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第 35 节 概率
基本技能要落实
考点一 排列组合
【例1】(1)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2
位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________．
(2)大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城
市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、
乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹
需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有________种．
[答案] (1)60 (2)24
[解析] (1)2位男生不能连续出场的排法共有N ＝A×A＝72(种)，女生甲排第一个且2位男生不连
1
续出场的排法共有N ＝A×A＝12(种)，所以出场顺序的排法种数为N＝N －N ＝60.
2 1 2
(2)根据题意，分两种情况讨论：
①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭
中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车．有C×C×C＝12(种)乘坐方式；
②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选 1个，让其2个孩子都在甲车上，
对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C×C×C＝12(种)乘坐方式，
故共有12＋12＝24(种)乘坐方式．
【例2】某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地
邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，而不改变原来的节目顺序，
则不同的安排方式有________种．
【答案】720
【解析】添入三个节目后共十个节目，故该题可转化为安排十个节目，其中七个节目顺序固定．这
七个节目的不同安排方法共有A种，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，先将这十个节目进
行全排列，不同的排列方法有 A种，而原先七个节目的顺序一定，故不同的安排方式共有＝
720(种)．
【例3】(1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕
业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到 3所学校去任教，
有________种不同的分派方法．
(2)有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同
的保送方案共有________种．
(3)若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．
【答案】(1)90 (2)36 (3)360
【解析】(1)先把6个毕业生平均分成3组，有＝15(种)方法．再将3组毕业生分到3所学校，有A＝6(种)方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有·A＝90(种)分派方法．
(2)先把4名学生分为2,1,1共3组，有＝6(种)分法，再将3组对应3个学校，有A＝6(种)情况，则
共有6×6＝36(种)不同的保送方案．
(3)将6名教师分组，分三步完成：
第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种取法；
第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种取法；
第3步，余下的3名教师作为一组，有C种取法．
根据分步乘法计数原理，共有CCC＝60种取法．
再将这3组教师分配到3所中学，有A＝6种分法，
故共有60×6＝360种不同的分法．
【方法技巧】
解排列、组合问题要遵循的两个原则
(1)按元素(位置)的性质进行分类；
(2)按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满
足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置)．
解定序排列问题的方法
定序问题，消序处理，即先不考虑顺序限制，整体进行排列后，再除以定序元素的全排列．
对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，
然后用总排列数A除以m个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种＝A.
分组、分配问题的求解策略
1．对不同元素的分配问题
(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一
定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．
(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有 m组元素个数相等，
则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．
(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需
要除以全排列数．
2．对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．
考点二 古典概型
【例2】(1)(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从
下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，右图就是一重卦．在所有重卦
中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )
A. B.
C. D.(2)(2022·合肥市第一次质检测)某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分
别为1,2,3,4,5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：
若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行
第二次摸球，若与第一次取出的两个小球号码相同，则中奖．按照这样的规则摸奖，中奖的概率为
( )
A. B.
C. D.
【答案】(1)A (2)C
【解析】(1)重卦是由从下到上排列的6个爻组成，而爻有“阳爻”和“阴爻”两种，故所有的重卦
共有26＝64种．重卦中恰有3个“阳爻”的共有C×C＝20种．故所求概率P＝＝，故选A.
(2)分为两个互斥事件：记“第一次取出的两球号码连号中奖”为事件A，记“第二次取出的两球与
第一次取出的未中奖的两球号码相同中奖”为事件B，则由题意得P(A)＝＝，P(B)＝＝，则每位顾
客摸球中奖的概率为P(A)＋P(B)＝＋＝，故选C.
【方法技巧】
1．古典概型的概率求解步骤
(1)求出所有基本事件的个数n.
(2)求出事件A包含的所有基本事件的个数m.
(3)代入公式P(A)＝求解．
2．基本事件个数的确定方法
(1)列举法：此法适合于基本事件个数较少的古典概型．
(2)列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法．
(3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事
件数的探求．
(4)运用排列组合知识计算．
【跟踪训练】
1．(2019·武汉部分学校调研)我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，
如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨．某书画院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二
十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前
提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选B 甲从春、夏、秋、冬四个季节的各6幅彩绘绘制的任务中选一个季节的6幅彩绘绘制，
故甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率为，选B.
