文档内容
专题 07 导数的概念、运算及简单应用
（核心考点精讲精练）
1. 近几年真题考点分布
导数的概念、运算及简单应用近几年考情
考题示例 考点分析 关联考点
1、求切线方程
2022年全国乙（理科），第21题,12分 分类讨论思想
2、根据零点求参
2022年全国乙（理科），第16题,5分 求切线，根据极值点求参
1、函数不等式恒成立求参数取值范围
2022年全国甲（理科），第21题,12分
2、双变量问题、极值点偏移问题
2022年全国甲（理科），第6题,5分 求某点处的导函数值 已知最值求参
2023年全国甲（文科），第8题,5分 求切线方程
2023年全国乙（文科），第8题,5分 利用导数研究函数的零点
3、判断函数的单调性
2023年全国甲（理科），第21题,12分 三角函数
4、函数不等式恒成立求参数取值范围
3、求切线方程
2023年全国乙（理科），第21题,12分 4、根据函数的性质求参
5、根据极值求参数取值范围
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】1.本节内容为高考必考内容，各种题型都有涉及，且多年来均出现解答题压轴位置；
2.常考题型：求一点处的切线；判断函数的单调性；判断函数的极值和最值；通过导函数研
究函数的零点等；解答题常有：函数不等式恒成立求参、极值点偏移、隐零点、双变量、数
列不等式、与三角函数的综合问题等。
【备考策略】1.了解导数的概念,掌握基本初等函数的导数；
2.通过函数图象,理解导数的几何意义；
3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数,能求简单
的复合函数(形如f(ax+b))的导数；
4.利用导函数判断函数的单调性；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15.利用导函数判断函数的极值与最值；
6.利用导函数研究函数的零点；
7.利用导函数研究函数不等式恒成立问题。
【命题预测】1.求一点处的切线问题；通过导函数判断函数的单调性（含参与不含参）；
2.根据导函数判断函数的极值和最值、通过极值、最值求参；通过导函数研究函数的零点；
3.通过导函数研究函数的零点问题；
4.根据函数不等式恒成立问题求参、极值点偏移、隐零点、双变量、数列不等式、与三角函
数的综合问题等
知识讲解
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2一、变化率与导数
1.平均变化率
f (x )-f (x ) Δy
2 1
概念 对于函数y=f(x), = 叫作函数y=f(x)从x 到x 的平均变化率
x -x Δx 1 2
2 1
几何
函数y=f(x)图象上的点(x,f(x))与(x,f(x))连线的 斜率
意义 1 1 2 2
物理 Δy
若函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则 就是该质点在[x,x]上的 平均 速度
意义 Δx 1 2
2.导数
lim Δy lim f (x +Δx)-f (x )
0 0
一般地,函数y=f(x)在x=x 处的瞬时变化率Δx→0 =Δx→0 ,称它为函数y=f(x)
0
Δx Δx
定义
lim Δy lim f (x +Δx)-f (x )
在 x= x 处的导数,记为 f' ( x ) 或y' | ,即 f' ( x ) =Δx→0 = Δx→0 0 0
0 0 x=x 0
0 Δx Δx
几何 函数y=f(x)在x=x 处的导数f'(x)就是函数图象在该点处切线的 斜率 .曲线y=f(x)在点(x,f(x))处
0 0 0 0
意义 的切线方程是 y- f ( x ) =f ' ( x )( x-x )
0 0 0
物理
函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x 处的导数就是质点在x=x 时的瞬时速度
意义 0 0
二、导数的运算
原函数 导函数 特例或推广
常数
C'=0(C为常数)
函数
(xn) ′ =n⋅xn−1 ( 1 ) ′ 1
常 幂函数 =−
用 (n为正有理数)
x x2
导
三角 (sin x)'= co s x , 偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数的导
数
函数 (cos x)'= - si n x 数是周期函数
公
指数 (ax)'= a x l n a
式 (ex)'= e x
函数 (a>0,且a≠1)
1 1
对数 (log x) ′ = (Inx) ′ =
a xIna x
函数
(x>0,a>0,且a≠1) (x>0)
加减 [f(x)±g(x)]'= f' ( x ) ±g ' ( x ) [af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x)
四
乘法 [f(x)·g(x)]'= f ' ( x ) g ( x ) +f ( x ) g ' ( x ) [cf(x)]'=cf'(x)
则
运
算
[f(x)] ′
=
f' (x)g(x)−g' (x)f(x)
[ 1 ] ′ g' (x)
法 除法 g(x) [g(x)] 2 g(x) =−
[g(x)]
2
则
复
合
函
复合函数y=f(g(x))的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'= y ' · u ' ,这个关系用语言表
数 x u x
达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”
的
导
数
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3求简单函数的导函数的基本方法:
(1)用导数的定义求导,但运算比较烦琐;
(2)用导数公式求导,可以简化运算过程,降低运算难度.解题时根据所给问题的特征,将题中函数的结构进行
调整,再选择合适的求导公式.
1.求复合函数的导数的步骤
2.求复合函数的导数的注意点:
①分解的函数通常为基本初等函数;
②求导时分清是对哪个变量求导;
③计算结果尽量简洁.
解决这类问题,一般是先求导,注意f'(2)是常数,然后赋值求出f'(2)的值,最后代入原导数式求解.
求解过曲线上某点处的切线问题,关键是明确在该点处的切线斜率就是该点处的导数.
求解过曲线外某点处的切线问题的步骤：
第一步:设出切点坐标P'(x,f(x)).
1 1
第二步:写出过点P'(x,f(x))的切线方程y-f(x)=f'(x)(x-x ).
1 1 1 1 1
第三步:将点P的坐标(x,y)代入切线方程求出x.
0 0 1
第四步:将x 的值代入方程y-f(x)=f'(x)·(x-x ),可得过点P(x,y)的切线方程.
1 1 1 1 0 0
1.利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等,得到关于参数的方程(组)或参数满足的不等式(组),进而
求出参数的值或取值范围.
2.求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点
(1)注意曲线上横坐标的取值范围;
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上.
三、函数的单调性与导数的关系
条件 结论
f(x)在(a,b)内
f'(x)>0
单调递增
函数y=f(x)
f(x)在(a,b)内
在区间(a,b) f'(x)<0
单调递减
上可导
f(x)在(a,b)内是
f'(x)=0
常数函数
可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件是∀x∈(a,b),都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)且f'(x)在(a,b)上的任何
子区间内都不恒为零.
