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考点巩固卷 22 绳球、杆球、轨道、管道、拱桥与凹桥模型
（竖直平面内的圆周运动）
建议用时：50分钟
考点序号 考点 题型分布
考点1 拱桥与凹桥模型及其临界条件 4多选
考点2 绳球模型及其临界条件 2单选+2多选+1填空
考点3 杆球模型及其临界条件 4单选+2多选
考点4 轨道与管道模型及其临界条件 3多选+2解答
考点01：拱桥与凹桥模型及其临界条件（4多选）
一、多选题
1．（2023·广东·统考高考真题）人们用滑道从高处向低处运送货物．如图所示，可看作质点的货物从 圆
弧滑道顶端 点静止释放，沿滑道运动到圆弧末端 点时速度大小为 。已知货物质量为 ，滑道高
度 为 ，且过 点的切线水平，重力加速度取 。关于货物从 点运动到 点的过程，下列说法正
确的有（ ）
A．重力做的功为 B．克服阻力做的功为
C．经过 点时向心加速度大小为 D．经过 点时对轨道的压力大小为
【答案】BCD
【详解】A．重力做的功为
A错误；
B．下滑过程据动能定理可得
代入数据解得，克服阻力做的功为
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】B正确；
C．经过 点时向心加速度大小为
C正确；
D．经过 点时，据牛顿第二定律可得
解得货物受到的支持力大小为
据牛顿第三定律可知，货物对轨道的压力大小为 ，D正确。
故选BCD。
2．（2023·湖南·统考高考真题）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，
两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C、A与C的高度差等于圆弧轨道的
直径2R。小球从A点以初速度v 冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（ ）
0
A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球从A到C的过程中，重力的功率始终保持不变
C．小球的初速度
D．若小球初速度v 增大，小球有可能从B点脱离轨道
0
【答案】AD
【详解】A．由题知，小球能沿轨道运动恰好到达C点，则小球在C点的速度为
v = 0
C
则小球从C到B的过程中，有
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立有
F = 3mgcosα－2mg
N
则从C到B的过程中α由0增大到θ，则cosα逐渐减小，故F 逐渐减小，而小球从B到C的过程中，对轨
N
道的压力逐渐增大，A正确；
B．由于A到B的过程中小球的速度逐渐减小，则A到B的过程中重力的功率为
P = －mgvsinθ
则A到B的过程中小球重力的功率始终减小，则B错误；
C．从A到C的过程中有
解得
C错误；
D．小球在B点恰好脱离轨道有
则
则若小球初速度v 增大，小球在B点的速度有可能为 ，故小球有可能从B点脱离轨道，D正确。
0
故选AD。
3．（2023·河北邯郸·统考三模）有一种特技表演叫铁笼飞车，如图所示，几辆摩托车在圆球形铁笼中旋转
飞驰，场面惊心动魄。假设固定在地面上的铁笼的半径为6.4m，摩托车（含演员及装备，可视为质点）的
质量为200kg，A、B两点分别为铁笼的最高点和最低点，C点与B点的高度差为1.28m，某次表演中一辆
摩托车正在竖直面内做圆周运动（ ），以下说法正确的是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．摩托车安全通过圆形铁笼A点时最小速度为
B．摩托车以最小速度通过A点时重力的功率为
C．摩托车以 的速度通过C点时对铁笼的压力为
D．若摩托车以 的速度在水平面内运动，经过C点时角速度约为
【答案】ACD
【详解】A．摩托车以最小速度 通过圆形铁笼最高点A时，恰好重力提供向心力，则有
解得
故A正确；
B．摩托车以最小速度通过A点时，速度方向为水平方向，重力竖直向下，则此时重力的功率为0，故B错
误；
C．摩托车以 的速度通过C点时，由重力沿径向方向的分力 和支持力 的合力提供向心力，
如图所示：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】则有
根据几何关系可得
解得
，
由牛顿第三定律可知，摩托车以 的速度通过C点时对铁笼的压力 为 ，故C正确；
D．若摩托车以 的速度在水平面内运动，则做圆周运动的半径为