2．(2019·兰州市诊断考试)某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A，B，C，D，E中随机选取2人，
赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A或B被选中的概率是( )
A. B.C. D.
解析：选D 从5名干部中随机选取2人有C＝10(种)选法，其中只选中A没选中B有C＝3(种)选
法，只选中B没选中A有C＝3(种)选法，A和B均选中有1种选法，所以所求概率P＝＝，故选D.
3．(2019·武汉市调研测试)已知某口袋中装有2个红球，3个白球和1个蓝球，从中任取3个球，则
其中恰有两种颜色的概率是( )
A. B.
C. D.
解析：选D 依题意，从口袋中任取3个球，共有C＝20(种)不同的取法，
①当取得三个球颜色相同，则有C＝1种取法；②当取的三个球颜色互不相同，则有CCC＝6种取
法；综合①②得：从中任取三个球，其中恰有两种颜色的概率为1－＝.
考点三 超几何分布
【例3】某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为
3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列．
[解] (1)由已知，有P(A)＝＝.
所以事件A发生的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
【方法技巧】
1．随机变量是否服从超几何分布的判断
若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取n次；(2)随机变
量X表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然．
2．求超几何分布的分布列的步骤
第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；
第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；
第三步，用表格的形式列出分布列．
【跟踪训练】
1．某大学生志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，
其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．
解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝.
所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.
(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.
P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．
所以随机变量X的分布列是
X 0 1 2 3
P
2．在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：
将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比
这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A ，A ，A ，
1 2 3
A ，A ，A 和4名女志愿者B ，B ，B ，B ，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙
4 5 6 1 2 3 4
种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 但不包含B 的概率；
1 1
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．
解：(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 但不包含B 的事件为M，则P(M＝＝.
1 1
(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
因此X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
考点四 二项分布
【例4】(2019·天津高考)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙
两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．
(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到
校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．
[解] (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为，
故X～B，从而P(X＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3.
所以随机变量X的分布列为X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望E(X)＝3×＝2.
(2)设乙同学上学期间的三天中 7：30之前到校的天数为Y，则Y～B，且M＝{X＝3，Y＝1}
∪{X＝2，Y＝0}．
由题意知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y
＝0}均相互独立，
从而由(1)知P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})＝P(X＝3，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝0)＝P(X
＝3)P(Y＝1)＋P(X＝2)P(Y＝0)＝×＋×＝.
【方法技巧】
独立重复试验与二项分布问题的类型及解题策略
(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利
用公式求概率．
(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二
项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．
【跟踪训练】
1．(2019·江西省五校协作体试题)食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进
货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才
能在该超市销售．已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第
三轮检测合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有
影响．
(1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率；
(2)如果这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利400元，如果不能在该超市销售，则每箱亏损
200元，现有4箱这种蔬菜，求这4箱蔬菜总收益的分布列．
解：(1)记A(i＝1,2,3)分别为事件“第一、二、三轮检测合格”，A为事件“每箱这种蔬菜不能
i
在该超市销售”．
由题设知P(A)＝1－＝，P(A)＝1－＝，P(A)＝，
1 2 3
所以P(A)＝1－P(A)P(A)P(A)＝1－××＝.
1 2 3
(2)设这4箱蔬菜的总收益为随机变量X，则X的所有可能取值为1 600,1 000,400，－200，－
800，
且P(X＝1 600)＝C×4×0＝，
P(X＝1 000)＝C×3×＝，
P(X＝400)＝C×2×2＝，
P(X＝－200)＝C×1×3＝，P(X＝－800)＝C×0×4＝.
故X的分布列为
X 1 600 1 000 400 －200 －800
P
2.(2019·河北省九校第二次联考)已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分
三个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立．假定某
次试验种子发芽则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的．
(1)第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率；
(2)第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为X，求X的分布列及数学
期望；
(3)第三小组进行试验，到成功了四次为止，在第四次成功之前共有三次失败的前提下，求恰有
两次连续失败的概率．
解：(1)该小组恰有两次失败的概率P＝C24－2＝＝.