确定不含参数的函数的单调性,按照判断函数单调性的步骤求解即可,但应注意两点:一是不能遗忘求函
数的定义域;二是函数的单调区间不能用并集,要用“逗号”或“和”隔开.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4解决含参数函数的单调性问题时应注意以下两点:(1)研究含参数函数的单调性,要依据参数对不等式解
集的影响进行分类讨论;(2)划分函数的单调区间时,要在函数的定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数
的间断点.
函数图象的单调性可以通过导函数的正负来分析判断,即导函数为正,函数图象上升;导函数为负,函数图
象下降.看导函数图象时,主要是看其在x轴上方还是下方,即关心导数值的正负,而不是其单调性.解题时,一定
要分清是函数图象还是其导函数图象.
利用导数比较大小或解不等式的常用技巧:利用题目条件,构造辅助函数,把比较大小或求解不等式的问
题转化为利用导数研究函数的单调性问题,再由单调性比较大小或解不等式.
与抽象函数有关的不等式,要充分挖掘条件关系,恰当构造函数.题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时,常
构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数,与题设形成解题链条,利用导数研究新函数的单调性,从而求解不等
式.
利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路:(1)由函数在区间[a,b]上单调递增(减)可知
f'(x)≥0(f'(x)≤0)在区间[a,b]上恒成立,列出不等式;(2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题;(3)对等号
单独检验,检验参数的取值能否使f'(x)在整个区间恒等于0,若f'(x)恒等于0,则参数的这个值应舍去,若只有在
个别点处有f'(x)=0,则参数可取这个值.
四、函数的极值
若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0,而且在点x=a附
近的左侧 f' ( x ) < 0 ,右侧 f' ( x ) > 0 ,则点a叫作函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫作函数y=f(x)的极小值.
若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0,而且在点x=b附近
的左侧 f' ( x ) > 0 ,右侧 f' ( x ) < 0 ,则点b叫作函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫作函数y=f(x)的极大值.
极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为极值.
五、函数的最值
1.在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.
2.若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则 f ( a ) 为函数的最小值, f ( b ) 为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调
递减,则 f ( a ) 为函数的最大值, f ( b ) 为函数的最小值.
1.若函数f(x)的图象连续不断,则f(x)在[a,b]上一定有最值.
2.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值.
3.若函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点.
对于根据图象判断函数极值的问题,一般先找导数为0的点,再判断导数为0的点左、右两侧的导数符号.
求函数f(x)极值的步骤:第一步,确定函数的定义域;第二步,求导数f'(x);第三步,解方程f'(x)=0,求出在函数
定义域内的所有根;第四步,列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x 左、右两侧的符号,如果左正右负,那么f(x)在
0
x 处取得极大值,如果左负右正,那么f(x)在x 处取得极小值.
0 0
讨论参数应从f'(x)=0的两根x,x 是否相等入手进行,从而确定参数的分割范围,然后结合单调性进行极值的
1 2
讨论.
已知函数极值(点)求参数的两个要领
①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
②验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合
理性.
求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极
值进行比较得到函数的最值.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 51.利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤:
(1)求函数在(a,b)内的极值;
(2)求函数在区间端点处的函数值f(a),f(b);
(3)将函数f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情
况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.
利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式
y=f(x).
(2)求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0.
(3)比较函数在区间端点和f'(x)=0的点处的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.
(4)回归实际问题,结合实际问题作答.
考点一、导数的概念
1．已知物体的位移 （单位：m）与时间 （单位：s）满足函数关系 ，则物体在 时的瞬
时速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据瞬时速度含义，求导运算即可.
【详解】因为物体的位移 （单位：m）与时间 （单位：s）满足函数关系 ，
所以 ，令 ，得 .
2．设函数 在 处存在导数为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用导数的定义可得出所求极限的值.
【详解】 .
3．（2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学）已知 ，则a=
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】D
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6【详解】试题分析：先将极限式通分化简，得到 ，分子分母同时除以x2，再取极限即
可．
解：原式= = （分子分母同时除以x2）
= = =2，∴a=6
点评：关于高中极限式的运算，一般要先化简再代值取极限，本题中运用到的分子分母同时除以某个数或
某个式子，是极限运算中常用的计算技巧．
1．（北京市丰台区2022~2023学年高二下学期期末数学试题）用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时
气球是一个标准的球体，且气球的体积 随着气球半径r的增大而增大.当半径 时，气球的体积
相对于r的瞬时变化率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】球的体积公式为 ，对其求导并代入 计算即可
【详解】由球的体积公式可得 ，得 ，
所以 时，体积关于半径的瞬时变化率为
2．已知函数 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】根据导数的定义计算可得结果.
【详解】 .
3．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7A． B． C． D．不存在
【答案】A
【分析】先化简再求极限，即可得到答案.
【详解】.
考点二、导数的运算
1．求下列函数的导数：
(1) ；(2) ；(3) ；（4） ．
【答案】(1) (2) (3) ；（4）
【分析】根据四则运算、复合函数的求导法则计算可得答案.
【详解】（1）
（2）
（3） ，
（4）
2．已知函数 ，则 .
【答案】
【分析】求出 ，再将 代入，即可求出答案.
【详解】由于 ，于是导函数 ，
因此 ，解得 .
3．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8【答案】D
【分析】将二项式的展开式构造函数，求导后令 即可求解.
【详解】令 ，则 ，
令 ， .
1．求下列函数的导数：
(1) (2) ；(3) ；(4) .
【答案】(1) ；(2) ；(3) ；(4)
【分析】根据基本函数导数以及导数四则运算法则即可；
【详解】（1） ;
（2） ；
（3）
（4）
2．已知函数 导函数为 ，且 ，则 （ ）
A．21 B．20 C．16 D．11
【答案】B
【分析】首先利用导数公式，求 ，再代入求 的值.
【详解】由 ，得 ，
则 ，所以 ，则 ，
3．若 ，则下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用换元法令 ，将方程转化为关于 的多项式，然后利用赋值法进行求解即可.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9【详解】令 ，则 ，
令 ，可得 ，即 ，故A正确；
令 ，可得 ，故B正确；
由题可知 ，故C正确；
由 ，对等式两边同时求导可得：
，
令 ，可得 ，故D错误.
