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专题 22.14 实际问题与二次函数（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】列二次函数解应用题
列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函
数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：
(1)审：审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，
找出等量关系(即函数关系)．
(2)设：设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
(3)列：列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是
二次函数．
(4)解：按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检：检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
(6)写：写出答案．
【要点提示】常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、
抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，
列出相关的函数关系式.
【知识点一】建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤：
(1)恰当地建立直角坐标系；
(2) 将已知条件转化为点的坐标；
(3) 合理地设出所求函数关系式；
(4) 代入已知条件或点的坐标，求出关系式；
(5) 利用关系式求解问题．
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】实际问题与二次函数——图形问题【例1】（22-23九年级上·广东湛江·期中）如图，有长为 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度
为 ）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃 边长为x米，面积为y平方米．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）如果要围成面积为 的花圃，求 的长度；
（3）如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少 ．
【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，若用长 的铁丝借助墙 围成一个斜边为 的
直角三角形 ，则所围成的 的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，拋物线 交 轴正半轴于点 ，交
轴于点 ，线段 轴交拋物线于点 ， ，则 的面积是 ．
【题型2】实际问题与二次函数——拱桥问题
【例2】（2024·河南南阳·三模）如图，是某景区步行街修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点
为顶点，其高为9米，宽 为18米，以点 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系．矩形
是安装的一个“光带”，且点 ， 在抛物线上，点 ， 在 上．
（1）求该抛物线的函数表达式．（2）求所需的三根“光带” ， ， 的长度之和的最大值，并写出此时 的长．
【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）有一拱桥洞呈抛物线状，这个桥洞的最大高度是16 m，跨
度为40 m，现把它的示意图（如图）放在平面直角坐标系中，则抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·吉林松原·模拟预测）如图为一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，
涝季的最高水位线在 处，此时桥洞中水面宽度 仅为4米，桥洞顶部点O到水面 的距离仅为1
米；旱季最低水位线在 处，此时桥洞中水面宽度 达12米，那么最低水位 与最高水位 之间
的距离为 米．
【题型3】实际问题与二次函数——销售问题
【例3】（22-23八年级下·浙江宁波·期末）抗击疫情期间，某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8
元，销售过程中发现，该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中
，且x为整数），部分对应值如下表：
每件售价（元） 9 11 13每天的销售量
105 95 85
（件）
（1）求y与x的函数关系式．
（2）若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元．
（3）设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），问：当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销
售利润最大？最大利润是多少元？
【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）“燎原书店”销售某种中考复习资料，若每本可获利x元，
一天可售出 本，则该书店出售该种中考复习资料的日利润最大为（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【变式2】（23-24八年级下·浙江宁波·期末）“地摊经济”一时兴起， 小明计划在夜市销售一款产品，
进价40元/件， 售价110 元/件， 每天可以销售 20 件，每销售一件需缴纳摊位管理费用 元．
未来 30 天，这款产品将开展 “每天降价1元”的夏日大促活动， 即从第1天起每天的单价均比前一天
降1元．通过市场调研发现， 该产品单价每降1元， 每天销量增加4件． 在这30天内，要使每天缴纳
摊位管理费用后的利润随天数 （ 为正整数）的增大而增大， 的取值范围应为 ．
【题型4】实际问题与二次函数——掷球问题
【例4】（2024·河南商丘·模拟预测）一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方 的A处射门，已
知球门高 为 ，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为 时，
球达到最高点，此时球的竖直高度为 ．现以O为原点，平面直角坐标系如图所示．
（1）求二次函数的表达式；
（2）通过计算判断球能否射进球门；
（3）为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了 米射门，若运动员射门路线的形状、最大高
度均保持不变，结果恰好在点O正上方 处进球，求n的值．
【变式1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）运动员某次训练时，推出铅球后铅球在空中的飞行路线可以看作是抛物线的一部分（如图）．铅球在空中飞行的竖直高度 （单位： ）与水平距离 （单位： ）近
似地满足函数关系 （ 、 、 为常数， ）．该函数的图象与 轴交于点 ，