由线速度与角速度关系可得
故D正确。
故选ACD。
4．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校联考模拟预测）如图所示，倾角为 的斜面体固定在
水平地面上，在斜面上固定一个半圆管轨道AEB，圆管的内壁光滑、半径为r，其最低点A、最高点B的切
线水平，AB是半圆管轨道的直径，现让质量为m的小球（视为质点）从A点以一定的水平速度滑进圆管，
圆管的内径略大于小球的直径、重力加速度为g， 、 ，下列说法正确的是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．当小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则小球在B点的速度为
B．小球离开B点做平抛运动的时间为
C．若小球在B点的加速度大小为2g，则A点对小球沿斜面方向的弹力大小为
D．若小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则小球的落地点与P点间的距离为
【答案】BCD
【详解】A．小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则由重力沿斜面的分力提供向心力，则有
解得
A错误；
B．小球离开B点做平抛运动，竖直方向上有
解得
B正确；
D．若小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，根据上述有
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
小球的落地点与P点间的距离为
解得
D正确；
C．小球在B点的加速度大小为2g，则在B点有
小球由A运动到B过程有
小球在A点有
解得
C正确。
故选BCD。
考点02：绳球模型及其临界条件（2单选+2多选+1填空）
一、单选题
1．（2023·江苏苏州·江苏省木渎高级中学校联考三模）2022年3月23日，三位神舟十三号航天员翟志刚、
王亚平、叶光富相互配合完成“天宫课堂”第二次太空授课。如题图所示，授课中航天员叶光富手拉细线
不断加速让一个小瓶子在竖直平面内圆周运动，从而实现瓶内油水分层。如题图所示，若绳子长为l（瓶
子可视为质点），水的质量为m，则（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．油和水的向心加速度相等 B．油受到的向心力可能大于水
C．水受到瓶子的作用力为 D．瓶子在最高点的速度一定大于
【答案】B
【详解】A．油和水的角速度相同，根据公式
由于水和油的重心不同，所以圆周运动的半径不同，可知油和水的向心加速度不相等，故A错误；
B．根据向心力公式
若油的质量大于水的质量，则油受到的向心力可能大于水，故B正确；
C．由于不知道水的重心到圆心的距离，所以无法计算，故C错误；
D．由于瓶子的重心到圆心的距离不是l，所以无法计算和比较，故D错误。
故选B。
2．（2023·辽宁·校联考模拟预测）如图所示，一长为L的轻绳拉着质量为m的小球保持静止。现在给小球
一个水平初速度，使小球在竖直面内做完整的圆周运动，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正
确的是（ ）
A．小球在最高点的速度可以等于0
B．小球获得的初速度大小为
C．小球做圆周运动的过程中仅有一处合力指向圆心
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】D．小球过最低点与最高点时受到绳的拉力大小之差等于6mg
【答案】D
【详解】A．小球在竖直面内做完整的圆周运动，若小球恰好能通过最高点，则有重力提供向心力，可得
解得
可知小球能通过最高点的最小速度是 ，因此小球在最高点的速度不可以等于0，A错误；
B．若小球恰好能通过最高点，设小球获得的初速度大小为v＇，则在最低点时由动能定理，则有
解得
由以上计算可知， 是小球获得的初速度大小的最小值，有可能比这个速度要大，B错误；
C．小球在竖直面内做完整的变速圆周运动，由以上分析可知，小球在最高点和最低点处合力指向圆心，C
错误；
D．设小球在最高点时的速度为v，在最低点时的速度为 ，由动能定理可得
0
小球在最高点时，由牛顿第二定律可得
小球在最低点时，由牛顿第二定律可得
联立以上各式解得
D正确。
故选D。
二、多选题
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023·全国·模拟预测）如图所示，已知质量为m的小球恰好能在竖直平面内绕固定点O做圆周运动。