考点三、导数的几何意义
1．已知曲线y＝ －3ln x的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】A
【分析】利用导数的几何意义求解即可.
【详解】设切点为 ， ，由题知： ，
所以 ，解得： 或 （舍去）.
2．（2020年全国统一高考数学试卷（理科））函数 的图像在点 处的切线方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求得函数 的导数 ，计算出 和 的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简
即可.
【详解】 ， ， ， ，
因此，所求切线的方程为 ，即 .
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
3．已知点P在曲线y= 上， 为曲线在点P处的切线的倾斜角，则 的取值范围是（ ）
α α
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10A．[0, ) B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：因为 ，所以
，考点：导数的几何意义、正切函数的值域.
1．曲线f (x)=x3 +11 在点P（1，12）处的切线与y轴交点的纵坐标是（ ）
A．﹣9 B．﹣3 C．9 D．15
【答案】C
【详解】f' (x)=3x2 ，则f' (1)=3，所以曲线在P点处的切线方程为y－12＝3(x－1)．
即y＝3x＋9，它在y轴上的截距为9.
2．设函数 ．若 为奇函数，则曲线 在点 处的切线方程为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得 ，进而得到 的解析式，再对 求导得出切线的
斜率 ，进而求得切线方程.
详解：因为函数 是奇函数，所以 ，解得 ，所以 ， ，
所以 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
化简可得 .
点睛：该题考查的是有关曲线 在某个点 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先
需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而
求得相应的参数值，之后利用求导公式求得 ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得
结果.
3．点 在曲线 上移动，设点 处切线的倾斜角为 ，则角 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求导，求出导函数的值域，再根据导数的几何意义即可得解.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11【详解】 ，所以点 处切线的斜率的取值范围为 ，即
，
又 ，所以角 的范围是 .
考点四、切线的应用
1．已知函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数 的图象结合导数的几何意义可得答案.
【详解】由函数 的图象可知， 函数 在 上为减函数，且 ，
所以 .
2．如图，曲线 在点 处的切线为直线 ，直线 经过原点 ，则 （
）
A． B． C． D．
【答案】C
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12【分析】根据导数的意义及直线的斜率公式求解即可.
【详解】由题意， ，且 ，所以 .
最值问题
3．（2019年江苏省高考数学试卷）在平面直角坐标系 中，P是曲线 上的一个动点，则
点P到直线x+y=0的距离的最小值是 .
【答案】4.
【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离
【详解】当直线 平移到与曲线 相切位置时，切点Q即为点P到直线 的距离最小.
由 ，得 ， ，即切点 ，
则切点Q到直线 的距离为
【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和
公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.
双切线问题
4．若过点 可作曲线 的两条切线，则点 可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设切点的坐标为 ，求得切线方程为 ，把点 代入得
，根据题意得到 有两个不等的实根，结合 ，得到 ，
根据选项逐项验证，即可求解.
【详解】由函数 ，可得 ，
设切点的坐标为 ，则在切点处的切线方程为 ，
把点 代入，可得 ，
整理得 ，因为过点 可作曲线 的两条切线，
则方程 有两个不等的实根，
所以 ，即 ，
分别把点 代入验证，可得只有 满足，
所以点 可以是 .
公切线问题
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 135．若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 ．
【答案】
【详解】试题分析：对函数 求导得 ，对 求导得 ，设直线 与
曲线 相切于点 ，与曲线 相切于点 ，则 ，
由点 在切线上得 ，由点 在切线上得 ，
这两条直线表示同一条直线，所以 ，解得
.
1．已知函数 的图像如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数 图象斜率的变化，即可得出答案．
【详解】解：割线AB的斜率为 ， 为函数图象在点 处切线的斜
率，
为函数图象在点 处切线的斜率，结合图象可得 ，
2．已知函数 的图像在点 处的切线方程是 ，则 ＝ ．
【答案】3
【分析】根据导数的几何意义，可得 的值，根据点M在切线上，可求得 的值，即可得答案.
【详解】由导数的几何意义可得， ，又 在切线上，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14所以 ，则 =3，
【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查分析理解的能力，属基础题.
最值问题
y=In(2x−1) 2x−y+3=0
3．在平面直角坐标系 中，P是曲线 上的一个动点，则点P到直线 的距离
的最小值是 .
【答案】√5.
【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离
2x−y+3=0 y=In(2x−1)
【详解】当直线 平移到与曲线 相切位置时，切点Q即为点P到直线
2x−y+3=0
的距离最小.
2
y' = =2
由
2x−1
，得
x=1，y=0
，即切点
Q(1,0)
，
|2−0+3|
=√5
2x−y+3=0 √4+1
则切点Q到直线 的距离为
【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和
公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.
双切线问题
4．过坐标原点可以作曲线 两条切线，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设出切点横坐标 ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于 的方程，
根据此方程应有两个不同的实数根，求得 的取值范围.
【详解】∵ ，∴ ，设切点为 ，则 ，切线斜率
,
切线方程为 ，∵切线过原点，∴ ，
整理得： ,∵切线有两条，∴ ，解得 或 ，
∴ 的取值范围是 ,
公切线问题
5．若函数 与 的图象有一条与直线 平行的公共切线，则 .
【答案】
【分析】设公切线与 相切于 ，与 相切于 ，根据公切线斜率为 以及点在函数图
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15像上列出方程求解.
【详解】因为 ， ，则 ， ，
设公切线与 相切于 ，与 相切于 ，
则 ， ，
解得 ， ，所以 ， ，
所以切线方程为 ，即 ，
又 在切线 上，所以 ，所以 .
考点五、简单的函数的单调性
1．设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能的是（
）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据导函数的图象得出函数的单调区间，根据函数 的单调性即可判断.
【详解】由导函数的图象可得当 时，f' (x)>0，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减；
当 时，f' (x)>0，函数 单调递增.只有C选项的图象符合.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 162．函数 的单调递增区间是 .
【答案】 和
【分析】首先对 求导，求出导函数的零点，根据导函数来判断函数 的单调性．
【详解】解：对函数 进行求导：
令 ，则 解得， ， ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增；
3．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数 在区间 上单调递增，则a的最小值
为（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C
【分析】根据 在 上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知， 在 上恒成立，显然 ，所以 ，
设 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
，故 ，即 ，即a的最小值为 ．
4．对于R上可导的任意函数 ，若满足 则必有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先由题意得到函数的单调性,然后跟根据单调性进行判断可得结论.
