文档内容
专题 23.5 旋转（知识梳理与考点分类讲解）
目录索引
第一部分【知识点归纳与要点提示】..........................................1
第二部分【题型梳理与方法点拨】............................................2
【题型1】轴对称、中心对称、旋转的图形识别.......................................2
【题型2】利用旋转的性质求解.....................................................4
【题型3】利用旋转的性质证明.....................................................7
【题型4】利用旋转的性质解决最值问题.............................................12
【题型5】旋转（中心对称）性质解决规律问题.......................................17
【题型6】利用中心对称的性质求值或证明...........................................20
【题型7】旋转（中心对称）的性质在二次函数中的应用...............................22
第三部分【直通中考与拓展延伸】............................................28
【直通中考】.....................................................................28
【拓展延伸】................................................................. ...30
第一部分【知识点归纳与要点提示】
【知识点1】旋转
1. 旋转的概念：把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换叫做旋转，这个点叫做旋转中心，
转动的角叫做旋转角，如果图形上的一个点经过旋转变为另一个点，那么这两个点叫做这个旋转的
对应点.
【要点提示】旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等.
【要点提示】图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.
3. 旋转的作图:在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指
定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
【要点提示】
作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点.
【知识点2】特殊的旋转—中心对称
1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两
个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的
对称点．【要点提示】（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：
将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，
而中心对称的两个图形一定是全等的) .
2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，
那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【要点提示】(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图
形.
【知识点3】平移、轴对称、旋转之间的对比
平移 轴对称 旋转
相同点 都是全等变换（合同变换），即变换前后的图形全等．
把一个图形沿某一 把一个图形沿着
定 把一个图形绕着某一定点转
方向移动一定距离 某一条直线折叠
义 动一个角度的图形变换．
的图形变换． 的图形变换．
图
形
不
同
要
平移方向、平移距离 对称轴 旋转中心、旋转方向、旋转角度
素
点
连接各组对应点的 任意一对对应点 对应点到旋转中心的距离相
线段平行（或共 所连线段被对称 等；对应点与旋转中心所连
线）且相等． 轴垂直平分． 线段的夹角都等于旋转角．
性 对应线段平行（或 任意一对对应点 对应点到旋转中心的距离相
质 共线）且相等． 所连线段被对称 等；对应点与旋转中心所连
轴垂直平分． 线段的夹角等于旋转角，
即：对应点与旋转中心连线
所成的角彼此相等．
第二部分【题型梳理与方法点拨】
【题型1】轴对称、中心对称、旋转的图形识别
【例1】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，四边形 绕D点旋转 ，请作出旋转后的图案，
写出作法并回答．
(1)这两个图形成中心对称吗？如果是，对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由．
(2)如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点？【答案】(1)作图见解析，这两个图形成中心对称，对称中心是点D
(2)A、B、C、D关于中心的对称点为 和D
【分析】本题主要考查了作中心对称图形，判定一个图形是否为中心对称图形，找出其对称中心是关键，
先延长 ，使得 ；同理作： ；连接 ，则四边形 为
所求的四边形．
（1）根据对称中心对称的定义解答即可；
（2）根据对称中心对称的定义解答即可．
解：（1）作法：①延长 ，并且使得 ；②同理可得： ；③连接
，则四边形 为所求的四边形，如图所示．
