文档内容
专题 22.21 解决二次函数与面积问题的几种常用方法
（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点1】二次函数与面积——直接求图形的面积
已知抛物线解析式，求出抛物线与坐标轴交点坐标，直接求出图形的面积，这种类型较
为基础；
【知识点 2】二次函数与面积——割补法或铅垂法求图形的面积
已知抛物线解析式，求出抛物线与坐标轴交点坐标，直接求出图形的面积，这种类型较
为基础；如图下图，a为三角形PAB铅直高度，h为三角形PAB水平宽度，则
P
P
a
a
B
M
M B
A A
h h
【知识点3】二次函数与面积——作平行线等面积转化法
面积平行转化法是一种常用的计算面积的方法，它的基本思想是将一个区域平移或旋转
后再计算它的面积，从而得到更容易计算的面积。对于二次函数的面积计算，我们可以将抛
物线平移或旋转后转化为一个长方形或三角形，从而求出面积，P
P Q
A B
A B
Q
若P、Q在AB同侧 若P、Q在AB异侧
则PQ∥AB 则AB平分PQ
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】二次函数与面积——直接求图形的面积
【例1】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数 ，设其图象与x轴的交点分别
是A、B（点A在点B的左边），与y轴的交点是C，求：
（1） 、B、C三点的坐标；
（2）设抛物线的顶点为D，求 的面积．
【答案】(1) ， ， (2)6
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与面积综合，一次函数解析式．熟练掌握抛物线
与x轴的交点，二次函数与面积综合，一次函数解析式是解题的关键．
（1）令 ，则 ，计算求解可得 、B点的坐标；令 ，则 ，可得C点的坐标；
∴ ；
（2）由 ，可得 ，记对称轴与 相交于点M，如图，待定系数法求
直线 的解析式为 ，当 ， ，即 ，根据 ，
计算求解即可．
解:（1）解：令 ，则 ，解得 ， ，
∴ ， ，
令 ，则 ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
记对称轴与 相交于点M，如图，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
当 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为6．
【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数 的图象是由 的图象经过平移得到的，若图象与x轴交于点A， ，与y轴交于点 ，顶点为点B，则四边形
的面积为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【分析】本题是二次函数的综合，考查了二次函数图象的平移，待定系数法求函数解析式，二次函数的
图象与性质，求图形面积等知识．由平移可确定a的值，由待定系数法即可求得二次函数的解析式，从而
确定顶点B的坐标；由对称性及点C的坐标可求得点A的坐标，根据 即可求得结
果．
解:∵ 的图象是由 的图象经过平移得到的，
∴ ，
∴ ．
∵抛物线过点 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴顶点B的坐标为
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴A点坐标为 ，
∴ ，
如图， .【变式2】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
交x轴正半轴于点C，交y轴于点A， 轴交抛物线于点B，则 的面积
是 ．
【答案】2
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．先求
出点A的坐标，抛物线的对称轴，然后根据对称轴求出点B的坐标，最后根据三角形的面积公式求解即
可．
解：当 时， ，
∴ ，
抛物线 的对称轴为 ，
又 轴交抛物线于点B，
∴ ，
1
∴ 的面积是 ×2×2=2．
2
故答案为：2．
【题型2】二次函数与面积——割补法或铅垂法求图形的面积【例2】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴相交于
， ，与 轴相交于点 ，连接 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线 上方抛物线上有一点 ，当 的面积最大时，求点 的坐标及 面积的最大值；
【答案】(1) (2) 面积的最大值为 ，此时
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）设 ，表示出 的面积，再由二次函数图象与性质求最值，即可得到答案；
解:（1）解：把 ， 代入抛物线 表达式，
，
解得 ，
抛物线表达式为 ；
（2）解：过点 作 轴交线段 于 ，如图所示：由（1）知抛物线表达式为 ，
设 ，
、C(0,6)，
设直线 ： ，将 、C(0,6)代入得 ，解得 ，
： ，则
，
，
当 时， 有最大值，为 ，此时 ；【点拨】本题考查二次函数综合，涉及到待定系数法求二次函数解析式、待定系数法确定一次函数关系
