文档内容
第 11 节 利用导数解决函数的极值最值
基础知识要夯实
1．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点
x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝
f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点
x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝
f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值 .
①函数fx在x 处有极值的必要不充分条件是f′x＝0，极值点是f′x＝0的根，但f′x
0 0
＝0的根不都是极值点例如fx＝x3，f′0＝0，但x＝0不是极值点.
②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间
内部的点，不会是端点.
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在
[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
3常用结论
1.对于可导函数f(x)，“f′(x)＝0”是“函数f(x)在x＝x 处有极值”的必要不充分条件.
0 0
2.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极
值就是最值.
3.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关
系.
核心素养要做实
考点一 利用导数解决函数的极值问题
考法(一) 利用导数求函数的极值或极值点
【例1】 (2020·天津高考改编)设函数f(x)＝(x－t)·(x－t)(x－t)，其中t，t，t∈R，且t，t，t 是
1 2 3 1 2 3 1 2 3
公差为d的等差数列．
(1)若t＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
2
(2)若d＝3，求f(x)的极小值点及极大值．【方法技巧】求函数的极值或极值点的步骤
(1)求导数f′(x)，不要忘记函数f(x)的定义域；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)检查在方程的根的左右两侧f′(x)的符号，确定极值点或函数的极值．
考法(二) 已知函数极值点或极值求参数的值或范围
【例2】(2020·北京高考节选)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，若f(x)在x＝1处取得极小
值，求a的取值范围．
【方法技巧】
网Z§X§X§K]
已知函数极值点或极值求参数的2个要领
列式 根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解
因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须
验证
验证根的合理性
[来源:学科网]
[题组训练]
1．设函数f(x)＝ ＋ln x，则( )
A．x＝ 为f(x)的极大值点 B．x＝ 为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点
2．(2020·广州高中综合测试)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处的极值为10，则数对(a，b)
为( )
A．(－3,3) B．(－11,4)
C．(4，－11) D．(－3,3)或(4，－11)
3．设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a>0)．
(1)当a＝1，且函数f(x)的图象过点(0,1)时，求函数f(x)的极小值；
(2)若f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，求a的取值范围．
考点二 利用导数解决函数的最值问题
【例2】(2020·北京高考)已知函数f(x)＝excos x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值．
[解题技法]导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤
(1)求函数f(x)的导数f′(x)；
(2)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；
(3)求f(x)在给定区间上的端点值；
(4)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；
(5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．
【跟踪训练】
1.(2020·珠海摸底)如图，将一张16 cm×10 cm的长方形纸片剪下四个全等的小正方
形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的最大容积是
________ cm3.
2．已知函数f(x)＝ln x－ .
(1)若a>0，试判断f(x)在定义域内的单调性；
(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为 ，求实数a的值．
达标检测要扎实
一、单选题
1．对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
2．已知函数 ，若不等式 对 恒成立，则实数a的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．若两曲线 与 存在公切线，则正实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
4．已知函数 有两个不同的极值点 ， ，若不等式
恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 有极值，则c的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．若函数 的极大值点与极大值分别为a，b，则（ ）
A． B．
C． D．
7．若对任意的实数 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，则（ ）
A． 在 上为增函数 B． 在 上为减函数
C． 在 上有极大值 D． 在 上有极小值
9．设函数 ，若 的极小值为 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
10．已知 若 ，则 的最大
值是( )A． B． C． D．
11．已知函数 有两个不同的极值点 ，且不等式
恒成立，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 ，则“ ”是“ 有极值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、填空题
13．已知 ，若 存在极小值，则 的取值范围是_______________________．
14． ，则 的最大值为_____________.
15．已知函数 的定义域为 ，它的导函数 的图象如图所示，则函数 的极值点有
______个.
16．函数 的最小值为______．
三、解答题
17．已知函数 ， .
（1）求 的单调区间，并求当 时， 的最大值；
（2）若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围.18．已知函数 ．
（1）若 存在极值，求实数 的取值范围；
（2）若 ，当 时， 恒成立，且 有且只有一个实数解，证明：
．
19．已知函数f（x）=2lnx+1．
（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；
（2）设a>0时，讨论函数g（x）= 的单调性．
20．已知函数 在 处的切线 与直线 平行，函数
．
（1）求实数 的值；
（2）若函数 存在单调递减区间，求实数 的取值范围；
（3）设 是函数 的两个极值点，证明： ．
21．设函数 ， .
(1)若 ，求a的值
(2)证明： .
22．已知函数 ．
（1）当f(x)在x＝1处取得极值时，求函数f(x)的解析式；
（2）当f(x)的极大值不小于 时，求m的取值范围．
