文档内容
专题 22.22 二次函数与利润问题题型分类专题
（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
二次函数与利润问题在中考中占据非常重要的地位，是中考数学中的必考考点之一。
二次函数的应用在中考数学中主要体现在解决商品利润问题，这类问题不仅考察学生对
二次函数基本概念和性质的理解，还考察学生将实际问题转化为数学模型的能力。通过解决
二次函数与利润问题，学生可以加深对二次函数图像和性质的理解，同时也能提高解决实际
问题的能力。
解决二次函数与利润问题的基本步骤包括：
审题 ：理解题意，找到未知量和已知量之间的关系。
建模 ：根据销售利润方面的知识列出等量关系。
建立二次函数模型 ：用含有未知量的式子表达出单个利润和销售量，根据等量关系建立
二次函数。
求解 ：应用二次函数的性质和图像找出所求最值。
通过这些步骤，学生不仅能够掌握二次函数的基本应用，还能学会如何将复杂的实际问
题简化为数学模型进行求解，这对于培养学生的逻辑思维和数学应用能力具有重要意义。此
外，这类问题还经常出现在日常生活中，因此学习如何运用二次函数解决利润问题，对于学
生未来的生活和职业发展也具有一定的帮助 1
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】二次函数与最大利润——直接通过二次函数顶点坐标求最大利润
【例1】（2024·辽宁·模拟预测）飞盘运动是一种老少皆宜的健身项目，只要有一片空旷的场地就能让我
们开心地锻炼．某校公益社团购进一批橡胶飞盘进行销售，将所得全部利润用于开展公益活动，已知该
橡胶飞盘进价为每个16元，销售中平均每天销售量y（个）与销售单价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示，其中 ，且x为整数．
x 18 20 22 24
y 70 60 50 40
(1)求出y与x之间的函数表达式；
(2)在销售过程中，当每个橡胶飞盘售价为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1) (2)每个橡胶飞盘售价为24元时，每天销售利润最大，最大利润为320元
【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用：
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）设日销售利润为 元，根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．
（1）解：设 与 的函数表达式为 ．
代入点 ， ，得：
解得： ．
与 的函数表达式为 ；
（2）解：设日销售利润为 元，根据题意得：
，
，
抛物线开口向下，
，
当 时， ．
答：每个橡胶飞盘售价为24元时，每天销售利润最大，最大利润为320元．
【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）“燎原书店”销售某种中考复习资料，若每本可获利x元，
一天可售出 本，则该书店出售该种中考复习资料的日利润最大为（ ）A． 元 B．750元 C．1000元 D． 元
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握把二次函数化为顶点式，求二次函数的最值是解题的
关键．
每本可获利 元，一天可售出 本，则一天的利润为 ，设日利润为 ，求二次函数
的最大值即可．
解：每本可获利 元，一天可售出 本，则一天的利润为 ，
设日利润为 ，
∴ ，
∴最大利润为： 元，
故选：C．
【变式2】（23-24九年级上·全国·单元测试）某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当
地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x万元，可获得利润 （万元）．
每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是 万元．
【答案】205
【分析】此题考查了二次函数的实际应用问题．由可获得利润 ，即可知当 时，
P最大，最大值为41，继而求得5年所获利润的最大值．
解：
∴当 时， 取最大值41，
（万元），
年所获利润的最大值205万元，
故答案为：205．
【题型2】二次函数与最大利润——通过求自变最取值范围求最大利润
【例2】（23-24九年级下·江苏淮安·期末）某公司以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现
这种商品每天的销售量 （件）与每件的销售单价 （元）满足一次函数关系： ．(1)若设总利润为w元，则w与x的函数关系式是 ；
(2)若每天的销售量不少于38件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少?
