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专题 22.20 二次函数区间最值问题（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
二次函数最值问题是中考热点内容，区间最值则是重难点内容。本专题重
在解决区间为前提的二次函数最值问题的解题方法。
【知识点1】二次函数区间最值类型
为了形象和记忆方便，特别作以下规定：轴：表示对称轴，区间：表示自变量的取值
范围，动：表示含有参数，二次函数区间最值类型有以下四种：
（1）定轴定区间：即对称轴，区间都固定求最值；
（2）定轴动区间：即对称轴固定，区间动求最值；
（3）动轴定区间：即对称轴动，区间固定求最值；
（4）动轴动区间：即对称轴动，区间都动求最值。
【知识点2】解题方法：主要抓住三要素
（1）三点：表示区间的两个端点和中点；
（2）一轴：表示二次函数对称轴；
（3）开口：表示二次函数的开口方向；
以上三要素统称为：“三点一轴及开口”，通过数形结合方法，根据函数的增减性分类讨论
解决问题。
【知识点3】四种区间情况讨论
对于二次函数
y=ax²+bx+c(a≠0)
，求以下区间的最值。
1、若自变量为全体实数
b
x
2a
（1）当a>0时，当 时，函数有最小值，如图（1）
b
x
2a
（2）当a<0时，当 时，函数有最大值，如图（2）图1 图 2
2、若： 且
b
x
2a
（1）当a>0时，抛物线开口向上，当 时，函数有最小值；当x=n时，函数有最
大值，如图（3）；
b
x
2a
（2）当a<0时，抛物线开口向下，当 时，函数有最大值；当x=n时，函数有最
小值，如图（4）；
图 3 图 4
b
x
2a
注意：这里一定要注意 m,n与 的水平距离，距离越远的点，才是最值，一定要结
合实际情况。
b
x
3、若 ，且对称轴 2a 在区间的右边时
（1）当a>0时，抛物线开口向上，当 x=m时，函数有最大值；当 x=n时，函数有最小
值，如图（5）；（2）当a<0时，抛物线开口向下，当 x=m时，函数有最小值；当 x=n时，函数有最大
值，如图（6）；
图5 图6
b
x
4、若 ，且对称轴 2a 在区间的左边时
（1）当a>0时，抛物线开口向上，当 x=m时，函数有最小值；当 x=n时，函数有最大
值。
（2）当a<0时，抛物线开口向下，当 x=m时，函数有最大值；当 x=n时，函数有最小
值。
图7 图8
【知识点4】总结归纳如下：
1、根据题意画草图；
2、根据题意确定类型：
（1）对称轴在区间的左侧；（2）对称轴在区间的中间；（3）对称轴在区间的右侧.
3、画出最高点和最低点，确定最值。
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】自变量为全体实数【例1】（22-23九年级上·浙江·单元测试）求二次函数 的最小值．
【答案】－9
【分析】将二次函数解析式化成顶点式，即可得到其最小值．
解：∵ ，
∴二次函数 的最小值为 ．
【点拨】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握配方的方法，会将二次函数的一般形式化成顶点式
是解题的关键．
【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）二次函数 的最小值是3，则a的值是
（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数的性质，直接利用抛物线的开口向上，把抛物线化为顶点式，再求解即
可.
解： ．
由题意，得 ，解得 ．
故选D．
【变式2】（2024·浙江温州·二模）已知关于x的二次函数 ，该函数的最大值
为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了二次函数的最值问题，配方成顶点式，利用二次函数的图象和性质求解即可，熟练
掌握二次函数的性质是解此题的关键．
解：
∵∴抛物线开口向下
∴当 时，抛物线有最大值5．
故答案为：5．
【题型2】自变量取值范围为 且
【例2】（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知二次函数 的图象为抛物线C．
（1）抛物线C的顶点坐标为______．
（2）当 时，求y的取值范围；
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移规律；
（1）将二次函数化成顶点式，即可求解；
（2）由（1）得抛物线的对称轴为直线 ，可得 ， ，由开口方向向上时，距离对称
轴越大的点对应的函数值越大，即可求解；
解：（1）解：
，
顶点 ，
故答案为： ；
（2）解：由（1）得抛物线的对称轴为直线 ，
，
，
， ，
，
，；
【变式1】（2023·陕西西安·一模）已知二次函数 在 时有最小值−2，
则 ( )
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据解析式可得对称轴为直线 ，进而分 和 两种情
况讨论，根据二次函数的性质，即可求解．
解： 二次函数解析式为 ，
二次函数对称轴为直线 ，
当m>0时，
在 时有最小值−2，
当x=1时， ，
；
当 时，
在 时有最小值−2，
当 时， ，
；
综上所述， 或 ，
故选：B．
【变式2】（2024·江苏镇江·二模）已知 ， ，当 时，则S的最大值为 ．
【答案】1
【分析】此题考查二次函数的最值．首先求出 的函数解析式，然后由 进一步得出 的取值范围
即可．
解：∵ ，
∴，抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
∵ ，
当 时，函数 有最大值，等于 ，
故答案为：1．
b
x
【题型3】若 ，且对称轴 2a 在区间的右边时
