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专题22.26 二次函数与一元二次方程（分层练习）（培优练）
一、单选题
1．如图，抛物线 与x轴交于 、 两点，且 ，则 的值为
（ ）
A． B．1 C．0 D．0或
2．若二次函数 的图象只经过第一、二、三象限，则m满足的条件一定是（ ）
A． B． C． 或 D．
3．已知二次函数 （ ），当 和 时，函数值相等，则 的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
4．一元二次方程 的两个根分别为 和4，若二次函数 与 轴的交点为 ，
，则对于 ， 的范围描述正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．二次函数 的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A． ， B．
C． D． 时，不等式 一定成立
6．如图是抛物线 图象的一部分，抛物线的顶点坐标 ，与x轴的一个交点
，直线 与抛物线交于A、B两点，下列结论：① ；② ；③抛物线
与x轴的另一个交点是 ；④方程 有两个相等的实数根；⑤当 时，有 ，
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①④⑤ C．①③⑤ D．①④
7．已知二次函数 ，当 时，则x的取值范围为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
8．已知抛物线 上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x … 0 1 2 3 …
y … 3 0 m 3 …
以下结论错误的是（ ）
A．抛物线 的顶点坐标为
B．当 时，y随x增大而增大
C．方程 的根为0和2
D．当 时， 的取值范围是9．已知抛物线 在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其
对称轴 上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（ ）
A． B．当 时，y随x的增大而增大
C． 周长的最小值是 ＋3 D． 是 的一个根
10．已知二次函数 的图像与x轴分别交于A、B两点，图像的顶点为C，若
，则a的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
二、填空题
11．已知抛物线 与 轴一个交点的坐标为 ，则一元二次方程 的
根为 ．
12．如图，抛物线 ： 与抛物线 ： 组成一个开口向上的“月牙线”，
抛物线 和抛物线 与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果
，那么抛物线 的表达式是 ．13．如图，抛物线 与直线 相交于点 ， ，则关于 的不等式
的解集为 ．
14．二次函数 ，当 时，y的取值范围是 ．
15．将二次函数 的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．
当直线 与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为
16．如图，在平面直角坐标中，抛物线 和直线 交于点 和点 ，则不
等式 的解集为 ．
17．如图，抛物线 的对称轴是直线 ，并与x轴交于A，B两点．若
，则下列结论中：① ；
② ；
③ ；
④若 为任意实数，则 ，正确的是 ．
18．如图，平移抛物线 ，使顶点在线段 上运动，与x轴交于 ，D两点．若
， ，四边形 的面积为 ，则 ．
三、解答题
19．已知抛物线 ．
（1）指出它的开口方向，并求它的顶点坐标和对称轴；
（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．20．已知抛物线 与x轴有两个不同的交点．
（1） 求c的取值范围；
（2） 抛物线 与x轴两交点的距离为2，求c的值．
21．先将二次函数 的图象向右平移2个单位，再向上平移8个单位，所得图象 与x轴相
交于点A和点B．
（1）求线段 的长；
（2）设直线 与 的图象交于Q点，当 的面积为18时，试确定Q点的坐标．
22．已知抛物线 ．
（1）若 与 互为相反数，且图象顶点在直线 上，求b的值．
（2）若 ，抛物线与 轴交于 两点，当线段 的长度最短时，求该抛物线的解析式；
（3）若 ，当 时，抛物线与 轴有且只有一个交点，直接写出 的取值范围．23．如图，直角坐标系中，抛物线 分别交 轴于点 ，交 轴于点 ，
（点 在点 的左侧）， 为顶点， 为线段 上一点，过点 作 轴的平行线分别交抛物线于点 ，