重力加速度为g，不考虑一切摩擦。小球做圆周运动过程中，下列判断正确的是（ ）
A．若小球和O点间用细线相连，则在最高点细线对小球的拉力为0
B．若小球和O点间用细线相连，则在最高点细线对小球的拉力为
C．若小球和O点间用轻杆相连，则在最高点轻杆对小球的支持力为0
D．若小球和O点间用轻杆相连，则在最高点轻杆对小球的支持力大小为
【答案】AD
【详解】AB．若小球和O点间用细线相连，由于小球恰好能在竖直平面内绕固定点O做圆周运动，此时小
球有最小速度，由重力提供向心力，可知，此时在最高点细线对小球的拉力为0，A正确，B错误；
CD．若小球和O点间用轻杆相连，由于小球恰好能在竖直平面内绕固定点O做圆周运动，此时小球恰好为
0，小球所需向心力为0，小球沿半径方向的合力为0，可知，此时在最高点轻杆对小球的支持力大小为
，C错误，D正确。
故选AD。
4．（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）一不可伸长的轻绳上端悬挂于 点，另一端系有质量为 的
小球，保持绳绷直将小球拉到绳与竖直方向夹角为 的 点由静止释放，运动到 点的正下方时绳断开，
小球做平抛运动，已知 点离地高度为 ，绳长为 ，重力加速度大小为 ，不计空气阻力，下列说法正
确的是（ ）
A．在绳断开前，小球受重力、绳的拉力和向心力作用
B．在绳断开前瞬间，小球处于失重状态
C．在绳断开前瞬间，小球所受绳子的拉力大小为
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】D．若夹角 不变，当 时，落点距起点的水平距离最远
【答案】CD
【详解】A．在绳断开前，小球在竖直平面内做圆周运动，小球只受重力和绳的拉力作用，故A错误；
B．在绳断开前瞬间，小球加速度方向竖直向上，处于超重状态，故B错误；
C．在绳断开前瞬间，设小球受绳子拉力为 ，根据牛顿第二定律可得
质量为 的小球由静止开始，运动到 点正下方过程中机械能守恒，则有
联立解得
故C正确；
D．绳断开后，小球做平抛运动，在水平方向上做匀速直线运动，则有
在竖直方向上做自由落体运动，则有
联立解得
根据基本不等式可知，当
即 时，落点距起点的水平距离最远，故D正确。
故选CD。
三、填空题
5．（2023·四川南充·统考三模）某同学探究小球在竖直面内做圆周运动时向心力随位置变化的规律，选用
光滑的圆轨道，如图甲，圆轨道半径 ，在轨道内侧距离最低点A高度H分别为0、h、 、 、
、 、 处固定有压力传感器，质量为m的小球从A点以速度 沿轨道内侧向右运动，记录小球在各
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】位置对轨道的压力F的数值，作出 图像如图乙。
（1）若小球在A点对轨道的压力大小为 ，则F与H的关系可表示为 （用m、g、R、
H、 表示）；
（2）取重力加速度 ，由图乙可得小球质量 ，小球经过最低点A时的初速度
。（ 的结果用根式表示）
【答案】 0.5
【详解】（1）[1]设在任意高H处小球的速度为 ，由动能定理有
设小球在H处和圆心O的连线与OA的夹角为 ，当 时，由牛顿运动定律有
在最低点有
可得
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时该式仍成立；
（2）[2]根据图像可得，在A点， ，在 处， ，图像斜率
可得
[3]在最低点有
解得
考点3：杆球模型及其临界条件（3单选+3多选）
一、单选题
1．（2023·北京·模拟预测）如图甲所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平
面内自由转动。现使小球在竖直平面内他圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球
的水平分速度v 随时间t的变化关系如图乙所示。不计空气阻力。下列说法中正确的是（ ）
x
A．t 时刻小球通过最高点，图乙中S 和S 的面积相等
1 1 2
B．t 时刻小球通过最高点，图乙中S 和S 的面积不相等
2 1 2
C．t 时刻，杆中弹力一定最小
1
D．在小球做一次完整圆周动的过程中，杆中弹力不可能两次为零
【答案】A
【详解】AB．过最高点后，水平分速度要增大，经过四分之一圆周后，水平分速度为零，可知从最高点开
始经过四分之一圆周，水平分速度先增大后减小，故通过题图可知，图像的t 是最高点，面积S 表示的是
