文档内容
专题21.11 实际问题与一元二次方程（知识梳理与题型分类讲解）
一、【学习目标】
1.知识掌握：学会将实际问题转化为一元二次方程，熟练运用多种方法求解，并得出符合实际的答
案；2.能力培养：提升逻辑思维与数学建模能力，在解题过程中增强自主探索与合作交流能力；
3.情感塑造：感受数学实用性，激发学习兴趣，培养克服困难的意志与严谨学习态度.
二、【题型目录】
【题型一】传播问题...................................................................1
【题型二】增长率问题.................................................................1
【题型三】图形面积问题...............................................................2
【题型四】数字问题...................................................................3
【题型五】商品销售问题...............................................................4
【题型六】动点运动问题...............................................................5
【题型七】工程问题+行程问题..........................................................6
【题型八】握手+循环赛问题............................................................6
【题型九】解可化为一元二次方程的分式方程问题.........................................7
【题型十】其他问题...................................................................7
【题型一】传播问题
【知识储备1】传播问题：传染源+第一轮传染+第二轮传染=两轮传染总数；
【例题1】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患
了流感．
（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后，累计患流感的人数能否超过800？
【变式1】（24-25九年级上·云南昭通·期中）电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后
就会有 台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染 台电脑，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中） 年德尔塔（ ）是一种全球流行的新冠病毒变异毒
株，其传染性极强．某地有 人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有 人
感染了德尔塔病毒，那每轮传染中平均一个人传染了 个人；如果不及时控制，照这样的传染速
度，经过三轮传染后，一共有 人感染德尔塔病毒．
【题型二】增长率问题【知识储备2】增长（降低）率问题：
平均增长率公式； （ 起始量， 是终止量， 是平均增长率， 增长次数）
平均降低率公式： （a起始量，b是终止量，x是平均降低率，n降低次数）
【例题2】（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价
均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价
为80元．
（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率；
（2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种
商品．
【变式1】（2025·山西阳泉·二模）为了迎接清明小长假，某月季大观园准备分三个阶段扩大月季新品种
种植面积，第一阶段已实现新品种 的种植目标，三个阶段共实现 的种植目标．设第二、三
阶段月季新品种种植面积的平均增长率为 ，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，
生产成本逐月下降，3月份的生产成本是324万元．假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率都相
同．则每个月生产成本的下降率为 ；预测4月份该公司的生产成本为 万元．
【题型三】图形面积问题
【知识储备3】
1.依据图形的面积公式，结合题目中的等量关系列出一元二次方程；
2.若图形不规则，可通过割补法将其转化为规则图形，再根据规则图形面积之间的关系列方程；
3.求解方程，得到方程的解；
4.检验解的合理性，舍去不符合实际情况的解.
【例题3】（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）如图是一个用28米长的篱笆围成的矩形菜园 ，
一边靠墙（墙长 米），并在 边上开一道 米宽的门（门不使用篱笆），若设 为x米．
（1） 的长为 米（用含x的代数式表示）
（2）当菜园的面积为 时，求 的长（3）菜园的面积能为 吗？若能，求出 的长，若不能，说明理由．
【变式1】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将
照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同（如图），矩形衬纸的面积为照片面积
的2倍，设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（24-25八年级下·安徽滁州·期中）如图，在长为32米、宽为12米的矩形地面上修建如图所示
的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为300平方米，则可列方程为
．
【题型四】数字问题
【知识储备4】 数字问题：主要与数字与位数的关系；比如：两位数= 十位数字 10+个位数字；
【例题4】（24-25九年级上·吉林松原·期中）《念奴娇·赤壁怀古》，在苏轼笔下，周瑜年少有为，文朵
风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝，欣赏下面改编的诗歌，“大江东去
浪淘尽，千古风流数人物． 而立之年督东吴，早逝英年两位数． 十位恰小个位三，个位平方与寿符．
”请你求周瑜去世的年龄．（友情提示：周瑜去世的年龄大于二十七岁．）【变式1】（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知相邻的两个偶数之积为360，若设较小的偶数为
x，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25九年级上·湖北恩施·期中）在 年 月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所
示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为 ，则这个最小数为 ．
【题型五】商品销售问题
【知识储备5】 商品销售问题：利润=售价-进价；售价=进价 （1+利润率）；总利润=总售价-总成本=
单件利润 总销量等等
【例题5】（2025·辽宁葫芦岛·二模）商场出售某种商品，每件的进价为40元，经市场调查发现，平均日
销售量 （件）与每件售价 （元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
每件售价 元 90 80 70
日销售量
10 20 30
件
（1）求 与 之间的函数关系式；（不要求写出自变量 的取值范围）
（2）该商品日销售利润能否达到1000元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由．
【变式1】（2023九年级下·重庆北碚·学业考试）水果店花 元进了一批水果，按 的利润定价，无
人购买，决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利 元．若两次打折的折扣相同，设每次打 折，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25九年级下·重庆南岸·自主招生）某文具店销售一种每个进价是12元的口风琴．经调查
发现，当每个口风琴的售价为20元时，平均每天能够售出8个；售价每降低0.5元，平均每天能多售出4
个．现在，该文具店希望这种口风琴每天的销售利润为144元，并且要尽可能多地让利给消费者，那么
每个口风琴的定价应该是 元．
【题型六】动点运动问题
【知识储备6】基本解题思路
1.分析运动过程：明确动点的起始位置、运动方向、运动速度以及运动的终止条件；
2.寻找等量关系：若动态图形是规则图形，直接用公式找等量关系列方程；若图形不规则，通过割补法将
不规则图形转化为规则图形后再找关系；
3.建立方程求解：根据等量关系列出一元二次方程，求解方程后，要结合实际情况对解进行检验，舍去不
符合题意的解.