（点 在点 的左侧）．
（1）求该抛物线的对称轴及 的长．
（2）当 时，点 关于 的对称点 恰好落在 轴上，求此时 的长．
24．我们把与x轴有两个不同交点的函数称为“明盟函数”，交点称为“明盟点”，两交点间的距离
称为“明盟距”
（1）判断下列函数是“明盟函数”吗？如果是，请在括号里打“√”，并计算“明盟距”填在横线
上，如果不是“明盟函数”则在括号里打“×”；
① （ ），______； ② （ ），______；
（2）求出“明盟函数” 的“明盟距”；（3）①已知“明盟函数”G： 左侧的“明盟点”位于 和 之
间（含A、B两点），求a的取值范围；
②不论 m 取何值，不等式 恒成立，在①的条件下，函数
（b为常数）的最小值为 ，求b的值．
参考答案
1．C
【分析】 ， ，可求 ，由对称轴可求 ， ，令 ，由可求解．
解：设 ， ，
，
，
对称轴为直线 ，
，
解得： ， ，
令 得： ，
，
，
，
整理得： ，
解得： ， （舍去），
．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数与对应方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，
掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．D
【分析】根据抛物线只经过第一、二、三象限，可得抛物线与 轴有两个交点，且与 轴的交点的纵
坐标大于等于0，进行求解即可．
解：∵ ， ，
∴抛物线的开口向上，当 时， ，∵抛物线的图象只经过第一、二、三象限，
∴抛物线与 轴有两个交点， ，
∴ ， ，
∴ ；
故选D．
【点拨】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象与性质，是解题的关键．
3．A
【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系即可解题．
解：设当 时 ，
∵当 和 时，函数值相等，
∴当 时， 的两个根为 ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是由二次函数转换到一元二次方程根
与系数的关系．
4．C
【分析】利用将 向上平移3个单位得到 ，即可求解．
解：将 向上平移3个单位得到 ，
而抛物线 开口向上，
则 ， 在 和4之间，
故选：C．
【点拨】此题主要考查了二次函数的性质，正确理解函数平移的意义是本题解题关键．
5．D
【分析】根据抛物线开口方向和抛物线的对称轴位置对A进行判断；根据抛物线与 轴的交点个数对
B进行判断；根据抛物线对称轴对C进行判断；根据抛物线与 轴的交点的坐标对D进行判断．
解： 抛物线开口向下，，
抛物线的对称轴在 轴右侧，
，
，所以 不符合题意；
抛物线与 轴有 个交点，
，所以B不符合题意；
由图可知：抛物线的对称轴是直线 ，
，
，所以C不符合题意；
由对称可知：抛物线与 轴的交点为： ， ，又由图象可知：当 时，抛物线位于
轴的上方，
当 时，不等式 一定成立，所以D符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 ，二次项系数
决定抛物线的开口方向和大小，当 时，抛物线向上开口；当 时，抛物线向下开口；一次项系数
和二次项系数 共同决定对称轴的位置：当 与 同号时 即 ，对称轴在 轴左侧；当 与 异号时
即 ，对称轴在 轴右侧． 简称：左同右异 ；常数项 决定抛物线与 轴交点：抛物线与 轴交于
．抛物线与 轴交点个数由 决定： 时，抛物线与 轴有 个交点； 时，
抛物线与 轴有 个交点； 时，抛物线与 轴没有交点．
6．B
【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．
解：①∵抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
②∵抛物线开口向下，与y轴相交于正半轴，∴ ， ，∴ ，∴ ，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点 ，
∴另一个交点坐标为 ，故③错误；
④从图象可以知道，抛物线顶点为 ，
∴抛物线 与直线 有且只有一个交点，
∴方程 有两个相等的实数根，故④正确；
⑤由图象可知，当 时， ，故⑤正确；
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解答关键
是数形结合．
7．C
【分析】先求出当 时，对应的x的值，然后根据二次函数的性质即可解答．
解：根据题意可得：当 时，即 ，
解得： ，
∵ ，
∴图象开口向上，
∵ ，
∴ 或
