文档内容
专题 22.24 二次函数中考压轴题分类专题（知识梳理与题型分类讲
解）
第一部分【训练中考压轴题意义】
了解中考命题趋势和知识重难点 ：通过训练历年中考数学真题，学生可以快速了解中考
数学的命题趋势、试题分布以及知识重难点，从而对自己的知识储备进行全方位的查漏补缺
提高解题速度和精确度 ：通过严格控制做题时间，用中考的时间要求自己，可以更加客
观地训练解题速度和精确度，帮助学生适应考试节奏。
认识中考题型和命题风格 ：中考真题令学生认识到中考的题型、命题风格、各知识版块
分值分布，考查的重点及难易程度，对学生的帮助是最大的。
检验复习方向和效果 ：真题成为检验复习方向以及复习效果的得力工具，通过定期模拟
考试，学生可以了解自己的不足，进而调整复习策略。
提高应试能力 ：通过反复做真题，学生能够适应考试的紧张氛围，掌握答题技巧，了解
考点要求，提高解题能力和应变能力。
权威性和准确性 ：真题的权威性和准确性远高于模拟题，因为它们来自于同一个命题
组，考察点、风格以及难度等都很接近，通过对真题进行分析研究，可以总结出命题的规
律。
综合性 ：中考真题是命题组成员辛苦劳动的结晶，含金量高，出的题目在保证基础得分
的同时，还具有一定的选拔作用，有助于提高学生的综合解题能力。
综上所述，训练数学中考真题对于提高学生的数学成绩和应试能力具有不可替代的作
用，是备考过程中不可或缺的一部分。
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】二次函数与面积问题
【例1】（2024·福建·中考真题）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，其中 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若 是二次函数图象上的一点，且点 在第二象限，线段 交 轴于点 的面积是 的
面积的2倍，求点 的坐标．
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形
面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等.
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）设 ，因为点 在第二象限，所以 ．依题意，得 ，即可得出 ，求
出 ，由 ，求出 ，即可求出点 的坐标．
（1）解：将 代入 ，
得 ，
解得 ，
所以，二次函数的表达式为 ．（2）设 ，因为点 在第二象限，所以 ．
依题意，得 ，即 ，所以 ．
由已知，得 ，
所以 ．
由 ，
解得 （舍去），
所以点 坐标为 ．
【变式1】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴分
别交于点 ， ，抛物线 为常数）经过点 且交 轴于 两点．
(1)求抛物线表示的函数解析式；
(2)若点 为抛物线的顶点，连接 ， ， ．求四边形 的面积．
【答案】(1) (2)10
【分析】本题考查函数图象与坐标轴的交点，待定系数法求解析式，三角形的面积
（1）分别把 ， 代入函数 中，可求得点 ， ，将点D坐标代入函数
，求出k的值，即可解答；
（2）由抛物线的函数解析式可得顶点P的坐标为 ，因此 轴， ，过点D作 于点E，则 ，根据三角形的面积公式可求出 ；把 代入函数
中，求得A(−2,0)，因此 ，再根据 即可解答．
（1）解：把 代入函数 中，得 ，
解得 ，
∴ ，
把 代入函数 中，得 ，
∴ ，
∵抛物线 为常数）经过点 ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线表示的函数解析式为 ；
（2）解：∵抛物线的函数解析式为 ，
∴顶点P的坐标为 ，
∵ ，
∴ 轴， ，
过点D作 于点E，则 ，
∴ ；把 代入函数 中，得 ，
解得 ， ，
∴A(−2,0)， ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∴ ．
【变式2】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，二次函数 的图象与x轴交于A、B两
点，与y轴交于点C，点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，连接 ．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当 的面积最大时， 边上的高 的值为______．
【答案】(1) (2)
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与图形的面积，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出直线 的解析式，然后过点P作 轴交 于点D，设点P的坐标为 ，则点D的坐标为 ，根据 求出面积的最大值，然后求高 即可．
（1）解：把 和 代入得：
，解得 ，
∴二次函数的解析式为 ；
（2）解：令 ，则 ，解得： ， ，
∴点B的坐标为 ，
∴ ，
设直线 的解析式为y=mx+n，代入得：
，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
过点P作 轴交 于点D，
设点P的坐标为 ，则点D的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 最大为 ，
∴ ．【题型2】二次函数与定值问题
【例2】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线 与x轴交于两点 ，
将抛物线 向右平移两个单位长度，得到抛物线 ，点P是抛物线 在第四象限内一点，连接 并延
长，交抛物线 于点Q．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)设点P的横坐标为 ，点Q的横坐标为 ，求 的值；
(3)如图②，若抛物线 与抛物线 交于点C，过点C作直线 ，分别交抛物线
和 于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断
是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】(1) ； (2) ； (3) 是定值， ．
【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象的交点问题、一元二次方
程根与系数关系等知识，准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出 ，再根据平移规律即可求出抛物线 的表达式；
（2）设点P的坐标为 ，待定系数法求出直线 的解析式为 ，联立 与
得到 ，解得 ，即可求出答案；
（3）由（1）可得， ，与 联立得到 ，求出点C的坐标为 ，
又由点M的坐标为 ，利用待定系数法求出直线 的解析式为 ，与
联立得到 ，则 ，得到 ，
即可得到 ，得到定值．
（1）解：∵抛物线 与x轴交于两点 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵抛物线 向右平移两个单位长度，得到抛物线 ，
∴
即（2）解：设点P的坐标为 ，设直线 的解析式为 ，把点A和点P的坐标代入得到，
则