【详解】 若 ，则 为常数函数, ;
若 不恒成立, 当 时, , 递增，当 时, , 递减.
.
【点睛】本题考查函数最值和单调性的关系,考查对基本概念的理解,解题时可根据导函数的符号得到函数
的单调性,进而得到函数的最值情况,属于中档题.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 175．（2023·四川省自贡市名校模拟）已知函数 ，若 ，则 的范围是
．
【答案】
【分析】判断函数的单调性，根据函数的单调性即可求解不等式.
【详解】由函数 ，可得 ，
即 为R上的单调递增函数，故由 可得 ，
即 的范围是 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 181．已知函数 的图象如图所示（其中 是函数 的导函数），则下面四个图象中，
的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先利用函数 的图象求得函数 的单调区间，进而得到正确选项.
【详解】由题给函数 的图象，可得
当 时， ，则 ，则 单调递增；
当 时， ，则 ，则 单调递减；
当 时， ，则 ，则 单调递减；
当 时， ，则 ，则 单调递增；
则 单调递增区间为 ， ；单调递减区间为
故仅选项C符合要求.
2．若函数 ，则函数 的单调递减区间为 .
【答案】
【分析】求出函数的导函数 ，令 ， ，利用导数说明 的
单调性，即可求出 的取值情况，从而求出 的取值情况，即可得到 的单调性.
【详解】因为 的定义域为 ，则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19令 ， ，则 ， 在 上单调递减，且 ，
∴当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，即函数 的单调递减区间为 .
3．若函数 在 上单调递增，则实数m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出函数 的导数，利用给定的单调性建立不等式，分离参数并构造函数，再利用导数求出最
大值作答.
【详解】函数 ，求导得 ，
依题意， ， 恒成立，
令函数 ， ，求导得 ，
因此函数 在 上单调递增，即 ，则 ，
显然当 时， ，当 时， ，而 ，即有 ，
所以实数m的取值范围是 .
4．函数 的定义域为 ， ，对任意 ， ，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 ，利用导数判断出函数 在 上的单调性，将不等式
转化为 ，利用函数 的单调性即可求解.
【详解】依题意可设 ，所以 .
所以函数 在 上单调递增，又因为 .
所以要使 ，即 ，只需要 ，故选B.
【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，
考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
5．设定义在 上的函数 满足 ， ，若 ，则 的取值范围为 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20【答案】
【分析】根据题意，构造函数 ，利用导数判断函数单调性，由单调性解不等式即可.
【详解】设函数 ，∴ ，∴ 在 上单调递减，
又∵ ，∴ 则 ，即 ，
∴ ，即 .
考点六、含参函数的单调性
1．已知函数 ，其中 ， .讨论函数 的单调性；
【答案】答案见解析
【分析】求导后，分别在 和 的情况下，根据 的正负可得 单调性.
【详解】由题意知： 的定义域为 ， ；
当 时， ， 在 上恒成立， 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得： ，则当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减；
综上所述：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上
单调递减.
2．已知函数 ，求函数 的单调递增区间.
【答案】答案见解析
【分析】求出函数 的导数，再分当 时，当 时，当 时，三种情况讨论解不等式
作答.
【详解】函数 的定义域为 ，求导得 ，
当 时， ，当且仅当 时取等号，则函数 在 上单调递增，
当 时，由 得 或 ，即函数 在 上单调递增，
当 时，由 得 或 ，即函数 在 上单调递增，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21所以当 时，函数 的递增区间是 ；
当 时，函数 的递增区间是 ；
当 时，函数 的递增区间是 .
3．已知函数 ，讨论函数 的单调性．
【答案】答案见解析
【分析】求导，导论 的范围，通过导函数的正负判断函数的单调性；
【详解】由题意可知 的定义域为 ，
，当 时， ，
所以当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增；
当 时，令 解得 ， ，
①当 ，即 时， 恒成立，所以 在 上单调递增，
②当 ，即 时，当 时， ， 单调递减，
当 或 时， ， 单调递增，
③当 ，即 时，当 时， ， 单调递减，
当 或 时， ， 单调递增，
综上所述，
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
1．已知函数 ，讨论函数 的单调性．
【答案】答案见解析
【分析】对函数求导，然后对参数 分类讨论，注意讨论正负以及与 的关系。然后根据导数判断函数
的单调性；
【详解】定义域： ，
1° 时 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
2° 时①当 时，即 时，
令 ，解得 或 ；令 ，解得 ；
所以 在 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增；
②当 时，即 时， 恒成立，所以 在 上单调递增；
③当 时，即 时，
令 ，解得 或 ；令 ，解得 ；
所以 在 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增．
综上所述：
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增．
2．已知函数 ，求函数 的单调区间．
【答案】答案见解析
【分析】先求出函数的定义域，然后对函数求导，再分 ， ， 和 四种情况讨论导数的
正负，从而可求出函数的单调区间.
【详解】 的定义域为 ， ，
当 时，令 ，即 ，得 ；令 ，即 ，得 ．
当 时，令 ，即 ，得 ；
令 ，即 ，得 或 ．
当 时， 在 恒成立．
当 时，令 ，即 ，得 ；
令 ，即 ，得 或 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23综上所述：
当 时， 的单调减区间为 ，单调增区间为 ；
当 时， 的单调减区间为 ，单调增区间为 ， ；
当 时， 的单调增区间为 ，无单调减区间；
当 时， 的单调减区间为 ，单调增区间为 ， ．
3．已知函数 ，讨论 的单调性．
【答案】答案见解析
【分析】对函数 求导，再对 进行分类讨论，根据 和 ，即可得函数 的单调性；
【详解】 的定义域 ， ，
（i）若 ，则 ，所以 在 单调递减，
（ii）若 ，则由 得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 单调递减，在 单调递增；
考点七、利用导数求解函数的极值
1．已知 是函数 的导函数，若函数 的图象大致如图所示，则 极值点的个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据函数图象得到 的取值情况，即可得到 的单调性，即可得到极值点数.
【详解】由图可知，当 时， ，即 在 上单调递减；
当 时， ，即 在 上单调递增；
当 时， ，即 在 上单调递增；
当 时， ，即 在 上单调递减.
所以 在 处取得极小值，在 处取得极大值，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24故 极值点的个数为 .
