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专题 22.21 解决二次函数与面积问题的几种常用方法
（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点1】二次函数与面积——直接求图形的面积
已知抛物线解析式，求出抛物线与坐标轴交点坐标，直接求出图形的面积，这种类型较
为基础；
【知识点 2】二次函数与面积——割补法或铅垂法求图形的面积
已知抛物线解析式，求出抛物线与坐标轴交点坐标，直接求出图形的面积，这种类型较
为基础；如图下图，a为三角形PAB铅直高度，h为三角形PAB水平宽度，则
P
P
a
a
B
M
M B
A A
h h
【知识点3】二次函数与面积——作平行线等面积转化法
面积平行转化法是一种常用的计算面积的方法，它的基本思想是将一个区域平移或旋转
后再计算它的面积，从而得到更容易计算的面积。对于二次函数的面积计算，我们可以将抛
物线平移或旋转后转化为一个长方形或三角形，从而求出面积，P
P Q
A B
A B
Q
若P、Q在AB同侧 若P、Q在AB异侧
则PQ∥AB 则AB平分PQ
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】二次函数与面积——直接求图形的面积
【例1】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数 ，设其图象与x轴的交点分别
是A、B（点A在点B的左边），与y轴的交点是C，求：
（1） 、B、C三点的坐标；
（2）设抛物线的顶点为D，求 的面积．
【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）已知二次函数 的图象是由 的图象经
过平移得到的，若图象与x轴交于点A， ，与y轴交于点 ，顶点为点B，则四边形
的面积为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【变式2】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
交x轴正半轴于点C，交y轴于点A， 轴交抛物线于点B，则 的面积
是 ．【题型2】二次函数与面积——割补法或铅垂法求图形的面积
【例2】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴相交于
， ，与 轴相交于点 ，连接 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线 上方抛物线上有一点 ，当 的面积最大时，求点 的坐标及 面积的最大值；
【变式1】（22-23九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象
与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C.点P是直线AC上方的抛物线上一动点，若
点P使△ACP的面积最大，则点P的坐标为（ ）
A．（﹣ ， ） B．（ ，﹣ ） C．（﹣ ，1） D．（ ，3）
【变式2】（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）如图，二次函数 的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C．点P是此函数图象上在第一象限内的一动点，当 时，点P
的坐标为 ．
【题型3】二次函数与面积——作平行线等面积转化法
【例3】（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，抛物线交x轴于A，B两点，于y轴交于点D，C是抛物
线的顶点，已知点 ， ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）连接AD，P是抛物线上一点，且点P在直线BD上方（与点A不重合）．若 ，求出点P
的坐标．
【变式1】（22-23九年级上·江西宜春·期中）如图，已知抛物线 与x轴交于A、B两点，
与y轴交于点C，且 的面积是6．抛物线上有一动点P（不与点C重合），当 时，则
点P的坐标是【变式2】（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知抛物线 与 轴交于
两点，与 轴交于点 ，
与直线 交于点 ，其对称轴与直线 交于点 ，点 是此抛物线上的一个动点．
（1）求此抛物线的解析式并直接写出直线 的解析式；
（2）如图1，若点 是直线 上方抛物线上的一点，连接 、 和 ，当 与 面积相
等时，求点 的横坐标；
（3）如图2，连接 ，在此抛物线对称轴右侧的抛物线上是否存在点 使得线段 最小？若存在，请
求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴分别
交于点 ， ，抛物线 为常数）经过点 且交 轴于 两点．
（1）求抛物线表示的函数解析式；（2）若点 为抛物线的顶点，连接 ， ， ．求四边形 的面积．
【例2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，
与y轴交于点C，点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，连接 ．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当 的面积最大时， 边上的高 的值为
______．
2、拓展延伸
【例1】（23-24九年级上·广西柳州·期中）如图，已知抛物线 的顶点为 ，且通
过点 ．
（1）求顶点 的坐标；
（2）点 为直线 上方抛物线上一动点，求 面积的最大值；
（3）在抛物线上存在一点 ，使得 ，求点 坐标．【例2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，抛物线 经过
三点，直线 经过点A，交抛物线于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E在线段 上，且满足 ，点F在x轴下方的抛物线上，设点F的横坐标为t，当t
为何值时， 的面积最大？请求出最大值．
