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专题6.8 实数（分层练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）下列各数中，无理数是
（ ）
A． B． C．0 D．
2．（2023上·浙江温州·八年级校联考阶段练习）下列选项中，能说明命题“对于任何实
数a，都有 ”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·湖南长沙·八年级长沙市北雅中学校考阶段练习）实数a、b在数轴上所对应
的点如图所示，化简 的结果是（ ）
A．a B． C． D．
4．（2024上·山西晋城·八年级统考期末）“数轴上的点并不都表示有理数，如图所示，
数轴上的点P所表示的数是 ”，这种说明问题的方式体现的数学思想是（ ）
A．方程思想 B．建模思想 C．数形结合思想 D．分类讨论思想
5．（2024上·湖南邵阳·九年级统考期末）下列实数中，最小的数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024上·福建莆田·九年级莆田第二十五中学校考期末）已知实数 ，则以
下对 的估算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024下·全国·八年级假期作业）下列计算正确的是（ ）A． B． C． D．
8．（2024上·福建宁德·八年级统考期末）对实数 ， ，定义运算 ．已
知 ，则 的值为（ ）
A．4 B． C． D．4或
9．（2021下·河北沧州·七年级统考期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分
别为2和4，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．2 D．
10．（2023上·浙江宁波·七年级校考期中）有一列数按如下顺序排列：
，…，则第2023个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2022下·辽宁盘锦·七年级统考期末） 的相反数是 ．
12．（2023上·江苏徐州·八年级统考期中）在实数 ， ， ，
， 中有理数的个数是 ．
13．（2023上·江西上饶·七年级统考期中）已知实数a，b，c满足 ，且 ，
则 ．
14．（2024·全国·八年级竞赛）如图，若点A对应的数是 ，点C对应的数是 ，点B与点C关于点A对称，则点B对应的数是 ．
15．（2024上·山东青岛·八年级统考期末）比较大小： （用“ ”“ ”
“ ”填空）．
16．（2024下·全国·七年级假期作业）已知 是 的整数部分， 是 的小数部分，
则 ．
17．（2024上·河南平顶山·八年级统考期末）计算： ．
18．（2023上·湖南邵阳·八年级校联考阶段练习）有一个数值转换器，原理如图．当输入
x的值为 时，输出y的值是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）19．（2022下·湖北孝感·七年级统考期中）计算：
(1) ； (2)
20．（8分）（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）已知a的平方根是 ，b的立方
根是2，c是 的整数部分．
（1）求 的平方根；
（2）若x是 的小数部分，求 的值．21．（10分）（2023上·江苏宿迁·八年级校联考阶段练习）求下列各式中的 的值：
(1) ； (2) ．
22．（10分）（2024上·河南洛阳·八年级统考期末）我们知道 是无理数，而无理数是
无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，而 ，所以 的
整数部分是 ，将 减去其整数部分 ，所得的差 就是 的小数部分，根据以上
信息回答下列问题：
（1） 的整数部分是______ ，小数部分是______ ；
（2）如果 的小数部分为 ， 的整数部分为 ，求 的值．
23．（10分）（2023上·福建三明·八年级统考期中）某数学学习小组在学习《算术平方
根》之后进行了拓展研究，新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方
根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如： ， ， 这三个数，
， ， ，其结果 ， ， 都是整数，所以
， ， 这三个数称为“组合平方数”．
（1） ， ， 这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由；
（2）若三个数 ， ， 是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为 ，
求 的值；
（3）写出两组含有 的“组合平方数”．24．（12分）（2023上·浙江温州·七年级统考期中）现有五个实数： ， ， ， ，