2．若函数 有两个不同的极值点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】A
【分析】求导后，将问题转化为 在 上有两个不同的零点，根据二次函数零点分布
可构造不等式组求得结果.
【详解】由题意知： 定义域为 ， ，
令 ，
有两个不同的极值点， 在 上有两个不同的零点，
，解得： .
3．已知函数 ， .若 ，求m的值及函数 的极值．
【答案】(1) ，极大值为 ，无极小值
【分析】由 可求出 ，然后对函数求导，由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出
函数的极值；
【详解】 的定义域为 ，
因为 ， ，则 ，
解得 .当 时， ， .
当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 在 上单调递减；
所以 在 时取得极大值且极大值为 ，无极小值．
1．函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图象如图所示，则函数 在开区间
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25内有极小值点（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】A
【分析】观察函数 在 内的图象与 轴有四个公共点，利用极小值点的定义分析得解.
【详解】解：由导函数 在区间 内的图象可知，函数 在 内的图象与 轴有四个公共点，
在从左到右第一个交点处导数左正右负，它是极大值点；在从左到右第二个交点处导数左负右正，它是极
小值点；在从左到右第三个交点处导数左正右正，它不是极值点；在从左到右第四个交点处导数左正右负，
它是极大值点.所以函数 在开区间 内的极小值点有 个.
2．若函数 有且仅有一个极值点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】B
【分析】求函数 的定义域和导函数，结合极值点的定义列不等式求 的取值范围.
【详解】函数 的定义域为 ，导函数 ，
因为函数 有且仅有一个极值点，
所以方程 有且仅有一个正根，且正根的两侧函数 的函数值异号，
所以
3．已知函数 ， .若 是 的极值点，求函数 的极值．
【答案】极大值为 ，极小值为
【分析】利用极值点与导数的联系，结合导数与单调性的关系即可求解；
【详解】 ，因为 是 的极值点，
所以 ，所以 ，所以
当 或 时， ；当 时， .
所以函数 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 26所以极大值 ，极小值为
考点八、利用导数研究函数的最值
1．函数 在 上的最大值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】利用导数直接求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，当 时， ，此时 单调递增，
当 时， ，此时 单调递减，
所以当 时， 取得最大值，即 .
2．若 对于任意的 恒成立，则正数 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】利用分离参数法得 ，设 ， ，利用导数求出其最大值，则
得到不等式解出即可.
【详解】 恒成立，即 .
设 ， ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
则 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以 在 上的最大值是 ，
故 只需 ，解得 ，即 的最小值为 ，
3．（2023·北京市名校模拟）已知函数 ，若 ，且 ，则 的最小值
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意作出函数图象，可得 的范围，得到 ，令 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 27再由导数求最小值即可．
【详解】已知函数 ，作出函数图象如图：
当 时， ．
由 ，得 ，则 ．
令 ，则 ，
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，
，即 的最小值为 ．
1．已知函数 ，则（ ）
A． 的最小值为 B． 的最小值为
C． 的最大值为 D． 无最小值
【答案】B
【分析】求导，令 可解得 ，进而可得 ，利用导数判断原函数单调性和最值.
【详解】因为 ，则 ，
令 ，可得 ，解得 ，即 ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增；
所以 的最小值为 ，无最大值.
2．任给两个正数x，y，使得不等式 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 28【分析】首先参变分离为 ，再构造函数 ，转化为求函数的最值问题，即可求解.
【详解】不等式 恒成立，
整理为 恒成立，设 ， ，
，令 ，得 ，当 ， ，当 ， ，
所以函数的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ，函数的最小值 ，
所以 ，得 .
3．已知函数 ，函数 恰有两个不同的零点 ，则
的最大值和最小值的差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出 的图象，数形结合可得 的取值范围，将 用 表示，构造函数
，利用导函数讨论单调性求解.
【详解】作出 的图象如下，
由图象可知，当 ，即 时，函数 有2个交点，
即函数 恰有两个不同的零点，
因为 ，所以 ，可得 ，则 ，
构造函数 ， ，
令 解得， ，令 解得， ，
所以 在 单调递减， 单调递增，
所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 29所以函数 的最大值和最小值之差为 ，
所以 的最大值和最小值的差是 ，
考点九、导数在新情景中的应用
1．“以直代曲”是重要的数学思想．具体做法是：在函数图像某个切点附近用切线代替曲线来近似计算．
比如要求 的近似值，我们可以先构造函数 ，由于0.05与0比较接近，所以求出 处的
切线方程为 ，再把 代入切线方程，故有 ，类比上述方式．则 （
）
A．1.001 B．1.005 C．1.015 D．1.025
【答案】B
【分析】由题意可设 ，根据导数的几何意义求得 在 处的切线方程，根据在函数图像
某个切点附近用切线代替曲线来近似计算，即可求得答案.
【详解】设 ，则 ，
则 ，故 在 处的切线方程为 ，设为 ，
故由题意得 ，
2．（2023·湖北省名校模拟）若存在直线 ，使得函数 和 对其公共定义域上的任意实数
都满足 ，则称此直线 为 和 的“隔离直线”.已知函数 ，
，若 和 存在唯一的“隔离直线”，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出切点坐标，由公切线列出等量关系，求解即可.
【详解】当 与 相切时，只有唯一的“隔离直线”，
且“隔离直线”为公切线.设切点为 ，
则 即 所以 .
3．牛顿迭代法是求方程近似解的另一种方法．如图，方程 的根就是函数 的零点 ，取初始
值 ， 的图象在横坐标为 的点处的切线与 轴的交点的横坐标为 ， 的图象在横坐标为 的
点处的切线与 轴的交点的横坐标为 ，一直继续下去，得到 ， ，…， ，它们越来越接近 ．若
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 30， ，则用牛顿法得到的 的近似值 约为（ ）
A．1.438 B．1.417 C．1.416 D．1.375
【答案】B
【分析】求出函数 的导数，利用导数的几何意义按照牛顿迭代法依次计算作答.
【详解】由 ，求导得 ，而 ，则 ，又 ，
于是函数 的图象在横坐标为 的点处的切线方程为 ，
令 ，得 ，则 ， ，
因此函数 的图象在横坐标为 的点处的切线方程为 ，令 ，得 ，
所以 约为1.417.
1．在微积分中“以直代曲”是最基本，最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用
圆的外切正 边形和内接正 边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率 的精度较高的近似值，事实上就是
用“以直代曲”的思想进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的方法，
在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”.请用函数 “近似计算”
的值为 （结果用分数表示）.