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 与 得到
，
解得 ，
则
（3）解：由（1）可得， ，与 联立得到， ，
解得 ，
此时
∴点C的坐标为 ，
∵点M的横坐标为m，且在 上，
∴
即点M的坐标为
设直线 的解析式为 ，把点C和点M的坐标代入得到，
则解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
与 联立得到，
，
整理得到，
则 ，
即 ，
即 ，
即 为定值．
【变式1】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 ，
两点． 点坐标为 ，与 轴交于点 ，点 为抛物线顶点，点 为AB中点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线 上方的抛物线上存在点 ，使得 ，求点 的坐标；
(3)已知 ， 为抛物线上不与 ， 重合的相异两点．
①若点 与点 重合， ，且 ，求证： ， ， 三点共线；
②若直线AD， 交于点 ，则无论 ， 在抛物线上如何运动，只要 ， ， 三点共线， ，
， 中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明
理由．【答案】(1) (2) (3)①见解析；② 的面积为定值
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据题意得出 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴于点 ，则
是等腰直角三角形，根据 ，建立方程，解方程，即可求解；
（3）①根据题意得出 ，得出直线 的解析式为 ，联立 得出 ，
在直线 上；②设 ， ，设 的解析式y=k(x−1)，联立抛物线解析式，可得
，根据题意，设直线 解析式为 ，直线 的解析式为
，求得 到 轴的距离是定值，即可求解．
（1）解：将 ， 代入 得，
解得：
∴抛物线解析式为
（2）解：对于 ，令 ，解得：
∴
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
如图所示，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴于点 ，
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
设 ，则
∴ ，
∴
解得： （舍去）或
∴
（3）①点 与点 重合，则 ，
∵点 为AB中点， ，
∴ ,设直线 的解析式为y=kx+b(k≠0)，代入 ,
∴
解得：
∴
联立
解得： 或
∴ ，在直线 上
即 ， ， 三点共线；
②设 ，
∵ ， ， 三点共线；
∴设 的解析式y=k(x−1)，
联立
消去 得，
∴
∵ ，
设直线 解析式为 ，直线 的解析式为
联立解得：
∴
∵ ，
∴ ，
∴
而 不为定值，
∴ 在直线 上运动，
∴ 到 轴的距离为定值 ，
∵直线AD， 交于点 ，则无论 ， 在抛物线上如何运动，只要 ， ， 三点共线， ，
， 中必存在面积为定值的三角形， 到 的距离是变化的，
∴ 的面积为 是定值．【点拨】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一
元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式2】（2024·湖南·中考真题）已知二次函数 的图像经过点 ，点P(x ,y )，
1 1
Q(x ,y )是此二次函数的图像上的两个动点．
2 2
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线 的上方，过点P作 轴于点
C，交AB于点D，连接 ．若 ，求证 的值为定值；
(3)如图2，点P在第二象限， ，若点M在直线 上，且横坐标为 ，过点M作 轴于
点N，求线段 长度的最大值．【答案】(1) (2)为定值3，证明见解析 (3)
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线 的解析式， ，则 ， ，表示出
， ，代入 即可求解；
（3）设 ，则 ，求出直线 的解析式，把 代入即可求出线段
长度的最大值．
解：（1）∵二次函数 的图像经过点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）当 时， ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ， ．∴ ，
∴ 的值为定值；
（3）设 ，则 ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，
，
∴当 时，线段 长度的最大值 ．
【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键．
【题型3】二次函数与最值问题
【例3】（2024·山东·中考真题）在平面直角坐标系 中，点 在二次函数
的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线 ．
(1)求 的值；
(2)若点 在 的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次
函数的图像．当 时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；(3)设 的图像与 轴交点为 ， ．若 ，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)新的二次函数的最大值与最小值的和为 ； (3)
【分析】（1）把点 代入 可得 ，再利用抛物线的对称轴公式可得答
案；
（2）把点 代入 ，可得： ，可得抛物线为 ，将该二
次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为： ，再利用二次
函数的性质可得答案；
（3）由根与系数的关系可得 ， ，结合 ， ，
再建立不等式组求解即可.
解：（1） ∵点 在二次函数 的图像上，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线为： ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ；
（2）解：∵点 在 的图像上，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线为 ，
将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：
，
∵ ，
∴当 时，函数有最小值为 ，当 时，函数有最大值为
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为 ；
（3）∵ 的图像与 轴交点为 ， ．
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 即 ，
解得： .
【点拨】本题属于二次函数的综合题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一元
二次方程根与系数的关系，熟练的利用各知识点建立方程或不等式组解题是关键.