【例题6】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在矩形 中， ， ，点P从点A开
始沿边 向终点B以 的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边 向终点C以 的速度
移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（
）．
（1）当 为何值时， 的长度等于 ？
（2）是否存在 的值，使得五边形 的面积等于 ？若存在，请求出此时t的值；若不存在，
请说明理由．
【变式1】（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）如图，在 中， ， ，，点 从点 出发，以 的速度沿 边向点 匀速运动，同时另一点 从点 出发，以
的速度沿射线 匀速运动，当 的面积为 时，运动时间为（ ）
A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s
【变式2】（2025·广东深圳·二模）如图， 是一条射线， ，一只蚂蚁由点
以 的速度向点 爬行，同时另一只蚂蚁由点 以 的速度沿 方向爬行，则经过
后，两只蚂蚁与点 组成的三角形的面积为 ．
【题型七】工程问题+行程问题
【知识储备7】基本解题思路
1. 行程问题核心公式
路程 = 速度 × 时间（基本公式，用于表示各量关系）。
2. 工程问题核心公式
工作量 = 工作效率 × 工作时间（基本公式，通常将总工作量设为 “1”）。
【例题7】（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，
紧急刹车后汽车又滑行30米后停车．
（1）则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？
（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？
（3）汽车滑行20米时用了多长时间？
【变式1】（22-23九年级上·湖北荆州·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙
行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同
一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（ ）
A．36 B．26 C．24 D．10
【变式2】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：
“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几
何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为 步，
乙的速度为 步．乙一直向东走，甲先向南走 步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇
时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了 步．
【题型八】握手+循环赛问题
【知识储备8】基本解题思路
1. 确定问题类型，设参与对象数量为 ；
【例题8】（24-25九年级上·湖南永州·期中） 年“奔跑吧·少年”道县青少年篮球赛正如火如荼的在
道县文体公园体育馆进行，若初中组采用单循环赛制（每两个球队之间都要进行一场比赛），则共要比
赛 场．试求初中组共有多少支球队参加比赛．
【变式1】（2025·黑龙江佳木斯·二模）2024年法国巴黎奥运会，男子篮球比赛有若干支队伍参加了单循
环比赛，一共进行66场比赛，则参加比赛的队伍共有（ ）
A．10支 B．11支 C．12支 D．8支
【变式2】（2025·吉林·二模）小川一家春节期间团圆相聚，他和兄弟姐妹们约定了互赠一份礼物，若他
们一共赠送了90份礼物，则小川及兄弟姐妹一共多少人？若设小川及兄弟姐妹一共有 人，则可列方程
为 ．
【题型九】解可化为一元二次方程的分式方程问题
【知识储备8】通过 “转化思想” 将分式方程化为一元二次方程求解，核心在于熟练掌握去分母和
换元技巧，并始终牢记验根的重要性，避免因增根导致错误。
【例题9】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）解方程： ．
【变式1】（2025·海南省直辖县级单位·一模）分式方程 的解是（ ）
A． B． C． D．【变式2】（24-25八年级下·上海嘉定·期末）解方程 时，可以设 ，那么原方程可
转化为整式方程： ．
【题型十】其他问题
【例题10】（24-25九年级上·广西南宁·期中）社区利用一块矩形空地 建了一个小型停车场，其布
局如图所示．已知 ， ，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为 米
的道路．已知铺花砖的面积为 ．
（1）求道路的宽是多少米？
（2）该停车场共有车位 个，据调查分析，当每个车位的月租金为 元时，可全部租出；若每个车位
的月租金每上涨 元，就会少租出 个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为
元？
【变式1】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）小明将一个100毫升的容器盛满纯酒精，第一次倒出一部分
纯酒精后，再用水加满；第二次又倒出同样多的酒精溶液，若此时容器内剩下的纯酒精是81毫升，则小
明每次倒出的体积是 毫升．
【变式2】（24-25九年级上·河北保定·期末）《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立．甲行
率六，乙行率四．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、
乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向
北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲走了多少步（ ）
A．26 B．30 C．32 D．36