【答案】 /
【分析】 非常接近 ，求出 在 处的切线方程 ，在 附近用 代替 计算可得．
【详解】函数 的导数为 ，所以 ，函数 在点 处的切线 ，所
以 在 附近可以用 代替，即 ，
又 非常接近 ， .
2．新型冠状病毒肺炎（COVID﹣19）严重影响了人类正常的经济与社会发展．我国政府对此给予了高度
重视，采取了各种防范与控制措施，举国上下团结一心，疫情得到了有效控制．人类与病毒的斗争将是长
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 31期的，有必要研究它们的传播规律，做到有效预防与控制，防患于未然．已知某地区爆发某种传染病，当
地卫生部门于4月20日起开始监控每日感染人数，若该传染病在当地的传播模型为 （ 表
示自4月20日开始 （单位：天）时刻累计感染人数， 的导数 表示 时刻的新增病例数），则下列
命题正确的是（ ）
A．4月20号累计感染人数为2500
B．4月20号新增病例数为25
C．4月20号新增病例数为45
D．新增病例数自4月20号起逐渐减少
【答案】C
【分析】由题对 求导，再对照选项判断即可得出答案．
【详解】对 求导得： ，
当 时， ，故4月20号累计感染人数为 ，A选项错误；
当 时， ，故4月20号新增感染人数为 ，所以B错，C正确；
根据基本不等式： ，
当 ，即当 时取等号，于是 ，
结合C选项可知，在4月20日新增人数的 人，既然会某时刻达到新增 人，说明不会越来越少，故D
错误．
3．英国数学家布鲁克泰勒（BrookTaylor，1685.8～1731.11）以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世．根
据泰勒公式，我们可知：如果函数 在包含 的某个开区间 上具有 阶导数，那么对于
，有 ，若取 ，则
，此时称该式为函数 在 处的 阶泰勒公式．
如
由此可以判断下列各式错误的是（ ）．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 32A． （i是虚数单位）
B． （i是虚数单位）
C．
D．
【答案】B
【分析】AB选项，先根据 的泰勒展开式得到 的泰勒展开式，将 代入 的泰勒展开式中，得到
A正确，B错误；C选项，先得到 ，进而得到 ；D选项，因为
，所以 ，从而证明出结论.
【详解】AB选项，对 两边求导，
得到 ，
故
，A正确，
B错误；
C选项，因为 ，所以 ，当 时等号成立，
因为 ，所以 ，
即 成立，C正确；
D选项，
，
因为 ，所以 ，……，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 33故 ，D正确；
【基础过关】
1．（2008年普通高等学校招生考试数学（文）试题（大纲卷Ⅰ））曲线 在点 处的切线
的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用导数的几何意义求解即可．
【详解】∵ ，
∴曲线 在点 处的切线的斜率 ，则倾斜角为 ，
2．（2023年陕西省模拟（理科））下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用基本初等函数的导数公式及导数的运算法则逐项判断即可．
【详解】对于A选项， ，A选项错误；
对于B选项， ，B选项错误；
对于C选项， ，C选项错误；
对于D选项， ，D选项正确．
3．（2023年湖北省联考）设 ，则 的导函数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复合函数的求导法则，即可得出答案.
【详解】由已知可得， .
4．已知一次降雨过程中，某地降雨量L（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可近似表示为
，则在 时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬时变化率）为（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 34A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据导数的概念，求出函数的导数，代入 ，可得答案.
【详解】∵ ，∴ ，
∴在 时的瞬时降雨强度为 .
5．（2023年福建省学业质量监测（B卷））已知函数 的导函数为 ，且满足 ，
则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】求导后，令 可得结果.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，得 .
6．（2023年江苏省模拟）已知 ，则 （
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将二项式的展开式构造函数，求导后令 即可求解.
【详解】令 ，则 ，
令 ， .
7．（2023年福建省联考）若 ，则曲线 在 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出原函数的导函数，取 ，解得 ，则 ，求得 ，
可得切点坐标和切线斜率，利用直线方程的点斜式得答案.
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，解得 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 35所以 ，则 .
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 .
8．函数 的单调递减区间为 .
【答案】
【分析】利用导数求出函数的单调递减区间作答.
【详解】函数 的定义域为 ，求导得 ，由 ，即 ，解得
，
所以函数 的单调递减区间为 .
9．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷））若函数 在区间
上单调递增，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析： ，∵函数 在区间 单调递增，∴ 在区间
上恒成立．∴ ，而 在区间 上单调递减，∴ ．∴ 的取值范围是 ．故
选D．
考点：利用导数研究函数的单调性.
10．（2008年普通高等学校招生考试数学（理）试题（湖南卷）） ．
【答案】 /
【分析】先利用因式分解进行化简，再利用取极限的求法即可解决.
【详解】因为 ，
所以 .
11．函数 在 上的最小值为（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 36A． B．6 C． D．
【答案】C
【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，计算函数极值以及区间端点处函数值，即可求得答案.
【详解】由 可得 ，
令 ，
当 或 时， ，当 时， ，
即 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 为函数的极大值点， 为函数的极小值点，
故 ，
故函数 在 上的最小值为 ，
12．（2022年全国新高考I卷数学试题）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是
．
【答案】
【分析】设出切点横坐标 ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于 的方程，
根据此方程应有两个不同的实数根，求得 的取值范围.
【详解】∵ ，∴ ，
设切点为 ,则 ,切线斜率 ,
切线方程为： ,
∵切线过原点，∴ ,整理得： ,
∵切线有两条，∴ ,解得 或 ,
∴ 的取值范围是 ,
13．已知函数 ，且满足 ，则（ ）
A．函数 在 处有极大值 B．函数 在区间 上是减函数
C．函数 有两个极值点 D．函数 在区间 上是增函数
【答案】D
【分析】先由 求出 ，然后利用导数求出函数的单调区间和极值，再分析判断即可
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 37【详解】 的定义域为 ，
由 ，得 ，
因为 ，所以 ，得 ，
所以 ， ，
由 ，得 或 ，由 ，得 或 ，
所以 在 和 上递增，在 和 上递减，
所以 在 时取得极大值，在 时取得极小值，
所以AB错误，
令 ，则 （ ），
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递减，在 上递增，无极值点，
所以C错误，D正确，
14．我们比较熟悉的网络新词，有“ ”、“内卷”、“躺平”等，定义方程 的实数根
叫做函数 的“躺平点” 若函数 ， ， 的“躺平点”分别为
， ， ，则 ， ， 的大小关系为 ．
【答案】
【分析】根据“躺平点”新定义，可解得 , ，利用零点存在定理可得 ,即可得出结论.