根据作图，可得：这两个图形成中心对称，对称中心是点D；
（2）A、B、C、D关于中心的对称点为 和D．
【变式1】（22-23九年级上·安徽六安·阶段练习）下列图形是旋转对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据旋转对称图形的定义可判断A、B、D都不是旋转对称图形，C图形是旋转对称图形．
解：A、图形只能旋转360°后能与原图形重合，所以A图形不是旋转对称图形；
B、图形只能旋转360°后能与原图形重合，所以B图形不是旋转对称图形；
C、图形绕旋转中心旋转120°后能与原图形重合，所以C图形是旋转对称图形．
D、图形分布不均，故此选项不是旋转对称图形．故选：C．
【变式2】（23-24九年级上·河南信阳·期中）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转 后，能够与原图形重合，那么这
个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键．
解：A、绕某一点旋转 后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意；
B、绕某一点旋转 后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
C、绕某一点旋转 后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
D、绕某一点旋转 后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：A．
【题型2】利用旋转的性质求解
【例2】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在 中， ，将 绕点A顺时
针旋转得到 使点C的对应点E落在 上，连接 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1) ； (2) ．
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于
旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了勾股定理：
（1）先根据旋转的性质得到 ， ， ，则可计算出
，再根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理计算出 ，然后计算
即可；
（2）先利用勾股定理计算出 ，再根据旋转的性质得到 ， ，，所以 ，然后在 中利用勾股定理可计算出BD的长
解：（1）∵ 绕点A顺时针旋转得到 使点C的对应点E落在 上，
∴
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ；
（2）在 中，
∵ ，
∴ ，
∵ 绕点A顺时针旋转得到 使点C的对应点E落在 上，
∴ ， ， ，
∴ ，
在 中， ．
【变式1】（23-24九年级下·重庆·期中）如图，将正方形 的边 绕点 顺时针旋转得到 ，连
接 ，再将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，若 ，则 的大
小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质．
连接 ，根据正方形的性质求得 ，
，由 得到 ，通过“ ”证明 ，即可解答．
解：连接 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵由旋转得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由旋转可得 ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中， ， ，
， ， ，将线段 绕点D逆时针旋转 得到 ，连接 ，则 的面
积为 ．【答案】
【分析】过点E作 交 的延长线于点F，过点C作 于点G，结合题意可得四边形
是矩形，，从而可求得 的长，再结合旋转的性质可证 ，从而可得 的长，即
可求得 的面积．
解：如图，过点E作 交 的延长线于点F，过点C作 于点G．
， ，
， ，
四边形 是矩形，
，
．
是由 绕点D逆时针旋转 得到的，
， ，
，
又 ，
，
，
．
，
．【点拨】本题考查了平行线的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，熟记性
质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
【题型3】利用旋转的性质证明
【例3】（21-22八年级上·山东烟台·期末）【问题情境】
如图1，点 为正方形 内一点， ，将 绕点 按顺时针方向旋转 ，得到
（点 的对应点为点 ），延长 交 于点 ，连接 ．
（1）四边形 的形状是_________；
【解决问题】
（2）若 ， ，则正方形 的面积为_________；
【猜想证明】
（3）如图2，若 ，请猜想线段 与 的数量关系并加以证明．
【答案】（1）正方形；（2）225；（3） ，证明见解析
【分析】（1）首先证明四边形 是矩形，再根据“邻边相等的矩形”是正方形证明即可；
（2）由勾股定理可求 的值，即可求解；
（3）过点 作 于点H，则 ， ，由“ ”可证
，可得 ，即可求解．
解：（1）结论：四边形 是正方形．
理由如下：
∵ 是由 绕点 按顺时针方向旋转 得到的，
∴ ， ，
又∵ ，
∴四边形 是矩形，
由旋转可知： ，
∴四边形 是正方形．故答案为：正方形；
（2）∵ ， ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴正方形 的面积 ．
故答案为：225；
（3）结论： ，
理由如下：如下图，过点 作 于点 ，
则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
