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秘籍 05 圆周运动（水平面内、转盘模型、绳球模型、
杆球模型等）中的临界问题
动力学公式：F＝ma＝m＝mω2R＝mωv＝mR＝m4π2f2R.
一、水平面内圆周运动的临界问题
1. 物体间恰好不发生相对滑动 的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。
如果只是摩擦力提供向心力，则有F＝m，静摩擦力的方向一定指向圆心；
汽车转弯时，只由摩擦力提供向心力F ＝m
fm
2. 水平转盘上运动物体模型
（1）如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到
最大静摩擦力，则最大静摩擦力F ＝，方向指向圆心。
m
（2）如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其临界情
况要根据题设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接
触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。二、竖直面内圆周运动的临界问题
1. 轻绳模型（轨道模型）：
轻绳（或内轨道）——小球组成无支撑的物理模型（称为“轻绳模型”）
（注：“轻绳”只能对小球产生拉力，不能产生支持力。（内轨道约束类似））
（1）实例：
球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等。
（2）临界条件：
小球能到达最高点（刚好做圆周运动）的条件是：小球的重力恰好提供向心力（绳子的拉力
或轨道的弹力都恰好为零），即 ，这时的速度是做圆周运动的最小速度
（3）推导过程
N=0时临界情况水恰好不掉出， 临界速度
（4）弹力随速度大小的变化
不能过最高点的条件： ，
能过最高点的条件： ，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力
2. 轻杆模型（管道模型）：
轻杆（或管道）——小球组成有支撑的物理模型（称为“轻杆模型”）（注：“轻杆”既能对小球产生拉力，也能产生支持力。（管道约束类似））
（1）临界条件：
当V=0时，F =mg（F 为硬杆或管壁对小球的支持力）
N N
（2）推导过程：
球过最高点时，设轻杆对小球产生的弹力FN方向向上，由牛顿第二定律得：
（3）弹力随速度大小的变化
当 ，弹力F 表现为支持力，方向竖直向上
N
当 ，没有弹力F =0作用
N
当 ，弹力F 表现为拉力，方向竖直向下
N
3．两类模型对比
轻绳模型(最高点无支撑) 轻杆模型(最高点有支撑)
球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的
实例 球与杆连接、球在光滑管道中运动等
“过山车”等
图示
受力
示意
图
F 弹 向下或等于零 F 向下、等于零或向上
弹
力学
mg＋F ＝m mg±F ＝m
弹 弹
方程
F ＝0 v＝0
弹
临界
mg＝m 即F ＝0
向
特征
即v ＝ F ＝mg
min 弹
(1)最高点，若v≥，F 弹 ＋mg＝m，绳或轨 (1)当v＝0时，F 弹 ＝mg，F 弹 背离圆心
讨论
分析 道对球产生弹力F 弹 (2)当 0时，mg＋F ＝m，F 指向圆心并随
弹 弹
v的增大而增大
三、生活中的圆周运动
1．拱形桥和凹形桥模型特点
如图所示为凹形桥模型．当汽车通过凹形桥的最低点时，
概述
向心力F ＝F －mg＝m
向 N
规律 桥对车的支持力F ＝mg＋m＞mg，汽车处于超重状态
N
如图所示为拱形桥模型．当汽车通过拱形桥的最高点时，
概述
向心力F ＝mg－F ＝m
向 N
桥对车的支持力F ＝mg－m＜mg，汽车处于失重状态．
N
规律
若v＝，则F ＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动
N
2．水平路面车辆转弯模型
模型名称 模型分析
自行车、汽车等车辆在水平路面上转弯时，重力与支持力
平衡，转弯所需的向心力只能由地面对车辆的侧向静摩擦
力来提供 ,可知最大安全转弯速度
水平路面车辆转弯模型
。
3．火车转弯模型
模型名称 模型分析
①火车在倾斜轨道上转弯，若以设计时速v 转弯，重力
0
与铁轨支持力恰好提供所需向心力，如图所示，可得：
≪
,得 。因为h L,θ角很
火车转弯模型 小，所以 ,则 ;若火车经过弯道时的速度 ,外轨将受到挤压；若火车经过弯道
时的速度 ,内轨将受到挤压。
【题型一】水平面内的圆周运动
【典例1】（2024·吉林·三模）一质量为 且质量均匀分布的细圆环放置在光滑水平面上，其
半径为 ，过圆心的几何轴与水平面垂直，若圆环能经受的最大张力为 ，估算此圆环可以绕
