文档内容
第 04 讲 导数与函数的极值、最值
（5 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新I卷，第10题,6分 求已知函数的极值点 利用导数求函数的单调区间
利用导数研究具体函数单调性
函数对称性的应用
2024年新Ⅱ卷，第11题,6分 极值与最值的综合应用
利用导数研究函数的零点
判断零点所在的区间
求在曲线上一点处的切线方程
2024年新Ⅱ卷，第16题,15分 根据极值求参数
利用导数研究含参函数单调性
2023年新I卷，第11题,5分 函数极值点的辨析 函数的性质、奇偶性的定义与判断
基本(均值)不等式的应用、求平面轨迹
2023年新I卷，第22题,12分 由导数求函数的最值 (不含参)
方程、求直线与地物线相交所得弦的弦长
2023年新Ⅱ卷，第11题,5分 根据极值求参数 根据二次函数零点的分布求参数的范围
利用导数求函数的单调区间 (不含参)
2023年新Ⅱ卷，第22题,12分 根据极值点求参数 利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的零点
锥体体积的有关计算球的体积的有关计算
2022年新I卷，第8题,5分 由导数求函数的最值 (不含参)
多面体与球体内切外接问题
求在曲线上一点处的切线方程 (斜率）
2022年新I卷，第10题,5分 求已知函数的极值点
利用导数研究函数的零点
2022年新I卷，第22题,12分 由导数求函数的最值 (含参) 利用导数研究方程的根
2021年新I卷，第15题,5分 由导数求函的最值 (不含参) 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为5-13-15分
【备考策略】1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件
2能够利用导数求函数的极大值、极小值以及在给定闭区间上的最大值、最小值3体会导数与极大(小)值、最大(小)值的关系
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，会结合导数来判断或证明函数的单调性，从而求得函数的
极值或给定区间上的最值，热点内容，需综合复习
知识讲解
1. 函数的极值与导数
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小， ，
而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函
数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大， ，
而且在点x＝b 附近的左侧 ，右侧 ，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做
函数的极大值．
（3）极值与导数的关系
是极值点
是极值点，即： 是 为极值点的必要非充分条件
2. 函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，
最小的一个是最小值．
考点一、 求函数的极值或极值点
1．（2024·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时， ，求 的取值范围．
2．（2023·北京·高考真题）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
(1)求 的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
(3)求 的极值点个数．
3．（2021·天津·高考真题）已知 ，函数 ．
（I）求曲线 在点 处的切线方程：
（II）证明 存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得 对任意 成立，求实数b的取值范围．
1．（2024·湖南长沙·三模）已知函数 （ ）.
(1)求函数 的极值；
(2)若集合 有且只有一个元素，求 的值.
2．（2024·浙江温州·三模）设函数 的导函数为 .
(1)求函数 的单调区间和极值；(2)证明：函数 存在唯一的极大值点 ，且 .
（参考数据： ）
3．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数 的导函数为 .
(1)证明：函数 有且只有一个极值点；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围.
考点二、 根据函数极值或极值点求参数值或范围
1．（2024·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
2．（2023·全国·高考真题）（1）证明：当 时， ；
（2）已知函数 ，若 是 的极大值点，求a的取值范围．
3．（2023·全国·高考真题）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线 关于直线 对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若 在 存在极值，求a的取值范围.
4．（2021·全国·高考真题）设函数 ，已知 是函数 的极值点．
（1）求a；
（2）设函数 ．证明: ．
1．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数 的一个极值为 ．
(1)求实数 的值；
(2)若函数 在区间 上的最大值为18，求实数 与 的值．2．（2024·重庆·模拟预测）已知
(1)若 在 处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)若 存在极值点，求a的取值范围．
3．（2023·湖南郴州·一模）已知函数 .
(1)若曲线 在 处切线与 轴平行，求 ；
(2)若 在 处取得极大值，求 的取值范围.
4．（2024·山东泰安·模拟预测）已知函数 ， .
(1)求函数 单调区间；
(2)若函数 在 有两个极值点，求实数 的取值范围.
考点三、 利用导数求函数最值
1．（2024·安徽·三模）已知函数 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 ，求函数 在 上的最值.
2．（2024·广东东莞·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，求函数 在区间 上的最大值．
1．（2024·山东泰安·三模）已知函数 .
(1)讨论 的最值；
(2)若 ，且 ，求 的取值范围.
2．（2024·山西晋中·模拟预测）已知函数 .(1)求函数 在区间 上的最小值；
(2)判断函数 的零点个数，并证明.
3．（2021·北京·高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 处取得极值，求 的单调区间，以及其最大值与最小值．
考点 四 、 由函数最值求参数值或范围
1．（2022·全国·高考真题）已知函数 和 有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
点的横坐标成等差数列．
2．（2024·海南·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，若函数 有最小值2，求 的值.