4．其中四个数已经在数轴上分别用A，B，C，D表示．
（1）点A表示数______；点B表示数______；点D表示数______．
（2）①用圆规在数轴上精确地表示 ．（提示：注意观察正方形 的面积）
②将上列五个数按从小到大的顺序用“ ”连接．__________________
（3）将上列各数分别填入相应的横线上：
无理数：________________________；
负数：________________________参考答案：
1．B
【分析】本题考查无理数，根据无理数的概念（即无限不循环小数）判断即可．
【详解】A选项： ，它不是无理数；
B选项： 是无理数；
C选项：0不是无理数；
D选项： 不是无理数．
故选：B
2．D
【分析】本题考查了命题的定义、绝对值运算，理解命题的定义，正确转为所求问题是解题关键．先根据
假命题的定义将问题转化为求四个选项中，哪个a的值使得 不成立，再根据绝对值运算即可得．
【详解】解：由假命题的定义得：所求的反例是找这样的a值，使得 不成立，
A、 ，不是反例，故此选项不符合题意；
B、 ，不是反例，故此选项不符合题意；
C、 ，不是反例，故此选项不符合题意；
D、 ，故此选项符合题意；
故选：D．
3．D
【分析】本题主要考查了化简绝对值和求算术平方公式，实数与数轴，先根据数轴上点的位置得到
．进而判断出 ，据此化简绝对值和求算术平方根，再化简即可得到答案．
【详解】解：由题意得， ，
∴ ，∴ ，
故选：D．
4．C
【分析】本题考查的是数学思想方法，做这类题，可用逐个排除法，显然A、B、D所说方法不对．
【详解】解：∵数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数是 ，
这种利用图形直观说明问题的方式A、B、D的说法显然不正确，
∴本题是把数与数轴上的点相联系，是数形结合的思想方法．
故选：C．
5．D
【分析】本题主要考查了实数，解题的关键是掌握实数的大小比较的方法．根据“正实数大于零，负实数
小于零，正实数大于负实数”，即可求解．
【详解】解： ，
最小的数是 ，
故选：D．
6．C
【分析】根据 ， ，得到 ，即得．
本题主要考查了实数的的计算和大小比较，熟练掌握算术平方根的计算和大小比较，是解决问题的关键．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
即 ．
故选：C．
7．A
【解析】略
8．C
【分析】先利用新定义的运算法则，将 转化为我们熟悉的实数的运算，根据已知条件需分两种情况进
行讨论，即可求得答案．
【详解】解：当 时， ，解得 ，不符合题意，舍去；当 时， ，解得 或 （不符合题意，舍去），
故选：C．
9．A
【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是 ，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的
面积减去两个正方形的面积进行计算．
【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2，
∴两个正方形的边长分别是 ，2，
∴阴影部分的面积
故选A．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长.
10．D
【分析】本题考查数字类规律探究，观察数列中数的符号及分子和分母的变化规律即可解决问题．
【详解】解：由题知，
数列中的数按负数、负数、正数循环出现，
又因为 余1，
所以第 个数是负数．
将 改写成 可发现，
分母依次扩大2倍，且第一个数的分母是2，
所以第2023个数的分母是 ；
分子上的被开方数依次增加1，且第一个数分子上的被开方数是2，
所以第2023个数的分子上的被开方数是2024，
所以第2023个数是 ．
故选：D．
11． /
【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数，即可得到正确的答案．【详解】解：无理数 的相反数是 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了求一个实数的相反数的能力，关键是能准确理解、运用相反数的概念．
12．6
【分析】本题考查了实数的分类；先利用立方根的性质化简，再根据实数的概念进行判断．
【详解】解：因为 ，
所以有理数为 ， ， ， ， ， ，有6个，
故答案为：6．
13．0
【分析】本题考查绝对值的化简．判断绝对值符号里面的式子正负是解题关键．a，b，c中有正数也有负
数，分有一个负数和两个负数两种情况分别计算即可得到答案．
【详解】解：当a，b，c中有一个负数时，不妨设 ，
；
当a，b，c中有两个负数时，不妨设 ， ，
；
故答案为：0．
14． /
【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题的关键是熟练掌轴对称的性质，数轴上两点间的距离公式．根
据点A对应的数是 ，点C对应的数是 ，点B与点C关于点A对称，列式计算即可．
