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专题22.25 二次函数与一元二次方程（分层练习）（提升练）
一、单选题
1．已知抛物线 与x轴只有一个交点，则m的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
2．关于抛物线 下列说法中错误的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．顶点坐标 D．与y轴交点坐标
3．若点 在抛物线 上，则下列结论正确的（ ）
A． B．
C． D．
4．如表给出了二次函数 中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程
的一个近似解 的范围为（ ）
x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 …
y … 0.25 0.76 …
A． B．
C． D．
5．已知，抛物线 的图象如图所示，根据图象回答，当 时，x的取值范围
是（ ）A． B． 或 C． D．
6．二次函数 的图象如图所示．若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的
最大值为（ ）
A． B．3 C． D．6
7．在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象沿 轴向下平移 个单位后，所得函
数图象与 轴的两个交点之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，抛物线 与直线 相交于 ， 两点，则当 时，自
变量x的取值范围是（ ）．
A． B．
C． 或 D． 或
9．在研究二次函数 时，下面是某小组列出的部分 和 的对应值：… 1 …
… 8 8 …
根据表格可知，下列说法中错误的是（ ）
A．该二次函数图象的对称轴是直线
B．关于 的方程 的解是 ，
C． 的最大值是8
D． 的值是
10．对于每个非零自然数 ，抛物线 与 轴交于 ， 两点，以 表示这
两点间的距离，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若抛物线 与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
12．如图，抛物线 与直线 交于 ， 两点，则不等式
的解集是 ．
13．已知二次函数 ，当 时， 的取值范围是 ．
14．如图，过点A（0，4）作平行于x轴的直线AC分别交抛物线 与 于B、
C两点，那么线段BC的长是 ．15．如图，已知二次函数 与一次函数 的图象相交于点
和 ，若 ，则 的取值范围是 ．
16．已知抛物线 与 轴的一个交点为 ，则代数式 的值为 ．
17．已知抛物线 的顶点坐标是 ，图象与x轴交于点 和点C，且点B
在点C的左侧，那么线段 的长是 ．（请用含字母m的代数式表示）
18．抛物线 的部分图象如图所示，对称轴为直线 ，直线 与抛物线都经过
点 ．下列说法：
① ；
② ；
③若 与 是抛物线上的两个点，则 ；
④方程 的两根为 ， ；
其中正确的是 ．三、解答题
19．已知二次函数y=2x2-4x-6．
（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为点A、B，且它的顶点为点P，求 ABP的面积．
△
20．如图，若对于函数 ，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C
点．请回答下列问题；
（1）图象的对称轴，顶点坐标各是什么？
（2）若P为二次函数图象上一点，且 ，求点P的坐标．
21．在平面直角坐标系xOy中，已知，抛物线y＝mx2+4mx﹣5m．
（1）求抛物线与x轴两交点间的距离；
（2）当m＞0时，过A（0，2）点作直线l平行于x轴，与抛物线交于C、D两点（点C在点D左侧），
C、D横坐标分别为x、x，且x﹣x＝8，求抛物线的解析式．
1 2 2 122．已知：关于x的方程：mx2﹣（3m﹣1）x＋2m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取何值时，方程恒有实数根；
（2）若关于x的二次函数y＝mx2﹣（3m﹣1）x＋2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物
线的解析式．
23．已知抛物线 与 轴有两个交点A和 ，与 轴交于点 ，顶点为点 ．
（1）求 的取值范围；
（2）若 ，求 的值；
（3）若 ，点 在抛物线上，且 是直角三角形，直接写出点 的坐标．
24．已知抛物线 经过点 ．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）当抛物线与x轴交于点 时，求此时a的值；
（3）设抛物线与x轴两交点之间的距离为d．当 时，求a的取值范围．参考答案
