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第 11 节 利用导数解决函数的极值最值
基础知识要夯实
1．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点
x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝
f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点
x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝
f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值 .
①函数fx在x 处有极值的必要不充分条件是f′x＝0，极值点是f′x＝0的根，但f′x
0 0
＝0的根不都是极值点例如fx＝x3，f′0＝0，但x＝0不是极值点.
②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间
内部的点，不会是端点.
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在
[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
3常用结论
1.对于可导函数f(x)，“f′(x)＝0”是“函数f(x)在x＝x 处有极值”的必要不充分条件.
0 0
2.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极
值就是最值.
3.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关
系.
核心素养要做实
考点一 利用导数解决函数的极值问题
考法(一) 利用导数求函数的极值或极值点
【例1】 (2020·天津高考改编)设函数f(x)＝(x－t)·(x－t)(x－t)，其中t，t，t∈R，且t，t，t 是
1 2 3 1 2 3 1 2 3
公差为d的等差数列．
(1)若t＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
2
(2)若d＝3，求f(x)的极小值点及极大值．【解析】(1)由已知，可得f(x)＝x(x－1)(x＋1)＝x3－x，故f′(x)＝3x2－1.因此f(0)＝0，f′(0)＝－1.
因此曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－f(0)＝f′(0)(x－0)，故所求切线方程为x＋y＝0.
(2)由已知可得f(x)＝(x－t＋3)(x－t)(x－t－3)＝(x－t)3－9(x－t)＝x3－3tx2＋(3 －9)x－ ＋9t.
2 2 2 2 2 2 2
故f′(x)＝3x2－6tx＋3 －9.令f′(x)＝0，解得x＝t－ 或x＝t＋ .
2 2 2
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
(－∞，t－
x 2
t－ (t－ ，t＋ ) t＋ (t＋ ，＋∞)
2 2 2 2 2
)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 极大值 极小值
所以函数f(x)的极小值点为x＝t＋ ，极大值为f(t－ )＝(－ )3－9×(－ )＝6 .
2 2
【方法技巧】求函数的极值或极值点的步骤
(1)求导数f′(x)，不要忘记函数f(x)的定义域；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)检查在方程的根的左右两侧f′(x)的符号，确定极值点或函数的极值．
考法(二) 已知函数极值点或极值求参数的值或范围
【例2】(2020·北京高考节选)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，若f(x)在x＝1处取得极小
值，求a的取值范围．
【解析】由f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，
得f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex＝(ax－1)(x－1)ex.
若a>1，则当x∈ 时，f′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在x＝1处取得极小值．
若a≤1，则当x∈(0,1)时，ax－1≤x－1<0，
所以f′(x)>0.
所以1不是f(x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．
【方法技巧】
网Z§X§X§K]
已知函数极值点或极值求参数的2个要领
列式 根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解
因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须
验证
验证根的合理性
[来源:学科网]
[题组训练]1．设函数f(x)＝ ＋ln x，则( )
A．x＝ 为f(x)的极大值点 B．x＝ 为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点
【答案】D
【解析】∵f(x)＝ ＋ln x(x>0)，
∴f′(x)＝－ ＋ ，令f′(x)＝0，则x＝2.
当02时，f′(x)>0.
所以x＝2为f(x)的极小值点．
2．(2020·广州高中综合测试)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处的极值为10，则数对(a，b)
为( )
A．(－3,3) B．(－11,4)
C．(4，－11) D．(－3,3)或(4，－11)
【答案】C
【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意可得 即 消去b可得a2－a－
12＝0，解得a＝－3或a＝4，故 或 当 时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－
1)2≥0，这时f(x)无极值，不合题意，舍去，故选C.
3．设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a>0)．
(1)当a＝1，且函数f(x)的图象过点(0,1)时，求函数f(x)的极小值；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求a的取值范围．
【解析】f′(x)＝3ax2－4x＋1.
(1)函数f(x)的图象过点(0,1)时，有f(0)＝c＝1.
当a＝1时，f(x)＝x3－2x2＋x＋1，f′(x)＝3x2－4x＋1，
由f′(x)>0，解得x< 或x>1；
由f′(x)<0，解得 0，所以f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
则有Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0，即16－12a≤0，解得a≥ .
故a的取值范围为 .
考点二 利用导数解决函数的最值问题
【例2】(2020·北京高考)已知函数f(x)＝excos x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值．
【解析】(1)因为f(x)＝excos x－x，所以f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，f′(0)＝0. 又因为f(0)＝
[来源:学#科#网Z#X#X#K]
1，
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)设h(x)＝ex(cos x－sin x)－1，则h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2exsin x.
当x∈ 时，h′(x)＜0，所以h(x)在区间 上单调递减．
所以对任意x∈ ，有h(x)＜h(0)＝0，即f′(x)＜0.所以函数f(x)在区间 上单调递减．
因此f(x)在区间 上的最大值为f(0)＝1，最小值为f ＝－ .
