文档内容
第 36 节 参数方程
基本技能要落实
考点一 极坐标系与直角坐标系互化
【例1】1.将直角坐标方程与极坐标方程互化：
(1)y2＝4x；
(2)y2＋x2－2x－1＝0；
(3)θ＝(ρ∈R)；
(4)ρcos2 ＝1；
(5)ρ2cos 2θ＝4；
(6)ρ＝.
解 (1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.化简得ρsin2θ
＝4cos θ.
(2)将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 y2＋x2－2x－1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－
2ρcos θ－1＝0，化简得ρ2－2ρcos θ－1＝0.
(3)当x≠0时，由于tan θ＝，故tan ＝＝，化简得y＝x(x≠0)；
当x＝0时，y＝0.显然(0，0)在y＝x上，故θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝x.
(4)因为ρcos2＝1，所以ρ·＝1，而ρ＋ρcos θ＝2，所以＋x＝2.化简得y2＝－4(x
－1).
(5)因为ρ2cos 2θ＝4，所以ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，即x2－y2＝4.
(6)因为ρ＝，所以2ρ－ρcos θ＝1，
因此2－x＝1，化简得3x2＋4y2－2x－1＝0.
2.(1)若点P的极坐标为，求点P的直角坐标；
(2)求直线θ＝(ρ∈R)和圆ρ＝2的交点的极坐标.
解 由极坐标与直角坐标表示同一点的坐标，那么它们之间可以互化，则或
(1)ρ＝3，θ＝－，故x＝ρcos θ＝，y＝－.
从而点P的直角坐标为.
(2)显然是一个交点，由于圆和直线都关于原点对称，所以另一个交点是.
【方法技巧】
1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0).
2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意 ρ，θ的取值范围及其影响；
要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入
法和平方法等技巧.
考点二 求曲线的极坐标方程
【例2】(2019·全国Ⅱ卷)在极坐标系中，O为极点，点 M(ρ ，θ )(ρ >0)在曲线
0 0 0
C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.
(1)当θ ＝时，求ρ 及l的极坐标方程；
0 0
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.
解 (1)因为M(ρ ，θ )在曲线C上，
0 0
当θ ＝时，ρ ＝4sin ＝2.
0 0
由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2.
设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点.
在Rt OPQ中，ρcos＝|OP|＝2.
经检验△，点P在曲线ρcos＝2上，
所以，l的极坐标方程为ρcos＝2.
(2)设P(ρ，θ)，在Rt OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.
因为P在线段OM上△，且AP⊥OM，
所以θ的取值范围是.
所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈.
【方法技巧】
求曲线的极坐标方程的步骤
(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点.
(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 ρ和极角θ之间的
关系式.
(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.
【跟踪训练】
在极坐标系中，已知直线 l的极坐标方程为ρsin＝1，圆C的圆心是C，半径为
1.求：
(1)圆C的极坐标方程；(2)直线l被圆C所截得的弦长.
【解析】(1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一个动点，则
∠AOD＝－θ或∠AOD＝θ－，
|OA|＝|OD|cos或|OA|＝|OD|cos，
所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos.
(2)由ρsin＝1，得ρ(sin θ＋cos θ)＝1，
因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以直线l的直角坐标方程为x＋y－＝0，
又圆心C的直角坐标为满足直线l的方程，
所以直线l过圆C的圆心，
故直线l被圆C所截得的弦长为直径2.
考点三 极坐标方程的应用
【例3】 (2022·郑州质检)已知曲线C ：x2＋(y－3)2＝9，A是曲线C 上的动点，
1 1
以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点 O为中心，
将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C .
2
(1)求曲线C ，C 的极坐标方程；
1 2
(2)射线 θ＝(ρ＞0)与曲线 C ，C 分别交于 P，Q 两点，定点 M(－4，0)，求
1 2
△MPQ的面积.
解 (1)曲线C ：x2＋(y－3)2＝9，即x2＋y2－6y＝0.
1
从而ρ2＝6ρsin θ.
所以曲线C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ.
1
设B(ρ，θ)，则A，
则有ρ＝6sin＝－6cos θ.
所以曲线C 的极坐标方程为ρ＝－6cos θ.
2
(2)M到射线θ＝(ρ＞0)的距离为d＝4sin＝2，
射线θ＝(ρ＞0)与曲线C 的交点P，
1
其中，ρ ＝6sin ＝3，
P
射线θ＝(ρ＞0)与曲线C 的交点Q，
2
其中，ρ ＝－6cos ＝3，
Q
则|PQ|＝|ρ －ρ |＝3－3，则S ＝|PQ|d＝3－3.
P Q MPQ
△【方法技巧】
1.若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的
终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题
转化为熟悉的问题.