1 1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】从最低点运动到水平直径最左端位置的过程中通过的水平位移，其大小等于轨道半径；S 表示的是从水平
2
直径最左端位置运动到最高点的过程中通过的水平位移，其大小也等于轨道半径，A正确、B错误；
CD．若存在某点高于圆心，低于最高点，巧好重力的分力提供匀速圆周运动的向心力，则杆中的弹力为零，
并存在关于过圆心竖直方向对称位置弹力也为零，故t 时刻，杆中弹力不一定最小；在小球做一次完整圆
1
周动的过程中，杆中弹力可能两次为零，CD错误。
故选A。
2．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）如图所示，轻杆的一端固定在O点，另一端固定一个
小球，小球随轻杆在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动。则（ ）
A．小球在运动过程中机械能守恒
B．小球在运动过程中加速度大小不变
C．小球运动到A点时，杆对小球作用力方向指向圆心
D．小球运动到C点时，杆对小球的作用力不可能为0
【答案】B
【详解】A．小球随轻杆在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，动能不变，重力势能变化，机械能不守恒，
故A错误；
B．设小球质量为m，杆长为L，速度为v由
解得
可知小球在运动过程中加速度大小不变，故B正确；
C．小球运动到A点时，小球受重力和杆的作用力，合力指向圆心，杆对小球作用力方向不可能指向圆心，
故C错误；
D．当小球的速度满足
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】即
杆对小球的作用力为0，故D错误。
故选B。
3．（2023·全国·模拟预测）如图所示，两个小球 、 通过一根刚性轻杆固定连接，沿半圆形凹槽下滑。
在两球滑动过程中.下列说法正确的是（ ）
A． 、 两球的角速度大小相等
B． 、 两球的线速度相同
C．球 的向心加速度大于球A的向心加速度
D． 、 两球所受向心力大小相等
【答案】A
【详解】A．将A与B的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向，如图所示
由几何关系可知，A与B的速度与杆的夹角均为 ，由于A与B沿杆方向的速度相同，则
则
由于A与B圆周运动半径相同，由于
则
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】故A正确；
B．A与B线速度大小相同，但方向不同，故B错误；
C．向心加速度大小为
由于线速度大小相等，则向心加速度大小相等，故C错误；
D．向心力为
向心加速度虽然相同，但A与B球的质量关系未知，则无法比较大小，故D错误。
故选A。
4．（2023·福建泉州·校考二模）如图所示，质量为 的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端做
圆周运动，当小球运动到最高点时，瞬时速度 ， 是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是
（ ）
A． 的拉力 B． 的压力
C． 的压力 D． 的拉力
【答案】A
【详解】在最高点，设杆对球的弹力向下，大小为F，根据牛顿第二定律得：mg+F=m ，又 ，
解得，F= mg＞0，说明假设正确，即可知道杆对球产生的是拉力，根据牛顿第三定律得知，球对杆的作
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】用力是 mg的拉力，方向向上．故选A．
【点睛】小球在最高点时，要注意绳子与杆的区别：绳子只能提供拉力；杆提供的了可能是拉力，也可能
是支持力．假设法是常用的解法．
二、多选题
5．（2023·北京海淀·统考一模）如图所示，轻杆的一端固定在通过 点的水平转轴上，另一端固定一小球，
轻杆绕 点在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，其中A点为最高点、 点为最低点， 点与 点
等高，下列说法正确的是（ ）
A．小球经过A点时，所受杆的作用力一定竖直向上
B．小球经过B点时，其加速度的方向沿着 方向
C．从 点到A点的过程，小球重力的功率保持不变
D．从 点到A点的过程，杆对小球的作用力做正功
【答案】BD
【详解】A．小球经过A点时，合外力提供向心力，当 此时小球经过A点速度