【详解】解：∵点A对应的数是 ，点C对应的数是 ，点B与点C关于点A对称，
∴点B对应的数为： ．
故答案为： ．15．
【分析】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握算术平方根的性质以及不等式的性质是解题的关键．
由 ，得 ，故 ，那么可得 与 的大小关系．
【详解】解： ，
，即 ，
，
即 ，
∴ ，
即
故答案为： ．
16．
【解析】略
17．4
【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据算术平方根和立方根的意义化简，再算加减即可．
【详解】解： ．
故答案为：4．
18．
【分析】将 代入求出y的值可知y的值是有理数，由此将 代入可求出y的值，即可输出y的值．
读懂题意，熟练掌握算术平方根的求法是解题的关键．
【详解】解：当 时， ，
5不是无理数．
当 时，则 ．故答案为： ．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及乘方，立方根，算术平方根，绝对值的计算，熟练掌握运算定
律是解答本题的关键．
（1）根据立方根，算术平方根的定义进行求解即可；
（2）根据乘方，立方根，算术平方根，绝对值的意义进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据平方根和立方根的概念求出 ，再估算出 得到 ，
据此求出 ，再由平方根的概念即可得到答案；（2）由 得到 ，再根据实数的运算法则求解即可．
【详解】（1）解：∵a的平方根是 ，b的立方根是2，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的整数部分是3，
∴ ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ；
（2）解；∵ ，
∴ 的小数部分为 ，即 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了求一个数的平方根，根据平方根和立方根求一个数，无理数整数部分和小数部分
有关的计算，实数的运算等等，熟知平方根，立方根，以及无理数的估算方法和实数的运算法则是解题的
关键．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了利用立方根、平方根解方程，熟练掌握立方根和平方根的定义是解此题的关键．
（1）利用平方根解方程即可；
（2）利用立方根解方程即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
；（2）解： ，
，
．
22．(1)4， ；
(2) ．
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值、估算无理数的大小，根据算术平方根的定义进行无理数的估
算是解题的关键．
（1）推导 求出 的整数部分和小数部分；
（2）先求出 、 ，再根据算术平方根计算，得到答案．
【详解】（1） ，
∴ ，
的整数部分是 ，小数部分是 ，
故答案为： ， ；
（2） ，
∴ ，
，即 ，
的整数部分是 ，小数部分 ，
，
∴ ，
，
，即 ，的整数部分 ，
．
23．(1) ， ， 这三个数是“组合平方数”，理由见解析；
(2) 的值为 ；
(3) ， ， ； ， ， ．
【分析】此题考查了算术平方根的应用，解题的关键是理解“组合平方数”的定义，利用分类讨论的思想
进行求解，注意检验．
（1）根据题目所给“组合平方数”的定义，进行判断即可；
（2）根据题目所给“组合平方数”的定义，得出 或 ，再根据 ， ， 互不相
等，即可求解；
（3）根据题目所给“组合平方数”的定义， 符合条件的数即可．
【详解】（1） ， ， ，
， ， 这三个数是“组合平方数”；
（2） ， ， 是“组合平方数”，
， ， 都是整数，
或 ，
①当 时， ，
则 ，符合题意；
②当 时， ，
， ， 互不相等，
不符合题意，
综上： ；
（3）① ， ， ，， ， ，
， ， 是“组合平方数”；
② ， ， ，
， ， ，
， ， 是“组合平方数”．
24．(1) ； ；
(2)①见解析；②
(3) ， ； ，
【分析】（1）根据数轴上点的特点，结合数轴得出答案即可；
（2）①根据正方形的面积，得出正方形的边长，然后以0所表示的点为圆心，以 的长为半径画弧，则
此弧与数轴正方向的交点所表示的数为 ；
②利用数轴上点的特点进行解答即可；
（3）根据实数的分类方法进行解答即可．
【详解】（1）解：点A表示数为 ；点B表示数为 ；点D表示数为 ．
故答案为： ； ； ．
（2）解：①如图，
∵正方形的面积为： ，∴正方形的边长 ；
②根据数轴可知， ．
故答案为： ．
（3）解：无理数： ， ；
负数： ， ．
故答案为： ， ； ， ．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，利用数轴比较大小，实数的分类，解题的
关键是熟练掌握实数与数轴．
