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第 04 讲 数列的通项公式
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正项数列 的前n项和为 ，满足 ，则
（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【解析】由题意， ， ，
两式相减，得 ，
．
， ．
当 时， ， ，
是首项为1，公差为1的等差数列．
．
故选：B
2．（2023·北京朝阳·二模）已知数列 的前n项和是 ，则 （ ）
A．9 B．16 C．31 D．33
【答案】B
【解析】设数列 的前n项和为 ，则 ，
则 .
故选:B.
3．（2023·四川内江·校考模拟预测）已知数列1， ， ， ，3， ，…， ，…，则7是这
个数列的（ ）
A．第21项 B．第23项 C．第25项 D．第27项
【答案】C
【解析】因为数列的第 项为 ，而 ，
所以7是题中数列的第25项．
故选：C
4．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，若 ，
， （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，
所以 是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，
所以 ．
故选：D
5．（2023·山西·校联考模拟预测）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形
状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个
球，第四层有10个球，…，设“三角垛”从第一层到第n层的各层球的个数构成一个数列 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由相邻层球的个数差，可知 ， ，
所以当 时， ，
将 代入 得 ，符合
所以 ，
对于A项，当 时， ，故A项错误；
对于B项，当 时， ，故B项错误；对于C项，因为 ，
所以 ，
，
所以 ，故C项错误；
对于D项， ，故D项正确.
故选：D.
6．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知数列 的前 项和为 ，若满足 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时， ， ，得 ，
当 时， ， ， ，
，又 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ， .
故选：C
7．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知 是各项均为正数的数列 的前 项和，
， ，若 对 恒成立，则实数 的最大值为（ ）
A． B．16 C． D．32
【答案】D
【解析】 ，
数列 是首项为 、公比为2的等比数列，
，解得 或 （舍），，即 恒成立，
，当且仅当 即 时取等号， .
故选： .
8．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）在数列 中， ，则 的前 项
和 的最大值为（ ）
A．64 B．53 C．42 D．25
【答案】B
【解析】由 ,得 ,
令 ,所以 ,则 ,
所以数列 是以 为首项,2为公比的等比数列,
所以 ,即 ,即 ,
由 ,
将以上 个等式两边相加得 ,
所以 ,
经检验 满足上式，故
当 时, ,即 单调递增,当 时, ,即 单调递减,
因为
,
所以 的前 项和 的最大值为 ，
故选：B
9．（多选题）（2023·广东韶关·校考模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，则下列
正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，6是偶数，则 ，A错误；
对于B， ，B正确；对于C， ，C正确；
对于D， ， ，
，D错误.
故选：BC.
10．（多选题）（2023·辽宁大连·统考二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图
所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二
层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有 个球，从上往下n层球的球的总数为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】由题意得，
，
以上n个式子累加可得
，
又 满足上式，所以 ，故A错误；
则 ，
得 ，故B正确；
有 ，故C正确；
由 ，
得 ，
故D正确.
故选：BCD.
11．（多选题）（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且满足 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．数列 的前n项和为
B．数列 的通项公式为
C．数列 不是递增数列
D．数列 为递增数列
【答案】CD
【解析】 ，则 ，即 ，
故 是首项为 ，公差为 的等差数列，故 ，即 ，
， .
对选项A： ，错误；
对选项B： ，错误；
对选项C： ， ，故数列 不是递增数列，正确；
对选项D： ，故数列 为递增数列，正确；
故选：CD.