【变式1】（2024·浙江·中考真题）已知二次函数 （b，c为常数）的图象经过点 ，
对称轴为直线 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点 向上平移2个单位长度，向左平移m（ ）个单位长度后，恰好落在 的图
象上，求m的值；
(3)当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为 ，求n的取值范围．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，
（1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式；
（2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可；（3）分为 ， 时， 时，建立方程解题即可．
解：（1） 设二次函数的解析式为 ，把 代入得 ，
解得 ，
∴ ；
（2） 点B平移后的点的坐标为 ，
则 ，解得 或 （舍），
∴m的值为 ；
（3）解：当 时，
∴最大值与最小值的差为 ，解得： 不符合题意，舍去；
当 时，
∴最大值与最小值的差为 ，符合题意；
当 时，
最大值与最小值的差为 ，解得 或 ，不符合题意；
综上所述，n的取值范围为 ．
【变式2】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数
的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)一个二次函数的图像经过B、C、 三点，其中 ，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段 上（与点O、B不重合）．
①若D点的坐标为 ，则 _________；
②求t的取值范围：
③求 的最大值．
【答案】(1) ， ， (2)①6；② 且 ；③4
【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值问题等相关知识，
熟练掌握相关知识是解题基础．
（1）根据顶点式可直接得出点 的坐标；令 ，解方程，可得出点 ， 的坐标；
（2）①根据函数的对称性，可得出对称轴为直线 ，再根据点 ， 的坐标可得出 ， 关于对称
轴对称，由此可得出 的值；
②由对称轴的性质可知，二次函数图象的对称轴与 轴的交点坐标为 ， ，再由对称性可知，
，由点 在线段 上，且与端点不重合，可得 ，即 ，而当 时，过点 ，
， 三点的二次函数不存在，由此可得 且 ；
③ ，根据二次函数的性质可得结论．
解：（1） 二次函数 的图象的顶点为 ，
；
令 ，解得 或 ，
， ；（2）解：①由题知，该函数过点 ， ， ，
函数的解析式为： ，
函数的对称轴为直线 ，
， ，
点 ， 关于对称轴对称，
，
，
故答案为：6；
②设二次函数的解析式为： ，
将 ， ， 两点代入，得 ，
，
，
，
二次函数图象的对称轴与 轴的交点坐标为 ， ，
， 两点关于对称轴对称，点 ，
，
点 在线段 上，且与端点不重合，
，即 ，
时，过点 ， ， 三点的二次函数不存在，
且 ；
③ ， ，
．
，且 ，
时， 有最大值，最大值为4．
【题型4】二次函数与存在性问题
【例4】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y
轴交于点C，其中 ， ．
(1)求抛物线的解析式．
(2)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得 的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和
的面积最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2)存在，点P的坐标是 ， 的面积最大值是
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及与几何综合：
（1）将B，C两点坐标代入函数解析式，求出b，c的值即可；
（2）过点P作 轴于点E，设 ，且点P在第二象限，根据
可得二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解.
解：（1） 将 ， 代入 得，
解得：（2）解：对于 ，令 则
解得， ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
过点P作 轴于点E，如图，
设 ，且点P在第二象限，
∴
∴
∵ ，
∴ 有最大值，∴当 时， 有最大值，最大值为 ，此时点P的坐标为
【变式1】（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经
过点 ，与y轴交于点B，且关于直线 对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当 时，y的取值范围是 ，求t的值；
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线 于点D，在y轴上是否存在
点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
【答案】(1) (2) (3)存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为
或2
【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨
论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）分 和 ，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可．
（3）分 为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可．
解：（1）∵抛物线 经过点 ，与y轴交于点B，且关于直线 对称，
∴ ，解得： ，
∴ ；
（2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线 ，∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小，
∵ 时， ，
①当 时，则：当 时，函数有最大值，即： ，
解得： 或 ，均不符合题意，舍去；
②当 时，则：当 时，函数有最大值，即： ，
解得： ；
故 ；
（3）存在；
当 时，解得： ，当 时， ，
∴ ，B(0,3)，
设直线 的解析式为 ，把 代入，得： ，
∴ ，
设 ，则： ，
∴ ， ， ，
当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：
①当 为边时，则： ，即 ，
解得： （舍去）或 ，
此时菱形的边长为 ；
②当 为对角线时，则： ，即： ，
解得： 或 （舍去）
此时菱形的边长为： ；综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为 或2．
【变式2】（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线 与 轴交于点 和点 ，