由旋转可知， ，由（1）可知，四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、
勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
【变式1】（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，在等腰直角 中， ， ，点
D为斜边 上一点，将 绕点C逆时针旋转 得到 ，则下列说法正确的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由等腰直角 三角形的性质，可得 ，由旋转的性质可知 ，可判定①正
确；根据 是等腰直角三角形， 不一定是等腰直角三角形，所以 与 不一定全等，所以 与
不一定相等，可判定②错误；根据 ， ，可得 ，即可
得 ，从而得出 ，可判断③正确；证明 ，
，可得出 ，可判断④正确．
解：∵ ， ，
∴ ．
由旋转的性质可知 ， ， ，故①正确；
∴ 是等腰直角三角形，
∵点D为斜边 上一点，
∴ 不一定是等腰直角三角形，
∴ 与 不一定全等，所以 与 不一定相等，故②错误；
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，故③正确；
∵
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
故正确的有①③④共3个．
故选：C．
【点拨】本题主要考查的是旋转的性质、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识
是解题的关键．
【变式2】（23-24八年级下·上海·期末）如图，已知在 中， ， ，点
、点 在边 上，且 ，若 ，则 ．
【答案】8
【分析】首先根据题意可得 ， ， ，将 绕点 逆时针旋转
至 ，点 的对应点为点 ，连接 ，易知 ，再证明 ，由全等三角
形的性质可得 ，设 ，则 ，在 中，由勾股定理可得
，代入数值并解得 的值，然后计算 的值即可．
解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，如下图，将 绕点 逆时针旋转至 ，点 的对应点为点 ，连接 ，
则 ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴在 中，可有 ，
即 ，解得 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：8．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知
识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键．
【题型4】利用旋转的性质解决最值问题
【例4】（2024九年级·全国·竞赛）如图，在正方形 中，点 为对角线 上一点， 为等边三角形．
(1)当点 在何处时， 的值最小，说明理由；
(2)当正方形的边长为8时，求 的最小值是多少？
【答案】(1) 为 与 的交点．证明见解析
(2) 的最小值为： ．
【分析】（1）如图，将线段 顺时针旋转 得线段 ，连接 ， ，证明 ，可得当
， ， ， 四点共线时，如图，此时 最小，可得 为 与 的
交点．
（2）如图，过 作 交 的延长线于 ，证明 ，可得 ，
，再利用勾股定理可得最小值．
【详解】（1）解：如图，将线段 顺时针旋转 得线段 ，连接 ， ，
∴ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ 为等边三角形．
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
当 ， ， ， 四点共线时，如图，
此时 最小，
∴ 为 与 的交点．
（2）如图，过 作 交 的延长线于 ，
∵正方形 ，等边三角形 ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的最小值为： ．
【点拨】本题考查的是旋转的性质，等边三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，
勾股定理的应用，二次根式的混合运算，作出合适的辅助线是解本题的关键．
【变式1】（22-23九年级上·湖北十堰·期中）如图，在 中， ，
线段 绕点B旋转到 ，连接 ，E为 的中点，连接 ，设 的最大值为m，最小值为n，则
（ ）A．3.6 B．4.8 C．5 D．6
【答案】D
【分析】取 的中点F，得到 是等边三角形，利用三角形中位线定理推出 ，再分类
讨论可求得m和n的值，即得出答案．
解：由旋转的性质可得出 ．
如图，取 的中点F，连接 ．
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
∵E、F分别是 的中点，
∴ ．
如图，当 在 上方时，
此时，如果C、E、F三点共线，则 有最大值，最大值为 ，即 ；
如图，当 在 下方时，此时，如果C、E、F三点共线时， 有最小值，最小值为 ，即 ，
∴ ．
故选D．
【点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，分类讨论求得 的最大值和最小值，
即得出m和n的值是解题的关键．
【变式2】（23-24九年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，已知 中， ， ，
， ， ，点 为直线 上一动点，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
连接 、 ，点 在直线 上且 ，则 最小值为 ．
【答案】❑√3
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，面积法，旋转的性质，垂线段最短，转化思想，理解题意
