析】由题图乙可知，加速度随时间逐渐减小，方向不变，所以加速度方向始终与速度
方向相同，物体做加速运动，故A错误；当加速度减为零时，速度最大，所以t 时刻，物
0
体速度增加到最大值，故B正确；加速度逐渐减小，所以物体不是做匀变速直线运动，故
C错误；根据F－F＝ma，可知，a减小，F 不变，所以F减小，故D错误．
f f
【典例5e基础题对应练习】（多选）一人乘电梯上楼，在竖直上升过程中加速度a随时间
t变化的图线如图所示，以竖直向上为a的正方向，则人对地板的压力( )
A．t＝2 s时最大 B．t＝2 s时最小
C．t＝8.5 s时最大 D．t＝8.5 s时最小
【答案】AD
【解析】人受重力mg和支持力F 的作用，由牛顿第二定律得F －mg＝ma。由牛顿第三
N N
定律得人对地板的压力F ′＝F ＝mg＋ma。当t＝2 s时a有最大值，F ′最大；当t＝8.5 s时
N N N
a有最小值，F ′最小，选项A、D正确。
N
题型三：根据动力学图象分析计算动力学的问题
【知识点的理解与应用】
首先要根据具体的物理情境，对物体进行受力分析，然后根据牛顿第二定律推导出两个量
间的函数关系式，根据函数关系式结合图像，明确图像的斜率、截距或面积的意义，从而
由图像给出的信息求出未知量。
类型一：根据动力学a－F图象分析计算动力学的问题
【典例3a基础题】（多选）一个物块放在粗糙的水平面上，现用一个很大的水平力推物块，
并且推力不断减小，结果物块运动中的加速度a随推力F变化的图像如图所示。重力加速
度g＝10 m/s2下列说法正确的是( )
A．物块的质量为0.5 kg
B．物块与水平面间的动摩擦因数为0.2
C．当推力F减小为2 N时，物块的速度最大
D．当推力F减小为0时，物块的速度为零
【典例3a基础题】【答案】BC
【解析】选由物块运动中的加速度a随推力F变化的图像可知，当推力F＝2 N时，加速度
11
学科网（北京）股份有限公司为零，运用牛顿第二定律，F－μmg＝0；当F＝0时，加速度a＝－2 m/s2，运用牛顿第二
定律，－μmg＝－ma，联立解得：μ＝0.2，m＝1.0 kg。即物块与水平面间的动摩擦因数为
0.2，物块的质量为1.0 kg，选项A错误，B正确。用一个很大的水平力推物块，并且推力
不断减小，物块做加速度逐渐减小的加速运动，当推力F减小为2 N时，物块的速度最大，
选项C正确。当推力F减小为0时，物块做减速运动，物块的速度不为零，选项D错误。
【典例3a基础题对应练习】如图甲所示，用一水平外力F推物体，使其静止在倾角为θ的
光滑斜面上。逐渐增大F，物体开始做变加速运动，其加速度a随F变化的图像如图乙所
示。取g＝10 m/s2。根据图中所提供的信息不能计算出的是( )
A．物体的质量 B．斜面的倾角
C．使物体静止在斜面上时水平外力F的大小 D．加速度为6 m/s2时物体的速度
【典例3a基础题对应练习】【答案】D
【解析】对物体受力分析，受推力、重力、支持力，如图所示
x方向：Fcos θ－mgsin θ＝ma①
y方向：F －Fsin θ－mg·cos θ＝0②
N
从aF图像中取两个点(20 N,2 m/s2)，(30 N,6 m/s2)代入①式解得：m＝2 kg，θ＝37°
因而A、B可以算出；
当a＝0时，可解得F＝15 N，因而C可以算出；
题中并未说明力F随时间变化的情况，故无法求出加速度为6 m/s2时物体的速度大小，因
而D不可以算出。
类型二：根据动力学F－t图象分析计算动力学的问题
【典例3b基础题】如图1所示，有一质量m＝200 kg的物件在电机的牵引下从地面竖直向
上经加速、匀速、匀减速至指定位置．当加速运动到总位移的时开始计时，测得电机的牵
引力随时间变化的F-t图线如图所示，t＝34 s末速度减为0时恰好到达指定位置．若不计绳
索的质量和空气阻力，求物件：
(1)做匀减速运动的加速度大小和方向；
(2)匀速运动的速度大小；
(3)总位移的大小．
12
学科网（北京）股份有限公司【典例3b基础题】【答案】(1)0.125 m/s2 竖直向下 (2)1 m/s (3)40 m
【解析】(1)牛顿第二定律mg－F ＝ma，得a＝g－＝0.125 m/s2，竖直向下．
T
(2)运动学公式v＝at＝1 m/s.
