文档内容
第 26 节 空间向量在立体几何中的应用
基础知识要夯实
平行垂直问题基础知识
直线l的方向向量为a＝(a，b，c)．平面α，β的法向量u＝(a，b，c)，v＝(a，b，c)
1 1 1 3 3 3 4 4 4
(1)线面平行：l∥α a⊥u a·u＝0 aa＋bb＋cc＝0
1 3 1 3 1 3
(2)线面垂直：l⊥α a∥u a＝ku a＝ka，b＝kb，c＝kc
⇔ ⇔ ⇔1 3 1 3 1 3
(3)面面平行：α∥β u∥v u＝kv a＝ka，b＝kb，c＝kc
⇔ ⇔ ⇔ 3 4 3 4 3 4
(4)面面垂直：α⊥β u⊥v u·v＝0 aa＋bb＋cc＝0
⇔ ⇔ ⇔ 3 4 3 4 3 4
利用空间向量求空间角基础知识
⇔ ⇔ ⇔
(1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为
θ，则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝ .
(2)向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为θ，则sin
θ＝|cos〈n，a〉|＝ .
(3)向量法求二面角：求出二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量n，n，
1 2
若二面角α－l－β所成的角θ为锐角，则cos θ＝|cos〈n，n〉|＝ ；
1 2
若二面角α－l－β所成的角θ为钝角，则cos θ＝－|cos〈n，n〉|＝－ .
1 2
基本技能要落实
考点一 通过空间向量判断位置关系
【例1】如图所示，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是
PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.
(1)求证：EF∥平面PAB；
(2)求证：平面PAD⊥平面PDC.
【解析】以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空
间直角坐标系如图所示，则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所
以 E ，F ， ＝ ， ＝(1,0，－1)， ＝(0,2，－1)，
＝(0,0,1)， ＝(0,2,0)， ＝(1,0,0)， ＝(1,0,0)．(1)因为 ＝－ ，所以 ∥ ，即EF∥AB.
又AB 平面PAB，EF 平面PAB，所以EF∥平面PAB.
(2)因为⊂ · ＝(0,0⊄,1)·(1,0,0)＝0， · ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，
所以 ⊥ ， ⊥ ，即AP⊥DC，AD⊥DC.
又 AP∩AD＝A，AP 平面 PAD，AD 平面 PAD，所以 DC⊥平面 PAD.因为 DC 平面
PDC，所以平面PAD
⊂
⊥平面PDC.
⊂ ⊂
【方法技巧】使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面
内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证
明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使
用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直.
【跟踪训练】
1.在直三棱柱ABCA B C 中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC ＝4，点E在线段BB 上，
1 1 1 1 1
且EB ＝1，D，F，G分别为CC ，C B ，C A 的中点．
1 1 1 1 1 1
求证：(1)B D⊥平面ABD；
1
(2)平面EGF∥平面ABD.
证明：(1)以B为坐标原点，BA、BC、BB 所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间
1
直角坐标系，如图所示，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B (0,0,4)，设BA＝a，则A(a,0,0)，
1
所以 ＝(a,0,0)， ＝(0,2,2)， ＝(0,2，－2)，
· ＝0， · ＝0＋4－4＝0，即B D⊥BA，B D⊥BD.
1 1
又BA∩BD＝B，因此B D⊥平面ABD.
1
(2)由(1)知，E(0,0,3)，G ，F(0,1,4)，则 ＝ ， ＝(0,1,1)，
· ＝0＋2－2＝0， · ＝0＋2－2＝0，即B D⊥EG，B D⊥EF.
1 1
又EG∩EF＝E，因此B D⊥平面EGF. 结合(1)可知平面EGF∥平面ABD.
1
考点二 空间中的角
【例2】如图，在直三棱柱A B C ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A A＝4，
1 1 1 1
点D是BC的中点．
(1)求异面直线A B与C D所成角的余弦值；
1 1
(2)求平面ADC 与平面ABA 所成二面角的正弦值．
1 1【解析】(1)以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)，
B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A (0，0,4)，C (0,2,4)，所以 ＝(2,0，－4)， ＝
1 1
(1，－1，－4)．
因为cos〈 ， 〉＝ ＝ 所以异面直
线A B与C D所成角的余弦值为 .