2.在极坐标系中，如果P (ρ ，θ )，P (ρ ，θ )，那么两点间的距离公式|P P |＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
两种特殊情况：(1)当θ ＝θ ＋2kπ，k∈Z时，|P P |＝|ρ －ρ |；
1 2 1 2 1 2
(2)当θ ＝θ ＋π＋2kπ，k∈Z，|P P |＝|ρ ＋ρ |.
1 2 1 2 1 2
3.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，
可先转化为直角坐标方程，然后求解.
【跟踪训练】
1. (2022·南昌模拟)在平面直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为(r>0，φ为参数)，
1
以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 经过点P，曲
1
线C 的极坐标方程为ρ2(2＋cos 2θ)＝6.
2
(1)求曲线C 的极坐标方程；
1
(2)若A，B是曲线C 上两点，求＋的值.
2
解 (1)将C 的参数方程化为普通方程得，
1
(x－2)2＋y2＝r2，
由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋4－r2＝0，
1
将点P代入C 中得，
1
12－8cos ＋4－r2＝0，解得r2＝4，
代入C 的极坐标方程整理可得ρ＝4cos θ，
1
∴C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
1
(2)将点A，B代入曲线C 的极坐标方程得，
2
ρ＝6，
ρ＝ρ＝6，
∴＋＝＋
＝＝.
考点四 参数方程的应用
【例4】 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (θ为参数)，直线l的参
数方程为 (t为参数).(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；
(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.
解 (1)a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.
曲线C的标准方程是＋y2＝1，
联立方程解得或
则C与l交点坐标是(3，0)和.
(2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0.
设曲线C上点P(3cos θ，sin θ).
则P到l距离d＝＝，
其中tan φ＝.
又点C到直线l距离的最大值为，
所以|5sin(θ＋φ)－4－a|的最大值为17.
若a≥0，则－5－4－a＝－17，∴a＝8.
若a<0，则5－4－a＝17，∴a＝－16.
综上，实数a的值为a＝－16或a＝8.
（2）(2022·河南省八市重点高中联考)在直角坐标系xOy中，曲线C ：(α为参
1
数).以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C ：ρ2＝4ρcos θ
2
－3.
(1)求C 的普通方程和C 的直角坐标方程；
1 2
(2)若曲线C 与C 交于A，B两点，A，B的中点为M，点P(0，－1)，求|PM|·|
1 2
AB|的值.
解 (1)曲线C 的普通方程为x2＋(y－2)2＝5.
1
由ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，得曲线C 的直角坐标方程为x2＋y2－4x＋3＝0.
2
(2)将两圆的方程x2＋(y－2)2＝5与x2＋y2－4x＋3＝0作差，得直线AB的方程为
x－y－1＝0.
点P(0，－1)在直线AB上，设直线AB的参数方程为(t为参数)，
代入x2＋y2－4x＋3＝0化简得t2－3t＋4＝0，显然Δ>0，所以t ＋t ＝3，t t ＝4.
1 2 1 2
因为点M对应的参数为＝，
所以|PM|·|AB|＝·|t －t |
1 2
＝×＝×＝3.
【方法技巧】
1.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功
倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，
根据参数的取值条件求解.
2.过定点P (x ，y )，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几
0 0 0
何意义是P0P的数量，即|t|表示P 到P的距离，t有正负之分.对于形如(t为参数)，
0
当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.
【跟踪训练】
1. (2022·南昌摸底测试)在直角坐标系中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直
线l的参数方程为(t为参数).
(1)求曲线C和直线l的普通方程；
(2)设P，Q分别是直线l和曲线C上的动点，求|PQ|的最小值.
解 (1)因为y＝cos 2θ＝2cos2θ－1，x＝cos θ，
所以曲线C：y＝2x2－1(－1≤x≤1)，
由得y＝2x－5，所以直线l的普通方程为y＝2x－5.
(2)作直线l′：y＝2x＋b与曲线C相切，则|PQ|的最小值为直线l与直线l′的距离.
将l′与C的方程联立，消去y，可得2x2－2x－(b＋1)＝0，
则Δ＝8＋8(b＋1)＝0，解得b＝－2，故直线l′：y＝2x－2，
从而直线l与直线l′的距离为＝1，
即|PQ|的最小值为1(当且仅当切点Q的横坐标为 时取到最小值).