此时杆对小球无作用力。则当小球速度 时，则小球所受杆的作用力竖直向上；当小球速度 ，
时小球所受杆的作用力竖直向下，故A错误；
B．小球经过B点时，做匀速圆周运动，合外力提供向心力，则小球所受杆的作用力指向圆心，所以小球
经过B点时，其加速度的方向沿着 方向，故B正确；
C．A点和C点处重力与速度方向垂直，则小球重力的功率为0，B点处重力与速度共线，故重力功率不为
0，则从C点到A点的过程，小球重力的功率先增大再减小。故C错误；
D．从C到A的过程中，重力做负功，根据动能定理
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】故杆对小球的作用力做正功。故D正确。
故选BD。
6．（2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图所示，质量为4 ，半径为0.5m的光滑匀质细圆管用
轻杆固定在竖直平面内，小球A和B的直径略小于细圆管的内径，它们的质量均为2 。某时刻，小球
A，B分别位于细圆管最低点和最高点，则下列说法正确的是（ ）（取 ）
A．轻杆对细圆管的弹力与A、B两球的速度差成线性关系
B．轻杆对细圆管的弹力与A、B两球的速度平方差成线性关系
C．杆对细圆管弹力不可能为零
D．若A、B两球的速度大小为 、 ，此时杆的下端受到向上的压力
【答案】BD
【详解】AB．对小球A、B及细圆管整体进行受力分析，设杆对细圆环的弹力为 ，向上为正方向，则
故选项A错误，B正确；
C．由上述表达式可知，当满足 时，杆对细圆管弹力为零，选项C错误；
D．当 、 时，解得 ，故杆对细圆管的弹力向下，杆下端受压力向上，选项
D正确。
故选BD。
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点4：轨道与管道模型及其临界条件（3多选+2解答）
一、多选题
1．（2023·山东·模拟预测）如图所示，两个圆弧轨道竖直固定在水平地面上，半径均为R，a轨道由金属
凹槽制成，b轨道由金属圆管制成（圆管内径远小于R），均可视为光滑轨道。在两轨道右端的正上方分
别将金属小球A和B（直径略小于圆管内径）由静止释放，小球距离地面的高度分别用 和 表示，两小
球均可视为质点，下列说法中正确的是（ ）
A．若 ，两小球都能沿轨道运动到轨道最高点
B．若 ，两小球沿轨道上升的最大高度均为R
C．适当调整 和 ，均可使两小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处
D．若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出， 的最小值为 ，B小球在 的任何高度释放均可
【答案】BD
【详解】AD．B轨道是双轨模型，到达最高点的最小速度为零。即若 时，B球能沿轨道运动到最高
点；若A小球恰好运动到最高点，则有
解得
可知，若小球A能够到达最高点，需要
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】选项A错误，D正确；
B．若 ，根据机械能守恒定律可知，两小球沿轨道上升的最大高度均为R，不超过过圆心的水平
线，选项B正确；
C．B小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口，则有
对B球有
解得
对A球，从最高点射出时最小速度为 此时根据
解得
则无论如何调节h 都不可能使A小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处，选项C错误；
A
故选BD。
2．（2023·湖南·模拟预测）一半径为r的小球紧贴竖直放置的圆形管道内壁做圆周运动，如图甲所示。小
球运动到最高点时管壁对小球的作用力大小为 ，小球的速度大小为v，其 图像如图乙所示。已知
重力加速度为g，规定竖直向下为正方向，不计一切阻力。则下列说法正确的是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．小球的质量为
B．圆形管道内侧壁半径为
C．当 时，小球受到外侧壁竖直向上的作用力，大小为
D．小球在最低点的最小速度为
【答案】AB
【详解】A．规定竖直向下为正方向，设圆形管道内侧壁半径为R，小球受到圆形管道的作用力大小为 ，
在最高点，由牛顿第二定律，当 时
当 时，由重力提供向心力有
解得
当 时，由牛顿第二定律有
解得
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，由牛顿第二定律有
解得
故