1 1
(2)设平面ADC 的法向量为n ＝(x，y，z)，因为 ＝(1,1,0)， ＝
1 1
(0,2,4)，所以n · ＝0，n · ＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝
1 1
－2，所以，n ＝(2，－2,1)是平面ADC 的一个法向量．取平面 ABA 的一个法向量为
1 1 1
n ＝(0,1,0)．设平面ADC 与平面ABA 所成二面角的大小为θ.
2 1 1
由|cos θ|＝ ＝ ，得sin θ＝ .
因此，平面ADC 与平面ABA 所成二面角的正弦值为 .
1 1
【方法技巧】
(1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：
①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式
进行论证、计算；⑤转化为几何结论．
(2)求空间角应注意：
①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cos α＝|cos β|.
②两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求．
【跟踪训练】
1.如图，在四棱锥SABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，
平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE＝ED＝ ，SE⊥AD.
(1)证明：平面SBE⊥平面SEC；
(2)若SE＝1，求直线CE与平面SBC所成角的正弦值．
【解析】(1)证明：∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，SE 平面
SAD，
⊂SE⊥AD，∴SE⊥平面 ABCD. ∵BE 平面 ABCD，∴SE⊥BE. ∵AB⊥AD，
AB∥CD，
⊂
CD＝3AB＝3，AE＝ED＝ ，∴∠AEB＝30°，∠CED＝60°. ∴∠BEC＝90°，
即BE⊥CE. 又SE∩CE＝E，∴BE⊥平面SEC. ∵BE 平面SBE，
∴平面SBE⊥平面SEC.
⊂
(2)由(1)知，直线ES，EB，EC两两垂直．如图，以E为原点，EB为x轴，EC为y轴，
ES为z轴，建立空间直角坐标系．则E(0,0,0)，C(0,2 ，0)，S(0,0,1)，B(2,0,0)，所以
＝(0，－2 ，0)， ＝(2，－2 ，0)， ＝(0，－2 ，1)．
设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)，
则 即 令y＝1，得x＝ ，z＝2 ，
则平面SBC的一个法向量为n＝( ，1,2 )．
设直线CE与平面SBC所成角的大小为θ，则sin θ＝| |＝ ，
故直线CE与平面SBC所成角的正弦值为 .
考点三 利用空间向量解决探索性问题
【例3】如图1，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边
的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角ADCB(如图2)．
(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
(2)求二面角EDFC的余弦值；
(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出 的值；如果不存在，
请说明理由．
【解析】(1)在△ABC中，由E，F分别是AC，BC中点，得EF∥AB.又AB 平面DEF，
EF 平面DEF，∴AB∥平面DEF.
⊄
⊂(2)以点D为坐标原点，以直线DB，DC，DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空
间直角坐标系，则A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0，2 ，0)，E(0， ，1)，F(1，
，0)， ＝(1， ，0)， ＝(0， ，1)， ＝(0,0,2)．
平面CDF的法向量为 ＝(0,0,2)．设平面EDF的法向量为n＝(x，y，z)，
则 即 取n＝(3，－ ，3)，
cos〈 ，n〉＝ ＝ ，所以二面角EDFC的余弦值为 .
(3)存在．设P(s，t,0)，有 ＝(s，t，－2)，则 · ＝ t－2＝0，∴t＝ ，
又 ＝(s－2，t,0)， ＝(－s,2 －t,0)，∵ ∥ ，∴(s－2)(2 －t)＝－st，
∴ s＋t＝2 . 把t＝ 代入上式得s＝ ，∴ ＝ ，
∴在线段BC上存在点P，使AP⊥DE. 此时， ＝ .
【方法技巧】1空间向量法最适合于解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复
杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断.
2解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题
转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简
单、有效，应善于运用这一方法.
【跟踪训练】
如图所示，在直三棱柱ABCA B 1C 中，∠ACB＝90°，AA ＝BC＝2AC＝2.