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质和二次函数与不等式的关系，正确理解题意、明确求解的方法是
关键．
8．D
【分析】根据对称性即可得到顶点，由点 与 即可判断增减性，根据对称性即可得到方程
的根，根据二次函数的开口及交点即可得到答案．
解：由题意可得，由点 ， 可得，对称轴为 ，
∴抛物线 的顶点坐标为 ，故A正确；
由点 与 可得 ，开口向上，当 时，y随x增大而增大，故B正确；
由对称性可得， 、 对称，故C正确；
∵ ，开口向上，故当 时， 或 ，故D错．
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据表中点的对称性即可得到顶点、对称轴及与x
轴的交点．
9．C
【分析】由题意知，抛物线的对称轴为直线 ，抛物线开口向下，抛物线过点 ，则
，即 ，可判断A的正误；当 时，y随x的增大而增大，可判断B的正误；点 关于
直线 的对称点为 ，即 是 的一个根，可判断D的正误：当 ， ，即
，如图，点 关于直线 的对称点为 ，连接 ，由题意知， ，当 三点
共线时， 的和最小，即 的和最小为 ，由勾股定理得 ，
进而可得 周长的最小值，进而可判断C的正误．
解：由题意知，抛物线的对称轴为直线 ，抛物线开口向下，抛物线过点 ，
∴ ，则 ，A正确，故不符合要求；
当 时，y随x的增大而增大，B正确，故不符合要求；
点 关于直线 的对称点为 ，即 是 的一个根，D正确，故不符合要求；
当 ， ，即 ，
如图，点 关于直线 的对称点为 ，连接 ，由题意知， ，
当 三点共线时， 的和最小，即 的和最小为 ，
由勾股定理得 ，
∴ 周长的最小值 ，C错误，故符合要求；
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运
用．
10．A
【分析】求出抛物线与x轴的交点坐标，则可求得AB的长，且求得顶点C的坐标，根据抛物线的对
称性，△ABC是等腰直角三角形，则顶点C到x轴的距离等于AB的一半，即可求得a的值．
解：令 ，
解得： ， （ ），
则 ，
∵ ，
∴顶点C的坐标为 ，
∵A、B两点关于抛物线的对称轴对称，且 ，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴顶点C到x轴的距离等于AB的一半，即 ，
解得：a=3或a=4（舍去），
经检验是方程的解且符合题意，
即a=3．
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，等腰直角三角形的性质等知
识，根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半建立方程是解题的关键．
11． ，
【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据对称性可得出抛物线与 轴的另一个交点的坐标为 ，从
而可得出一元二次方程 的根．
解：根据题意得：
抛物线的对称轴为直线 ，
抛物线 与 轴一个交点的坐标为 ，
根据对称性可知抛物线与 轴的另一个交点的坐标为 ，
一元二次方程 的根为： ， ，
故答案为： ， ．
【点拨】本题主要考查了抛物线与 轴的交点与一元二次方程的根，熟练掌握抛物线的对称性得出抛
物线与 轴的另一个交点的坐标为 是解题的关键．
12．
【分析】先求出A、B、C的坐标，设点D的坐标为 ，则 ，利用勾股定理结合
得到 ，解得 ，则 ，可设抛物线 的解析式为 ，利用待定系数法求出 ．
解：在 中，令 ，则 ，
∴ ，
在 中，令 ，则 ，解得 或 ，
∴ ，
∴ ，
设点D的坐标为 ，则
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵抛物线 经过A、B，
∴可设抛物线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线 的解析式为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，求二次函数与坐标轴的交点，正
确求出点D的坐标是解题的关键．13．
【分析】根据 、 两点的横坐标和函数的图象得出不等式的解集即可．
解： 抛物线 与直线 相交于点 ， ，
关于 的不等式 的解集为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式，二次函数的图象和性质等知识点，能根据交点的坐标得出不
等式的解集是解此题的关键．
14．
【分析】根据二次函数的图象和性质，即可解答．
解： 中， ，
该二次函数图象的开口向上，当x=1时，函数有最小值为y=1，
当x=0时，y=3，
当x=3时，y=9,