顶点为 ，下列说法错误的是（ ）
A．
B．该铅球飞行到最高点时铅球离 轴的水平距离是
C．铅球在运动过程中距离地面的最大高度是
D．此次训练，该铅球落地点离 轴的距离小于
【变式2】（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度 是 ，出
手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是 ，高度是 ．若实心球落地点为M，则
．
【题型5】实际问题与二次函数——喷水问题
【例5】（2024·河南信阳·模拟预测）小华在走读淮河文化园游玩，发现公园的草地自动浇水装置喷洒出
的水流呈抛物线型，小华通过多次测量数据，在平面直角坐标系中绘制了水流喷出的高度 与距离浇
水装置的水平距离 之间的函数图象，如图所示，已知点 ，抛物线顶点坐标为点 ．
（1）求水流所形成的抛物线的表达式．
（2）小华通过观察发现距离喷水装置 处的一棵古树未被浇到水，请通过计算说明这个自动浇水装置不能浇到古树的原因．
（3）通过与园区工作人员交谈，小华发现这个喷水装置还可以上下移动，且移动之后水流的形状、大小
保持不变，若想让（2）中的古树能被此浇水装置浇到，则此喷水装置需要向上移动的最小距离是多少？
请直接写出答案．
【变式1】（2024·山西朔州·三模）如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水
流喷出的高度 与水平距离 之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的
落地点，且 ，垂足为点D， ．若 ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·辽宁营口·模拟预测）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，
在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 处达到最高，高度
为 ，水柱落地处离池中心距离为 ，则水管的长度 是 m．
【题型6】实际问题与二次函数——增长率问题【例6】（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进
货价为每个14元，标价为每个20元．
（1）商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后
以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天
就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定
价应为多少元？最大利润是多少？
【变式1】（20-21九年级上·陕西宝鸡·期末）某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完
成对相关学校的扩建， 年市政府已投资 亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计 年投资额
达到 亿元人民币，设每年投资的增长率为 ，则可得（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24九年级上·上海青浦·期中）某商店一月份销售额为 万元，月平均增长率 （ ），
一季度的销售额为 万元，那么 关于月平均增长率 的函数解析式是 ．
【题型7】实际问题与二次函数——其他问题
【例7】（2024·河南商丘·模拟预测）在文艺汇演来临之际，九年级2班同学准备装饰教室．他们在相对
的两面墙上的B，C两点之间拉了一根彩带，彩带自然下垂后呈抛物线形，地面上两点O，D分别在点
B，C的正下方，已知 米， 和 之间的水平距离为10米．以 所在直线为y轴， 所
在直线为x轴建立如图1所示的平面直角坐标系，此时彩带自然下垂形状可近似看作抛物线
．
（1）求该抛物线的函数表达式及彩带到地面的最小距离．
（2）为了使彩带的造型美观，现将图1中彩带最低点固定在灯E上（灯宽度、厚度不计，图中所有点均
在同一竖直平面内），且灯E到 和 的距离相等，这样灯E两侧的彩带就形成了两个对称的新抛物
线，如图2所示．若两个新抛物线最低点之间的水平距离为4米，且灯E到地面的距离为2.7米，则图2中彩带最低点比之前升高了多少米？
【变式1】（2024·广东佛山·一模）据科学计算，运载“神十八”的“长征二号” 火箭，在点火第一
秒钟通过的路程为 ，第二秒时共通过了 的路程，第三秒时共通过了 的路程，在这一过程中
路程与时间成二次函数关系，在达到离地面 的高度时，火箭程序拐弯，则这一过程需要的时间大
约是（ ）．
A．10秒钟 B．13秒钟 C．15秒钟 D．20秒钟
【变式2】（22-23八年级下·浙江宁波·期末）某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离 （米）米关于
滑行的时间 （秒）的函数解析式是 ，无人机着陆后滑行的最大距离是 米．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·山东潍坊·中考真题）2024年6月，某商场为了减少夏季降温和冬季供暖的能源消耗，计
划在商场的屋顶和外墙建造隔热层，其建造成本 （万元）与隔热层厚度 满足函数表达式：
．预计该商场每年的能源消耗费用 （万元）与隔热层厚度 满足函数表达式：
，其中 ．设该商场的隔热层建造费用与未来8年能源消耗费用之和为
（万元）．
（1）若 万元，需求该商场建造的隔热层厚度；
（2）已知该商场未来8年的相关规划费用为 （万元），且 ，当 时，求隔热层厚度
的取值范围．【例2】（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销
售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应
值．
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
（1）求y与x的函数表达式；
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖
果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．
2、拓展延伸
【例1】（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图1，在等腰直角 中， ，且位于长
方形 的左侧，直角边 与 边在同一直线上， ．现将 沿 方向移动，设 的
长为x， 与长方形 的重叠部分（图中阴影部分）面积为y，则y与x的关系图象可以用图2表
示．请根据图象信息分析，长方形 的 边长为 ，当 时，x的值为 ．
【例2】（2024·河南驻马店·模拟预测）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线是
全等的，正常水位时，大孔水面宽 为 ，顶点 距水面 （即 ），小孔顶点 距水面
（即 ），建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求出大孔抛物线的解析式；
（2）航管部门设定警戒水位为正常水位上方 处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面 ，顶部宽 的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由；
（3）当水位上涨到刚好淹没小孔时，则大孔的水面宽度 ．