式、二次函数与三角形面积问题、二次函数的图象与性质求最值、二次函数图象的动点问题、勾股定理
等内容，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
【变式1】（22-23九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象
与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C.点P是直线AC上方的抛物线上一动点，若
点P使△ACP的面积最大，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣ ， ） B．（ ，﹣ ） C．（﹣ ，1） D．（ ，3）
【答案】A
【分析】利用待定系数法求出二次函数和直线AC的解析式，过点P作PG y轴交AC于点G，设P（t，
），则G（t， t＋2），求出PG＝ ，可得 ，进而可得当t＝
时， 有最大值，问题得解．
解：将点A（−3，0），B（1，0）代入 中，得 ，
解得： ，
∴二次函数解析式为 ，
令x＝0，则 ，
∴C（0，2），设直线AC的解析式为y＝mx＋n，
代入A（−3，0），C（0，2）得 ，
解得 ，
∴直线AC的解析式为y＝ x＋2，
过点P作PG y轴交AC于点G，
设P（t， ），则G（t， t＋2），
∴PG＝ ，
∴ ，
∴当t＝ 时， 有最大值，此时P（ ， ），
故选：A．
【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，求出函数解析式，表示出PG的长
是解答本题的关键．
【变式2】（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，二次函数 的图象与x轴交于点A，B
（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点P是此函数图象上在第一象限内的一动点，当 时，点P
的坐标为 ．【答案】 或 / 或
【分析】分别求出点A，B，C的坐标，进而求出直线 的解析式，作 轴于点E，交 于点G，
设 ，则 ，再表示 ，然后根据 ，
得出关于t的关系式求出解即可．
解:令 ，则 ，
解得 ， ，
∴ ， ．
令 ，则 ，
∴ ．
设直线 的解析式为 ，
将 和 代入得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
过点P作 轴于点E，交 于点G，设 ，则 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得： ， ，
∴点P的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，解一元二次方程，求三角形
的面积等，将三角形的面积适当的分割是解题的关键．
【题型3】二次函数与面积——作平行线等面积转化法
【例3】（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，抛物线交x轴于A，B两点，于y轴交于点D，C是抛物
线的顶点，已知点 ， ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）连接AD，P是抛物线上一点，且点P在直线BD上方（与点A不重合）．若 ，求出点P
的坐标．【答案】(1) (2)
【分析】题目主要考查一次函数与二次函数综合问题，待定系数法确定函数解析式及面积问题，理解题
意，结合图象求解是解题关键．
（1）根据题意设抛物线的解析式为： ，然后将点B代入求解即可；
（2）过点A作 交抛物线于点P，连接 ，此时 和 同底等高，面积相等，利
用待定系数法确定直线BD的解析式为 ，直线 的解析式为 ，联立两个函数求解即可．
解:（1）解：设抛物线的解析式为： ，
将点 代入得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）过点A作 交抛物线于点P，连接 ，此时 和 同底等高，面积相等，当x=0时， ，
∴ ，
设直线BD的解析式为 ，
将点B、D代入得： ，
解得： ，
∴直线BD的解析式为 ，
∵ ，对称轴为x=1，
∴ ，
∵ ，
∴设直线 的解析式为 ，
将点A代入得： ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得： ， ，
∴ ．
【变式1】（22-23九年级上·江西宜春·期中）如图，已知抛物线 与x轴交于A、B两点，
与y轴交于点C，且 的面积是6．抛物线上有一动点P（不与点C重合），当 时，则
点P的坐标是【答案】 或 ， 或 ，
【分析】令 ，解方程求得点 ， 的坐标，从而得到线段 的长度，令 ，求得点 的坐标，
得到 的长度，利用三角形的面积公式列出关于 的方程，求出 值，过点 作 轴于点 ，利用
等底的三角形的面积的关系，得到 的 边上的高为3，列出关于 的方程，解方程即可得出结论．
解：令 ，则 ，
解得： 或 ，
二次函数 与 轴交于 、 两点（点 位于点 的左侧），
， ， ．
， ，
．
令 ，则 ，
，
．
的面积是6，
，
，
解得： 或4，
，
．
抛物线的解析式为 ．
，
．过点 作 轴于点 ，如图，
设 ，
