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第 11 练 导数与函数的极值、最值
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．函数 在 上的极大值点为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【详解】
函数 的导数为 ，令 得 ，
又因为 ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以使得函数 取得极大值的 的值为 .
故选：C.
2．函数 有（ ）
A．极大值点3 B．极小值点3
C．极大值点1 D．极小值点1
【答案】A
【详解】
∵ ，
∴ ，
当 时 , 单调递增；当 时 , 单调递减.
∴ 在 处取得极大值，即只有一个极值点 ，且是极大值点，
故选： .
3．设 ，若不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知，不等式 在 上恒成立，
则 对 上恒成立，
设 ， ，
则 ，令 ，解得 ，
所以当 ， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
当 时， 取极大值，即为最大值，最大值为 ，
所以， ，
所以 的取值范围为
故选：B
4．已知函数 ，a为实数， ，则 在 上的最大值是
（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】
解： ，
，
，
，
，
，
令 ，则 或 ，
当 或 时， ，即函数 在 和 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减；所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值，又 ， ，
故函数 在区间 上的最大值为 ，
故选：A．
5．若函数 在区间 上存在最小值，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由函数 ，可得 ，
且 在区间 上存在最小值，
即 在区间 上存在 ，
使得 且 ， ，
设 ，即满足 ，且 ，
可得 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
故选：D.
6．设 ，若 为函数 的极小值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
，
若 ， 是开口向下的抛物线，x=m是极小值点，
必有 ，即 ，若 ， 是开口向上的抛物线，x=m是极小值点，
必有 ，即 ；
故选：C.
7．已知函数 ， ，若 ≥ 恒成立，则实数a的取值范
围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
，
令 ，
则 ，令
， ，
∵ ，∴p(x)在(0，+)上单调递增，
∵ ，
∴当 时， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， 单调递增；
∴ ，
∴ ≥ 恒成立，则 ．
故选：C．
8．函数 满足：对 ，都有 ，则函数
的最小值为（ ）
A．-20 B．-16 C．-15 D．0
【答案】B
【详解】
解：因为函数 满足：对 ，都有 ，
所以 ，即 ，
解得 ，所以 ，
则 ，
，
，
当 或 时， ，
当 时， ，
所以 的最小值为 ，
故选：B
二、多选题
9．已知函数 ，下列结论中正确的是（ ）
A．函数 在 时，取得极小值-1；
B．对于 ， 恒成立；
C．若 ，则 ；
D．若 对于 恒成立，则a的最大值为 ．
【答案】BCD
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 不是函数的极值点，故A错；
若 ，则 ，
所以函数 在区间 上单调递减；
因此 ，故B正确；
令 ，则 ，
因为 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
因此函数 在 上单调递减；又 ，所以 ，
即 ，所以 ，故C正确；
因为函数 在 上单调递减；
所以 时，函数 也单调递减，
因此 在 上恒成立；
在 上恒成立，即a的最大值为 ，故D正确.
故选：BCD.
10．已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 时， 取得最大值 D． 时， 取得最小值
【答案】AB
【详解】
由 图象可知：当 时， ；当 时， ；
在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
对于A， ， ，A正确；
对于B， ， ，B正确；
对于C，由单调性知 为极大值，当 时，可能存在 ，C错误；
对于D，由单调性知 ，D错误.
故选：AB.
11．已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递增
B． 是 的极大值点C． 有三个零点
D． 在 上最大值是
【答案】BCD
【详解】
解：因为
所以 ，
令 ，解得 或 ，
与 随 的变化情况如下表：
2
0 0
极大值 极小值
因此函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，故 错误；
是 的极大值点，故 正确；
因为 ， ， ， ，
由函数的单调性及零点存在性定理可知 有三个零点，故 正确；
当 的定义域为 时，
在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
又 ， ，
所以 在 ， 上的最大值是4，故 正确．
故选： ．
12．已知函数 有两个极值点 和 ，且 ，则下列结论正确的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】
已知 ，则 ，令 ，则
考虑函数 ，则 ，
当 时， ，即 在 上单调递减；
当 时， ，即 在 上单调递减；
当 时， ，即 在 上单调递增；
故 的图象大致如图：
依题意，若 有两个极值点，则 ，即 ，因此选项D正确；
由图易知， ， ，故选项A正确；
又 ，故 ，因为 ，
所以 ，故选项C正确；
因为 ，即 ，
故 ，即 .
由于 ， ，所以 ，从而 ，故选项B错误.
故答案为：ACD.
三、解答题
13．已知函数 ．
（1）求 的图象在点 处的切线方程；
（2）求 在 上的最大值与最小值．
【答案】（1） ；（2）最大值与最小值分别为 与 ．【解析】（1）因为 ，所以
所以 ．
所以 的图象在点 处的切线方程为 ，即 ．
（2）由（1）知
令 ，则 ；令 ，则 ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．所以
又 ，所以 ．
所以 在 上的最大值与最小值分别为 与 ．
14．已知函数 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 在 处取得极值，求 的单调区间及其最大值与最小值．
【答案】(1) ；
(2) 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；最大值为 ，最小
值为 .
【解析】(1)
当 时， 定义域为 ， ，
， ，故 在点 处的切线方程为：
，即 ；
(2)
由题意得： ， ，故 ，此时
，经检验，符合要求，
，令 时， ， ，令 得： 或
，令 得： ， 的单调递增区间为 ， ，单调递减
区间为 ；又当 时， 恒成立，当 时， 恒成立，故 ， ，即最大值为 ，最小值为 .
15．已知函数 ，其中 ．
(1)求 的最小值；
(2)证明： ．
【解析】(1)
, 令 ，解得 ，
由 为增函数知，当 时， ，当 时，
，所以 在 上递减，在 上递增，
所以 的最小值为 .
(2)
令 ，则 ，由 时， ， 时， ，
可知 在 上递减，在 上递增，所以当 时， 取最小值.
故 ，即对 .
故 ，故
而对 ， ，
故原式得证.
16．已知函数 ， ．
(1)当 时，若 为 的极大值点，求a的取值范围；
(2)证明：当 时， ．
【解析】(1)
∵ ，
∴ ，
由 ，可得 或 ，
当 时， ，函数 在R上单调递增，函数 无极值，故不符合题意，
当 时， ， 单调递增， ， 单调递减，
所以 为 的极大值点；
综上， 的取值范围为 ；(2)
由上可知， ，
由 ，可得 ，
当 时， ， 函数 在 上单调递增，
∴ ，
当 时， ， 单调递减， ， 单调递增，
∴ ，
综上，当 时， ．
