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专题 21.8 实际问题与一元二次方程（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
（1）列一元二次方程解应用题步骤：
① 审：审的目的找等量关系，注意找关键词；
② 设：有直接设法与间接设法，注意要带单位；
③ 列：由等量关系列出方程，注意方程两边单位要一致；
④ 解：用适当的方法解一元二次方程；
⑤ 检：一是检验是否解正确，二是结合实际是否有意义；
⑥ 答：写出实际问题的答案。
（2）常见实际问题的数量关系
① 传播问题：传染源+第一轮传染+第二轮传染=两轮传染总数；
② 增长（降低）率问题：
平均增长率公式； （a起始量，b是终止量，x是平均增长率，n增长次数）
平均降低率公式： （a起始量，b是终止量，x是平均降低率，n降低次数）
③ 几何问题：涉及到三角形全等，勾股定理，各种规则图形面积公式，动点问题等
等；
④ 数字问题：主要与数字与位数的关系；比如：两位烽=十位数字 10+个位数字；
⑤ 商品销售问题：利润=售价-进价；售价=进价 （1+利润率）；总利润=总售价-总成
本=单件利润 总销量等等
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】传播问题
【例1】（23-24八年级下·山东威海·期中）近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生
活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都
按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．
（1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？（2）如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
【举一反三】
【变式1】（2024·云南昭通·一模）有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有 台电脑
感染了该病毒．设每轮感染中，平均一台电脑可以感染 台电脑，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·重庆大渡口·二模）初三某班同学互赠纪念卡片，若每两个同学均互赠一张，最终赠
送卡片共1892张，设全班共有x人，根据题意，可列方程为 ．
【题型2】增长率问题
【例2】（2024八年级下·浙江·专题练习）随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，
催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递
总件数分别为10万件和 万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递快递 万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年
4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
【举一反三】
【变式1】（2024·山西晋城·三模）山西省所有公立医疗机构于2024年3月25日起全面执行第九批国家
组织药品集中带量采购中选结果．相关负责人表示，重点药品降价将明显减轻患者负担，某药品通过连
续两轮降价，每粒（25mg）从200元降至15元若该药品每轮降价率相同，设每轮降价率为x，则根据题
意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·山东德州·二模）某商场在“五·一”当天将定价为200元的某种儿童玩具进行降价销
售．该玩具经过两次降价后，售价由原来的每件200元降到每件162元，已知两次降价的百分率相同，则
每次降价的百分率为 ．
【题型3】图形问题
【例3】（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，要修建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长为18米），其余三边用竹篱笆，篱笆的总长度为35米，围成长方形鸡场的四周不能有空隙．
（1）若要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各应为多少米？
（2）围成鸡场的面积能达到160平方米吗？如果能，写出计算过程，如果不能，说明理由．
【举一反三】
【变式1】（2024·广东中山·二模）《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，
横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高
宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好
相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（ ）尺．
A．2 B．10 C．8 D．6
【变式2】（2024·湖南常德·一模）如图，有一张长 ，宽 的矩形纸板，将纸板四个角各剪去
一个边长为 的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒，要使制成纸盒的底
面积是原来矩形纸板面积的 ，则x的值为 ．
【题型4】数字问题
【例4】（23-24八年级下·安徽淮北·期中）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示
的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题．（1）若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数
中， 的最大值为 ．
（2）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数．
（3）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请
说明理由．
【举一反三】
【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数
字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为 ，则方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24八年级下·广西百色·期中）小颖设计一个神奇的魔术盒，当放任意实数对 进入
其中，会得到一个新的实数 ，若将实数 放入其中，得到一个新数 ，则 ．
【题型5】几何图形动态问题
【例5】（2024八年级下·全国·专题练习）如图， 为矩形的四个顶点， ，
cm，动点 、 分别从点 、 同时出发，都以1 的速度运动，其中点 由 运动到 停止，点 由
点 运动到点 停止．
（1）求四边形 的面积；
（2） 、 两点从出发开始到几秒时， 、 、 组成的三角形是等腰三角形？【举一反三】
【变式1】（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，在 中， ， ， ，动
点P从点A开始沿边 向点B以 的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以 的速度
移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中， 的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形 中， ， ，点P从
点A出发沿AB以 的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿 以 的速度向点C运动，点P
到达终点后，P、Q两点同时停止运动，则 秒时， 的面积是 ．
【题型6】销售问题
【例6】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）士宝精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商
品可以自行定价，若每件商品售价为 元，则可卖出 件，但物价局限定每件商品的利润不得超
过
（1）若商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品的售价应定为多少？
（2）在（1）的条件下，在实际销售的过程中，先将（1）中购进的商品卖出了部分后，决定将剩余商品
打9折甩货，则至少先卖出多少件商品后再甩货才能保证利润不低于300元？
【举一反三】【变式1】（23-24九年级下·云南·阶段练习）某直播带货平台销售一款进价为每把160元的电动牙刷，
若按每把240元出售，当月可销售100把，经调查发现，这款电动牙刷的售价每下降1元，其销售数量就
增加2把．当每把电动牙刷降价多少元时，该直播带货平台销售这款电动牙刷的利润为8400元？设每把
电动牙刷降价 元，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·山东潍坊·三模）在过去的 年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主
的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为
元的小商品进行直播销售，如果按每件 元销售，每天可卖出 件．通过市场调查发现，每件小商
品售价每降低 元，日销售量增加 件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应
定为 元．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·山东东营·中考真题）如图，老李想用长为 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够
长）围成一个矩形羊圈 ，并在边 上留一个 宽的门（建在 处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【例2】（2021·山东日照·中考真题）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元
的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量 （桶）与每桶降价
（元）（ ）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？
2、拓展延伸
【例1】（2022·重庆·模拟预测）随着武汉解封，湖北各地的复工复产正有序进行，经济复苏也按下了
“重启键”．为助力湖北复苏， 月 日抖音发起了“湖北重启，抖来助力--抖音援鄂复苏计划”，通过
直播或短视频助力推广湖北特色产品 已知当天的直播活动中热干面和周黑鸭共销售 万份，其中周黑鸭
的销量是热干面的 倍．
（1）求当天的直播活动中销售了多少万份周黑鸭？
（2）为刺激消费，直播中推出了优惠活动 疫情前，疫情期间售价均为 元一份的周黑鸭（一份里面有
一盒锁骨，两盒鸭脖，一盒鸭掌），以 折力度售卖．疫情前，疫情期间售价均为 元一份的热干面
（一份里面有 包热干面），以 折力度售卖．已知疫情前周黑鸭的日销售量比直播当天的销量少 ，
疫情期间的日销售额比疫情前的日销售额减少了 万元；疫情前热干面的日销量比直播当天热干面的销
量少 ，疫情期间的日销售量比疫情前的日销售量减少了 ；疫情期间周黑鸭和热干面的总日销
售额比直播当天的总销售额少 ，求 的值．
【例2】（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为
162元/件，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种商品每次降价的百分率；
（2）若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各
种费用150元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每
天盈利1450元，每件应降价多少元?