[解题技法]
导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤
(1)求函数f(x)的导数f′(x)；
(2)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；
(3)求f(x)在给定区间上的端点值；
(4)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；
(5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．
【跟踪训练】
1.(2020·珠海摸底)如图，将一张16 cm×10 cm的长方形纸片剪下四个全等的小正方
形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的最大容积是________ cm3.
【答案】144
【解析】设剪下的四个小正方形的边长为x cm，则经过折叠以后，糊成的长方体纸盒是一个底面
是长为(16－2x) cm，宽为(10－2x) cm的长方形，其面积为(16－2x)(10－2x)cm2，长方体纸盒的高
为x cm，则体积 V＝(16－2x)(10－2x)×x＝4x3－52x2＋160x(00，得 00，试判断f(x)在定义域内的单调性；
(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为 ，求实数a的值．
【解析】(1)由题意得f(x)的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝ ，
因为a>0，所以f′(x)>0，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(2由(1)可得f′(x)＝ ，
因为x∈[1，e]，
①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，
此时f(x)在[1，e]上单调递增，
所以f(x) ＝f(1)＝－a＝ ，
min
所以a＝－ (舍去)．
②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，
此时f(x)在[1，e]上单调递减，
所以f(x) ＝f(e)＝1－ ＝ ，
min
所以a＝－ (舍去)．
③若－e0，
所以f(x)在(－a，e)上单调递增，
所以f(x) ＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝ ，所以a＝－ .
min
综上，a＝－ .
达标检测要扎实
一、单选题
1．对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】原不等式可化为 ．
令 ，则 ．
令 ，则 ．
∵函数 在区间 上递增，∴ ，∴ ．
，使得 ，即 ， ，
， 递减， ， 递增，
∴ ，∴ ，恒有 ， 在区间 上递增，
∴ ，∴ ．故选：C.
2．已知函数 ，若不等式 对 恒成立，则实数a的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 .
则 ．所以 ，
易知 在R上单调递增，
所以有 ，对 恒成立，即 ，设 ，
则 ，则当 时， ， 单调递增，当 时， ，
单调递减，则 ，所以有 ，即 ．故选：D
3．若两曲线 与 存在公切线，则正实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】设公切线与曲线 和 的交点分别为 ， ，其中 ，对
于 有 ，则 上的切线方程为 ，即 ，
对于 有 ，则 上的切线方程为 ，即 ，所以
，有 ，即 ，
令 ， ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，所以 ，故 ，即
.故选：B.
4．已知函数 有两个不同的极值点 ， ，若不等式
恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设， 且 ，由 有两个极值点，
∴令 ，则 在 上有两个不等的实根 ， ，
∴ ， ，且 ，得 .
又 ，且 ，∴ ， ，即 ，
∴ ，令
且 ，要使题设不等式恒成立，只需 恒成立，∴
，即 递增，故 ，∴ .故选：B
5．已知函数 有极值，则c的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得 ，若函数 有极值，则 ，解得 ，
故选：A．
6．若函数 的极大值点与极大值分别为a，b，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ，
或 ，
， 或 ，
在 单调递增，在 单调递减，
为极大值点，且 ，
， ，
，故选：C.
7．若对任意的实数 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，
则 ，令
若 时，
若 时，
所以可知函数 在 递减，在 递增
所以
由对任意的实数 恒成立
所以 故选：A
8．已知函数 ，则（ ）
A． 在 上为增函数 B． 在 上为减函数
C． 在 上有极大值 D． 在 上有极小值
【答案】A
【解析】 ， ，令 ，则 ，
因此在 上， ， 单减；在 上， ， 单增；
又 ，因此 ，即 ，
故在 及 上， 单增， 无极值，故选：A
9．设函数 ，若 的极小值为 ，则 （ ）A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】由已知得： ，令 ，有 ，且 上递减，
上递增，∴ 的极小值为 ，即 ，得 .故选：B.
10．已知 若 ，则 的最大
值是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图作出 的图象，
依题意， ，注意到 ，且 ，
因此 ，其中 ，
设 ，当 ，时 ，当 ，时
，因此 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，即 的最大值为 故选：C.11．已知函数 有两个不同的极值点 ，且不等式
恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
因为函数 有两个不同的极值点 ， ，
所以方程 有两个不相等的正实数根，
于是有 ，解得 .
因为不等式 恒成立，
所以 恒成立.
，
设 ，
，故 在 上单调递增，
故 ，所以 .
因此实数t的取值范围是 .故选：A12．已知函数 ，则“ ”是“ 有极值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】 ， ， ．
若 ， 则 恒成立， 为增函数，无极值；
若 ，即 ，则 有两个极值．
所以“ ”是“ 有极值”的必要不充分条件．故选:B
二、填空题
13．已知 ，若 存在极小值，则 的取值范围是_______________________．
【答案】
【解析】 ，
若 存在极小值，则 存在极小值，
所以方程 有两个不等的实根，
所以 ，解得： ，
所以 的取值范围是 ，故答案为：
14． ，则 的最大值为_____________.
