文档内容
考点巩固卷 22 绳球、杆球、轨道、管道、拱桥与凹桥模型
（竖直平面内的圆周运动）
建议用时：50分钟
考点序号 考点 题型分布
考点1 拱桥与凹桥模型及其临界条件 4多选
考点2 绳球模型及其临界条件 2单选+2多选+1填空
考点3 杆球模型及其临界条件 4单选+2多选
考点4 轨道与管道模型及其临界条件 3多选+2解答
考点01：拱桥与凹桥模型及其临界条件（4多选）
一、多选题
1．（2023·广东·统考高考真题）人们用滑道从高处向低处运送货物．如图所示，可看作质点的货物从 圆
弧滑道顶端 点静止释放，沿滑道运动到圆弧末端 点时速度大小为 。已知货物质量为 ，滑道高
度 为 ，且过 点的切线水平，重力加速度取 。关于货物从 点运动到 点的过程，下列说法正
确的有（ ）
A．重力做的功为 B．克服阻力做的功为
C．经过 点时向心加速度大小为 D．经过 点时对轨道的压力大小为
2．（2023·湖南·统考高考真题）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，
两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C、A与C的高度差等于圆弧轨道的
直径2R。小球从A点以初速度v 冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（ ）
0
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球从A到C的过程中，重力的功率始终保持不变
C．小球的初速度
D．若小球初速度v 增大，小球有可能从B点脱离轨道
0
3．（2023·河北邯郸·统考三模）有一种特技表演叫铁笼飞车，如图所示，几辆摩托车在圆球形铁笼中旋转
飞驰，场面惊心动魄。假设固定在地面上的铁笼的半径为6.4m，摩托车（含演员及装备，可视为质点）的
质量为200kg，A、B两点分别为铁笼的最高点和最低点，C点与B点的高度差为1.28m，某次表演中一辆
摩托车正在竖直面内做圆周运动（ ），以下说法正确的是（ ）
A．摩托车安全通过圆形铁笼A点时最小速度为
B．摩托车以最小速度通过A点时重力的功率为
C．摩托车以 的速度通过C点时对铁笼的压力为
D．若摩托车以 的速度在水平面内运动，经过C点时角速度约为
4．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校联考模拟预测）如图所示，倾角为 的斜面体固定在
水平地面上，在斜面上固定一个半圆管轨道AEB，圆管的内壁光滑、半径为r，其最低点A、最高点B的切
线水平，AB是半圆管轨道的直径，现让质量为m的小球（视为质点）从A点以一定的水平速度滑进圆管，
圆管的内径略大于小球的直径、重力加速度为g， 、 ，下列说法正确的是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．当小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则小球在B点的速度为
B．小球离开B点做平抛运动的时间为
C．若小球在B点的加速度大小为2g，则A点对小球沿斜面方向的弹力大小为
D．若小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则小球的落地点与P点间的距离为
考点02：绳球模型及其临界条件（2单选+2多选+1填空）
一、单选题
1．（2023·江苏苏州·江苏省木渎高级中学校联考三模）2022年3月23日，三位神舟十三号航天员翟志刚、
王亚平、叶光富相互配合完成“天宫课堂”第二次太空授课。如题图所示，授课中航天员叶光富手拉细线
不断加速让一个小瓶子在竖直平面内圆周运动，从而实现瓶内油水分层。如题图所示，若绳子长为l（瓶
子可视为质点），水的质量为m，则（ ）
A．油和水的向心加速度相等 B．油受到的向心力可能大于水
C．水受到瓶子的作用力为 D．瓶子在最高点的速度一定大于
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023·辽宁·校联考模拟预测）如图所示，一长为L的轻绳拉着质量为m的小球保持静止。现在给小球
一个水平初速度，使小球在竖直面内做完整的圆周运动，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正
确的是（ ）
A．小球在最高点的速度可以等于0
B．小球获得的初速度大小为
C．小球做圆周运动的过程中仅有一处合力指向圆心
D．小球过最低点与最高点时受到绳的拉力大小之差等于6mg