1 1 1
(1)若D为AA 中点，求证：平面B CD⊥平面B C D；
1 1 1 1
(2)在AA 上是否存在一点D，使得二面角B CDC 的大小为60°？
1 1 1
【解析】(1)证明：如图所示，以点 C为原点，CA，CB，CC 所在直线分别为x，
1
y，z 轴建立空间直角坐标系．则 C(0,0,0)，A(1,0,0)，B (0,2,2)，C (0,0,2)，
1 1
D(1,0,1)，
即 ＝(0,2,0)， ＝(－1,0,1)， ＝(1,0,1)．
由 · ＝(0,2,0)·(1,0,1)＝0＋0＋0＝0，得 ⊥ ，即C B ⊥CD.
1 1由 · ＝(－1,0,1)·(1,0,1)＝－1＋0＋1＝0，得 ⊥ ，即DC ⊥CD.
1
又DC ∩C B ＝C ，∴CD⊥平面B C D.又CD 平面B CD，∴平面B CD⊥平面B C D.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
⊂
(2)存在．当AD＝ AA 时，二面角B CDC 的大小为60°.理由如下：
1 1 1
设AD＝a，则D点坐标为(1,0，a)， ＝(1,0，a)， ＝(0,2,2)，
设平面B CD的法向量为m＝(x，y，z)，
1
则 = 令z＝－1，得m＝(a,1，－1)．
⇒
又∵ ＝(0,2,0)为平面C CD的一个法向量，则cos 60°＝ ＝ ＝ ，
1
解得a＝ (负值舍去)，故AD＝ ＝ AA .∴在AA 上存在一点D满足题意．
1 1
达标检测要扎实
一、单选题
1．已知向量 ，向量 ，则 与 的夹角大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】D
【解析】 向量 ，向量 ， ，
，且 ，
的夹角为 .故选：D.
2．设 为单位向量，且 ＝1，则| +2 |＝（ ）
A． B． C．3 D．7
【答案】B
【解析】 为单位向量，且 ＝1可得 ，可得 ，
.故选：B．
3．在平行四边形 中， ，则 （ ）
A．-5 B．-4 C．-3 D．-2
【答案】A
【解析】 ， ，
， ，
， ，故选：A
4．已知直角三角形ABC中， ，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，
则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以 为原点建系， ，，即 ，故圆的半径为 ，
∴圆 ，设 中点为 ，
，
，∴ ，故选：D.
5．在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E是BC的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】建立如图平面直角坐标系，
则
∴E点坐标为 ，.故选：D
6．如图，在菱形 中， ， 为 的中点，若 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设菱形 的边长为 ， 为 的中点，则 ，
又 ，则 ，因 ，则 ，
由 得：
，解得 ，
所以 .故选：A
7．在 中，已知 ， ，且满足 ， ，若线段 和线段 的交
点为 ，则 （ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，
由 知 ，∴ ，∵ ， ， 三点共线，∴ ①，
由 知 ，∴ ，∵ ， ， 三点共线，∴ ②，
由①②得： . ，∴ ，
而 ，
∴
故选：B
8．已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ， ，所以 ，解得 .
故选: A
9．已知平面向量 满足 ，则向量 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，即 ，
． ．故选：D．
10．已知向量 ， ，若 ，则实数 （ ）
A．0 B． C．1 D．3
【答案】B
【解析】因为向量 ， ，且 ，所以 ，即 ，所以有 ，解得 ，故选：B.
11．在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足 ， ．若 ，
则实数 ＋ 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，设 ，则在平行四边形ABCD中，
因为 ， ，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且 ，
所以 ，
又因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，所以 。故选：B.
12．设 ， 是两个非零向量，下列四个条件中，使 成立的充分条件是（ ）
A． 且 B． C． D．
【答案】D
【解析】对于选项A： 且 则 ， 两个为相等向量或相反向量，当 时，不成立，所以 且 不是 成立的充分条件，故选项A不正确；对于选项B：
时， ，所以得不出 ， 不是 成立的充分条件，故选项B不正确；
对于选项C： ，若 ， 两个向量方向相反时，得不出 ，所以 不是 成立的充
分条件，故选项C不正确；
对于选项D： 满足 ， 同向共线，所以 的单位向量与 的单位向量相等即 ，所以
是 成立的充分条件，故选项D正确；故选：D.