(2)由题意可知X的取值集合为{0,2,4}，
则P(X＝0)＝C24－2＝＝，
P(X＝2)＝C14－1＋C34－3＝＝，
P(X＝4)＝C4＋C4＝＝.
故X的分布列为
X 0 2 4
P
E(X)＝0×＋2×＋4×＝，即所求数学期望为.
(3)由题意可知，在第四次成功之前共有三次失败的前提下，共有 C＝20(个)基本事件，而满足
恰有两次连续失败的基本事件共有A＝12(个)，从而由古典概型可得所求概率P＝＝.
达标检测要扎实
一、单选题
1．某奥运村有 ， ， 三个运动员生活区，其中 区住有 人， 区住有 人， 区住有 人
已知三个区在一条直线上，位置如图所示 奥运村公交车拟在此间设一个停靠点，为使所有运动员
步行到停靠点路程总和最小，那么停靠点位置应在（ ）
A． 区 B． 区 C． 区 D． ， 两区之间
【答案】A【解析】若停靠点为 区时，所有运动员步行到停靠点的路程和为： 米；
若停靠点为 区时，所有运动员步行到停靠点的路程和为： 米；
若停靠点为 区时，所有运动员步行到停靠点的路程和为： 米；
若停靠点为 区和 区之间时，设距离 区为 米，所有运动员步行到停靠点的路程和为：
，
当 取最小值，故停靠点为 区．故选：A
2．采购员要购买某种电器元件一包（10个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查3个，如果这
3个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有4个次品的包数占30%，其余包中各含1个次品，
则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率为（ ）
A．0.46 B．0.49 C．0.51 D．0.54
【答案】A
【解析】抽到含有1个次品，且抽到的3个元件中含有这一个次品的概率为
，
抽到含有4个次品，且随机抽查的3个元件中含有次品，则拒绝购买，
故概率为 ，
所以采购员随机挑选一包拒绝购买的概率为 .故选：A
3．现有三名学生与两名教师随机地排一排照相，则每名学生都至少与一名教师相邻的概率为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知三名学生不相邻 ○ ○ 或是如下排列○ ○ ， ○ ○时，满足条件，其中
代表学生，○代表老师.
共有 种，
故概率 ，故选：D.
4．源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科
学实验要经过5道程序，其中 两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序
的顺序安排共有（ ）
A．18种 B．36种 C．72种 D．108种
【答案】B
【解析】先排 两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，则在第2,3,4道程序选两个放
，共有 种放法；再排剩余的3道程序，共有 种放法；
则共有 种放法.故选：B.
5．我们的祖先创造了一种十分重要的计算方法：筹算.筹算用的算筹是竹制的小棍，也有骨制的.据
《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万
百相当.即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，
以此类推，如图所示，例如： 表示62， 表示26，现有5根算筹，据此表示方式表示两
位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数大于40的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意可知：一共5根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为 共四
类情况；
第一类： ，即十位用4根算筹，个位用1根算筹，那十位可能是4或者8，个位为1，则两位数
为41或者81；
第二类： ，即十位用3根算筹，个位用2根算筹，那十位可能是3或者7，个位可能为2或者
6，故两位数可能32，36，72，76；第三类： ，即十位用2根算筹，个位用3根算筹，那么十位可能是2或者6，个位可能为3或
者7，故两位数可能是23，27，63，67；
第四类： ，即十位用1根算筹，个位用4根算筹，那么十位为1，个位可能为4或者8，则该两
位数为14或者18，
综上可知：所有的两位数有14，18，23，27，32，36，41，63，67，72，76，81共计12个，其中
大于40的有41，63，67，72，76，81共计6个，
故这个两位数大于40的概率为 ，故选：B.