【答案】(1) ；(2)销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元．
【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是
解题的关键．
（1）每件进价是40元，销售单价为 元，则每件利润为 元，从而根据利润等于每件的利润乘以
销售量可得 关于 的函数关系式；
（2）每天的销售量不少于38件，可得不等式，解得 的取值范围，将（2）中所得的二次函数写成顶点
式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
（1）解：由题意得：
，
与 的函数关系式为 ，
故答案为： ；
（2）解： ，
，
解得： ．
，
对称轴为 ，抛物线开口向下，
当 时， 随 的增大而增大，
，
当 时， 有最大值，最大值为： ．
销售单价定为51元时，利润最大，最大利润是418元．
【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）某商店销售某种商品所获得的利润 （元）关于所卖的件数 的函数解析式是 ，则当 时的最大利润为（ ）
A．2500元 B．47500元 C．50000元 D．250000元
【答案】B
【分析】利用二次函数的对称轴公式可得：对称轴为： ，再利用二次函数的图象及性质可得当
时，y有最大值，将其带入解析式即可求解．
解：二次函数的对称轴为： ，
，且 ，
二次函数的图象在 时，y随x的增大而增大，
当 时，y有最大值，最大值为： ，
当 时的最大利润为：47500元，
故选B．
【点拨】本题考查了二次函数的应用、二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关
键．
【变式2】（2024·青海西宁·一模）电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件 元，在铅售过程中
发现（件）与每件玩具售价 元）之间满足一次函数关系 （其中 ，且 为整
数），电商平台每周销售这款玩具所获的最大利润为 元．
【答案】1600
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每周销售这款玩具所获的利润为W，列出W关于x的
二次函数关系式，化为顶点式即可求解．
解：由题意，利润 ．
∵ ，
∴当 时，y随x的增大而增大．
又∵ ，
∴当 时，w取得最大值．
故答案为：
【题型3】二次函数与最大利润——欲求最大利润先求定（售）价【例3】（2024·江苏连云港·模拟预测）为了拉动内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送电脑
下乡，国家决定实行政府补贴．规定每购买一台电脑，政府补贴若干元，经调查某商场销售电脑台数y
（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图所示的一次函数关系，随着补贴款额x的不断增大，销售量
也不断增加，但每台电脑的收益p（元）会相应降低且满足： ．
（1）在政府补贴政策实施后，求出该商场销售电脑台数y与政府补贴款额x之间的函数关系式；
（2）在政府未出台补贴措施之前，该商场销售电脑的总收益额为多少元？
（3）要使该商场销售电脑的总收益最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益的最大值．
【答案】(1) (2) 元 (3) 元， 元
【分析】（1）依题意设 ，待定系数法求解即可；
（2）当 时， ，当 时， ，根据 ，计算求解即可；
（3）设总收益为W元，则 ，由 ，可知当
时，W有最大值，计算求解即可．
（1）解：依题意设 ，
将 ， 代入 得，
，
解得 ，
∴ ．（2）解：当 时， ，
当 时， ，
∴ ；
答：在政府未出台补贴措施之前，该商场销售彩电的总收益额为 元．
（3）解：设总收益为W元，则
，
，
∵
当 时，W有最大值 ．
∴答：政府应将每台补贴款额定为 元时，可获得最大利润 元．
【点拨】本题考查了一次函数解析式，一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟
练掌握一次函数解析式，一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键．
【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出
200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20
顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ ）元．
A．50 B．90 C．80 D．70
【答案】D
【分析】本题考查二次函数解应用题，涉及二次函数图象与性质、二次函数最值等，根据题意，设降价
元，每月获得最大利润为 ，得到 ，利用二次函数最值求法即可得到答案，熟练掌
握二次函数图象与性质是解决问题的关键．
解：设降价 元，每月获得最大利润为 ，则
，
，
抛物线开口向下，即当 时， 有最大值，该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 元，
故选：D．
【变式2】（2024·山东临沂·二模）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在
“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出10顶．已知头
盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 元．
【答案】75
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出式子是解题关键．设降价x元，利润为W，根据
题意得出方程，然后求出取最大值时的x值即可得到售价．
解：设降价x元，利润为W，
由题意得： ，
整理得： ，
∴当 时，可获得最大利润，
此时每顶头盔的售价为： （元），
故答案为：75．
【题型4】二次函数与最大利润——与一次函数综合求最大利润
【例4】某食品厂生产一种半成品食材，产量p（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式