2
(3)匀速上升的位移h＝vt＝26 m，匀减速上升的位移h＝t＝4 m，总位移h＝＝40 m.
1 1 2 2
【典例3b基础题对应练习】水平地面上质量为1 kg的物块受到水平拉力F 、F 的作用，
1 2
F 、F 随时间的变化如图所示，已知物块在前2 s内以4 m/s的速度做匀速直线运动，g取
1 2
10 m/s2，则( )
A.物块与地面的动摩擦因数为0.2 B.3 s末物块受到的摩擦力大小为3 N
C.4 s末物块受到的摩擦力大小为1 N D.5 s末物块的加速度大小为3 m/s2
【典例3b基础题对应练习】【答案】BC
【解析】在0～2 s内物体匀速运动，则摩擦力f＝3 N，则μ＝＝0.3，选项A错误；2 s后物
体做减速运动，加速度a＝＝ m/s2＝－2 m/s2，则经过
t＝＝2 s，即4 s末速度减为零，则3 s末物块受到的摩擦力大小为3 N，4 s末物块受到的摩
擦力为静摩擦力，大小为6 N－5 N＝1 N，选项B、C正确；物体停止后，因两个力的差值
小于最大静摩擦力，则物体不再运动，则5 s末物体的加速度为零，选项D错误。
题型四：根据其他图象分析计算动力学的问题
考点四：物体动力学的临界极值问题
【知识思维方法技巧】
（1）临界或极值条件的标志:
①题目中有“刚好”“恰好”“正好”“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，即表
明题述的过程存在着极值临界点.
②题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起
止点”，而这些起止点往往对应临界状态.
③题目要求“最终加速度”“稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度.
（2）解决动力学临界极值问题的常用方法：
①极限法：把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确
解决问题的目的。
②物理分析法：通过对物理过程的分析，寻找过程中变化的物理量。探索物理量的变化规
律。确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系。
③数学分析法：将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式解决临界极值问题。
题型一：速度的临界极值问题
【典例1基础题】公路上行驶的两汽车之间应保持一定的安全距离．当前车突然停止时，
后车司机可以采取刹车措施，使汽车在安全距离内停下而不会与前车相碰．通常情况下，
人的反应时间和汽车系统的反应时间之和为 1 s．当汽车在晴天干燥沥青路面上以108
km/h的速度匀速行驶时，安全距离为120 m．设雨天时汽车轮胎与沥青路面间的动摩擦因
数为晴天时的.若要求安全距离仍为120 m，求汽车在雨天安全行驶的最大速度．
【典例1基础题】【答案】20 m/s
13
学科网（北京）股份有限公司【解析】设路面干燥时，汽车与地面间的动摩擦因数为 μ ，刹车时汽车的加速度大小为
0
a ，安全距离为s，反应时间为t ，由牛顿第二定律和运动学公式得 μmg＝ma ，s＝vt ＋
0 0 0 0 00
式中，m和v 分别为汽车的质量和刹车前的速度．设在雨天行驶时，汽车与地面间的动摩
0
擦因数为μ，依题意有μ＝μ ，设在雨天行驶时汽车刹车的加速度大小为a，安全行驶的最
0
大速度为v，由牛顿第二定律和运动学公式得μmg＝ma，s＝vt ＋，联立并代入题给数据得
0
v＝20 m/s(72 km/h)
题型二：位移的临界极值问题
【典例2基础题】质量为m＝1 kg、大小不计的物块，在水平桌面上向右运动，经过O点
时速度为v＝4 m/s，此时对物块施加F＝6 N的方向向左的拉力，一段时间后撤去拉力，
物块刚好能回到O点。已知与桌面间动摩擦因数为μ＝0.2，重力加速度g＝10 m/s2。求：
(1)此过程中物块到O点的最远距离；
(2)撤去F时物块到O点的距离。
【典例2基础题】【答案】(1)1 m (2) m
【解析】(1)物块向右做匀减速运动时，设物块向左的加速度大小为a ，物块与O点的最远
1
距离为x，则有F＋μmg＝ma 解得a＝8 m/s2；由v2＝2ax，可得x＝1 m。
1 1 1 1 1 1
(2)物块向左运动过程中，有力F作用时做匀加速运动，设加速度大小为a，最大速度大小
2
为v，加速位移大小为x，撤去拉力F后做匀减速运动，设加速度大小为a，减速位移大
1 2 3
小为x，则有F－μmg＝ma ，解得a＝4 m/s2，μmg＝ma ，解得a＝2 m/s2，由v＝
3 2 2 3 3
2ax，v＝2ax，x＋x＝x，联立解得x＝ m，即撤去F时物块到O点的距离为 m。
2 2 3 3 2 3 1 3
【典例2基础题对应练习】如图甲所示，木板与水平地面间的夹角θ可以随意改变，当θ＝
30°时，可视为质点的一小物块恰好能沿着木板匀速下滑.如图乙，若让该小物块从木板的
底端每次均以大小相同的初速度v ＝10 m/s沿木板向上运动，随着θ的改变，小物块沿木
0
板向上滑行的距离x将发生变化，重力加速度g取10 m/s2.