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）如图所示，已知质量为m的小球恰好能在竖直平面内绕固定点O做圆周运动。
重力加速度为g，不考虑一切摩擦。小球做圆周运动过程中，下列判断正确的是（ ）
A．若小球和O点间用细线相连，则在最高点细线对小球的拉力为0
B．若小球和O点间用细线相连，则在最高点细线对小球的拉力为
C．若小球和O点间用轻杆相连，则在最高点轻杆对小球的支持力为0
D．若小球和O点间用轻杆相连，则在最高点轻杆对小球的支持力大小为
4．（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）一不可伸长的轻绳上端悬挂于 点，另一端系有质量为 的
小球，保持绳绷直将小球拉到绳与竖直方向夹角为 的 点由静止释放，运动到 点的正下方时绳断开，
小球做平抛运动，已知 点离地高度为 ，绳长为 ，重力加速度大小为 ，不计空气阻力，下列说法正
确的是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．在绳断开前，小球受重力、绳的拉力和向心力作用
B．在绳断开前瞬间，小球处于失重状态
C．在绳断开前瞬间，小球所受绳子的拉力大小为
D．若夹角 不变，当 时，落点距起点的水平距离最远
三、填空题
5．（2023·四川南充·统考三模）某同学探究小球在竖直面内做圆周运动时向心力随位置变化的规律，选用
光滑的圆轨道，如图甲，圆轨道半径 ，在轨道内侧距离最低点A高度H分别为0、h、 、 、
、 、 处固定有压力传感器，质量为m的小球从A点以速度 沿轨道内侧向右运动，记录小球在各
位置对轨道的压力F的数值，作出 图像如图乙。
（1）若小球在A点对轨道的压力大小为 ，则F与H的关系可表示为 （用m、g、R、
H、 表示）；
（2）取重力加速度 ，由图乙可得小球质量 ，小球经过最低点A时的初速度
。（ 的结果用根式表示）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点3：杆球模型及其临界条件（3单选+3多选）
一、单选题
1．（2023·北京·模拟预测）如图甲所示，轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，可在竖直平
面内自由转动。现使小球在竖直平面内他圆周运动，到达某一位置开始计时，取水平向右为正方向，小球
的水平分速度v 随时间t的变化关系如图乙所示。不计空气阻力。下列说法中正确的是（ ）
x
A．t 时刻小球通过最高点，图乙中S 和S 的面积相等
1 1 2
B．t 时刻小球通过最高点，图乙中S 和S 的面积不相等
2 1 2
C．t 时刻，杆中弹力一定最小
1
D．在小球做一次完整圆周动的过程中，杆中弹力不可能两次为零
2．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）如图所示，轻杆的一端固定在O点，另一端固定一个
小球，小球随轻杆在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动。则（ ）
A．小球在运动过程中机械能守恒
B．小球在运动过程中加速度大小不变
C．小球运动到A点时，杆对小球作用力方向指向圆心
D．小球运动到C点时，杆对小球的作用力不可能为0
3．（2023·全国·模拟预测）如图所示，两个小球 、 通过一根刚性轻杆固定连接，沿半圆形凹槽下滑。
在两球滑动过程中.下列说法正确的是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． 、 两球的角速度大小相等
B． 、 两球的线速度相同
C．球 的向心加速度大于球A的向心加速度
D． 、 两球所受向心力大小相等
4．（2023·福建泉州·校考二模）如图所示，质量为 的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端做
圆周运动，当小球运动到最高点时，瞬时速度 ， 是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是
（ ）
A． 的拉力 B． 的压力
C． 的压力 D． 的拉力
二、多选题
5．（2023·北京海淀·统考一模）如图所示，轻杆的一端固定在通过 点的水平转轴上，另一端固定一小球，
轻杆绕 点在竖直平面内沿顺时针方向做匀速圆周运动，其中A点为最高点、 点为最低点， 点与 点
等高，下列说法正确的是（ ）
A．小球经过A点时，所受杆的作用力一定竖直向上
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】B．小球经过B点时，其加速度的方向沿着 方向