【例3】（2023·贵州贵阳·模拟预测）已知二次函数y=x2−2ax+1的顶点坐标是 ．
（1）当 时，求该二次函数的表达式；
（2）在（1）的条件下，当 时，求该二次函数的最大值；
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查了待定系数法的应用，二次函数的图象和性质，二次函数的最值，分类讨论思想是解
题的关键．
（1）根据对称轴公式求解即可； （2）根据函数的增减性求解；
解：（1）解：根据题意可得，对称轴 ，当 时，所以 ，
∴二次函数的表达式为 ．
（2）解：如图①，∵二次函数的表达式为 ，∴当 时，y的值随x值得增大而增大，
∵ ，
∴当 时，y的值随x值得增大而增大，
∴当 时，二次函数 有最大值，
解得 ．
【变式1】（2024·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知实数a，b满足 且 ，则代数式 的
最小值是（ ）
A．7 B．4 C．6 D．3
【答案】B
【分析】本题考查二次函数求最值，根据题意用含 的代数式表示 ，将代数式转化为只含 的代数式，
配方后，求最值即可．
解：∵ ，
∴ ，
∴
；
∵ ，∴当 时， 的值最小为 ；
故选B．
【变式2】（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知函数 ，当 时，有最大值
3，最小值2，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先将该函数的表达式化为顶点式，得出当 时，y有最小值2，再把 代入 ，
求出x的值，即可求出m的取值范围．
解：∵ ， ，
∴当 时，y有最小值2，
把 代入 得： ，
解得： ，
∵当 时，有最大值3，最小值2，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性和增减性，
以及求二次函数的最值的方法．
b
x
【题型4】若 ，且对称轴 2a 在区间的左边时
【例4】（22-23九年级上·四川凉山·期中）某水果摊位购进一批水果，进价为每千克40元，物价部门规
定其销售价不低于成本价且不高于成本价的2倍．经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元/千
克）符合如图所示的一次函数关系：
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若在销售过程中每天还要支付房租水电等其他费用300元，当销售单价为多少时，该批水果的日获
利最大？最大获利是多少元？【答案】(1) (2)当销售单价为80时，该批水果的日获利最大；最大获利是
4500元
【分析】本题考查了一次函数的实际应用与二次函数的实际应用．
（1）根据图象利用待定系数法，即可求出直线解析式；
（2）利用每件利润 总销量 总利润，进而求出二次函数最值即可．
解：（1）解：设 与 之间的函数关系式 ，
把 ， 分别代入
得 ，解得
（2）解：设该公司日获利润为 元，
，
抛物线开口向下，
当 时， 随 的增大而增大，
当 时， 有最大值答：当销售单价为80元时，该公司日获利最大，最大获利4500元．
【变式1】（23-24九年级上·湖北随州·阶段练习）将进货单价为50元的某种商品按零售价每个60元出
售时，每周能卖出100个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少2个，但物价部门规定，最高
售价不能高于成本价的 ，则每周获得的最大利润为（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的实际应用题，主要考查了列二次函数解析式，求二次函数的最值．设降
价x元，表示出利润y与x的函数关系式，再根据题意求出自变量x的取值范围即可求出最大利润．
解：设涨价x元，每周获利 ，
∵最高售价不能高于成本价的 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 随x的增大而增大，
故当 时，y的最大值为 ，
故应选：C
【变式2】二次函数 在自变量 的值满足 时，其对应的函数值 的最大值为 ，则
该函数的最小值为 ．
【答案】
【分析】由题意易得二次函数的对称轴为直线x=4，进而可得自变量 的值满足 时，在对称轴的
左侧，然后根据开口方向及二次函数的性质进行分类求解即可．
解：由二次函数 可得对称轴为直线 ，则有自变量 的值满足 在对称轴的
左侧，
①当a>0时，则有在 时，y随x的增大而减小；
当 时，y有最大值 ，即 ，解得 ，二次函数解析式为 ，
当 时，y有最小值，即 ；
②当 时，则有在 时，y随x的增大而增大；
当 时，y有最大值 ，即 ，解得 ，
，
不符合题意；
综上所述：最小值为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
b
x
【题型5】若 ，且对称轴 2a 在区间的位置进行分类讨论
【例5】（23-24八年级下·云南·期末）已知抛物线 经过点 和点 ．
（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）当自变量x满足 时，求y的取值范围；
（3）将此抛物线沿x轴平移m个单位后，当自变量x满足 时，y的最小值为5，求m的值．
【答案】(1)解析式为： ；顶点坐标为 (2) (3) 或
【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象及性质，平移性质等．
（1）将点(1,0)和点(0,3)代入 中求出 的值，即可计算出本题答案；
（2）利用二次函数顶点式可得当 时取得最小值，再求出 和x=−1时对应的函数值即可得到本