6．甲、乙两人各射击一次，是否命中目标互不影响，已知甲、乙两人命中目标的概率分别为 ，
，则至少有一人命中目标的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵甲、乙两人各射击一次，目标没被命中的概率为 ，
∴甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为 .故选：D.
7．从 盒子中摸出一个黑球的概率是 ，从 盒子摸出一个黑球的概率是 ，从两个盒子中各摸
出一个球，则下列说法中错误的是（ ）
A． 个球都不是黑球的概率为 B． 个球中恰有 个是黑球的概率为
C． 个球中至少有 个黑球的概率为 D． 个球中至多有 个黑球的概率为
【答案】C
【解析】设从 盒子摸出一个黑球“为事件 ”，从 盒中摸出一个黑球“为事件 ”，则
， ，且 ， 相互独立，
在A选项中 个都不是黑球，则 ，A正确在B选项中 个球中恰有一个是黑球的概率为 ，B正确
在C选项中 个球至少有一个黑球的概率为 ，C错误
在D选项中 个球至多有 个黑球的概率为 ，D正确．故
选：C
二、填空题
8．某个班级周一上午准备安排语文､数学､英语､物理､生物等5节课，则数学和物理排课不相邻的
概率为___________.
【答案】 ##0.6
【解析】古典概型，样本空间样本点总数为 ，先安排好语文，英语，生物，有 种排法，
再插入数学和物理，有 种排法，事件所占样本个数为 ， ；故答案为：
.
9．已知集合 ，从集合A中任取一个元素a，使函数 是奇函数且在
上递增的概率为__．
【答案】 ##0.375
【解析】从集合 中任取一个元素a，使函数 是奇函数且在
上递增，则 ，所以其概率为 ．故答案为： ．
三、解答题
10．新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，是指2019新
型冠状病毒感染导致的肺炎.2019年12月以来，部分医院陆续发现了多例不明原因肺炎病例，证实
为2019新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，为防止该病症的扩散与传染，某检测机构在
某地区进行新冠病毒疾病调查，需要对其居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病.现有 个人，每人一份血液待检验，有如下两种方案：
方案一：逐份检验，需要检验n次；方案二：混合检验，将n份血液分别取样，混合在一起检验，
若检验结果呈阴性，则n个人都未患有该疾病；若检验结果呈阳性，再对n份血液逐份检验，此时
共需要检验 次.
(1)若 ，且其中两人患有该疾病，
①采用方案一，求恰好检验3次就能确定患病两人的概率；
②将这10人平均分成两组，则这两患者分在同一组的概率；
(2)已知每个人患该疾病的概率为 .
（i）采用方案二，记检验次数为X，求检验次数X的期望 ；
（ii）若 ，判断方案一与方案二哪种方案检查的次数更少？并说明理由.
【答案】（1）
①根据题意可得： ；
②根据题意可得： ；
（2）（i）根据题意：X的取值为1， ，
， ，
所以 ；
（ii）当 时，方案一：检验的次数为5次，
方案二：检查的次数期望为 ，
，
记 ，
因为 ，所以 单调递增，
当 时， ，所以当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
故当 时，选择方案二；
当 时，选择方案一；
当 时，选择两种方案检查次数一样.
11．某校对高一年级800名学生进行食堂满意度调查，分性别得到的调查结果如下：
男同学 女同学
满意 400 350
不满意 20 30
(1)从这800名学生中随机抽取一人，求该学生是女同学且对食堂满意的概率；
(2)该校准备在本次调查对食堂不满意的学生中，用等比例分层随机抽样的方法按性别抽取5人进行
进一步调查，了解对食堂不满意的原因，并在这5人中随机选出2人发一份小礼品，求这2人恰好
是一男一女的概率．
【解析】（1）依题意，从这800名学生中随机抽取一人，
该学生是女同学且对食堂满意的概率为 .
（2）不满意的男女生比例为 ，
用等比例分层随机抽样的方法按性别抽取5人进行进一步调查，
则男生抽取 人，女生抽取 人，
男生记为 ，女生记为 ，
在这5人中随机选出2人，基本事件为 ，
，共 个，
其中一男一女的为： ， ，共 个，
所以在这5人中随机选出2人发一份小礼品，这2人恰好是一男一女的概率为 .12．为了解高三学生体能情况，某中学对所有高三男生进行了掷实心球测试，测试结果表明所有男
生的成绩 （单位：米）近似服从正态分布 ，且 .
