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第 2 讲 一元函数的导数及其应用（二）
本讲为重要知识点，也是导数中的难点。主要以切线的题型进行总结，也包含了一些隐零点的思想和
极值点偏移的思想解决相关的切线的问题。还是要注意函数的思想和导数的几何意义来理解这类题的
核心思想。
考点一 由导数的几何意义求基础切线问题
导数的几何意义
函数f(x)在点x 处的导数f′(x)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x ，f(x))处的切线的斜率．相应地
0 0 0 0
切线方程为y－f(x)＝f′(x)(x－x)．
0 0 0
给切点求切线
以曲线上的点(x0，f(x0))（已知x0为具体值）为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
有切线无切点求切点
以曲线上的点(x0，f(x0))（x0为未知值，可以设出来）为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
无切点求参
规律同上，注意待定系数法的应用。
无切点多参
思维同上，依旧是设切点，待定系数求解方程（组）。
考点二 复杂切线问题
“过点”型切线
以上是“在点”与“过点”的区别，判断切线条数
1.设点列方程过程同前（求切线过程）
2.切线条数判断，实质是切点横坐标为变量的函数（方程）零点个数判断
多函数（多曲线）的公切线
1.两个曲线有公切线，且切点是同一点
2.两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。
考点三 切线的应用
切线的应用：距离最值
主要思维：利用平移直线，直到与该函数切线重合。
切线的应用：距离公式转化型
1.距离公式形式：平方和
2.以此还可以类比斜率公式形式
切线的应用：恒成立求参等应用
利用切线作为“临界线”放缩。这类思维，有时也应用于大题的不等式证明，称之为“切线放缩”。
切线的应用：零点等
对于函数与直线交点个数，可以借助于切线（临界线）来求解，但是一定要注意函数一般情况下，是比较
简单的凸凹函数。如下图（示意图），可以讲清楚这里边的“非充要”性
高频考点一 由导数的几何意义求基础切线问题
例1、已知函数 ，则曲线 在点 处的切线的方程为__________.【答案】
【解析】
因为 ，所以 ，
则所求切线的方程为 .故答案为： .
【变式训练】
1、曲线 在点 处的切线方程为______.
【答案】
【解析】
解：由 ，得 ，
所以在点 处的切线的斜率为 ，
所以所求的切线方程为 ，即 ，
故答案为： ，
例2、曲线 在 处的切线平行于直线 ，则 点的坐标为（ ）
A． B． C． 和 D． 和
【答案】C
【详解】令 ，解得 ， ，故 点的坐标为 ，
故选C.
【变式训练】
2、已知函数 为偶函数，若曲线 的一条切线与直线 垂直，则切点的横
坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 为偶函数，则 ，， 设切点得横坐标为 ，则 解得 ，
（负值舍去）所以 .故选：D
例3、已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 的取值是（ ）
A．-1 B． C．1 D．
【答案】B
【详解】 ， ，直线 ， ，
故 ，解得 .故选： .
【变式训练】
3、若曲线 的一条切线是直线 ，则实数b的值为___________
【答案】
【解析】
设切点为 ，对函数 求导，得到 ，
又曲线 的一条切线是直线 ，
所以切线斜率为 ，∴ ，
因此 ，即切点为 ，代入切线 ，可得 .
故答案为： .
例4、若直线 是曲线 的切线，且 ，则实数b的最小值是______.
【答案】
【解析】
的导数为 ，由于直线 是曲线 的切线，设切点为 ，则
，
∴ ，又 ，∴ （ ）， ，当 时， ，函数b递增，当 时， ，函数b递减，
∴ 为极小值点，也为最小值点，∴b的最小值为 .
故答案为： ．
【变式训练】
4、已知函数f（x）=axlnx﹣bx（a，b∈R）在点（e，f（e））处的切线方程为y=3x﹣e，则a+b=_____.
【答案】0
【详解】∵在点 处的切线方程为 ， ，代入 得
①.
又 ②.
联立①②解得： . .故答案为：0.
高频考点二 复杂切线问题
例1、过原点作曲线 的切线，则切点的坐标为___________，切线的斜率为__________.
【答案】
解：设切点坐标为 ； ；故由题意得， ；解得， ；故切点坐标为 ；切线的斜
率为 ；
故切线方程为 ，整理得 ．故答案为： ； .
【变式训练】
1、过点 与曲线 相切的直线方程为______________.
【答案】 .
【详解】设切点坐标为 ，由 得 ， 切线方程为
，切线过点 ， ，即 ， ，
即所求切线方程为 .故答案为： .
例2、已知曲线 ，则过点 可向 引切线，其切线条数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
设在曲线 上的切点为 ， ，则 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，
将点 的坐标代入切线方程得 ，即 ，
解得 ， ， .
因此，过点 可向 引切线，有三条.故选：C.