题答案；
（3）根据题意分别设抛物线左右平移解析式，利用函数性质得到最值情况，即可得到本题答案．
解：（1）解：将点(1,0)和点(0,3)代入 中得，
，解得： ，∴ ，
∵ ，
∴顶点坐标为 ；
（2）解：∵ ，
∴二次函数对称轴为： ，
∵ ，
∴此时函数有最小值 ，
∵自变量x满足 时，
当 时， ，
当 时， ，
∴自变量x满足 时，y的取值范围为： ；
（3）解：∵将此抛物线沿x轴平移m个单位后，
∴设此抛物线沿x轴向右平移m个单位后解析式为 ，
∵当自变量 满足 时， 的最小值为5，
∴ ，即 ，
此时 时， ，即 ，解得： （舍去），
设此抛物线沿x轴向左平移m个单位后解析式为 ，
∵当自变量 满足 时， 的最小值为5，
∴ ，即 ，
此时 时， ，即 ，解得： （舍去），
综上所述： 的值为： 或 ．
【变式1】（2024·陕西宝鸡·二模）已知二次函数 （a为常数），当 时，函
数的最大值与最小值的差为9，则a的值为（ ）A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据题意可知二次函数 ，故
该函数的对称轴为直线 ，函数的最大值为 ，然后根据对称轴 所在的位置进行分类讨论计算即
可；准确了解当 时，函数的最值会发生变化，从而结合方程解决问题是关键．
解：二次函数 ，
该函数的对称轴为直线 ，函数的最大值为 ，
当 时，
时，函数有最大值 ；
时，函数有最小值 ；
∵当 时，函数的最大值与最小值的差为9，
解得 （舍去）；
当 时，
时，函数有最大值 ；
时，函数有最小值 ；
∵当 时，函数的最大值与最小值的差为9，
解得 （舍去）；
当 时， 时，函数有最小值 ；
函数有最大值 ；解得 ；
当 时， 时，函数有最小值 ；
函数有最大值 ；
解得 ；
故选： ．
【变式2】（2023·吉林长春·模拟预测）已知二次函数的表达式为 ，当 时，函
数有最大值 ，则 的最小值是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查二次函数图象及性质，二次函数顶点式等．根据题意可知对称轴 ，分
三段区间对抛物线增减性最值进行求解即可得出本题答案．
解：∵ ，
抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
当 时， 时 取最大值，此时 ；
当 时， 时 取最大值，此时 ，
当 时， 时 取最大值，此时 ，
综上所述： 的最小值为 ．
故答案为： ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数 ，当 时，函数取得最大值；当 时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质
是解题的关键．
由 ，可知图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，当 时，
，即 关于对称轴对称的点坐标为 ，由当 时，函数取得最大值；当 时，函数取得
最小值，可得 ，计算求解，然后作答即可．
解：∵ ，
∴图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
当 时， ，
∴ 关于对称轴对称的点坐标为 ，
∵当 时，函数取得最大值；当 时，函数取得最小值，
∴ ，
解得， ，
故选：C．
【例2】（2022·吉林长春·中考真题）已知二次函数 ，当 时，函数值y的最小值为
1，则a的值为 ．
【答案】 /
【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而
减小，然后分两种情况讨论：若 ；若 ，即可求解．
解： ，
∴当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小，
若 ，当 时，y随x的增大而减小，此时当 时，函数值y最小，最小值为 ，不合题意，
若 ，当 时，函数值y最小，最小值为1，
∴ ，
解得： 或 （舍去）；
综上所述，a的值为 ．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
2、拓展延伸
【例1】（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线 过点 ， 两点，若
， 时，y的最大值为 ，则t的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．4
【答案】C
【分析】根据抛物线 过点 ， 两点，可以求得该抛物线的对称轴，然后再根
据 ， 时，y的最大值为 即可求得 的值．
解：∵抛物线 过点 ， 两点，
，
解得： ，∴抛物线 即为 ，
它的开口向下，对称轴是直线 ，
当 时， 有最大值 ，
若 ，则 ，
∵当 时，y的最大值为 ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∵ ，
．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次
函数的性质是解题的关键．
【例2】（2023·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数 （ ， 为常数且 ），当
时， 随 的增大而增大，则 的最大值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线解析式可得抛物线的对称轴，由 随 的增大而增大的取值
范围可得 与 的数量关系，进而求解．
解： ， 为常数且 ，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
当 时， 随 的增大而增大，
，，即 ，
，
最大值为 ．
故答案为： ．