与 轴交于点 ．点 是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接 ， ，直线 交抛物线的对称轴于点 ，若点 是直线 上方抛物线上一点，
且 ，求点 的坐标；
(3)若点 是抛物线对称轴上位于点 上方的一动点，是否存在以点 ， ， 为顶点的三角形是等腰三
角形，若存在，请直接写出满足条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (2) 或 ； (3) 或 或 或
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）先求得 的坐标，根据勾股定理的逆定理得出 是等腰三角形，进而根据
得出 ，连接 ，设 交 轴于点 ，则 得出 是等腰直角
三角形，进而得出 ，则点 与点 重合时符合题意， ，过点 作 交抛物线于点
，得出直线 的解析式为 ，联立抛物线解析式，即可求解；（3）勾股定理求得 ，根据等腰三角形的性质，分类讨论解方程，即可求解．
解：（1）解：∵抛物线 与 轴交于点 和点 ，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为 ；
（2）由 ，当 时， ，则C(0,−3)
∵ ，则 ，对称轴为直线
设直线 的解析式为 ，代入 ，C(0,−3)
∴
解得：
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，则
∴
∴
∴ 是等腰三角形，
∴
连接 ，设 交 轴于点 ，则
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，又
∴
∴
∴点 与点 重合时符合题意，
如图所示，过点 作 交抛物线于点 ，
设直线 的解析式为 ，将 代入得，
解得：
∴直线 的解析式为
联立
解得： ，
∴
综上所述， 或 ；
（3）解：∵ ，C(0,−3)，
∴∵点 是抛物线对称轴上位于点 上方的一动点，设 其中
∴ ，
①当 时， ，解得： 或
②当 时， ，解得：
③当 时， ，解得： 或 （舍去）
综上所述， 或 或 或 ．
【点拨】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题，熟练掌握
二次函数的性质是解题的关键．
【题型5】二次函数与新定义、课堂活动问题
【例5】（2024·广东深圳·中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直
尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数
学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设 的读数为x， 读数为y，抛物线的顶点为C．
(1)（Ⅰ）列表：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
x 0 2 3 4 5 6
y 0 1 2.25 4 6.25 9
（Ⅱ）描点：请将表格中的 描在图2中；
（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；
(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线 的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为 ，竖直跨度为 ，且 ， ，为了求出该抛物线的开口大小，该
数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：
方案一：将二次函数 平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为 ．
①此时点 的坐标为________；
②将点 坐标代入 中，解得 ________；（用含m，n的式子表示）
方案二：设C点坐标为
①此时点B的坐标为________；
②将点B坐标代入 中解得 ________；（用含m，n的式子表示）
(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系 中有A，B两点， ，且 轴，二次函数
和 都经过A，B两点，且 和 的顶点P，Q距线段 的距离
之和为10，求a的值．
【答案】(1)图见解析， ； (2)方案一：① ；② ；方案二：① ；② ；
(3)a的值为 或 ．
【分析】（1）描点，连线，再利用待定系数法求解即可；
（2）根据图形写出点 或点B的坐标，再代入求解即可；
（3）先求得 ， ， 的顶点坐标为 ，再求得 顶点距线段 的距
离为 ，得到 的顶点距线段 的距离为 ，得到 的顶点坐标为 或
，再分类求解即可．
解：（1）描点，连线，函数图象如图所示，观察图象知，函数为二次函数，
设抛物线的解析式为 ，
由题意得 ，
解得 ，
∴y与x的关系式为 ；
（2）方案一：①∵ ， ，
∴ ，
此时点 的坐标为 ；
故答案为： ；
②由题意得 ，
解得 ，
故答案为： ；
方案二：①∵C点坐标为 ， ， ，∴ ，
此时点B的坐标为 ；
故答案为： ；
②由题意得 ，
解得 ，
故答案为： ；
（3）解：根据题意 和 的对称轴为 ，
则 ， ， 的顶点坐标为 ，
∴ 顶点距线段 的距离为 ，
∴ 的顶点距线段 的距离为 ，
∴ 的顶点坐标为 或 ，
当 的顶点坐标为 时， ，
将 代入得 ，解得 ；
当 的顶点坐标为 时， ，
将 代入得 ，解得 ；
综上，a的值为 或 ．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合应用，抛物线的平移等，理解题意，综合运用这些知识点是解题
关键．
【变式1】（2024·四川·中考真题）【定义与性质】如图，记二次函数 和 的图象分别为抛物线C和 ．
定义：若抛物线 的顶点 在抛物线C上，则称 是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若 是C的伴随抛物线，则C也是 的伴随抛物线，即C的顶点 在 上．
【理解与运用】
（1）若二次函数 和 的图象都是抛物线 的伴随抛物线，则
______， ______．
【思考与探究】
（2）设函数 的图象为抛物线 ．
①若函数 的图象为抛物线 ，且 始终是 的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线 与x轴有两个不同的交点 ， ，请直接写出 的取值范围．
【答案】（1）2； ；（2）① ；② 或
【分析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解
题关键．
（1）根据题意确定点 在 的伴随抛物线上，代入求解即可；
（2）①根据题意确定顶点坐标为： ，然后代入解析式得出 ，即可求解；②根据题意得出顶点坐标 在 图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果．
解：（1）二次函数 和 的图象都是抛物线 的伴随抛物线，
∴点 在 的伴随抛物线上，
代入得： ， ，
解得： ， ，
故答案为：2； ；
（2）① ，
∴顶点坐标为： ，