12．（多选题）（2023·全国·模拟预测）设 是数列 的前 项和．下面几个条件中，能推出 是等
差数列的为（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
【答案】ABD
【解析】对于A，当 时， 且 ，
两式相减可得 ，即 ．所以 是恒为0的数列，即 是公差为0的等差数列，故A正确；
对于B，当 时， 且 ，
两式相减可得 ，即 ，
所以 ，即 是常数列，是公差为0的等差数列，故B正确；
对于C，如果 ，令 可得 ，
当 时， 且 ，
两式相减可得 ，
如果 ，则 ，这并不能推出 是等差数列，
例如：考虑如下定义的数列 ：1，1，2，2，3，3， ，则其通项公式可写成 ， ．
则 ，
．
即数列1，1，2，2，3，3， 满足 对任意正整数 成立，但它并不是等差数列，故C错误；
对于D，当 时， 且 ，
两式相减可得 ，
所以 ，即 ，
故 ，即 是公差为 的等差数列，故D正确；
故选：ABD．
13．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）数列 的前n项和为 ，且 ，则“ ”
是“ ”的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必
要”中的一种）
【答案】充分不必要
【解析】当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
因为 满足上式，
所以 ，
所以 ， ，所以 成立，
由 可得 ，
，
，
所以此时满足 ，但不一定 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要
14．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知数列 满足 ， ，则数列 的通
项公式为 ．
【答案】
【解析】 ，两边同除 得：
，
所以 ，即 ，
化简得 ，∵ ，∴ ．
故答案为： .
15．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）数列 满足 ，则数列 的通
项公式为 .
【答案】
【解析】由题意 …①， ， …②，
② ①得： ，
则当 时， ，
当 ， 不适合上式.
；
故答案为： .
16．（2023·重庆·统考模拟预测）已知数列 的前n项和 满足 ，则 ．【答案】
【解析】数列 的前n项和 满足 ，即 ，
当 时， ，即有 ，
当 时， ，即 ，因此数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 .
故答案为：
17．（2023·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）若数列 的前 项的和为 ，且
，
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的值.
【解析】（1）因为 ，且 ， ，
所以 ，解得 ，所以 ，
当 时 ，所以 ，
即 ，
当 时 也成立，所以 ；
（2）由（1）可得 ，
所以
.
18．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）数列 中，
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明 .
【解析】（1）因为 ，即 ，所以当 时， ，
将以上各式相加，得 ，则 ，
当 时也符合上式，故 .
（2）由题意 .
所以
19．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， 且
.
(1)求数列 的通项公式;
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）因为 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
即 ，
又因为 ，满足上式，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
则 .
（2）因为 ，
所以 .
20．（2023·广东佛山·校考模拟预测）如果数列 对任意的 ， ，则称 为
“速增数列”.
(1)请写出一个速增数列 的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；
(2)若数列 为“速增数列”，且任意项 ， ， ， ，求正整数 的最大值.【解析】（1）取 ，
则 ， ，
因为 ，所以 ，
所以数列 是“递增数列”.
（2）当 时，
，
因为数列 为“速增数列”，
所以 ，且 ，
所以 ，
即 ，
当 时， ，
当 时， ，
故正整数 的最大值为63 .
21．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知数列 的前 项和为 ，且满足
，数列 是首项为1，公差为2的等差数列．
(1)分别求出数列 的通项公式；
(2)设数列 ，求出数列 的前 项和 ．
【解析】（1）当 时， ，得 ，
当 时， ，所以 ，
所以 ，即 ，因为 ，
所以 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 .
因为数列 是首项为1，公差为2的等差数列，
所以 ，则 ，（2）由（1）知， ， ，
所以 ，
所以 ，
，
所以 ，
所以 ，
化简得 .
22．（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知数列 的前n项和为 .
(1)若 ， ，证明： ；
(2)在（1）的条件下，若 ，数列 的前n项和为 ，求证
【解析】（1）因为 ， ，
所以 ， ，
所以数列 是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，
，
当 时， ， ，
当 时， 满足上式，
所以 ，所以 成立.