是解本题的关键．首先通过证明 得到 ，再根据垂线段最短将最小值转化为点
到 的距离，最后利用面积法计算即可．
解： ， ，
，
∵ 是 的外角，
∴ ，
由旋转可知： ， ，
，
在 和 中，
，，
，则当 时， 最小，即 最小，
， ， ， ，
点 到 的距离为 ，
的最小值为 ，
故答案为： ．
【题型5】旋转（中心对称）性质解决规律问题
【例5】（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大
自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成 角的叶片，以三个叶片的
重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的
坐标为 ，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动 ，则第 秒时，点 的对应点 的
坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、 时，点 的对应点 、 、 、 的坐标，找到规律，
进而得出第 时，点的对应点 的坐标．
解：如图．，
在第一象限的角平分线上，
叶片每秒绕原点 顺时针转动 ，
， ， ， ，
点的坐标以每4秒为一个周期依次循环，
，
第 时，点的对应点 的坐标与 相同，为 ．
故选： ．
【变式1】（23-24八年级下·河南郑州·开学考试）将 按如图方式放在平面直角坐标系中，其中
， ，顶点 的坐标为 ，将 绕原点逆时针旋转，每次旋转 ，则第
2024次旋转结束时，点 对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要是考查了旋转性质、中心对称求点坐标、三角形全等以及点的坐标特征．根据旋转性质，
可知6次旋转为1个循环，故先需要求出前6次循环对应的 点坐标即可，利用全等三角形性质求出第一
次旋转对应的 点坐标，之后第2次旋转，根据图形位置以及 长，即可求出，第3、4、5次分别利用关
于原点中心对称，即可求出，最后一次和 点重合，再判断第2024次属于循环中的第2次，最后即可得出答案．
解：由题意可知：6次旋转为1个循环，第一次旋转时：过点 作 轴的垂线，垂足为 ，如图所示：
由 的坐标为 可知： ， ，
，
， ，
由旋转性质可知： ，
， ，
，
在 与 中：
，
，
， ，
此时点 对应坐标为 ，
当第二次旋转时，如图所示：此时 点对应点的坐标为 ．
当第3次旋转时，第3次的点 对应点与 点中心对称，故坐标为 ，
当第4次旋转时，第4次的点 对应点与第1次旋转的 点对应点中心对称，故坐标为 ，
当第5次旋转时，第5次的点 对应点与第2次旋转的 点对应点中心对称，故坐标为 ．
第6次旋转时，与 点重合．
故前6次旋转，点 对应点的坐标分别为： 、 、 、 、 、 ．
由于 ，
故第2024次旋转时， 点的对应点为 ．
故选：B．
【变式2】（23-24九年级上·山东德州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， 的坐标分别为
， ， ．一个电动玩具从原点 出发，第一次跳跃到点 ，使得点 与点 关于点 成中
心对称；第二次跳跃到点 ，使得点 与点 关于点 成中心对称；第三次跳跃到点 ，使得点 与点
关于点 成中心对称；第四次跳跃到点 ，使得点 与点 关于点 成中心对称；…．电动玩具照此规律
跳下去，则点 的坐标是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B【分析】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律．根据题意，先求出前几次跳跃后 、 、 、 、
、 、 的坐标，可得出规律，继而可求点 的坐标．
解：由题意得：点 、 、 、 、 、 、 ，
∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环，
∵ ，
∴点 的坐标是 ．
故选：B．
【题型6】由中心对称的性质求值或证明
【例6】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，D是 边 的中点，连接 并延长到点E，使
，连接 ．
(1) 和 ___________成中心对称；
(2)已知 的面积为4，则 的面积是 ___________．
【答案】(1) (2)8
【分析】本题考查了中心对称图形及三角形的中线，掌握中心对称图形及三角形的中线的性质是解题的关
键．
（1）根据点A和点E成中心对称，C点和点B成中心对称，即可求解；（2）根据 是 的中线，
得到 ，根据D是 边 的中点，得到 ，
解：（1）根据中心对称图形的性质可得；
和 成中心对称，
故答案为： ；
（2）由（1）得： 和 成中心对称，∴线段 是 的中线，
∴ ，
∵D是 边 的中点，
∴ ，
故答案为：8．
【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图， 中， 是 上一点， 交AB于 ，
交 于 ．
(1)求证：四边形 是中心对称图形；
(2)若AD平分 ，求证：点 ， 关于直线AD对称．
【分析】（1）证明四边形 是平行四边形，即可得证；
（2）由角平分线的定义得 ．进而利用平行线的性质得 从而得
．四边形 是菱形，根据菱形的性质即可得证．
解：（1）证明：∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴四边形 是中心对称图形．
（2）证明：∵AD平分 ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
又∵四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形，
∴AD垂直平分 ，