∵函数 的图象为抛物线 ，且 始终是 的伴随抛物线，
∴ ，
整理得： ，
∴ ；
②∵ 与x轴有两个不同的交点 ， ，
由①得：函数 的图象为抛物线 ，且 始终是 的伴随抛物线，
∴顶点坐标 在 图像上滑动，
顶点为 ，
当 时，
解得： 或 ，
抛物线与x轴交 两个点，
当顶点在 下方时，抛物线有两个交点， ，
∵若 是C的伴随抛物线，则C也是 的伴随抛物线，即C的顶点 在 上．∴ 在 上，
当顶点在 下方时， ；
综上可得： 或 ．
【变式2】（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数
的最值问题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出 ，求二次函数 的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并
整理成下表：
a … 0 2 4 …
x … * 2 0 …
y的最小值 … * …
注：*为②的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取 ，就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以
我猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）请结合函数解析式 ，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．
【答案】（1）① ；②当 时， 有最小值为 （2）见解析（3）正确，
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）①把 代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可；
（2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可；
（3）将一般式转化为顶点式，表示出 的最大值，再利用二次函数求最值即可．解：（1）①把 代入 ，得：
；
∴ ；
②∵ ，
∴当 时， 有最小值为 ；
（2）∵ ，
∵抛物线的开口向上，
∴当 时， 有最小值；
∴甲的说法合理；
（3）正确；
∵ ，
∴当 时， 有最小值为 ，
即： ，
∴当 时， 有最大值，为 ．
【题型6】二次函数与三角形综合问题
【例6】（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于
， 两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图①，若点P是线段 上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点
Q，当线段 的长度最大时，求点Q的坐标；
(3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且 ．在y轴上是否存
在点E，使得 为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) (2) (3)存在，点 或 或 或 或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由 ，即可求解；
（3）先求出点 ，再分类求解即可．
（1）解：由题意得： ，
则 ，
则抛物线的表达式为： ；
（2）解：由抛物线的表达式知，点 ，
由点B、C的坐标得，直线 的表达式为： ，
设点 ，则点 ，
则 ，
∵ ，故 有最大值，
此时 ，则 ，即点 ；
（3）解：存在，理由：
设直线 的表达式为 ，
由点 的坐标得， ，解得： ，
∴直线 的表达式为： ，
令 ， ，故 ，
过点 作 轴交 轴于点 ，则 ，
，
则 ，
即直线 和 关于直线 对称，故 ，
设直线 的表达式为 ，
代入 ， ，得 ，解得： ，
则直线 的表达式为： ，
联立上式和抛物线的表达式得： ，
解得： (舍去)或5，
即点 ；
设点 ，由 的坐标得， ，
当 时，则 ，
解得： ，即点 或 ；
当 或 时，
同理可得： 或 ，
解得： 或 ，
即点 或 或 ；
综上，点 或 或 或 或 ．
【点拨】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合
的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
【变式1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线
与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线 与x轴的另一个
交点为点 ，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别
交直线 于点E，点F．
(1)求抛物线的解析式；(2)点D是x轴上的任意一点，若 是以 为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)当 时，求点P的坐标；
(4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接
，则 的最小值为______．
【答案】(1) (2) (3) (4)
【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题
的关键．
（1）先根据题意确定点A、C的坐标，然后运用待定系数法求解即可；
（2）分三种情况分别画出图形，然后根据等腰三角形的定义以及坐标与图形即可解答；
（3）先证明 可得 ，设 ，则
,可得 ，即 ，求得可得m的值，进而求得点P的坐标；
（4）如图：将线段 向右平移 单位得到 ,即四边形 是平行四边形，可得
,即 ，作 关于对称轴 的点 ,则 ，由两点间
的距离公式可得 ，再根据三角形的三边关系可得 即可解答．解：（1）解：∵直线 与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴当 时， ，即 ；当 时， ，即 ；
∵ ，
∴设抛物线的解析式为 ，
把 代入可得： ，解得： ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为： ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ,
∴ ，
如图：当 ，
∴ ,即 ；
如图：当 ，
∴ ,即 ；
如图：当 ，
∴ ,即 ；
综上，点D的坐标为 ．（3）解：如图：∵ 轴，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴ ,
∵设 ，则 ,
∴ ，
∴ ，解得： （负值舍去），
当 时， ，
∴ ．
（4）解： ∵抛物线的解析式为： ，
∴抛物线的对称轴为：直线 ，
如图：将线段 向右平移 单位得到 ,
∴四边形 是平行四边形，∴ ,即 ,
作 关于对称轴 的点 ,则
∴ ,
∵ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为 ．
【变式2】（2024·天津·中考真题）已知抛物线 的顶点为 ，且