故当 时，y的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握和运用二次函数的图象和性质是解决本题的关
键．
15． 或
【分析】分两种情形：如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，当
直线y=x+b与抛物线 只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，
分别求解即可．
解：二次函数解析式为 ，
∴抛物线 的顶点坐标为（1，4），
当y=0时， ，解得 ，则抛物线 与x轴的交点为A（-1，0），B（3，0），
把抛物线 图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为
，顶点坐标M（1，-4），
如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，
∴3+b=0，解得b=-3；
当直线y=x+b与抛物线 只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个
公共点，
即 有相等的实数解，整理得 ， ，解得b= ，
所以b的值为-3或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】此题主要考查了翻折的性质，一元二次方程根的判别式，二次函数的图像和性质，确定翻折
后抛物线的关系式；利用数形结合的方法是解本题的关键，画出函数图象是解本题的难点．
16．
【分析】根据已知图象，确定交点横坐标,再找出直线在抛物线上方的部分，即可得到答案．
解：由图象可知，抛物线与直线交点的横坐标分别为0、3，
当 时，直线在抛物线上方，
不等式 的解集为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．17．②③④
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与 轴交点可得 ， ， 的符号及 与 的关系，
从而判断①，由 及对称轴可得点 坐标，从而判断②③，由 时 取最小值可判断④．
解：∵抛物线开口向上，
，
∵抛物线对称轴为直线 ，
，
∵抛物线与 轴交点在 轴上方，
，
，①错误．
设抛物线对称轴与 轴交点为 ，则 ，
，
，即点 坐标为 ，
时， ，
，②正确．
抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，③正确．
时 取最小值，
，即 ，④正确．
故答案为：②③④．【点拨】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方
程及不等式的关系．
18．
【分析】根据梯形面积求出 ，结合一元二次方程根与系数的关系及完全平方公式之间关系化简
即可得到答案；
解：四边形 是梯形，下底 ，高为3，
由 ，得 ，设 ， ，
则 ， ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．∴ ①，
又顶点纵坐标 ②，
①÷②，得 ，
∴ ，
故答案为 ；
【点拨】本题考查二次函数性质与几何图形应用，解题的关键是熟练掌握二次函数与一元二次方程之
间的关系及二次函数的性质．
19．（1）开口向上，顶点坐标坐标是 ，对称轴是直线 ；（2）4
【分析】（1）用配方法可以写出抛物线的顶点式，然后根据顶点式各参数的意义可得问题解答；（2）将抛物线的解析式因式分解，即可得到抛物线与x轴的交点A、B的坐标，由坐标即可得到线段
AB的长．
解： 由抛物线 得到：
开口向上，顶点坐标坐标是 ，对称轴是直线 ．
由抛物线 得到点A的坐标是 ，点B的坐标是 ．
故线段AB的长为： ．
【点拨】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数顶点式的图象与性质、抛物线与x轴的交点坐
标及其截线长是解题关键．
20．（1） ；（2） .
试题分析：（1）由题意可得，二次函数与 轴有交点，可转化为方程 有两个不相等
的根；（2）根据题意可利用一元二次方程根与系数的关系求 的值.
解：（1）∵抛物线与 轴有两个不同的交点
∴ ，即
解得
（2）设抛物线 与 轴的两交点的横坐标为 ，
∵两交点间的距离为 ，
∴ ，
由题意，得
解得
∴
即 的值为 ．
考点：1.二次函数与一元二次方程的关系；2.一元二次方程根与系数的关系.21．（1）4；（2） 或
【分析】（1）根据二次函数平移的规律“上加下减，左加右减”可得出 的解析式为
，从而可求出 与x轴交点的横坐标，即得出线段 的长；
（2）由题意可求出Q点纵坐标为m，再根据三角形面积公式可求出 ，结合二次函数的最值，
可求出 ，即Q点纵坐标为 ，代入 的解析式，求出其横坐标即可．