，从市场反馈的信息发现，该半成品食材的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）
满足一次函数关系，如下表：
销售价格x（元/千克） 2 4 10
市场需求量q/（百千克） 12 10 4
已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克
(1)求q与x的函数关系式；
(2)当产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，求此时x的取值范围；
(3)当产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质期短而只能
废弃，若该半成品食材的成本是2元/千克．
①求厂家获得的利润y（百元）与销售价格x的函数关系式；
②当厂家获得的利润y（百元）随销售价格x的上涨而增加时，直接写出x的取值范围．（利润 售价成本）
【答案】(1) (2) (3)① ；②
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，正确得出二次函数解
析式是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；
（2）由题意可得 ，进而得出x的取值范围；
（3）①利用顶点式求出函数最值得出答案；②利用二次函数的增减性得出答案即可．
（1）解：设 （k，b为常数且 ），当 时， ，当 时， ，代入解析式得：
，
解得： ，
∴q与x的函数关系式为： ．
（2）解：当产量小于或等于市场需求量时，有 ，
，
解得： ，
又 ，
∴ ；
（3）解：①当产量大于市场需求量时，可得 ，由题意得：厂家获得的利润是：
；
②∵当 时，y随x的增加而增加．
又∵产量大于市场需求量时，有 ，
∴当 时，厂家获得的利润y随销售价格x的上涨而增加．
【变式1】（2024·天津红桥·三模）某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的 ．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x
（元）符合一次函数关系 ．有下列结论：
①销售单价可以是90元；
②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元；
③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据已知条件列出总利润与销售价的函数关系式，利用二次函
数的性质及其x的取值范围求出利润的最大值．利用函数的性质是解答此题的关键．
解：由题意可知 ，解得： ，
∴销售单价不可能是90元，故①不正确；
利润 与销售价的函数关系式：
，
，
抛物线的开口向下，
当 时， 随 的增大而增大，
而 ，
当 时， （元）．
当销售单价定为87元时，可获得最大利润，最大利润是891元，故②正确；
当 时， ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
则只有1个销售单价为70元时，满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，故③不正确；
综上，正确的结论只有1个，
故选：B．
【变式2】（23-24九年级上·河南濮阳·期中）北京冬奥会推出的吉祥物“冰墩墩”“雪容融”深受人们的喜爱，销售火爆．某经销商以60元/个的价格购进了一批“冰墩墩”摆件，打算采取线下和线上两种方
式销售，调查发现线下每周销售量y（个）与售价x（元/个） 满足一次函数关系：
售价x（元/个） … 80 90 100 …
销量y（个） … 400 300 200 …
线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的80%；线上售价为100元/个，供不应求．若该经销商共购进
“冰墩墩”1000个，一周内全部销售完．合理分配线下和线上的销量，可使全部售完后获得的利润最大，
最大利润是 元（不计其它成本）．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的应用和待定系数法求函数解析式，关键是设出 与 的函数表达式为
然后用待定系数法求函数解析式即可，然后根据总利润 线下销售利润 线上销售利润列出函
数解析式找最值．
解：设 与 的函数表达式为 ，
则 ，
解得： ，
∴ 与 的函数表达式为 ，
当线下销量为 )个时，线上销量为 个,
设全部售完后获得的利润为 元，根据题意得：
，
∵线下销售，每个摆件的利润不得高于进价的 ，
，
解得： ，
∵ ，对称轴为 ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 元，故答案为为： .
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y
（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
（1）求这段时间内y与x之间的函数解析式；
（2）在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价
为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)这段时间内y与x之间的函数解析式为 (2)当销售单价为 元时，商场获得利
润最大，最大利润是 元
【分析】（1）设这段时间内y与x之间的函数解析式为 ，函数经过 ， ，可
以利用待定系数法建立二元一次方程组，即可求出解析式；
（2）根据销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，建立一元一次不等式组，即可求出销
售单价的取值范围，要求最大利润，首先设获得利润为 ，写出 关于 的二次函数解析式，根据二次函
数的增减性和 的取值范围，即可求出获得利润的最大值
（1）解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为 ，
由图象可知，函数经过 ， ，
可得 ，解得 ，
这段时间内y与x之间的函数解析式为 ；
（2）解： 销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，， ，