故小球的质量为 或 ，故A正确；
B．当 时
解得圆形管内侧壁半径
故B正确；
C．当 时，小球受到外侧壁竖直向下的作用力，由牛顿第二定律有
解得
故C错误；
D．根据能量守恒定律，当小球在最高点具有最小速度（为零）时，其在最低点的速度最小，即
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】故D错误。
故选AB。
3．（2023·安徽·校联考三模）如图所示，地面上竖直放置一质量为M，半径为R的内壁光滑细圆形管道，
质量为m的小球在管道中，小球可视为质点，圆形管道与左边墙壁的距离为 ，小球与环形管道
由静止向左平动做匀加速运动，运动过程中，小球与环形管道始终相对静止，过小球的半径与水平方向的
夹角为 ，管道与墙壁碰撞后立即静止，重力加速度为g，则（ ）
A．小球与环形管道匀加速运动的加速度为
B．小球与环形管道运动到墙壁处的速度为
C．小球运动到环形管道圆心等高处时对环形管道的压力为
D．小球恰能通过环形管道的最高点
【答案】BCD
【详解】A．小球与环形管道一起做匀加速运动，对小球由牛顿第二定律则有
解得
故A错误；
B．由 ，可得
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】故B正确；
C．环形管道与墙壁碰撞后瞬间小球速度突变为沿管道切线方向为
由机械能守恒有
在与环形管道圆心等高处，环形管道对小球的弹力为
由牛顿第三定律可知，此时小球对环形管道的压力为 ，故C正确；
D．当小球的速度变为0时有
即
即小球恰能到达最高点，故D正确。
故选BCD。
二、解答题
4．（2023·贵州毕节·统考三模）如图，在竖直平面内，固定有半径 和半径 的光滑圆形轨
道，他们轨道弧长分别占圆周的 和 ，圆轨道与水平轨道分别相切于B点和D点，且平滑连接。某时刻，
让质量为 ，不带电的绝缘小滑块P从A点静止释放，经圆轨道滑至B点，从B点进入水平轨道，
与静止在C点的小滑块Q发生弹性碰撞，滑块Q的质量为 ，电量为 。整个过程中滑块Q
的电荷量始终保持不变，滑块P、Q均可视为质点，与水平轨道间的动摩擦因数均为 ，BC间距
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】，CD间距 。滑块Q从C点到D运动的过程中，存在垂直轨道平面向里磁感应强度
的匀强磁场；滑块Q从D点进入光滑轨道时，磁场消失，同时加入水平向右范围足够大的匀强电
场，场强大小 。已知重力加速度 。求：
（1）小滑块P刚到 光滑圆轨道最低点B时对圆轨道的压力；
（2）小滑块P与小滑块Q碰撞后Q的速度大小为多少？
（3）判断当Q进入光滑绝缘半圆轨道后是否会脱离轨道。若不会，则求经过N点的速度；若会，试求Q
离开半圆轨道时的速度大小为多少？（计算结果可用根式表示）
【答案】（1）3N；（2）4m/s；（3）会， m/s
【详解】（1）P从A到B，由动能定理得
代入数据得
在B点，由牛顿第二定律得
由牛顿第三定律得
（2）P从B到C，由动能定理得
在C点P与Q发生弹性碰撞，由动量守恒定律和机械能守恒定律得
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】代入数据得
，
（3）碰后Q从C到D，在磁场中有
，
故Q做匀速运动，Q从D点进入圆轨道，在电场中，其等效重力为
由几何关系得
解得
假设Q能通过等效最高点，由动能定理得
代入数据得 ，故会脱离圆轨道，在脱离圆轨道处，弹力为零，等效重力沿半径方向的分力提
供向心力得
由动能定理得
代入数据得
5．（2023·河北·校联考三模）如图所示，半径为R的光滑圆轨道固定在竖直平面内，一小球（可看成质
点）静止在轨道的最低点，现使小球在最低点获得 的水平初速度，重力加速度为g，在此后的运
动过程中，求：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）小球刚要脱离圆轨道时，小球与轨道圆心的连线与竖直向上方向夹角的余弦值；
（2）小球第一次运动到最高点时与轨道圆心的高度差。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）小球刚要脱离圆轨道时，小球与轨道圆心的连线与竖直方向夹角为 ，此时小球的速度大小
为 ，此时对小球
对小球由动能定理可得
解得
（2）小球到达最高点的速度大小为
对小球由动能定理可得
解得
小球第一次运动到最高点时与轨道圆心的高度差为
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