，
，
两个三角形中 边上的高相等，为3，
，
或 ，
解得： 或 或 或 ．
时， 与点 重合，
点 的坐标为 或 ， 或 ， ．
故答案为： 或 ， 或 ， ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，要能够
利用坐标表示相应线段的长度，理解函数与方程的关系，三角形面积的关系．
【变式2】（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知抛物线 与 轴交于
两点，与 轴交于点 ，
与直线 交于点 ，其对称轴与直线 交于点 ，点 是此抛物线上的一个动点．
（1）求此抛物线的解析式并直接写出直线 的解析式；
（2）如图1，若点 是直线 上方抛物线上的一点，连接 、 和 ，当 与 面积相等时，求点 的横坐标；
（3）如图2，连接 ，在此抛物线对称轴右侧的抛物线上是否存在点 使得线段 最小？若存在，请
求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， (2)0或3 (3)存在点 ，坐标
【分析】（1）代入 、 坐标可求答案；
（2）用等面积法求出 的解析式，再和抛物线联立即可；
（3）通过平移将 点移到原点，让整个图象的解析式变得简单，再用代数法表示 的长度，配方即可．
解:（1）解：把 和 代入 ，
得： ，
解方程组： ，
此抛物线的解析式为： ；
设直线 的解析式为： ，
把两点坐标代入，得 ，
解得： ，直线 的解析式为： ；
（2）过点 作 交 轴于点 ，
由 ， 两点坐标得： ，
，
，
与 面积相等，
，
，
，
直线 的解析式为： ，与 轴交点为 ，
点 坐标为 ，
点 坐标为 ，
直线 ，
直线 的关系式为： ，
联立方程组： ，
解得： 或 ，
点坐标为 或 ，点横坐标为0或3；
（3）存在点 ，坐标 ，理由如下：
，
对称轴为直线 ，
代入 解析式求出
点 坐标为 ，
将整个图象整体平移，向左平移1个单位，向下平移 个单位，使 为原点，
则平移后解析式为 ，
此时 ， ，
，
时， 最小，
或 （舍去），
平移后的 ，
平移之前的 ，即 ，
故存在点 ，坐标 ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的解析式的求法以及与几何图形结合的综合能力．要会利用数形结合
的思想把代数和几何图形结合起来，利用平移将复杂的代数计算变得简单化，是解决本题的关键．
第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考
【例1】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴分别
交于点 ， ，抛物线 为常数）经过点 且交 轴于 两点．
（1）求抛物线表示的函数解析式；
（2）若点 为抛物线的顶点，连接 ， ， ．求四边形 的面积．
【答案】(1) (2)10
【分析】本题考查函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，三角形的面积
（1）分别把 ， 代入函数 中，可求得点 ， ，将点D坐标代入函数
，求出k的值，即可解答；
（2）由抛物线的函数解析式可得顶点P的坐标为 ，因此 轴， ，过点D作 于
点E，则 ，根据三角形的面积公式可求出 ；把 代入函数
中，求得A(−2,0)，因此 ，再根据 即可解答．
解：（1）解：把 代入函数 中，得 ，
解得 ，
∴ ，把 代入函数 中，得 ，
∴ ，
∵抛物线 为常数）经过点 ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线表示的函数解析式为 ；
（2）解：∵抛物线的函数解析式为 ，
∴顶点P的坐标为 ，
∵ ，
∴ 轴， ，
过点D作 于点E，则 ，
∴ ；
把 代入函数 中，得 ，
解得 ， ，
∴A(−2,0)， ，
∴ ，
∵ ，
∴∴
∴ ．
【例2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，
与y轴交于点C，点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，连接 ．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当 的面积最大时， 边上的高 的值为
______．
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与图形的面积，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出直线 的解析式，然后过点P作 轴交 于点D，设点P的坐标为 ，
则点D的坐标为 ，根据 求出面积的最大值，然后求高 即可．
解：（1）解：把 和 代入得：
，解得 ，
∴二次函数的解析式为 ；（2）解：令 ，则 ，解得： ， ，
∴点B的坐标为 ，
∴ ，
设直线 的解析式为y=mx+n，代入得：
，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
过点P作 轴交 于点D，
设点P的坐标为 ，则点D的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 最大为 ，