1．A
【分析】利用判别式的意义得到 ，然后解关于 的方程即可．
解：∵抛物线 与x轴只有一个交点，
∴ 有两个相等的实数根，∴ ，
解得 ．
故选A．
【点拨】本题考查了抛物线与 轴的交点：把求二次函数 ， ， 是常数， 与
轴的交点坐标问题转化为解关于 的一元二次方程． 决定抛物线与 轴的交点个数．
2．D
【分析】根据 的图象与性质解答．
解： 中，
抛物线的开口向下，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ，
所以选项A、B、C均正确．
令 ，得
抛物线与y轴的交点坐标为 ．
因此选项D错误，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，涉及顶点式解析式，是基础考点，掌握相关知识是解题关
键．
3．C
【分析】把点M、N、P的横坐标代入抛物线解析式求出相应的函数值，即可得解．
解：x=﹣2时， ，
x=﹣1时， ，
x=8时， ，
∵ ，
∴故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，分别求出各函数值是解题的关键．
4．C
【分析】根据表格中的数据可得出“当 时， ；当 时， ．”由此即可得
出结论．
解：当 时， ；当 时， ．
一元二次方程 的一个近似解 的范围为 ．
故选：C．
【点拨】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的
方法是解题的关键．
5．A
【分析】由图象可得：当 时， 或 ，可得当 时，即图象在直线 的下
方，从而可得x的取值范围是 ．
解：由图象可得：当 时， 或 ，
∴当 时，x的取值范围是 ；
故选A
【点拨】本题考查的是利用二次函数的图象解不等式，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
6．B
【分析】一元二次方程 有实数根，则二次函数 的图象与直线 有交点，
结合图象即可求解．
解：一元二次方程 有实数根，则二次函数 的图象与直线 有交点，
由图象得， ，解得 ，
∴ 的最大值为 ，
故选：B．
【点拨】此题考查了图象法求一元二次方程的解，解题的关键是用函数图象来处理方程根的问题．
7．D
【分析】求出抛物线平移后的解析式可得抛物线与 轴的交点坐标，进而求解．
解：将二次函数 的图象沿 轴向下平移 个单位后所得的函数解析式为，即为 ，
此抛物线与 轴的两个交点坐标为 ， ，
则此抛物线与 轴的两个交点之间的距离为 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律和二次函数的交点式是
解题关键．
8．A
【分析】根据当 时，自变量x的取值范围是抛物线图象在一次函数图象上方部分所对应的 的
取值范围，结合图象进行作答即可．
解：由图象可知，当 时，自变量x的取值范围是 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了函数图象的交点与不等式的解集的关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
9．C
【分析】先求二次函数的解析式，然后逐项判断．
解：根据表格中数据可知抛物线过 ， ， ，
则 ，
解得 ，
二次函数 ，
抛物线对称轴为 ，故A正确，不合题意；
当 时， ，
解得 ， ，故B正确，不合题意；，
当 时， 有最大值，最大值为10，故C错误，符合题意；
当 时， ，
即 ，故D正确，不合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的图象和性质，求出二次函数的解析式是求解本题的关键．
10．B
【分析】通过解方程 得 ， ，则 两点为 ，
，所以 ，则
，然后进行分数的混合运算
即可．
解：当 时， ，
，
解得 ， ，
∴ 两点为 ， ，
∴ ，
∴．
故选∶B．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数 （a，b，c是常数， ）与
x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
11． 且
【分析】直接利用根的判别式进行计算，再结合 ，即可得到答案．
解：∵抛物线 与x轴有交点，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴k的取值范围是 且 ；
故答案为： 且 ．
【点拨】本题主要考查了二次函数与坐标轴有交点的问题，解题的关键是掌握根的判别式求参数的取
值范围．
12．
【分析】根据函数图象可知直线在抛物线上方时 取值范围；
解：如图所示
∵抛物线 与直线 交于 ，
∴由图象可知，不等式 的解集为： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了图象法解一元一次不等式的解集的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．13．