(1)若从高三男生中随机挑选1人，求他的成绩在 内的概率.
(2)为争夺全省中学生运动会的比赛资格，甲､乙两位同学进行比赛.比赛采取“五局三胜制”，即两
人轮流掷实心球一次为一局，成绩更好者获胜（假设没有平局）.一共进行五局比赛，先胜三局者
将代表学校出战省运会.根据平时训练成绩预测，甲在一局比赛中战胜乙的概率为 .
①求甲代表学校出战省运会的概率.
②丙､丁两位同学观赛前打赌，丙对丁说：“如果甲 获胜，你给我100块，如果甲 获胜，你
给我50块，如果甲 获胜，你给我10块，如果乙获胜，我给你200块”，如果你是丁，你愿意
和他打赌吗？说明你的理由.
【解析】（1）因为 ， ，
∴ ；
（2）①由题可得甲 获胜的概率为 ，
甲 获胜的概率为 ，
甲 获胜的概率为 ，
所以，甲代表学校出战省运会的概率为 ；
（2）由题可得丁获得奖金的期望值为：
，
所以如果我是丁，我不会和他打赌.
13．有一堆大小和质地都相同的白球和黑球，先将一个白球和一个黑球放入袋子中，再从袋子中不
放回地随机取出一个球，然后再往袋子中加入一个白球和一个黑球，再从袋子中不放回地随机取出
一个球，如此循环取球．(1)若取了三次球，求刚好取出 个黑球的概率；
(2)若要使取出的球中有黑球的概率不低于 ，求最少需要取多少次球．
【解析】（1）若三次取球依次为白黑黑的概率为
若三次取球依次为黑白黑的概率为
若三次取球依次为黑黑白的概率为 ，
所以取了三次球，求刚好取出 个黑球的概率为 ；
（2）设最少需要取 次，
则 次都是白球的概率 ，
所以取出的球中有黑球的概率为 ，
可知 是关于 的递增函数，
当 时， ，
当 时， ，
所以最少取 次.
14．最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功概率为 ．现对
该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成功，则继续试验，且最多试验8
次．记 为试验结束时所进行的试验次数， 的数学期望为 ．
(1)证明： ；
(2)某公司意向投资该产品，若 ，每次试验的成本为 元，若试验成功则获利 元，
则该公司应如何决策投资？请说明理由．【解析】（1）由题意，
故 分布列如下：
1 2 3 4 5 6 7 8
所以 的数学期望 ，
记 ，
，作差可得，
，
则 ；
（2）
由（1）可知 ，则试验成本的期望小于 元，
试验成功则获利 元，且 ，则该公司应该投资该产品
15． 年 月 日晩，中国女排在世锦赛小组赛第三轮比赛中，又一次以 的比分酣畅淋漓
地战胜了老对手日本女排，冲上了热搜榜第八位，令国人振奋！同学们，你们知道排球比赛的规则
和积分制吗？其规则是：每场比赛采用“ 局 胜制”（即有一支球队先胜 局即获胜，比赛结
束）．比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以 或 取胜的球队积 分，负队积 分；
以 取胜的球队积 分，负队积 分．已知甲、乙两队比赛，甲队每局获胜的概率为 ．
(1)如果甲、乙两队比赛 场，求甲队的积分 的概率分布列和数学期望；
(2)如果甲、乙两队约定比赛 场，求两队积分相等的概率．
【解析】（1）随机变量 的所有可能取值为 、 、 、 ，， ，
， ，
所以 的分布列为
所以数学期望 .
（2）记“甲、乙两队比赛两场后，两队积分相等”为事件 ，
设第 场甲、乙两队积分分别为 、 ，则 ， 、 ，
因两队积分相等，所以 ，即 ，则 ，
所以
．