3．（2024·四川·模拟预测）已知函数 ．
(1)若函数 在 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的值；
(2)若函数 的最小值为 ，求 的值．
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 有最大值 ，求实数 的值．
2．（2024·陕西西安·一模）已知函数 ．
(1)若 在 上单调递增，求 的取值范围；
(2)若 的最小值为1，求 ．3．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数 ．
(1)若 在 上单调递减，求实数 的取值范围；
(2)若 的最小值为6，求实数 的值．
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 和函数 有相同的最大值.
(1)求a的值；
(2)设集合 ， （b为常数）.证明：存在实数b，使得集合 中有且仅有
3个元素.
考点 五 、 选填小题中极值的应用与求解
1．（2022·全国·高考真题）函数 在区间 的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国·高考真题）设 ，若 为函数 的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·高考真题）（多选）设函数 ，则（ ）
A．当 时， 有三个零点
B．当 时， 是 的极大值点
C．存在a，b，使得 为曲线 的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心
4．（2022·全国·高考真题）已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值点和
极大值点．若 ，则a的取值范围是 ．
1．（2021·全国·高考真题）函数 的最小值为 .
2．（2023·全国·高考真题）（多选）若函数 既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．3．（2024·全国·高考真题）（多选）设函数 ，则（ ）
A． 是 的极小值点 B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
4．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
一、单选题
1．（2024·河北承德·二模）设 为实数，若函数 在 处取得极小值，则 （ ）
A．1 B． C．0 D．
2．（2024·重庆·模拟预测）若函数 有极值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的极值点为
B． 的极值点为1
C．直线 是曲线 的一条切线
D． 有两个零点
三、填空题
4．（2024·安徽·二模）已知函数 ，当 时 的最大值与最小值的
和为 ．
四、解答题5．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 对定义域内任意实数 都有 ，求 的取值范围．
6．（2024·山东潍坊·二模）已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为
．
(1)求实数a，b的值；
(2)求 的单调区间和极值．
7．（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ，求函数 在 上的最大值和最小值；
(2)讨论函数 的单调性．
8．（2024·河南·三模）已知函数 ，且 在 处的切线方程是 ．
(1)求实数 ， 的值；
(2)求函数 的单调区间和极值．
9．（2022高三上·河南·专题练习）已知函数 ．
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若函数 在 处取到极小值，求实数m的取值范围．
10．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 在 时取得极值.
(1)求实数 ；
(2)若 ，求 的单调区间和极值.
一、单选题
1．（2024·福建泉州·一模）已知 ，是函数 两个极值点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数 在 上恰有两个极值点，则实数 的
取值范围是（ ）A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）设函数 ，记 的极小值点为 ，极大值点为 ，则
（ ）
A． B．
C． 在 上单调递减 D．
4．（2024·重庆·三模）若函数 既有极小值又有极大值，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2024·新疆喀什·三模）已知函数 和 （ ）有相同的最大值．则
的最小值为 ．
四、解答题
6．（2024·广东茂名·二模）已知函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线方程为 ，求实数 的值；
(2)若 ，求函数 在区间 上的最大值.
7．（2024·河南开封·三模）已知函数 ， 为 的导函数．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间和极值．
8．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 ，若 的最小值为0，
(1)求 的值;
(2)若 ，证明: 存在唯一的极大值点 ，且 .
9．（2024·福建泉州·一模）设函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，若 的值域为 ，证明： ．10．（2024·青海西宁·模拟预测）已知函数
(1)当 时，求 的零点；
(2)若 恰有两个极值点，求 的取值范围.
1．（2023·全国·高考真题）（多选）已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）．
A． B．
C． 是偶函数 D． 为 的极小值点
2．（2022·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．
3．（2020·北京·高考真题）已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线 的斜率等于 的切线方程；
（Ⅱ）设曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求 的最小值．
4．（2019·全国·高考真题）已知函数 .证明：
（1） 存在唯一的极值点；
（2） 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
5．（2019·江苏·高考真题）设函数 ， 为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和 的零点均在集合 中，求f（x）的极小值；
（3）若 ，且f（x）的极大值为M，求证:M≤ ．
6．（2018·全国·高考真题）已知函数 ，则 的最小值是 ．
7．（2018·全国·高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，证明：当 时， ；当 时， ；
（2）若 是 的极大值点，求 ．
8．（2018·北京·高考真题）设函数 .
（Ⅰ）若曲线 在点 处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若 在 处取得极小值，求a的取值范围.
9．（2018·江苏·高考真题）若函数 在 内有且只有一个零点，则 在
上的最大值与最小值的和为 ．
10．（2017·山东·高考真题）已知函数 ， ，其中
是自然对数的底数.
（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）令 ，讨论 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