达标检测要扎实
一、解答题
1．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （ 为参数），以坐标原
点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是
．
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，点 ，求 的值．
【解析】（1）由 （ 为参数），得 ，
故曲线C的普通方程为 ．
由 ，得 ，
故直线l的直角坐标方程为 ．
（2）
由题意可知直线l的参数方程为 （t为参数）．
将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得 ，
设A，B对应的参数分别是 ， ，
则 ， ，
故 ．
2．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数），以坐标原点
O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程为： ．
(1)求直线l普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)过点 的直线l与C相交于A，B两点，求 的值．
【解析】（1）
由于 ，消t得 ，即 ，
由 得 ，∴曲线C的直角坐标方程是：
（2）
将直线l: 化为标准形式 （ 为参数），
代入 ， 并化简得
，设A，B对应参数为 ， ， ， ,所以
3．在平面直角坐标系xOy中，动圆P与圆 ： 内切，且与圆 ：
外切，记动圆P的圆心的轨迹为E．
(1)求轨迹E的方程；
(2)过圆心 的直线交轨迹E于A，B两个不同的点，过圆心 的直线交轨迹E于D，G两
个不同的点，且 ，求四边形ADBG面积的最小值．
【解析】（1）设动圆P的半径为R，圆心P的坐标为 ，
由题意可知：圆 的圆心为 ，半径为 ；圆 的圆心为 ，半径为 ，
动圆P与圆 内切，且与圆 外切，
，则
动圆P的圆心的轨迹E是以 ， 为焦点的椭圆，
设其方程为： ，
其中 ， ，
， ，即轨迹E的方程为： .
（2）
当直线AB的斜率不存在，或为0时，
四边形ADBG面积 长轴长 通径长 ，
当斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为 ， ， ，
由 可得： ，
， ，
，．
， ，
同理可得： ，
，
四边形ADBG面积 ，
则
等号当且仅当 时取，即 时， .
4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ．在以坐标
原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的方程为 ．
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)已知点 ，直线l与曲线C分别交于A，B两点，点M是AB的中点，求 的长．
【解析】（1）曲线C的参数方程为： ，
则 ， ， ，
曲线C的普通方程为： ，
直线l的方程为： ，
即 ，
化简为： ，根据 ，
则直线l的直角坐标方程为： .
（2）由第一问知直线l： 经过点 ，
直线l的参数方程为： （ 为参数），
将之代入曲线C的普通方程为： 中，
得： ，
设A，B两点对应的参数为 ， ，
则 ， ， ，
点M是AB的中点，
，即 的长为： .
5．在平面直角坐标系 中，曲线C的参数方程为 （ 为参数）．
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)已知点 ，直线l的参数方程为 （t为参数， ），且直线l与曲线C交
于A、B两点，求 的值．
【解析】（1）由题，则 ，即 ，
所以两式相减，可得曲线C的直角坐标方程： .
（2）直线l的方程可转化为 代入 ，
得 ，则 ，
所以6．当 在 内变动时，求抛物线 顶点 的轨迹．
【解析】将原式配方得， ，
设 点的坐标为 ，则 ，
消去参数 ，得 ，即 ．
由于原参数方程中 的取值范围是 ，而普通方程 中 的取值范围是
，两者范围不一致，所以对于原参数方程的普通方程应为 ．
7．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数， ）.以
坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为
（ ）.
(1)写出l的直角坐标方程；
(2)若l与C有两个公共点，求实数m的取值范围.
【解析】（1）由 得，
，
所以 的直角坐标方程为 ，即 .
（2）
由曲线 的参数方程 （ 为参数， ），消去 得，
.
联立 得
由双曲线的右支与直线有两个交点，则保证方程 有两个正根即可，由题意可知
解之得 ，.
故实数 的取值范围为 .
8．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ）．
以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为
．
(1)写出 的直角坐标方程；
(2)若 与 有两个公共点，求实数 的取值范围．
【解析】（1）
由 得， ，又 ，
所以 的直角坐标方程为 ，即 ．
（2）
由曲线 的参数方程 （ 为参数， ），消去 得， ．
联立 得 ，（*）
由双曲线的右支与直线有两个交点，则保证方程（*）有两个正根即可，设两个根分别为
，
由题意可得： ， ， ，
解得 ，故实数 的取值范围为 ．
9．在直角坐标系 中，曲线 ： 经过伸缩变换 后得到曲线 ，以原
点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为：
．
(1)写出曲线 的参数方程和直线 的直角坐标方程；
(2)在曲线 上求一点 ，使点 到直线 的距离最小并求出最小值．
【解析】（1）
由题意，曲线 的参数方程为 ，经过伸缩变换 后，曲线 的
参数方程为 ，
由 得： ，
化为直角坐标方程为 ，
所以，曲线 的参数方程为 ，直线 的直角坐标方程为 ．
（2）
设 ，
点 到直线 的距离为 ，
（其中， ， ），
当 时，即 ， 时，点 到直线 的距离 取到最小值
，
此时， ， ，
， ，
所以，点 的坐标为 ．10．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （t为参数），以坐标
原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是
.
(1)求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
(2)若直线 与曲线 交于 两点，点 ，求 的值.
【解析】（1）
由 （为 参数）消t得 ，故直线的直角方程为 ；
由 得 ，即 ，曲线 的直角坐标方程
.
（2）将直线的参数方程代入曲线 的普通坐标方程并整理得 ，
设A，B的对应的参数分别是 则 ，则 ，
∵ ，则直线l过P，由直线参数方程的几何意义得， ， ，
∴