【分析】先化为顶点式，求得开口方向与对称轴，进而得出最小值，根据 的范围得出 时，求
得函
数的最大值，进而即可求解．
解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，开口向上， 的最小值为 ，
∵ ，
∴ 时， 取得最大值，最大值为 ，
∴当 时， 的取值范围是
故答案为：
【点拨】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出对称轴从而判
断出取得最大值和最小值的情况是解题的关键．
14．2
【分析】根据题意，将 分别代入 ， ，求得 的正数解，即求得
的坐标，进而即可求得 的长．
解： ，则 解得 ，即
解得 ，即
故答案为：
【点拨】本题考查了根据二次函数的函数值求自变量，联立解方程是解题的关键．
15．
【分析】由函数图象的位置关系即可求解．
解：由图象可知：当 时，二次函数 的图象在一次函数图象的下方
故当 时，有
故答案为：
【点拨】本题考查函数图象与不等式的关系．根据函数图象的位置求解是“数形结合”思想的体现．
16．
【分析】利用待定系数法以及整体代入的思想解决问题即可．
解： 抛物线 与 轴的一个交点为 ，
，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查抛物线与 轴的交点、二次函数图像上点的坐标特征，代数式求值等知识，解题的
关键是学会利用整体代入的思想解决问题．
17．
【分析】根据二次函数的对称性求解即可．
解：因为二次函数 的图象的顶点的横坐标是1，
所以抛物线对称轴所在直线为 ，交x轴于点C，
所以B，C两点关于对称轴对称，
因为点 ，且点B在点C的左侧，
所以 ，
故答案为：
【点拨】本题考查了二次函数的两点间距离的求法，解题的关键是掌握二次函数的对称性．
18．①②④
【分析】根据抛物线开口向下，对称轴为直线 可得 ， ，即可判断①；再根据抛物
线经过点 得到 ，进而推出 ，即可判断②；根据抛物线的增减性即可判断③；求出抛物线经过点 ，即可判断④．
解： 抛物线的开口方向向下，
．
抛物线的对称轴为直线 ，
，
．
， ，
，
①的结论正确；
抛物线 经过点 ，
，
，
．
②的结论正确；
抛物线的对称轴为直线 ，且抛物线开口向下，
当 时， 随 的增大而减小．
，
．
③的结论不正确；
抛物线的对称轴为直线 ，抛物线经过点 ，
抛物线一定经过点 ，
抛物线 与 轴的交点的横坐标为 ，1，
方程 的两根为 ， ，
④的结论正确；
综上，结论正确的有：①②④，
故答案为：①②④．【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数与一元二次方
程的联系，利用图象的信息与已知条件求得 ， 的关系式是解题的关键．
19．（1）见分析；（2）16．
【分析】（1）根据b2-4ac与0的关系即可判断出二次函数y=2x2-4x-6的图象与x轴交点的个数；
（2）先求出抛物线y=2x2-4x-6与x轴的两个交点A、B的坐标，再求出顶点P的坐标，根据三角形的面
积公式即可得出结论．
解：（1）证明：△=b2-4ac
=（-4）2-4×2×（-6）
=64
∵△＞0，
∴该抛物线一定与x轴有两个交点．
（2）当y=0时得：2x2-4x-6=0
解得：x=-1，x=3
1 2
即A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∵y=2x2-4x-6=2（x2-2x）-6=2 （x-1）2-8
∴P（1，-8）
∴ ABP的面积=
△
【点拨】本题考查了二次函数与x轴的交点，可以通过判别式△的符号判断抛物线与x轴的交点个数，
当△＞0时，抛物线与x轴有两个不同交点，当△=0时，有一个交点，即顶点在x轴上，当△＜0，抛物线
与x轴没有交点．
20．（1）对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；（2）P的坐标为 或 或
或
【分析】（1）把解析式化为顶点式，即可求解；
（2）首先可求得 的长，设点P的坐标为 ，根据三角形面积公式，可求得 ，再分两种
情况，解一元二次方程，即可分别求解．
（1）解： ，∴抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；
（2）解：令 ，则 ，解得： ， ，
点A在点B的左侧，
， ，
，
设点P的坐标为 ，
，
，
， ，
当 时，解得： ，
当 时，解得： ，
故所求点P的坐标为 或 或 或 ．
【点拨】本题考查了把二次函数的解析式化为顶点式，求二次函数图象与x轴的交点坐标，解一元二
次方程，熟练掌握和运用二次函数图象和性质是解决本题的关键．
21．（1）与x轴两交点间的距离为6；（2）
【分析】（1）令y＝0，解一元二次方程求得抛物线与x轴交点坐标为（﹣5，0）和（1，0），即可
求解；