∴ ．
2、拓展延伸
【例1】（23-24九年级上·广西柳州·期中）如图，已知抛物线 的顶点为 ，且通过点 ．
（1）求顶点 的坐标；
（2）点 为直线 上方抛物线上一动点，求 面积的最大值；
（3）在抛物线上存在一点 ，使得 ，求点 坐标．
【答案】(1) (2) 面积的最大值为 (3) 或
【分析】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握待定系数法求解解析式，二次函数的图象和性质，
全等三角形的判定和性质，顶点式的运用，学会数形结合的解题方法，即可．
（1）把点 代入抛物线 ，即可；
（2）设直线 的解析式为： ，求出解析式；当直线 向上平移，与抛物线仅一个交
点时， 面积有最大值，且平移的解析式为 ，求出点 的坐标，再根据
，即可．
（3） 过点 作 交 于点 ，过点 作 轴，分别过点 ， 作 于点 ，
于点 ；得到 ，根据全等三角形的判定和性质，则
，求出 ， ，得到点 的坐标，设直线 的解析式为：
，求出解析式，联立抛物线， 延长 交 于点 ，过点 作 交于点 ，且 轴，同理得到 ，求出 ， ，得到点 的坐标，设直线
的解析式为： ，求出解析式，联立抛物线，即可．
解：（1）∵抛物线 的顶点为 ，且通过点 ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线为： ，
∴顶点 ．
（2）∵ ， ，
∴设直线 的解析式为：y=kx+b(k≠0)，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
当直线 向上平移，与抛物线仅一个公共点时， 面积有最大值，且平移的解析式为 ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
解得： ，
∴平移直线的解析式为： ，
∴ ，
解得： ，
∴点 ，
设直线 与 轴的交点为点 ，
∴ ，∴ ，
∴
∴ ．
（3） 过点 作 交 于点 ，过点 作 轴，分别过点 ， 作 于点 ，
于点 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴点 ，设直线 的解析式为： ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
∵点 在直线 上，
∴直线 的解析式为： ，
联立抛物线 ，
∴ ，
解得： （舍去）， ，
∴点 ；
延长 交 于点 ，过点 作 交于点 ，且 轴
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴点
设直线 的解析式为： ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
∵点 在直线 上
∴直线 的解析式为： ，
∴联立抛物线 ，
∴ ，
解得： （舍去）， ，
∴点 ；
综上所述，点 或 ．【例2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线 经过
三点，直线 经过点A，交抛物线于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E在线段 上，且满足 ，点F在x轴下方的抛物线上，设点F的横坐标为t，当t
为何值时， 的面积最大？请求出最大值．
【答案】(1) (2)当 时， 的面积最大，最大值为
【分析】本题考查二次函数与几何的综合．利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．
（1）根据题意可设抛物线的解析式为 ，再将C(0,6)代入，求出a的值，即得出该抛物线
解析式；
（2）根据题意可求出 的值，即得出直线 的解析式．联立两个解析式即可求出D点坐标，从而可求
出 的值．设点 ，根据 ，即可求出 ，由此可列出关于m的等式，解出m，即得出E点坐标．从而可求出直线 的解析式．如图，过点F作 轴交直线 于点
G，设点 ，则 ．即可用t表示出 的长，再设点B的横坐标为 ，
点E的坐标为 ，分类讨论①当 时，利用 ，结合二次函数的性质即可求出结
果； ②当 时，利用 ，结合二次函数的性质即可求出结果．
解：（1）∵抛物线 的图象经过点 ，
∴设抛物线的解析式为 ，
把点C(0,6)代入，得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ．
（2）∵直线 经过点
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得： ， ，
∴点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设点 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ．
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
如图，过点F作 轴交直线 于点G，
∵点 ，
∴ ．
∴ ，
设点B的横坐标为 ，点E的坐标为 ，
①如图1，当 时，∴当 时， 有最大值为 ．
②如图2，当 时，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ，综上所述，当 时， 的最大面积为 ．