，对称轴与 轴相交于点 ，点 在抛物线上， 为坐标原点．
(1)当 时，求该抛物线顶点 的坐标；
(2)当 时，求 的值；
(3)若 是抛物线上的点，且点 在第四象限， ，点 在线段 上，点 在线
段 上， ，当 取得最小值为 时，求 的值．
【答案】(1)该抛物线顶点 的坐标为 (2)10 (3)1
【分析】（1）先求得 的值，再配成顶点式，即可求解；（2）过点 作 轴，在 中，利用勾股定理求得 ，在 中，勾股定理求
得 ，得该抛物线顶点 的坐标为 ，再利用待定系数法求解即可；
（3）过点 作 轴，过点 作 轴，证明 ，求得点 的坐标为
，在 中，利用勾股定理结合题意求得 ，在 的外部，作 ，
且 ，证明 ，得到 ，当满足条件的点 落在线段 上时，
取得最小值，求得点 的坐标为 ，再利用待定系数法求解即可．
解：（1） ，得 ．又 ，
该抛物线的解析式为 ．
，
该抛物线顶点 的坐标为 ；
（2）解：过点 作 轴，垂足为 ，
则 ．
在 中，由 ，．
解得 （舍）．
点 的坐标为 ．
，即 ．
抛物线 的对称轴为 ．
对称轴与 轴相交于点 ，则 ．
在 中，由 ，
．
解得 （正值舍去）．
由 ，得该抛物线顶点 的坐标为 ．
该抛物线的解析式为 ．
点 在该抛物线上，有 ．
；
（3）解：过点 作 轴，垂足为 ，
则 ．
．
在 中， ．
过点 作 轴，垂足为 ，则 ．，又 ，
．
∴ ， ，
∴点 的坐标为 ．
在 中， ，
，即 ．
根据题意， ，得 ．
在 的外部，作 ，且 ，连接 ，
得 ．
．
∴ ．
．
当满足条件的点 落在线段 上时， 取得最小值，即 ．
在 中， ，
．得 ．
．解得 （舍）．
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
点 都在抛物线 上，
得 ．
．【点拨】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，勾股定理，
垂线段最短，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线是解题的关键．
【题型7】二次函数与四边形综合问题
【例7】（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点
，顶点为 ；抛物线 ，顶点为 ．
(1)求抛物线 的表达式及顶点 的坐标；
(2)如图1，连接 ，点 是拋物线 对称轴右侧图象上一点，点 是拋物线 上一点，若四边形
是面积为12的平行四边形，求 的值；
(3)如图2，连接 ，点 是抛物线 对称轴左侧图像上的动点（不与点 重合），过点 作
交 轴于点 ，连接 ，求 面积的最小值．
【答案】(1) ， (2) (3)
【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线 的解析式，再转化为顶点式，即可得到顶点坐标；
（2）连接 ，过点 作 轴，交 延长线于点 ，过点 作 ，垂足为 ，与 轴交
于 ，设点 的横坐标为 ．设直线 的表达式为 ，解方程组得到直线 的表达式为
，则 ，求得 ，求得 于是得到，解方程得到 ，根据平移的性质得到 ，将 代
入 ，解方程即可；
（3）过 作 轴，垂足为 ，过点 作 轴，过点 作 轴，与 交于点 ，设
且 ，求得抛物线 的顶点 ，得到
，推出 ，解方程得到当 时， ，根据三角形的面
积公式即可得到结论．
解：（1）解： 抛物线 过点
得
解得
抛物线 的表达式为
顶点 ；
（2）解：如图，连接 ，过点 作 轴，交 延长线于点 ，过点 作 ，垂足为 ，
与 轴交于 ，设点 的横坐标为 ．设直线 的表达式为
由题意知
解得
直线 的表达式为
的面积为12
，
，
解得 （舍）
点 先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点将 代入
得
解得 ．
（3）解：如图，过 作 轴，垂足为 ，过点 作 轴，过点 作 轴，与 交于
点 ，设 且
抛物线 的顶点
，
易得当 时，
点 横坐标最小值为 ，此时点 到直线 距离最近， 的面积最小
最近距离即边 上的高，高为：
面积的最小值为 ．
【点拨】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，平移的性
质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地找出辅助线是解题的关键．
【变式1】（2024·四川资阳·中考真题）已知二次函数 与 的图像均过点
和坐标原点 ，这两个函数在 时形成的封闭图像如图所示， 为线段 的中点，过点 且与
轴不重合的直线与封闭图像交于 ， 两点．给出下列结论：
① ；
② ；
③以 ， ， ， 为顶点的四边形可以为正方形；
④若点 的横坐标为 ，点 在 轴上（ ， ， 三点不共线），则 周长的最小值为 ．
其中，所有正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得两个函数的对称轴均为直线 ，根据对称轴公式即可求出 ，可判断①正确；
过点 作 交 轴于点 ，过点 作 交 轴于点 ，证明 ，可得 ，
可判断②正确；当点 、 分别在两个函数的顶点上时， ，点 、 的横坐标均为 ，求出的长度，得到 ，可判断③正确；作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，此时
周长的最小，小值为 ，即可判断④．
解：① 二次函数 与 的图像均过点 和坐标原点 ， 为线段 的中点，
，两个函数的对称轴均为直线 ，
即 ，
解得： ，故①正确；
②如图，过点 作 交 轴于点 ，过点 作 交 轴于点 ，
，
由函数的对称性可知 ，
在 和 中，
，
，
，故正确②；
③当点 、 分别在两个函数的顶点上时， ，点 、 的横坐标均为 ，由①可知两个函数的解析式分别为 ， ，
， ，
，
点 ，
，
，
由 ，
此时以 ， ， ， 为顶点的四边形为正方形，故③正确；
④作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，此时 周长的最小，最小值为
，
点 的横坐标为 ，
，点 的横坐标为 ，
， ，， ，
周长的最小值为 ，故正确④；
故选：D．
【点拨】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图像与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的
判定，对称中的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
【变式2】（2024·甘肃·中考真题）如图1，抛物线 交x轴于O， 两点，顶点为
．点C为 的中点．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)过点C作 ，垂足为H，交抛物线于点E．求线段 的长．
(3)点D为线段 上一动点（O点除外），在 右侧作平行四边形 ．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接 ， ，求 的最小值．
【答案】(1) (2) (3)① ②
【分析】（1）根据顶点为 ．设抛物线 ，把 代入解析式，计算求解即
可；