几何轴旋转的最大角速度约为（当 角很小时， ）（ ）
A． B． C． D．
【典例2】如图所示，完全相同的两车在水平面同心圆弧道路上转弯，甲行驶在内侧、乙行
驶在外侧，它们转弯时速度大小相等，则两车在转弯时，下列说法正确的是（ ）
A．角速度
B．向心加速度a >a
甲 乙
C．地面对车的径向摩擦力f ＜f
甲 乙
D．若两车转弯速度过大，则乙车更容易发生侧滑
【典例3】（2024·贵州贵阳·一模）如图所示，质量均为m的甲、乙、丙三个小物块（均可看
作质点）随水平转盘一起以角速度 绕OO'轴做匀速圆周运动，物块甲叠放在物块乙的上面，所有接触面间的动摩擦因数均为 。已知甲、乙到转轴的距离为r ，丙到转轴的距离为
1
r ，且r >r 。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
2 2 1
A．甲受到的摩擦力一定为
B．乙受到转盘的摩擦力一定为：
C．若角速度增大，丙先达到滑动的临界点
D．若角速度增大，甲先达到滑动的临界点
1．（2024·全国·模拟预测）如图所示，小物块A、B、C与水平转台相对静止，B、C间通过
原长为1.5r、劲度系数 的轻弹簧连接，已知A、B、C的质量均为m，A与B之间的
动摩擦因数为2μ，B、C与转台间的动摩擦因数均为μ，A和B、C离转台中心的距离分别为
r、1.5r，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是（ ）
A．逐渐增大转台角速度，B先相对于转台滑动
B．当B与转台间摩擦力为零时，C受到的摩擦力方向沿半径背离转台中心
C．当B与转台间摩擦力为零时，A受到的摩擦力为
D．当A、B及C均相对转台静止时，允许的最大角速度为
2．（2024·河南·模拟预测）下图为游戏中小球转向器的横截面，转向器由两段光滑细圆弧形
轨道Ⅰ、Ⅱ连接而成，半径分别为 和 ，连接部分平滑，两轨道内径均远小于 ，且
两轨道所在平面为水平面。质量为 的小球从 点以速率 射入，自 点离开轨道。
已知小球直径略小于轨道内径，重力加速度为 。则小球在Ⅰ、Ⅱ轨道中运动时对轨道压力
之比为（ ）A． B． C． D．
3．水平面上放置质量为M的物块，通过光滑的定滑轮用一根轻绳与质量为m的小球连接，
滑轮到小球的距离为L，现使小球在水平面内做匀速圆周运动。要使物块保持静止，细绳与
竖直方向的最大夹角为 已知物块与水平面间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等，物块和水
平面间的动摩擦因数 。重力加速度为g，不计定滑轮和小球的大小，物块M始终保持静
止，则（ ）
A．小球运动的最大周期为
B．小球运动的最大线速度大小为
C．组绳的最大拉力为
D．滑块的质量可能小于小球的质量
【题型二】 竖直平面内的圆周运动
【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在转轴O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平
面内做半径为R的圆周运动，小球在最高点受到杆的弹力大小为F，速度大小为v，其
图象如乙图所示，则（ ）A． 时，杆对小球的弹力方向向上
B．当地的重力加速度大小为
C．小球的质量为
D． 时，小球受到的弹力与重力大小不相等
【典例2】（2024·河北沧州·一模）如图所示，竖直平面内半径为R的光滑半圆轨道和倾角为
的光滑斜面在半圆轨道最低点A用极小一段光滑圆弧平滑连接，两轨道均被固定，半圆轨
道的最高点为M。一个质量为m的小球（可视为质点）从A点以某一水平向左的初速度进入
半圆轨道，然后落在斜面上的N点（图中未画出），不计空气阻力，重力加速度大小为g，
下列说法正确的是（ ）
A．若小球恰好能通过M点，则M、N两点间的高度差为
B．若小球的初速度合适，则小球从M点离开落到斜面上时速度可以垂直于斜面
C．若小球的初速度合适，则小球从M点离开落到斜面上时位移可以垂直于斜面
D．若N点与半圆轨道的圆心等高，则小球通过M点时，半圆轨道对小球的支持力为
【典例3】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图所示，长为0.1m的轻杆一端固定一小球质量为
0.1kg的小球，小球绕圆心O在竖直面内做圆周运动。P是圆周上的最高点，重力加速度
，下面说法正确的时（ ）A．当小球运动到与O相平的水平位置时，杆对小球作用力为零
B．若小球经过P点时速度为1m/s，杆对小球作用力为零
C．若小球经过P点时杆对小球作用力等于0.36N，小球的速度一定等于0.8m/s
D．若小球经过Q点时杆对小球作用力等于5N，小球速度一定等于2m/s
1．滚筒洗衣机静止于水平地面上，已脱净水的衣物随滚筒一起在竖直平面内做匀速圆周运
动，滚筒截面如图所示。若质量为m的衣物在最高点A对滚筒恰好无作用力，重力加速度大