∴点 ， 关于直线AD对称．【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质、角平分线的定义，平行线的性质，
熟练掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键．
【变式2】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图所示，四边形 中， ，连接
交 的延长线于E点，请证明： 与 关于点F中心对称．
【分析】本题主要考查了中心对称以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判断方法是解答
本题的关键．
由 可得 ，再根据对顶角相等可得 ，又 ，根据“ ”可
得 ，进而得出 ，从而得出 与 关于点F中心对称．
证明：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 关于点F中心对称．
【题型7】旋转（中心对称）的性质在二次函数中的应用
【例7】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x
轴交于A、B两点，与y轴交于点C．过点 ，且顶点P的坐标为 ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1，若点M是二次函数图象上的点，且在直线 的上方．连接 ， ．求 面积的最大
值；
(3)如图2，设点Q是抛物线对称轴上的一点，连接 ，将线段 绕点Q逆时针旋转 ，点C的对应点为F，连接 交抛物线于点E，请直接写出点E的坐标．
【答案】(1) (2) (3) 或
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由 面积 ，即可求解；
（3）①当点 在点 的下方时，证明 ，得到 ， ，则点
，求出直线 的表达式，进而求解；②当点 在点 的上方时，同理可得：点 的坐标为
，进而求解．
解：（1）设抛物线的表达式为： ，
则 ，
将点 的坐标代入上式并得： ，
解得： ，
故抛物线的表达式为： ，即 ；
（2）由抛物线的表达式知，点 ，
如图1，过点 作 轴交 于点 ，设直线 的表达式为： ，
则 ，解得 ，
故直线 的表达式为： ，
设点 ，点 ，
则 面积
，
，故函数由最大值，
当 时， 面积的最大值为 ；
（3）设点 ，如图2，
①当点 在点 的下方时，
过点 作 轴的平行线交 轴于点 ，交过点 与 轴的平行线于点 ，
， ，，
， ，
，
， ，
点 ，
设直线 的表达式为： ，
则 ，解得 ，
故直线 的表达式为： ②，
联立直线 与抛物线的： ，
解得： （不合题意的值已舍去），
即点 ；
②当点 在点 的上方时，
同理可得：点 的坐标为 ，
由点 、 的坐标得：直线 的表达式为 ，同情况①，
故点 ；
当点 与点 重合时，也符合题意，
综上，点 的坐标为 或 ．
【点拨】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质和旋转
的性质；会利用三角形全等的知识解决线段相等的问题；会解一元二次方程；理解坐标与图形性质．
【变式1】（2024·江苏苏州·一模）如图，点 是二次函数 （ 为常数）的图像与 轴的
交点， 是二次函数的对称轴与 轴的交点，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ．若
点 恰好落在二次函数 的图像上，则 的值为 ．【答案】 或
【分析】本题考查了二次函数的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，过点 作 轴于点
，由旋转得 ， ，进而可证明 ，得到 ， ，又由二次
函数可得B(0,3)， ，即可得 ，把 代入二次函数的解析式解答即可求解，
证明 得到点 的坐标是解题的关键．
解：过点 作 轴于点 ，
则 ，
∴ ，
∵将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ， ，
把 代入 得， ，
∴B(0,3)，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵ 是二次函数的对称轴与 轴的交点，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 恰好落在二次函数 的图像上，
∴ ，
整理得， ，
解得 ， ，
∴ 的值为 或 ，
故答案为： 或 ．
【变式2】（2024·陕西榆林·二模）二次函数 （ 为常数且 ）的图象与 轴交于点
．将该二次函数的图象以原点为旋转中心旋转 ，旋转后的图像与 轴交于点 ，若 ，则
的值为（ ）
A．1或 B．1或 C．3 D．【答案】A
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，中心对称的性质，先求解 的坐标，再求解旋转后的解析
式及 的坐标，再利用 ，再建立方程求解即可．
解：∵二次函数 （ 为常数且 ）的图象与 轴交于点 ．
∴当 时， ，
∴ ，
∵二次函数 的图象以原点为旋转中心旋转 ，
∴旋转后的解析式为： 即 ，
当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： 或 ；
故选A
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·四川德阳·中考真题）将一副直角三角板 与 叠放在一起，如图1， ，
， ， ．在两三角板所在平面内，将三角板 绕点O顺时针方向旋转 （
）度到 位置，使 ，如图2．
(1)求 的值；
(2)如图3，继续将三角板 绕点O顺时针方向旋转，使点E落在 边上点 处，点D落在点 处．设 交 于点G， 交 于点H，若点G是 的中点，试判断四边形 的形状，并说明
理由．
【答案】(1) (2)正方形，见解析
【分析】（1）确定旋转角 ，结合 ， ，计算即可．