【变式训练】
2、已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞） B．（0，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）
【答案】A
【详解】设切点为 ， ， ，则切线方程为：
，切线过点 代入得：
，即方程 有两个解，则有 或 .故答案为:A.
例3、直线 与曲线 相切也与曲线 相切，则称直线 为曲线 和
曲线 的公切线，已知函数 ，其中 ，若曲线 和曲线
的公切线有两条，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】设切点求出两个函数的切线方程，根据这个两个方程表示同一直线，可得方程组，化简方程组，可以得到
变量 关于其中一个切点横坐标的函数形式，求导，求出函数的单调性，结合该函数的正负性，画出图象
图形，最后利用数形结合求出 的取值范围.
【详解】
设曲线 的切点为： ， ，所以过该切点的切线斜率为 ，
因此过该切点的切线方程为： ；
设曲线 的切点为： ， ，所以过该切点的切线斜率为
，因此过该切点的切线方程为： ，则两曲线的公切线
应该满足： ，
构造函数 ,
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，所以函数有最大值为：
，当 时， ，当 ， ，函数的图象大致如下图所示：
要想有若曲线 和曲线 的公切线有两条，则 的取值范围为 .
故选：C
【变式训练】
3、函数 与 有公切线 ，则实数 的值为（ ）A．4 B．2 C．1 D．
【答案】A
【解析】
设公切线 与两个函数 与 图象的切点分别为A 和B
，由 ， ，可得 解得 ，所以有
化简得 ，令 ，则
恒成立，即得函数 在定义域上为增函数，又因
，则可解得方程 ， ，则由 解得 .
故选：A.
高频考点三 切线的应用
例1、点 在函数 的图像上，若满足到直线 的距离为1的点 有且仅有1个，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
函数 的导函数为 ，设直线 与 相切于点 ，
则 ，解得切点为 ，由题可知 到直线 的距离为1，
所以 ，解得 ，结合图象可知， .
故选：B.
【变式训练】
1、点A在直线y＝x上，点B在曲线 上，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】
设平行于直线y＝x的直线y＝x＋b与曲线 相切，将题意转化为两平行线间的距离，由导数的几何意
义可得 的值，进而可得结果.
【详解】
设平行于直线y＝x的直线y＝x＋b与曲线 相切，
则两平行线间的距离即为 的最小值．
设直线y＝x＋b与曲线 的切点为 ，
则由切点还在直线y＝x＋b上可得 ，
由切线斜率等于切点的导数值可得 ，
联立解得m＝1，b＝－1，
由平行线间的距离公式可得 的最小值为 ，
故选：A.例2、若 ，则 的最小值是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】
由题意可转化为点 与点 间的距离最小值的平方，
点A在函数 上，点B在函数 上，这两个函数关于 对称，
所以转化为函数 与 的距离的最小值2倍的平方，
此时 ，∴ 斜率为1的切线方程为 ，它与 的距离为 .
故原式的最小值为2.故选：B.
【变式训练】
2、若 ，则 的最小值是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
原题等价于函数 上的点 与函数 上的点 间的距离最小值的平方，结合两个函
数关于 对称，将其转化为函数 与 的距离的最小值2倍的平方，利用导数求切线方程最后
转化求两平行线间的距离平方即可.
【详解】
由题意可转化为点 与点 间的距离最小值的平方，
点A在函数 上，点B在函数 上，这两个函数关于 对称，
所以转化为函数 与 的距离的最小值2倍的平方，
此时 ，
∴ 斜率为1的切线方程为 ，它与 的距离为 .
故原式的最小值为2.
故选：B.
例3、已知 为实数，则“ 对任意的实数 恒成立”是“ ”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
先根据导数的几何意义求出直线 与曲线 相切时 的值，再数形结合将 对任意的实数 恒
成立转化为 ，最后判断充要关系即可得解.
【详解】
设直线 与曲线 相切，且切点为 ，
则 ，解得 ，所以切点为 ， ，
所以切线方程为 .
数形结合可知， 对任意的实数 恒成立等价于 .
而由 不能得到 ，故充分性不成立；
反之，由 可得到 ，故必要性成立.故选：B.
【变式训练】
3、已知函数 的图象在 处的切线方程为 ，若 恒成立，则
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由题意求得 ，代入函数解析式，把问题转化为 恒成立，对 分类讨论，分离参数 ，再由导数
求最值得答案．
【详解】解：因为 ，所以 ，又函数 的图象在 处的切线方程为 ，
所以 ，解得 ，所以 ，因为 恒成立，所以 恒成立．
当 时， 成立．
当 时，令 ，则 ．
当 时， ，
在 和 上单调递减．
当 时， ， 单调递增，
当 时， 恒成立，所以 ；
当 时， 恒成立，
而 ，所以 ．
综上， ，所以m的取值范围为 ．故选：A