【详解】根据“躺平点”定义可得 ，又 ；
所以 ，解得 ；同理 ，即 ；
令 ，则 ，即 为 上的单调递增函数，
又 ，所以 在 有唯一零点，即 ；
易知 ，即 ，解得 ；
因此可得 .
【能力提升】
1．若函数 的图象存在与直线 垂直的切线，则实数 的取值范围是（
）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 38A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意将问题转化为“ 有解”，即 在 上有解，根据 的取值范围
求解即可.
【详解】因为 ， ，所以 ，
若函数 的图象存在与直线 垂直的切线，
则 ，即 在 有解，因为 ，所以 ，
即实数 的取值范围是 .
2．已知 ， ，记 ，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】设 ， ， ．由题意知， 的最小值可转化为
曲线 上的点 到直线 上的点 的距离的平方的最小值，求解即可.
【详解】设 ， ， ．
由题意知， 的最小值可转化为曲线 上的点 到
直线 上的点 的距离的平方的最小值．
易知，曲线 与直线 没有交点，则
当曲线 在点A处的切线平行于B所在的直线，
且AB连线与直线 垂直时，两点间距离最小．
由 ，得 ，直线 的斜率 ，
令 ，解得 ，则 ，
所以点A到直线 的距离 ，
故M的最小值为 ．
3．（2021年江西省模拟）已知函数 ，若 ，则a的取值范围是（
）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 39A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出函数 的图像，和函数y=ax的图像，结合图像可知直线y=ax介于 与 轴之间，
利用导数求出直线 的斜率，数形结合即可求解.
【详解】由题意可作出函数 的图像，和函数y=ax的图像.
由图像可知：函数y=ax的图像是过原点的直线，
当直线介于 与 轴之间符合题意，
直线 为曲线的切线，且此时函数 在第二象限的部分的解析式为
，求其导数可得 ，因为 ，故 ，
故直线 的斜率为 ，故只需直线y=ax的斜率 .
【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.
4．（2023年河北省模拟）在等比数列 中， ，若函数 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，可得 .求导代入即可得出 .根据
等比数列的性质，即可求出 的值.
【详解】设 ，则 ， ，
所以， .因为 是等比数列，且 ，
所以， ，
所以， ，所以， .
【点睛】关键点睛：将多项乘积看成两项的乘积，根据导数运算的乘法法则，计算求导.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 406．（2023年北京名校模拟）已知 是定义域为 的偶函数，当 时， ．那么函数
的极值点的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用导数探讨函数 在 时的性质，再结合偶函数性质即可判断作答.
【详解】当 时， ，
当 时， ；当 时， ，当且仅当 时取等号，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
而 是定义域为 的偶函数，则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 在 处取得极小值，在 处取得极大值，极值点个数共有3个.
7．（2023年湖北省联考）定义在 上的函数 的导函数为 ，且
恒成立，则必有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，利用导数研究单调性，比较函数值的大小.
【详解】由 ，得 ．
设函数 ，则 ，
所以 在 上单调递减，从而 ，
即 ，即 ．
8．（2023年陕西省模拟文科）英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor，1685.8~1731.11）以发现泰勒公式
和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式，我们可知：如果函数 在包含 的某个开区间 上具有
阶导数，那么对于 ，有
，若取 ，则
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 41，此时称该式为函数 在 处的 阶泰勒公式.
计算器正是利用这一公式将 ， ， ， ， 等函数转化为多项式函数，通过计算多项式函数
值近似求出原函数的值，如 ， ，则运用上面的想法求
的近似值为（ ）
A．0.50 B． C． D．0.56
【答案】B
【分析】先化简 ，根据题意得到 的泰勒展开式，求得 的值，即可求解.
【详解】由三角恒等变换的公式，化简得 ，
又由 ，
可得 ，所以 .
9．已知函数 ， （ ），若经过点 存在一条直线l与 的图象
和 的图象都相切，则实数a的值为 .
【答案】3或
【分析】由导数的几何意义可知直线l的斜率为 ，又因为直线l过点 ，所以
，同理可得 ，解方程即可得出答案.
【详解】根据题意，可设直线l既是函数 的图象在 处的切线，
也是函数 的图象在 处的切线，因为 ， ，
所以直线l的斜率为 ，所以直线l的方程为：
又因为直线l过点 ，所以 ，
所以 ，同理可得 ，
即 ，于是先根据②得到 ，进而代入①得 ，即 ，
再代入③得 ，然后化简得到 ，解得 或 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4210．（2023年河南省模拟文科）已知函数 是奇函数， 且 ， 是
的导函数，则（ ）
A． B． 的一个周期是4 C． 是奇函数 D．
【答案】B
【分析】根据函数的周期性，对称性和奇偶性的公式推导即可求解.
【详解】因为 是奇函数，所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，所以函数 是周期为4的周期函数，
所以 ，故选项A错误；
，所以 ，所以 的一个周期是4，故选项B正确；
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 是偶函数，故选项C错误；
例如 ，满足 是奇函数且 且 ，
所以 ， 可得 ，故选项D错误；
或根据 得 关于直线 轴对称，
因而在 处有极值，所以 或不存在，故D选项错误.
11．已知函数 ，讨论 的单调性．
【答案】答案见解析
【分析】求导，用导数研究函数的单调性；
【详解】函数 的定义域为 ， ，
①当 时， ，函数 在 上单调递减；
②当 时，令 ，得 ，
函数 在 上单调递增； 令 ，得 ，
函数 在 上单调递减．
综上，当 时，函数 在 上单调递减；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 43当 时，函数 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
12．（2022年全国新高考II卷数学试题）曲线 过坐标原点的两条切线的方程为____________，
____________．
【答案】
【分析】分 和 两种情况，当 时设切点为 ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜
x
率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出 ，即可求出切线方程，当 时同理可得；
0
【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求
分 和 两种情况，当 时设切点为 ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而
x
表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出 ，即可求出切线方程，当 时同理可得；
0
解： 因为 ，
1
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以
y'
| = ，所以切线方程为
x=x x
0
0
，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
故答案为： ；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
1
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以
y'
| = ，所以切线方程为
x=x x
0
0
，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
因为 是偶函数，图象为：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 44所以当 时的切线，只需找到 关于y轴的对称直线 即可.
