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专题 22.22 二次函数与利润问题题型分类专题
（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
二次函数与利润问题在中考中占据非常重要的地位，是中考数学中的必考考点之一。
二次函数的应用在中考数学中主要体现在解决商品利润问题，这类问题不仅考察学生对
二次函数基本概念和性质的理解，还考察学生将实际问题转化为数学模型的能力。通过解决
二次函数与利润问题，学生可以加深对二次函数图像和性质的理解，同时也能提高解决实际
问题的能力。
解决二次函数与利润问题的基本步骤包括：
审题 ：理解题意，找到未知量和已知量之间的关系。
建模 ：根据销售利润方面的知识列出等量关系。
建立二次函数模型 ：用含有未知量的式子表达出单个利润和销售量，根据等量关系建立
二次函数。
求解 ：应用二次函数的性质和图像找出所求最值。
通过这些步骤，学生不仅能够掌握二次函数的基本应用，还能学会如何将复杂的实际问
题简化为数学模型进行求解，这对于培养学生的逻辑思维和数学应用能力具有重要意义。此
外，这类问题还经常出现在日常生活中，因此学习如何运用二次函数解决利润问题，对于学
生未来的生活和职业发展也具有一定的帮助 1
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】二次函数与最大利润——直接通过二次函数顶点坐标求最大利润
【例1】（2024·辽宁·模拟预测）飞盘运动是一种老少皆宜的健身项目，只要有一片空旷的场地就能让我
们开心地锻炼．某校公益社团购进一批橡胶飞盘进行销售，将所得全部利润用于开展公益活动，已知该
橡胶飞盘进价为每个16元，销售中平均每天销售量y（个）与销售单价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示，其中 ，且x为整数．
x 18 20 22 24
y 70 60 50 40
(1)求出y与x之间的函数表达式；
(2)在销售过程中，当每个橡胶飞盘售价为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？
【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）“燎原书店”销售某种中考复习资料，若每本可获利x元，
一天可售出 本，则该书店出售该种中考复习资料的日利润最大为（ ）
A． 元 B．750元 C．1000元 D． 元
【变式2】（23-24九年级上·全国·单元测试）某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当
地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x万元，可获得利润 （万元）．
每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是 万元．
【题型2】二次函数与最大利润——通过求自变最取值范围求最大利润
【例2】（23-24九年级下·江苏淮安·期末）某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现
这种商品每天的销售量 （件）与每件的销售单价 （元）满足一次函数关系： ．
(1)若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 ；
(2)若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少?
【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）某商店销售某种商品所获得的利润 （元）关于所卖的件
数 的函数解析式是 ，则当 时的最大利润为（ ）
A．2500元 B．47500元 C．50000元 D．250000元
【变式2】（2024·青海西宁·一模）电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件 元，在铅售过程中
发现（件）与每件玩具售价 元）之间满足一次函数关系 （其中 ，且 为整
数），电商平台每周销售这款玩具所获的最大利润为 元．
【题型3】二次函数与最大利润——欲求最大利润先求定（售）价
【例3】（2024·江苏连云港·模拟预测）为了拉动内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送电脑
下乡，国家决定实行政府补贴．规定每购买一台电脑，政府补贴若干元，经调查某商场销售电脑台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图所示的一次函数关系，随着补贴款额x的不断增大，销售量
也不断增加，但每台电脑的收益p（元）会相应降低且满足： ．
（1）在政府补贴政策实施后，求出该商场销售电脑台数y与政府补贴款额x之间的函数关系式；
（2）在政府未出台补贴措施之前，该商场销售电脑的总收益额为多少元？
（3）要使该商场销售电脑的总收益最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益的最大值．
【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出
200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20
顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ ）元．
A．50 B．90 C．80 D．70
【变式2】（2024·山东临沂·二模）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在
“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出10顶．已知头
盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 元．
【题型4】二次函数与最大利润——与一次函数综合求最大利润
【例4】某食品厂生产一种半成品食材，产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式
，从市场反馈的信息发现，该半成品食材的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）
满足一次函数关系，如下表：
销售价格x（元/千克） 2 4 10
市场需求量q/（百千克） 12 10 4
已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克
(1)求q与x的函数关系式；
(2)当产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，求此时x的取值范围；
(3)当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能废弃，若该半成品食材的成本是2元/千克．
①求厂家获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；
②当厂家获得的利润y（百元）随销售价格x的上涨而增加时，直接写出x的取值范围．（利润 售价
成本）
【变式1】（2024·天津红桥·三模）某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装
的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的 ．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x
（元）符合一次函数关系 ．有下列结论：
①销售单价可以是90元；
②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元；
③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2】（23-24九年级上·河南濮阳·期中）北京冬奥会推出的吉祥物“冰墩墩”“雪容融”深受人们
的喜爱，销售火爆．某经销商以60元/个的价格购进了一批“冰墩墩”摆件，打算采取线下和线上两种方
式销售，调查发现线下每周销售量y（个）与售价x（元/个） 满足一次函数关系：
售价x（元/个） … 80 90 100 …
销量y（个） … 400 300 200 …
线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的80%；线上售价为100元/个，供不应求．若该经销商共购进
“冰墩墩”1000个，一周内全部销售完．合理分配线下和线上的销量，可使全部售完后获得的利润最大，
最大利润是 元（不计其它成本）．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y
（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．（1）求这段时间内y与x之间的函数解析式；
（2）在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价
为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
【例2】（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，
共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200
元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，
但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
2、拓展延伸
【例1】（2024·浙江·模拟预测）某公司采用两种方式经营 商品的销售业务，
方式一：将 商品精包装后直接销售；
方式二：将 商品深加工得到 商品后再销售．
已知 商品的基础成本 （万元）和精包装费用 （万元）均与销售数量 （吨）成正比，平均销
售价格 （万元/吨）与 符合关系式 ，生产 商品总费用 （万元）包括每月固定
环保费 （万元）和每吨固定加工费 （万元），其平均销售价格为9万元/吨．2月份该公司销售两种
商品共20吨，销售利润60万元；3月份受季节影响，虽然也销售了20吨两种商品，但销售利润只有38
万元，两个月的部分销售情况如下表．（销售利润＝销售总收入－经营总成本）
商品 （万元） （万元）
（吨）
2月 3 9 3
3月 10 30 10（1）当 时，求A商品的销售利润 与x的函数关系式；并写出m、n的值；
（2）4月份该公司仍按计划销售20吨两种商品，问：该公司还能获得30万元销售利润吗？若能，请求
出x的值；若不能，请说明理由．
【例2】（2024·湖南怀化·一模）受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售
价格开始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格 (元/ )与周次 ( 是正整数， )的关
系可近似用函数 刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格 (元/
)从第5周的6元/ 下降至第6周的5.6元/ ， 与周次 ( )的关系可近似用函数
刻画．
(1)求 ， 的值．
(2)若前五周该蔬菜的销售量 与每周的平均销售价格 元 之间的关系可近似地用如图 所示的
函数图象刻画，第 周的销售量与第 周相同：
①求 与 的函数表达式；
②在前六周中，哪一周的销售额 元)最大？最大销售额是多少？
(3)若该蔬菜第7周的销售量是，由于受降雨的影响，此种蔬菜第周的可销售量将比第周减少．为此，公
司又紧急从外地调运了此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第周的销售价格比第周仅上
涨．若在这一举措下，此种蔬菜在第周的总销售额与第周刚好持平，请通过计算估算出的整数值．