小为g，则衣物在最低点B对滚筒的压力大小为（ ）
A．mg B．2mg C．3mg D．4mg
2．（2024·安徽安庆·一模）如图所示，轻质细杆的一端与小球相连，可绕过O的水平轴自由
转动，细杆长1m，小球质量为1kg。现使小球在竖直平面内做圆周运动，小球通过轨道最低
点A的速度为 ，通过轨道最高点B的速度为 ，取 ，则小球通过最低
点和最高点时，细杆对小球的作用力小球可视为质点（ ）
A．在A处为拉力，方向竖直向上，大小为
B．在A处为推力，方向竖直向下，大小为C．在B处为推力，方向竖直向上，大小为
D．在B处为拉力，方向竖直向下，大小为
3．（2024·河南·模拟预测）游客在动物园里常看到猴子荡秋千，其运动可以简化为如图所示
的模型，猴子需要借助悬挂在高处的秋千绳飞跃到对面的滑板上。现有一质量 的猴子
在竖直平面内绕圆心O做圆周运动，当猴子运动到O点的正下方时松手，做平抛运动，恰好
飞到水平距离。 的对面的滑板上，O点离平台高度也为H，平台与滑板等高，猴子与
O点之间的绳长 ，重力加速度 ，不考虑空气阻力，猴子可视为质点，求：
（1）猴子落到滑板上时的速度大小；
（2）猴子运动到O点正下方时秋千绳对猴子拉力的大小。
【题型三】 生活中的圆周运动
【典例1】（2024·四川甘孜·一模）有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（ ）
A．如图a，汽车通过拱桥的最高点时对桥的压力等于桥对车的支持力
B．如图b所示是一圆锥摆，增大 ，但保持圆锥的高不变，则圆锥摆的角速度减小
C．如图c，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置先后做匀速圆周运动，小球在
A处受到的支持力大于B处受到的支持力
D．如图d，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对内轮缘会有挤压作用
【典例2】（2024·浙江温州·二模）如图甲所示，一艘正在进行顺时针急转弯训练的航母，运
动轨迹可视作半径为R的水平圆周。航母在圆周运动中，船身发生了向外侧倾斜，且甲板法
线与竖直方向夹角为 ，船体后视简图如图乙所示。一质量为m的小物块放在甲板上，与甲
板始终保持相对静止，两者之间的动摩擦因数为 。假设航母的运动半径R、夹角
不随航速改变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（ ）A．航母对小物块的支持力 B．小物块可能只受重力、支持力两个力作用
C．航母的航速越大，则小物块受到的摩擦力越大 D．航母的最大航速
【典例3】（2024·福建·一模）市面上有一种自动计数的智能呼拉圈。如图甲，腰带外侧带有
轨道，将带有滑轮的短杆穿过轨道，短杆的另一端悬挂一根带有配重的细绳，其模型简化如
图乙所示。将腰带水平套在腰上，通过人体微小扭动，使配重在水平面内做匀速圆周运动，
此时绳子与竖直方向夹角为 。配重运动过程中认为腰带没有变形，下列说法正确的是（
）
A．若增大转速，绳子的拉力变小
B．若增大转速，腰受到腰带的弹力变大
C．若减小转速，腰受到腰带的摩擦力不变
D．若只增加配重，保持转速不变，则绳子与竖直方向夹角θ变小
1．如图所示，下列有关生活中的圆周运动实例分析，其中说法正确的是（ ）
A． 汽车通过凹形桥的最低点时，汽车处于失重状态B． 在铁路的转弯处，通常要求外轨比内轨高，目的是利用轮缘与
外轨的侧压力助火车转弯
C． 杂技演员在表演“水流星”节目时，盛水的杯子通过最高点而水不流
出，水对杯底压力可以为零
D． 脱水桶的脱水原理是水滴受到的离心力大于它受到的向心力，从而沿切
线方向甩出
2．（2024·黑龙江·二模）如图甲所示，汽车的后备箱里水平放着一个内装圆柱形工件的木
箱，工件截面和车的行驶方向垂直，当汽车以恒定速率通过如图乙所示的三个半径依次变小
的水平圆弧形弯道ABC时，木箱及箱内工件均保持相对静止。从汽车行驶方向上看，下列说
法正确的是（ ）
A．Q和M对P的支持力大小始终相等
B．汽车过A点时，汽车重心的角速度最小
C．汽车过A、B、C三点时工件P受到的合外力大小相等
D．汽车过A、C两点时，M对P的支持力小于Q对P的支持力
3．（2024·浙江·二模）一种离心测速器的简化工作原理如图所示。光滑细杆的一端固定在竖
直转轴 上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另
一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动
的角速度。杆与竖直转轴的夹角 始终为60°，则（ ）A．角速度越大，圆环受到的杆的支持力越大
B．角速度越大，圆环受到的弹簧弹力越大
C．弹簧处于原长状态时，圆环的向心加速度为
D．突然停止转动后，圆环下滑过程中重力势能和弹簧弹性势能之和一直减小