（2）由（1）知 ，
，
所以 ，
则 ，
所以 ，
所以 成立.1．（2023•新高考Ⅱ）已知 为等差数列， ，记 ， 为 ， 的前 项和，
， ．
（1）求 的通项公式；
（2）证明：当 时， ．
【解析】
（1）设等差数列 的公差为 ，
， 为 的前 项和， ， ，
则 ，即 ，解得 ，
故 ；
（2）证明：由（1）可知， ，
，
当 为偶数时， ，
，
，
当 为奇数时， ， ，
，
故原式得证．
2．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记 ， 分别为数列 ，
的前 项和．
（1）若 ， ，求 的通项公式；（2）若 为等差数列，且 ，求 ．
【解析】
（1） ， ，
根据题意可得 ，
，
，又 ，
解得 ， ，
， ；
（2） 为等差数列， 为等差数列，且 ，
根据等差数列的通项公式的特点，可设 ，则 ，且 ；
或设 ，则 ，且 ，
①当 ， ， 时，
则 ，
， ，又 ，
解得 ；
②当 ， ， 时，
则 ，
， ，又 ，
此时 无解，
综合可得 ．
3．（2023•全国）已知 为等比数列，其前 项和为 ， ， ．（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求 的前 项和 ．
【解析】（1） 为等比数列，其前 项和为 ， ， ．
， ，
则 ，两式作商得 ，即 ，
得 ， ，
则 ， ．
（2） ，
当 时， ，
即 是公比为 的等比数列，首项 ，
则 ．
4．（2022•新高考Ⅰ）记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等差数列．
（1）求 的通项公式；
（2）证明： ．
【解析】（1）已知 ， 是公差为 的等差数列，
所以 ，整理得 ，①，
故当 时， ，②，
① ②得： ，
故 ，
化简得： ， ， ， ， ；
所以 ，故 （首项符合通项）．
所以 ．
证明：（2）由于 ，
所以 ，
所以 ．
5．（2022•天津）设 是等差数列， 是等比数列，且 ．
（1）求 与 的通项公式；
（2）设 的前 项和为 ，求证： ；
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
，
， ，
解得 ，
， ．
（2）证明： ，
要证明 ，
即证明 ，
即证明 ，
即证明 ，
由数列的通项公式和前 项和的关系得： ，
．
6．（2021•乙卷）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ，已知 ， ， 成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前 项和．证明： ．
【解析】（1） ， ， 成等差数列， ，
是首项为1的等比数列，设其公比为 ，则 ， ，
，
．
（2）证明：由（1）知 ， ，
，
，①
，②
① ②得， ，
，
，
．
7．（2021•新高考Ⅱ）记 是公差不为0的等差数列 的前 项和，若 ， ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式 ；
（Ⅱ）求使 成立的 的最小值．
【解析】
（Ⅰ）数列 是公差 不为0的等差数列 的前 项和，若 ， ．
根据等差数列的性质， ，故 ，
根据 可得 ，
整理得 ，可得 不合题意），
故 ．
（Ⅱ） ， ，
，
，即 ，整理可得 ，
当 或 时， 成立，
由于 为正整数，
故 的最小正值为7．
8．（2021•新高考Ⅰ）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和．
【解析】（1）因为 ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，
， ，
所以数列 是以 为首项，以3为公差的等差数列，
所以 ．
另由题意可得 ， ，
其中 ， ，
于是 ， ．
（2）由（1）可得 ， ，
则 ， ，
当 时， 也适合上式，
所以 ， ，
所以数列 的奇数项和偶数项分别为等差数列，
则 的 前 20 项 和 为
．
9．（2021•乙卷）记 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积，已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列；
（2）求 的通项公式．
【解析】（1）证明：当 时， ，由 ，解得 ，
当 时， ，代入 ，
消去 ，可得 ，所以 ，
所以 是以 为首项， 为公差的等差数列．
（2）由题意，得 ，
由（1），可得 ，
由 ，可得 ，
当 时， ，显然 不满足该式，
所以 ．
10．（2021•浙江）已知数列 的前 项和为 ， ，且 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 ，记 的前 项和为 ，若 对任意 恒成立，
求实数 的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由 可得 ，
两式作差，可得： ，
，
很明显， ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
其通项公式为： ．
（Ⅱ）由 ，得 ，，
，
两式作差可得：
，
则 ．
据此可得 恒成立，即 恒成立．
时不等式成立；
时， ，由于 时 ，故 ；
时， ，而 ，故： ；
综上可得， ．
11．（2020•海南）已知公比大于1的等比数列 满足 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 ．
【解析】（1）设等比数列 的公比为 ，
则 ，
， ，
．
（2）令 ，则 ，
所以 ，
所以数列 是等比数列，公比为 ，首项为8，，
．