（2）根据顶点为 ．点C为 的中点，得到 ，当 时， ，得到 ．结合 ，垂足为H，得到 的长．
（3）①根据题意，得 ，结合四边形 是平行四边形，设 ，结合点F落在抛物线上，
得到 ，解得即可；
②过点B作 轴于点N，作点D关于直线 的对称点G，过点G作 轴于点H，连接 ，
， ，利用平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形判定和性质，计算解答即可．
解：（1）∵抛物线的顶点坐标为 ．
设抛物线 ，
把 代入解析式，得 ，
解得 ，
∴ ．
（2）∵顶点为 ．点C为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ 轴，
∴E的横坐标为1，
设 ，
当 时， ，∴ ．
∴ ．
（3）①根据题意，得 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴点C，点F的纵坐标相同，
设 ，
∵点F落在抛物线上，
∴ ，
解得 ， (舍去)；
故 ．
②过点B作 轴于点N，作点D关于直线 的对称点G，过点G作 轴于点H，连接 ，
， ，
则四边形 是矩形，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
故当 三点共线时， 取得最小值，
∵ ，
∴ 的最小值，就是 的最小值，且最小值就是 ，
延长 交y轴于点M，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故 的最小值是 ．
【点拨】本题考查了待定系数法求函数的解析式，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，矩形的判
定和性质，勾股定理，利用轴对称的性质求线段和的最小值，熟练掌握平行四边形的性质，轴对称的性
质是解题的关键．
【题型8】二次函数与利润问题
【例8】（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y
（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．
(1)求这段时间内y与x之间的函数解析式；(2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为
多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)这段时间内y与x之间的函数解析式为
(2)当销售单价为 元时，商场获得利润最大，最大利润是 元
【分析】（1）设这段时间内y与x之间的函数解析式为 ，函数经过 ， ，可
以利用待定系数法建立二元一次方程组，即可求出解析式；
（2）根据销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，建立一元一次不等式组，即可求出销
售单价的取值范围，要求最大利润，首先设获得利润为 ，写出 关于 的二次函数解析式，根据二次函
数的增减性和 的取值范围，即可求出获得利润的最大值
解：（1）解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为 ，
由图象可知，函数经过 ， ，
可得 ，解得 ，
这段时间内y与x之间的函数解析式为 ；
（2）解： 销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，
， ，
即 ，解得 ，
设获得利润为 ，即 ，
对称轴 ，，即二次函数开口向下， 的取值范围是 ，
在 范围内， 随着 的增大而增大，
即当销售单价 时，获得利润 有最大值，
最大利润 元．
【点拨】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的性质，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，
解题的关键是用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解．
【变式1】（2024·黑龙江大庆·中考真题）“尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随
之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的 天中，第 天 且 为整数)的
售价为 (元 千克)．当 时， ；当 时， ．销量 (千克)与 的函数关系
式为 ，已知该产品第10天的售价为 元 千克，第 天的售价为 元 千克，设第 天的销售
额为 (元)．
(1) ， _____；
(2)写出第 天的销售额 与 之间的函数关系式；
(3)求在试销售的 天中，共有多少天销售额超过 元？
【答案】(1) ， (2) (3)在试销售的 天中，共有 天销售额超
过 元
【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据销售额等于销量乘以售价，分段列出函数关系式，即可求解；
（3）根据题意，根据 ，列出方程，解方程，即可求解．
（1）解：依题意，将 ， 代入 ，
∴
解得：∴
故答案为： ， ．
（2）解：依题意，
当 时，
当 时，
∴
（3）解：依题意，当 时，
当 时，
解得：
为正整数，
∴第 天至第 天，销售额超过 元
（天）
答：在试销售的 天中，共有 天销售额超过 元
【变式2】（2024·广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品
进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．
若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增
加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”
为人民币）
【答案】当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，根据利润 每
吨的利润 销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，
由题意得，，
∵ ，
∴当 时，w有最大值，最大值为 ，
∴ ，
答：当定价为 万元每吨时，利润最大，最大值为 万元．
【题型9】二次函数与实际问题
【例9】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中
的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点
B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标
原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．
根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．
(1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为 米，点C到点B的水平距离为3
米，则水滑道 所在抛物线的解析式为______；