[方法三]：
因为 ，
1
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以
y'
| = ，所以切线方程为
x=x x
0
0
，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 ；
故答案为： ； .
13．（2023年江苏省模拟）设函数 的导函数为 ， ，且 ，则
________， 的解集是________．
【答案】
【分析】由 推出 ，得函数 是常函数，设 为常数 ，
根据 得 ，可得 ，代入 可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以函数 是常函数，设 为常数 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 45则 ，因为 ，所以 ，即 ，
所以 ， ，
，
等价于 ，即 ，解得 .
所以 的解集是 .
故答案为： ； .
14．已知直线 与函数 的图象相切，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出切点坐标，求出切线方程为 ，从而可得
，构造函数 ，求出其最小值即可得答案.
【详解】设切点为 ， ，所以切线的斜率 ，
则切线方程为 ，即 ，
故 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，即 的最小值为 .
【真题感知】
1．（2023年高考全国甲卷（文）真题）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方
程即可求解.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 46【详解】设曲线 在点 处的切线方程为 ，
因为 ，所以 ，所以 所以
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
2．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）若函数 既有极大值也有极小值，则下
列错误的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出函数 的导数 ，由已知可得 在 上有两个变号零点，转化为一元二次方程
有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数 的定义域为 ，求导得 ，
因为函数 既有极大值也有极小值，则函数 在 上有两个变号零点，而 ，
因此方程 有两个不等的正根 ，
于是 ，即有 ， ， ，显然 ，即 ，A错误，BCD正确.
3．（2019年全国统一高考（文科）（新课标Ⅲ））已知曲线 在点 处的切线方程为
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得 ，将点的坐标代入直线方程，求得 ．
【详解】详解： ，
将 代入 得 ．
【点睛】本题关键得到含有 ， 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
4．（2019年全国统一高考（文科）（新课标Ⅱ））曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 47【分析】先判定点 是否为切点，再利用导数的几何意义求解.
【详解】当 时， ，即点 在曲线 上．
则 在点 处的切线方程为 ，即
．
【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取
导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，
若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．
5．（2021年全国新高考Ⅰ卷）若过点
可以作曲线y=ex
的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定
结果；
解法二：画出曲线 的图象，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线 上任取一点 ，对函数 求导得 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
由题意可知，点 在直线 上，可得 ，
令 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，
由题意可知，直线 与曲线 的图象有两个交点，则 ，
当 时， ，当 时， ，作出函数 的图象如下图所示：
由图可知，当 时，直线 与曲线 的图象有两个交点.
解法二：画出函数曲线 的图象如图所示，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 48作出两条切线.由此可知 .
【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性
进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
6．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））若直线 与曲线y= 和 都相切，
l
则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+
【答案】D
【分析】根据导数的几何意义设出直线 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ，
函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
由于直线 与圆 相切，则 ，
两边平方并整理得 ，解得 ， （舍），
则直线 的方程为 ，即 .
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.
7．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））曲线 的一条切线的斜率为2，则
该切线的方程为 .
【答案】
【分析】设切线的切点坐标为 ，对函数求导，利用 ，求出 ，代入曲线方程求出 ，得到
切线的点斜式方程，化简即可.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 49【详解】设切线的切点坐标为 ，
，所以切点坐标为 ，
所求的切线方程为 ，即 .
【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.
8．（2021年全国高考甲卷（理科））曲线 在点 处的切线方程为__________．
【答案】
【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】由题，当 时， ，故点在曲线上．
求导得： ，所以 ．
故切线方程为 ．
故答案为： ．
9．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））曲线 在点 处的切线方程为
．
【答案】 .
【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线
方程
【详解】详解： 所以，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导
要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
10．（2022年全国高考乙卷（理科））已知 和 分别是函数 （ 且 ）的
极小值点和极大值点．若 ，则a的取值范围是____________．
【答案】
【分析】法一：依题可知，方程 的两个根为
x ，x
，即函数 与函数 的
1 2
图象有两个不同的交点，构造函数 ，利用指数函数的图象和图象变换得到 的图象，利
用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为 ，所以方程 的两个根为
x ，x
，
1 2
即方程 的两个根为
x ，x
，
1 2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 50即函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
因为
x ，x
分别是函数 的极小值点和极大值点，
1 2
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
所以当时 ， ，即 图象在 上方
当 时， ，即 图象在 下方
，图象显然不符合题意，所以 ．
令 ，则 ，
设过原点且与函数 的图象相切的直线的切点为 ，
则切线的斜率为 ，故切线方程为 ，
则有 ，解得 ，则切线的斜率为 ，
因为函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
所以 ，解得 ，又 ，所以 ，
综上所述， 的取值范围为 ．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
x ，x
1 2
因为
x ，x
分别是函数 的极小值点和极大值点，
1 2
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
设函数 ，则 ，
若 ，则 在 上单调递增，此时若 ，则 在
上单调递减，在 上单调递增，此时若有 和 分别是函数
且 的极小值点和极大值点，则 ，不符合题意；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 51若 ，则 在 上单调递减，此时若 ，则 在 上单调递增，在 上单
调递减，令 ，则 ，此时若有 和 分别是函数 且
的极小值点和极大值点，且 ，则需满足 ， ，即
故 ，所以 .
【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是
该题的最优解；
法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于
通性通法．
11．（2022年全国高考甲卷数学（理）试题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 结合三角函数的性质可得 ;构造函数 ,利用导数可
得 ,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当 ，故 ，故 ，所以 ；
设 ， ，所以 在 单调递增，
故 ，所以 ，所以 ，所以 ，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当 ，取 得： ，故
，其中 ，且
当 时， ，及 此时 ，
故 ，故 ，所以 ，所以 ，故选A
[方法三]：泰勒展开
设 ，则 ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 52，计算得 ，故选A.
[方法四]：构造函数
因为 ，因为当 ，所以 ,即 ，所以 ；设
， ，所以 在 单调递增，则 ,
所以 ，所以 ,所以 ，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为 ，因为当 ，所以 ,即 ，所以 ；因为当
，取 得 ，故 ，所以 ．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通
法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式 放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 53