（2）根据题意求得l的解析式为y＝2，y＝mx2+4mx﹣5m中令y＝2，进而根据一元二次方程根与系数
的关系，求得x+x＝﹣4，xx＝﹣5﹣ ，根据x﹣x＝8，求得 的值，即可求解．
1 2 1 2 2 1
解：（1）令y＝0得：mx2+4mx﹣5m＝0，
∴m（x2+4x﹣5）＝0，
∵m为二次函数二次项系数，∴m≠0，
∴x2+4x﹣5＝0，
∴x＝﹣5，x＝1，
1 2
∴与x轴交点坐标为（﹣5，0）和（1，0），
∴与x轴两交点间的距离为1﹣（﹣5）＝6；
（2）∵直线l过点（0，2）且平行于x轴，
∴直线l的解析式为y＝2，
∴y＝mx2+4mx﹣5m中令y＝2得：
∴2＝mx2+4mx﹣5m，
∴mx2+4mx﹣5m﹣2＝0，
∴x+x＝﹣4，xx＝﹣5﹣ ，
1 2 1 2
∴（x﹣x）2＝（x+x）2﹣4xx＝16+20+ ，
1 2 1 2 1 2
∵x﹣x＝8，
2 1
∴（x﹣x）2＝64，
1 2
∴36+ ＝64，
∴m＝ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了二次函数与 轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题
的关键．
22．（1）见分析；（2） 或
【分析】（1）分两种情况讨论：①当m＝0时，方程为一元一次方程，若能求出解，则方程有实数根；
②当m≠0时，方程为一元二次方程，计算出△的值为非负数，可知方程有实数根．
（2）根据二次函数与x轴的交点间的距离公式，求出m的值，从而得到抛物线的解析式．
解：（1）①当m＝0时，原方程可化为x﹣2＝0，解得x＝2；
②当m≠0时，方程为一元二次方程，
△＝[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣2） ＝m2＋2m＋1 ＝（m＋1）2≥0，故方程有两个实数根；
故无论m为何值，方程恒有实数根．（2）∵二次函数y＝mx2﹣（3m﹣1）x＋2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2，
∴ ＝2，
整理得，3m2﹣2m﹣1＝0， 解得m＝1，m＝﹣ ．
1 2
则函数解析式为y＝x2﹣2x或 ．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点，熟悉根的判别式及二次函数与x轴的交点间的距离公式是
解题的关键．
23．（1）m＞－1；（2） ；（3）点P的坐标为（2，－1）或（3，2）．
【分析】（1）由抛物线 与 轴有两个交点A和 ，可得 有两个不等实根，
由△=4+4m＞0，解不等式即可；
（2）由 ，可得 ， ，可求点A（ ），B（
）由 ，可求 ，解方程即可；
（3） ，抛物线为 可得，点D（1，－2）点C（0，－1），设点P的横
坐标为 ，点P（ ， ）分别求出CD，DP，CP，分类考虑当∠D=90°，∠C=90°，∠P=90°时，
根据勾股定理，列出方程求解即可．
解：（1）抛物线 与 轴有两个交点A和 ，
令y=0，即 有两个不等实根，
∴△=4+4m＞0，
解得m＞－1；
（2）∵
解得∴ ，
∴点A（ ），B（ ）
∵
∴ ，
∴
∴ ；
（3）∵ ，
∴
∴点D（1，－2）
令 =0，y=－1，点C（0，－1）
设点P的横坐标为 ，点P（ ， ）
∴CD= ，
DP= ，
CP=
当∠D=90°时，根据勾股定理CP2=CD2+DP2，
则 ，
解得 或 （舍去）
点P（2，－1）
当∠C=90°时，根据勾股定理DP2=CD2+CP2，则
解得 或 （舍去）
点P（3，2）
当∠P=90°时，过点D作DE⊥y轴于E，延长CP交DE于F，
点E（0，－2）∠CED=90°，
∵点P在△CED内，
∴∠CPD＞∠PFD＞∠CED，
∴此种情况不存在点P，使∠P=90°
综合点P的坐标为（2，－1）或（3，2）．
【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点问题，抛物线与x轴两交点距离，抛物线内接三角形是直角三
角形，勾股定理，三角形外角先性质，掌握抛物线与x轴的交点问题，抛物线与x轴两交点距离，抛物线
内接三角形是直角三角形，根据勾股定理建构方程是解题关键．
24．（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】（1）把 代入抛物线解析式，整理后可得答案；
（2）把 代入抛物线解析式可得 ，然后根据（1）中结论进行计算即可；
（3）令 ，求出 ， ，然后根据 得出含绝对值的不等式，解不等式
可得答案．（1）解：把 代入 得： ，
整理得： ；
（2）解：把 代入 得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：由（1）知， ，
∴ ，
令 ，即 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，解不等式等知识，熟练掌握
待定系数法是解题的关键．