二、填空题
13． ， 为不共线的向量，设条件 ；条件 对一切 ，不等式
恒成立．则 是 的__________条件．
【答案】充要
【解析】由条件 ，可得 ；
不等式 化为 ，
∵对一切 ，不等式 恒成立，∴ ，
化为 ，∴ ，所以 ．故答案为：充要．
14．已知 ， ， 、 的夹角为 ，则 在 方向上的数量投影为________．
【答案】
【解析】由已知得， 在 方向上的数量投影为因为 ， ， 、 的夹角为 ，
所以
所以 在 方向上的数量投影为 故答案为：2
15．有下列命题：
①单位向量一定相等；
②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同；
④方向相反的两个单位向量互为相反向量；
⑤起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆．
其中正确的命题的个数为______．
【答案】
【解析】对于①，两个单位向量方向不同时不相等，①错误；
对于②，方向相同且模长相等的向量为相等向量，与起点无关，②正确；
对于③，相等的非零向量方向相同且模长相等，若起点不同，则终点不同，③正确；
对于④，单位向量模长相等，又方向相反，则这两个向量为相反向量，④正确；
对于⑤，若两个向量起点相同，且模长相等且不为零，则终点的轨迹为球面，⑤错误；
则正确的命题个数为 个.故答案为： .
16．设 ， 是两个不共线的非零向量，若向量 与 的方向相反，则k＝________.
【答案】
【解析】由题意知， ．
，又 不共线，
∴ .
故答案为：
三、解答题17．已知向量 ＝（1，2）， ＝（－3，k）．
(1)若 ∥ ，求 的值；
(2)若 ⊥（ ＋2 ），求实数k的值；
(3)若 与 的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
【解析】 (1)因为向量 ＝（1，2）， ＝（－3，k），且 ∥ ，
所以1×k－2× ＝0，解得k＝－6，
所以 ＝ ＝3 ．
(2)因为 ＋2 ＝ ，且 ⊥ ，
所以1× ＋2× ＝0，解得k＝ ．
(3)因为 与 的夹角是钝角，则 ＜0且 与 不共线．
即1× ＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜ 且k≠－6．
18．在平行四边形ABCD中， ， ，
（1）如图1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用 分别表示 .
（2）如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用 表示 .
【解析】（1） ，
；（2） .
19．已知点O(0，0)，A(1，2).
（1）若点B(3t，3t)， ＝ ，则t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二
象限？
（2）若B(4，5)，P(1＋3t，2＋3t)，则四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，
说明理由.
【解析】（1） ，
若点P在x轴上，则 ，∴ .
若点P在y轴上，则 ，∴ .
若点P在第二象限，则 ，∴ .
（2）因为 ， .
若四边形 为平行四边形，则 ，
∴ 该方程组无解.
故四边形 不能成为平行四边形.
20．已知平行四边形ABCD中， ， ， .
(1)用 ， 表示 ；(2)若 ， ， ，如图建立直角坐标系，求 和 的坐标.
【解析】 (1) ， ，又 ，所以 所以
(2)过点D作AB的垂线交AB于点 ，如图，
于是在 中，由 可知，
根据题意得各点坐标： ， ， ， ， ， ，
，所以
所以 ， ， ,
21．已知 ， ， ．
(1)求 的值；
(2)求 与 的夹角．
【解析】 (1)∵ ， ， ，
∴ ，解得: ..
故 ；(2)设 与 的夹角 ，则 ，
又∵ ，∴
22．已知 ， ， 是同一平面内的三个向量，其中 .
（1）若 ，且 ，求 的坐标；
（2）若 ， 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，且 ，则 ，
又 ，所以 ，即 ，故 或 ；
（2）由 ，则 ，
由 ，解得 ，
又 与 不共线，则 ，解得 ，
故 与 的夹角为锐角时，实数 的取值范围为： .