(1)求小物块与木板间的动摩擦因数；
(2)当θ角满足什么条件时，小物块沿木板向上滑行的距离最小，并求出此最小值.
【典例2基础题对应练习】【答案】(1) (2)θ＝60° m
【解析】(1)当θ＝30°时，小物块恰好能沿着木板匀速下滑，则mgsin θ＝F，F＝μmgcos
f f
θ
联立解得：μ＝.
(2)当θ变化时，设沿斜面向上为正方向，物块的加速度为 a，则－mgsin θ－μmgcos θ＝
ma，
由0－v2＝2ax得x＝，令cos α＝，sin α＝，即tan α＝μ＝，故α＝30°，又因x＝当α＋θ
0
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学科网（北京）股份有限公司＝90°时x最小，即θ＝60°，所以x最小值为x ＝＝＝ m.
min
题型三：加速度的临界极值问题
【典例3基础题】高铁车厢里的水平桌面上放置一本书，书与桌面间的动摩擦因数为0.4，
最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g＝10 m/s2。若书不滑动，则高铁的最大加
速度不超过( )
A. 2.0 m/s2 B. 4.0 m/s2 C. 6.0 m/s2 D. 8.0 m/s2
【典例3基础题】【答案】B
【解析】书放在水平桌面上，若书相对于桌面不滑动，则最大静摩擦力提供加速度即F ＝
fm
μmg＝ma ，解得a ＝μg＝4 m/s2，书相对高铁静止，故若书不滑动，高铁的最大加速度为
m m
4 m/s2，B正确，A、C、D错误。
题型四：外力作用时间的临界极值问题
题型五：外力的临界极值问题
考点五：二个物体多运动过程问题
题型一：水平式多过程运动模型
【典例1基础题】一辆车厢长为4 m的卡车沿水平路面行驶，在车厢正中央沿行驶方向放
置一根长2 m、质量均匀的细钢管，钢管与车厢水平底板间的动摩擦因数为 0.3，重力加速
度g取10 m/s2。
（1）若卡车以18 m/s的速度匀速行驶，为了使车厢前挡板不被撞击，求刹车时加速度的最
大值？
（2）若车厢无后挡板，卡车从静止开始匀加速运动，加速度大小为 4 m/s2，则经多长时间
钢管开始翻落？
【典例1基础题】【答案】(1)3.06 m/s2 (2)2 s
【解析】(1)若车厢前挡板恰好不被撞击，则卡车在刹车过程中的位移大小x ＝，对钢管有
1
μmg＝ma ，解得钢管的加速度大小a ＝μg＝3 m/s2，钢管的位移大小x ＝＝54 m又由运动
2 2 2
关系可知x－x＝，联立以上各式可得a ＝ m/s2≈3.06 m/s2。
2 1 m
(2)从卡车开始加速到钢管开始翻落的过程中，卡车的位移x′＝at2，钢管的位移x′＝at2，
1 2 2
又由运动关系可得x′－x′＝＋，联立解得t＝2 s。
1 2
题型二：斜面式多过程运动模型
题型三：竖直式多过程运动模型
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