【答案】
【解析】令 ， ，则 ，
又 ，即 ，故 为半径为 的半圆面积，故 ；
又 是奇函数，根据定积分性质，则 .故 .
则 ， ，故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.故 .故答案为：
15．已知函数 的定义域为 ，它的导函数 的图象如图所示，则函数 的极值点有
______个.
【答案】2
【解析】由导函数的图像可知，
函数的单调递增区间为 ， ，
单调递减区间为 ，
所以 为极大值点， 为极小值点，
所以函数 的极值点有2个.故答案为：2
16．函数 的最小值为______．
【答案】0
【解析】函数 的定义域为 ．
当 时， ，此时函数 在 上为减函数，
当 时， ，
则 ，所以 在 上单调递增，
在 上是连续函数，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增．当 时 取得最小值为 ．故答案为：0．
三、解答题
17．已知函数 ， .
（1）求 的单调区间，并求当 时， 的最大值；
（2）若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1） 的定义域为 ， ，则 ，
则当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
∴ 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
当 时， .
（2）由题得当 时， 恒成立，
即 在 上恒成立.
令 ，
∵ ，当 时取等号，
∴ ，当 时取等号，
∴ ，
当 时等号成立， 取到最小值.
令 ，则 ，
∴ 在 上单调递增，
又∵ ， ，∴ ，使得 ，∴ .
则 ，∴实数 的取值范围为 .
18．已知函数 ．
（1）若 存在极值，求实数 的取值范围；
（2）若 ，当 时， 恒成立，且 有且只有一个实数解，证明：
．
【解析】（1） 的定义域为 ，则 ，
则 ，设 ，
则 在 上有零点，且 ，
所以， ，解得 ，
因此，实数 的取值范围为 ；
（2）由题意可得 ， ，
令 ，解得 ．
因为 ，所以 ， ，
所以 在 上有唯一零点 ．
当 时, ， 在 上单调递增；当 时， ， 在 上单调递减．
所以 ．
因为 在 上恒成立，且 有且只有一个实数解，
所以 ，即 ，
消去 并整理得 ．
令 ，则 ， ，
在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
又 ， ，所以 ．
又 ，且函数 在 上单调递增，所以 ．
19．已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）= 的单调性．
【解析】（1）[方法一]【最优解】：
等价于 ．
设 ，则 ．
当 时， ，所以 在区间 内单调递增；
当 时， ，所以 在区间 内单调递减．
故 ，所以 ，即 ，所以c的取值范围是 ．
[方法二]：切线放缩
若 ，即 ，即 当 时恒成立，
而 在点 处的切线为 ，从而有 ，当 时恒成立，即 ，则 ．所以c的取值范围为 ．
[方法三]：利用最值求取值范围
函数 的定义域为：
，
设 ，则有 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以当 时，函数 有最大值，
即 ，
要想不等式 在 上恒成立，
只需 ；
所以c的取值范围为 ．
（2） 且
因此 ，设 ，
则有 ，
当 时， ，所以 ， 单调递减，因此有 ，即
，所以 单调递减；
当 时， ，所以 ， 单调递增，因此有 ，即 ，
所以 单调递减，
所以函数 在区间 和 上单调递减，没有递增区间.20．已知函数 在 处的切线 与直线 平行，函数
．
（1）求实数 的值；
（2）若函数 存在单调递减区间，求实数 的取值范围；
（3）设 是函数 的两个极值点，证明： ．
【解析】（1） ． 与直线 平行，
（2）因为
由题知 在 上有解，
，设 ，则
所以只需 或
故 的取值范围是 ．
（3）由题知 ，又 有两个极值点，
所以 是 的两个根，且所以要证
即证
即证
即证
即证
令 ，则
设 ，则 ，即 在 上单调递增
，即 成立
所以原不等式 成立.
21．设函数 ， .
(1)若 ，求a的值
(2)证明： .【解析】 (1)设 ，则 .
当 时， 在R上单调递增，且 ，当 时， 不符合题意，舍去.当
时，令 ，则 ；令 ，则 .故 在 上单调递减，在
上单调递增，
故 .
若 ，则只需 ，设 ，
则 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，故
，
因此，只有当 时满足题意，即 .
(2)由（1）知， ， ，当且仅当 时，等号成立.
令 ，代入可得 ，即 .
由（1）知， ，即 ，故 ，
因此 ，即 .
22．已知函数 ．
（1）当f(x)在x＝1处取得极值时，求函数f(x)的解析式；
（2）当f(x)的极大值不小于 时，求m的取值范围．
【解析】（1）因为 ，所以f′(x)＝x2－m2.
因为f(x)在x＝1处取得极值，所以f′（1）＝1－m2＝0(m＞0)，所以m＝1，故
（2）f′(x)＝x2－m2.令f′(x)＝0，解得x＝±m.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－m) －m (－m，m) m (m，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由上表，得 ，由题意知 ，所以m3≥1，解得m≥1.故
m的取值范围是[1，＋∞)．