(2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离 米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离
不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线 恰好与抛物线 关于点B成中心对称．
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线 的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距
地面4米的点M处竖直支撑的钢架 ，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架 ．现在需要在水
滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与 平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定
在钢架 上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．
【答案】(1) (2)①此人腾空后的最大高度是 米，解析式为 ；
②此人腾空飞出后的落点D在安全范围内，理由见解析 (3)这条钢架的长度为 米
【分析】（1）根据题意得到水滑道 所在抛物线的顶点坐标为 ，且过点 ，设水滑道
所在抛物线的解析式为 ，将 代入，计算求出a的值即可；
（2）①根据题意可设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为 ，由抛物线的顶点为
，即可得出结果；②由①知人腾空后的路径形成的抛物线 的解析式为： ，
令 ，求出 的值，即点 的坐标，即可得出结论；
（3）根据题意可得 点的纵坐标为4，令 中 ，求出符合实际的x值，得到点M的
坐标，求出 所在直线的解析式为 ，设这条钢架为 ，与 交于点G，与地面交于H，
根据这条钢架与 平行，设该钢架所在直线的解析式为 ，由该钢架与水滑道有唯一公共点，
联立 ，根据方程组有唯一解，求出 ，即该钢架所在直线的解析式为 ，点
H与点O重合，根据 ， ， ，利用勾股定理即可求解．（1）解：根据题意得到水滑道 所在抛物线的顶点坐标为 ，且过点 ，
设水滑道 所在抛物线的解析式为 ，
将 代入，得： ，即 ，
，
水滑道 所在抛物线的解析式为 ；
（2）解：① 人腾空后的路径形成的抛物线 恰好与抛物线 关于点B成中心对称，
则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为 ，
人腾空后的路径形成的抛物线 的顶点坐标与抛物线 的顶点坐标 关于点 成
中心对称，
，
人腾空后的路径形成的抛物线 的顶点坐标为 ，即 ，
∴此人腾空后的最大高度是 米，人腾空后的路径形成的抛物线 的解析式为：
；
由①知人腾空后的路径形成的抛物线 的解析式为： ，
令 ，则 ，即
或 （舍去，不符合题意），
点 ，
，
，
，
此人腾空飞出后的落点D在安全范围内；（3）解：根据题意可得 点的纵坐标为4，
令 ，即 ，
（舍去，不符合题意）或 ，
，
设 所在直线的解析式为 ，
将 代入得： ，
解得： ，
所在直线的解析式为 ，
如图，设这条钢架为 ，与 交于点G，与地面交于H，
这条钢架与 平行，
设该钢架 所在直线的解析式为 ，
联立 ，即 ，
整理得： ，
该钢架 与水滑道有唯一公共点，
，
即该钢架所在直线的解析式为 ，
点H与点O重合，， ， ，
，
这条钢架的长度为 米．
【点拨】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法，二次函数的实际应用，一次
函数与二次函数交点问题，勾股定理，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想．
【变式1】（2024·河南·中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度 满足关系式
，其中 是物体运动的时间， 是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在
实验楼前从地面竖直向上发射小球．
(1)小球被发射后_________ 时离地面的高度最大（用含 的式子表示）．
(2)若小球离地面的最大高度为 ，求小球被发射时的速度．
(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的
时间为 ．”已知实验楼高 ，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
【答案】(1) (2) (3)小明的说法不正确，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；
（2）把 ， 代入 求解即可；
（3）由（2），得 ，把 代入，求出t的值，即可作出判断.
（1）解：
，
∴当 时，h最大，
故答案为： ；（2）解：根据题意，得
当 时， ，
∴ ，
∴ （负值舍去）；
（3）解：小明的说法不正确． 理由如下：
由（2），得 ，
当 时， ，
解方程，得 ， ，
∴两次间隔的时间为 ，
∴小明的说法不正确．
【变式2】（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二
次函数 刻画，斜坡可以用一次函数 刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞
行的高度y（米）的变化规律如下表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
(1)① ______， ______；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
(2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系 ．①小球飞行的最大高度为______米；
②求v的值．
【答案】(1) 3，6； ； (2) 8，
① ② ① ②
【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据，
（1）①由抛物线的顶点坐标为 可建立过于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可；②联立两
函数解析式求解，可求出交点A的坐标；
（2）①根据第一问可知最大高度为8米；
②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v值．
（1）解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线顶
点坐标为 ，
∴ ，
解得： ，
∴二次函数解析式为 ，
当 时， ，
解得： 或 （舍去），
∴ ，
当 时， ，
故答案为：3，6．
②联立得： ，解得： 或 ，
∴点A的坐标是 ，
（2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米，
故答案为：8；
② ，
则 ，
解得 （负值舍去）．