C．从 点到A点的过程，小球重力的功率保持不变
D．从 点到A点的过程，杆对小球的作用力做正功
6．（2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图所示，质量为4 ，半径为0.5m的光滑匀质细圆管用
轻杆固定在竖直平面内，小球A和B的直径略小于细圆管的内径，它们的质量均为2 。某时刻，小球
A，B分别位于细圆管最低点和最高点，则下列说法正确的是（ ）（取 ）
A．轻杆对细圆管的弹力与A、B两球的速度差成线性关系
B．轻杆对细圆管的弹力与A、B两球的速度平方差成线性关系
C．杆对细圆管弹力不可能为零
D．若A、B两球的速度大小为 、 ，此时杆的下端受到向上的压力
考点4：轨道与管道模型及其临界条件（3多选+2解答）
一、多选题
1．（2023·山东·模拟预测）如图所示，两个圆弧轨道竖直固定在水平地面上，半径均为R，a轨道由金属
凹槽制成，b轨道由金属圆管制成（圆管内径远小于R），均可视为光滑轨道。在两轨道右端的正上方分
别将金属小球A和B（直径略小于圆管内径）由静止释放，小球距离地面的高度分别用 和 表示，两小
球均可视为质点，下列说法中正确的是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．若 ，两小球都能沿轨道运动到轨道最高点
B．若 ，两小球沿轨道上升的最大高度均为R
C．适当调整 和 ，均可使两小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处
D．若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出， 的最小值为 ，B小球在 的任何高度释放均可
2．（2023·湖南·模拟预测）一半径为r的小球紧贴竖直放置的圆形管道内壁做圆周运动，如图甲所示。小
球运动到最高点时管壁对小球的作用力大小为 ，小球的速度大小为v，其 图像如图乙所示。已知
重力加速度为g，规定竖直向下为正方向，不计一切阻力。则下列说法正确的是（ ）
A．小球的质量为
B．圆形管道内侧壁半径为
C．当 时，小球受到外侧壁竖直向上的作用力，大小为
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】D．小球在最低点的最小速度为
3．（2023·安徽·校联考三模）如图所示，地面上竖直放置一质量为M，半径为R的内壁光滑细圆形管道，
质量为m的小球在管道中，小球可视为质点，圆形管道与左边墙壁的距离为 ，小球与环形管道
由静止向左平动做匀加速运动，运动过程中，小球与环形管道始终相对静止，过小球的半径与水平方向的
夹角为 ，管道与墙壁碰撞后立即静止，重力加速度为g，则（ ）
A．小球与环形管道匀加速运动的加速度为
B．小球与环形管道运动到墙壁处的速度为
C．小球运动到环形管道圆心等高处时对环形管道的压力为
D．小球恰能通过环形管道的最高点
二、解答题
4．（2023·贵州毕节·统考三模）如图，在竖直平面内，固定有半径 和半径 的光滑圆形轨
道，他们轨道弧长分别占圆周的 和 ，圆轨道与水平轨道分别相切于B点和D点，且平滑连接。某时刻，
让质量为 ，不带电的绝缘小滑块P从A点静止释放，经圆轨道滑至B点，从B点进入水平轨道，
与静止在C点的小滑块Q发生弹性碰撞，滑块Q的质量为 ，电量为 。整个过程中滑块Q
的电荷量始终保持不变，滑块P、Q均可视为质点，与水平轨道间的动摩擦因数均为 ，BC间距
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】，CD间距 。滑块Q从C点到D运动的过程中，存在垂直轨道平面向里磁感应强度
的匀强磁场；滑块Q从D点进入光滑轨道时，磁场消失，同时加入水平向右范围足够大的匀强电
场，场强大小 。已知重力加速度 。求：
（1）小滑块P刚到 光滑圆轨道最低点B时对圆轨道的压力；
（2）小滑块P与小滑块Q碰撞后Q的速度大小为多少？
（3）判断当Q进入光滑绝缘半圆轨道后是否会脱离轨道。若不会，则求经过N点的速度；若会，试求Q
离开半圆轨道时的速度大小为多少？（计算结果可用根式表示）
5．（2023·河北·校联考三模）如图所示，半径为R的光滑圆轨道固定在竖直平面内，一小球（可看成质
点）静止在轨道的最低点，现使小球在最低点获得 的水平初速度，重力加速度为g，在此后的运
动过程中，求：
（1）小球刚要脱离圆轨道时，小球与轨道圆心的连线与竖直向上方向夹角的余弦值；
（2）小球第一次运动到最高点时与轨道圆心的高度差。
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】