（2）先证明四边形 是矩形，再利用等腰直角三角形的性质，结合一组邻边相等的矩形是正方形证
明即可．
解：（1）根据题意，得旋转角 ，
∵ ， ，
∴ ，
故 ．
（2）根据题意，得旋转角 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形．
【点拨】本题考查了旋转的性质，矩形的判断，正方形的判断，等腰直角三角形的性质，熟练掌握矩形的
判断，正方形的判断，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
【例2】（2024·四川雅安·中考真题）如图，在 和 中， ， ，将
绕点A顺时针旋转一定角度，当 时， 的度数是 ．
【答案】 或
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，旋转的性质，分两种情况分别画出图形，再结合等腰三角形的
性质与角的和差运算可得答案；
解：如图，当 时，延长 交 于 ，∵ ， ，
∴ ,
∴ ；
如图，当 时，延长 交 于 ，
∵ ， ，
∴ ,
∴ ，
故答案为： 或
2、拓展延伸
【例1】（24-25九年级上·北京·开学考试）如图1，在边长为2的正方形 中，O为对角线的交点，E
为 的中点，以 为边在 右侧作正方形 ．如图2，将正方形 绕点D逆时针旋转
，连接 ， ， ， ，过点D作 于点M，延长 交 于点N，连接
．在旋转过程中，给出下面四个结论：① ；② ；③ ；④ 的最大值为
．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A．①② B．②③ C．①④ D．②③④
【答案】B
【分析】①根据正方形的性质得出 ， ，根据旋转得出 ，说明
与 不一定全等，即可得出①错误；
②先证明 ，得出 ，根据 ，得出
，即可证明结论；
③延长 ，过点G作 于点H，过点E作 于点K，根据正方形的性质得出 ，
， ，证明 ，得出 ，根据 ，
，即可得出答案；
④延长 ，过点E作 于点K，过点C作 于点H，证明 ，得出
，同理得 ，得出 ，证明 ，得出 ，根据中位线
性质得出 ，当 最大时， 最大，根据 ，得出当 、D、E三点共线时，
最大，且最大值为： ，即可得出答案．
解：①∵四边形 和四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴根据旋转可知： ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 与 不一定全等，∴ ，故①错误；
②设 与 交于点P， 、 交于点Q，如图所示：
∵四边形 和四边形 为正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
即
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
③延长 ，过点G作 于点H，过点E作 于点K，如图所示：
则 ，
∵四边形 和 为正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，故③正确；
④延长 ，过点E作 于点K，过点C作 于点H，如图所示：
则 ，
∵四边形 和 为正方形，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴当 最大时， 最大，
∵由图1知， 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴当 、D、E三点共线时， 最大，且最大值为： ，
∴ 的最大值为 ，故④错误；
综上分析可知：正确的是②③．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，余角的性质，中
位线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
【例2】（2024·四川广安·模拟预测）如图，直线 交y轴于点A，交x轴于点 ，抛物线
经过点A，点 ，且交x轴于另一点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线 上方的抛物线上有一点 ，求四边形 面积的最大值及此时点 的坐标；
(3)将线段 绕x轴上的动点 顺时针旋转90°得到线段 ，若线段 与抛物线只有一个公共点，
请结合函数图象，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)当 时，四边形 面积最大，其最大值为2，此时 的坐标为(3) 或
【分析】（1）根据直线 求得点A和点 ，代入抛物线即可求得解析式；
（2）根据抛物线解析式求得点 ，过点M作 轴，与 交于点N，设 ，
则 ，利用三角形面积公式求得 和 ，则 ，
结合二次函数的性质知当 时，四边形 面积最大；
（3）由旋转得 ， ，则 ， ，当 在抛物线上时，
有 ，当点 在抛物线上时，有 ，求解即可；
解：（1）解：∵直线 交y轴于点A，交x轴于点 ，
∴令 ，则 ，那么点 ,
令 ，则 ，解得 ，那么点 ,
∵抛物线 经过点A，点 ，
∴ ，解得 ，
则抛物线 ；
（2）解：令 ，则 ，解得 或 ，
那么， ，
过点M作 轴，与 交于点N，如图，设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
当 时， ，
∴当 时，四边形 面积最大，其最大值为2，此时 的坐标为 ；
（3）解：∵将线段 绕x轴上的动点 顺时针旋转 得到线段 ，如图，
∴ ， ，
∴ ， ，
当 在抛物线上时，有 ，
解得， ，
当点 在抛物线上时，有 ，
解得， 或 ，
∴当 或 时，线段 与抛物线只有一个公共点．【点拨】本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，
求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（3）关键是确定 ， 点的坐标
与位置．