即 ，解得 ，
设获得利润为 ，即 ，
对称轴 ，
，即二次函数开口向下， 的取值范围是 ，
在 范围内， 随着 的增大而增大，
即当销售单价 时，获得利润 有最大值，
最大利润 元．
【点拨】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的性质，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，
解题的关键是用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解．
【例2】（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，
共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200
元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，
但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
【答案】(1) ，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为 元
(2)这天售出了64辆轮椅
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：
（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；
（2）令 ，得到关于 的一元二次方程，进行求解即可．
（1）解：由题意，得： ；
∵每辆轮椅的利润不低于180元，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴当 时， 随 的增大而增大，
∴当 时，每天的利润最大，为 元；
答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为 元；
（2）当 时， ，
解得： （不合题意，舍去）；
∴ （辆）；
答：这天售出了64辆轮椅．
2、拓展延伸
【例1】（2024·浙江·模拟预测）某公司采用两种方式经营 商品的销售业务，
方式一：将 商品精包装后直接销售；
方式二：将 商品深加工得到 商品后再销售．
已知 商品的基础成本 （万元）和精包装费用 （万元）均与销售数量 （吨）成正比，平均销
售价格 （万元/吨）与 符合关系式 ，生产 商品总费用 （万元）包括每月固定
环保费 （万元）和每吨固定加工费 （万元），其平均销售价格为9万元/吨．2月份该公司销售两种
商品共20吨，销售利润60万元；3月份受季节影响，虽然也销售了20吨两种商品，但销售利润只有38
万元，两个月的部分销售情况如下表．（销售利润＝销售总收入－经营总成本）
商品 （万元） （万元）
（吨）
2月 3 9 3
3月 10 30 10
（1）当 时，求A商品的销售利润 与x的函数关系式；并写出m、n的值；（2）4月份该公司仍按计划销售20吨两种商品，问：该公司还能获得30万元销售利润吗？若能，请求
出x的值；若不能，请说明理由．
【答案】(1) ； ， ；（2）该公司能获得30万元销售利润，此时 吨．
【分析】本题主要考查二次函数的应用，一次函数的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是理解
题意找到销售 、 两种商品所获得的总利润的相等关系，并据此列出函数解析式．
（1）由 商品的基础成本 （万元）和精包装费用 （万元）均与销售数量 吨成正比可设 ，
，将表格中数据代入计算求得 、 即可得出 ， ，利用总利润 销售额 基础成本价
精包装总费用即可得；根据“ 商品总利润 销售收入 基础成本费用 月固定环保费 固定加工总费
用”得 ，利用表格得出关于 、 的方程组，解之可得；
（2）由当 时 和当 时 分别求解可得．
（1）解：设 ， ，
由表格知：当 时， ， ，
， ，
解得： ， ，
， ，
当 时， ，
．
当 时， ．
当 时， ，
，
．
2月份： ，总利润 ，
①；
3月份： ，
总利润 ，
②．
联立①②得 ，
解得
， ；
（2）解：4月份，当 时， ．
当 时，
解得 ， ，均不合题意；
当 时， ．
当 时，解得 ，
该公司能获得30万元销售利润，此时 吨．
【例2】（2024·湖南怀化·一模）受新冠疫情影响，3月1日起，“君乐买菜”网络公司某种蔬菜的销售
价格开始上涨．如图1，前四周该蔬菜每周的平均销售价格 (元/ )与周次 ( 是正整数， )的关
系可近似用函数 刻画；进入第5周后，由于外地蔬菜的上市，该蔬菜每周的平均销售价格 (元/
)从第5周的6元/ 下降至第6周的5.6元/ ， 与周次 ( )的关系可近似用函数
刻画．(1)求 ， 的值．
(2)若前五周该蔬菜的销售量 与每周的平均销售价格 元 之间的关系可近似地用如图 所示的
函数图象刻画，第 周的销售量与第 周相同：
①求 与 的函数表达式；
②在前六周中，哪一周的销售额 元)最大？最大销售额是多少？
(3)若该蔬菜第7周的销售量是 ，由于受降雨的影响，此种蔬菜第 周的可销售量将比第 周减少
．为此，公司又紧急从外地调运了 此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜第
周的销售价格比第 周仅上涨 ．若在这一举措下，此种蔬菜在第 周的总销售额与第 周刚好持
平，请通过计算估算出 的整数值．
【答案】(1) ， (2)① ；②第 周或第 周销售额最大，最大销售额是 元 (3)
【分析】本题考查了一次函数、二次函数的实际应用以及一元二次方程的应用，
（1）利用待定系数法即可求解；（2）①利用待定系数法即可求解；
②分 和 两种情况讨论，利用销售额=销售量 销售价格，再运用二次函数的性质求解即可；
（3）由题意列一元二次方程计算出 的值，再利用估算法即可求解．
解：（1）把 代入 得： ，
解得： ，
把 代入 得： ，
解得： ，
故答案为： ， ；（2）①设函数关系式为：
把 ， 代入得： ，
解得： ，
与 的函数表达式为： ；
②当 时，
， ，
，
，
是正整数，
当x=2或 时， 有最大值 ；
当 时， ， ，
当 时， ， ，
，
是正整数， ，
当 时， 有最大值 ；
综上所得：第 周或第 周销售额最大，最大销售额是 元；
（3）由题意得： ，
解得： 或 (舍去)，
∵ ，
∴．