解：（1）由题意可得 的解析式为 ，
对于 ： ，令 ，则 ，
解得： ，
∴ ；
（2）∵直线 与 的图象交于Q点，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
解得： ．
∵ 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ．
将 ，代入 ，即解得： ，
∴Q点坐标为 或 ．
【点拨】本题考查二次函数图象的平移，二次函数与几何的综合．掌握二次函数图象的平移规律和二
次函数的性质是解题关键．
22．（1） 或 ；（2） ；（3） 或
【分析】（1）根据题意，可得 ，配方得 ，根据图象顶点在直线
上，得出 ，解方程即可求解．
（2）根据题意得出 ，设抛物线与 轴的交点坐标为 和 ，根据一元二
次方程根与系数的关系得出 ，根据二次函数的性质求得当 时， 的长度最短，然
后代入解析式，即可求解；
（3）依题意，得到抛物线的解析式为： ，抛物线的对称轴为： ， 然后分情况讨论，
①当顶点坐标在 轴上时，②当 ，分别求解即可．
（1）解：∵ 与 互为相反数，
∴ ，
∴ ，
∵图象顶点在直线 上，
∴ ，
即 或 ；
（2） ，
，抛物线为 ，
设抛物线与 轴的交点坐标为 和 ，
，
，
当 时， 的长度最短，
，
该抛物线的解析式为： ；
（3）解： 或
，
抛物线的解析式为： ，
抛物线的对称轴为： ，
①当顶点坐标在 轴上时，在 时，抛物线与 轴有且只有一个交点，
此时， ，
解得 ；
②当 ，
即 时，在 时，抛物线与 轴有且只有一个交点，
综上， 或
【点拨】本题考查了二次函数的综合，待定系数法求解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，与 轴
截线的长度，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质求最值，综合运用以上知识是解题的关键．
23．（1）对称轴x=1，GF-GE=2；（2）AB=4
【分析】（1）作 于点 ，交 于点 ，求出抛物线对称轴为 ，根据，得到 ， ，得到 ．
（2）根据 ， ，得到 ，根据点 关于 的对称点 恰好落在 轴
上，得到 ，根据 ，得到 ， ，得到 ，
， ，推出 ．
（1）解：（1）作 于点 ，交 于点 ，
抛物线对称轴为 ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ．
（2）（2）易知 ，
∵ ，
∴ ，
又∵点 关于 的对称点 恰好落在 轴上，
∴ ，而点 ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ．
【点拨】本题考查了抛物线的性质，轴对称，待定系数法，二次函数与一元二次方程，解决问题的关
键是熟练掌握抛物线的对称性，熟练掌握轴对称性质，熟练运用待定系数法求抛物线的解析式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系．
24．（1）①×，②√，4；（2）4；（3）① ，② 或
【分析】（1）根据反比例函数的性质即可判断①，求出二次函数的 的值，即可判断②；
（2）根据求根公式求出方程 的两个根，即可得出函数与x轴的两个交点
坐标，即可求解；
（3）由（2）可得函数与x轴的交点坐标，根据左侧点的位置可得求解；②根据不等式
恒成立可得 ，即可求出b的取值范围，将 看作
y关于a的函数，并化为顶点式，分两种情况，结合函数的对称轴和增减性即可进行解答．
（1）解：①反比例函数 与x轴没有交点，故 不是“明盟函数”，
故答案为：×．
② ，
∴ 是“明盟函数”，
当 时， ，解得： ，
∴ 与x轴的交点坐标为： ，
∴“明盟距”为： ，
故答案为：√，4．
（2）∵ 是“明盟函数”，
∴方程 有两个不相等的实数根，即
∵ ，
∴ ， ，∴该函数与x轴的交点坐标为： ， ，
∴“明盟距”为： ，
（3）①由（2）可知：函数 与x轴的两个交点坐标为： ，
，
∴左侧的“明盟点”坐标为： ，
∵左侧的“明盟点”位于 和 之间，
∴ ，解得： ；
②令
∵不论m取何值，不等式 恒成立，
∴该函数开口向上， ，
，
解得： ，
∵函数 ，
∴该函数开口向上，
当 时，
此时 时，函数有最小值 ，
∵函数最小值为 ，
∴ ，解得： ，
当 时，
∵该函数的对称轴为 ，
∴当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大，
∵ ， ，
∴ ，∴当 时，函数取最小值，
∴最小值为 ，解得： 或 （舍），
综上： 或 ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数与x轴交点坐标的求法，
根据二次函数的对称轴分析增减性和最值．
