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专题 22.18 二次函数常考考点分类专题（全章专项练习）（基础
练）
【考点目录】
【考点1】二次函数的配方； 【考点2】抛物线对称轴、开口方向、顶点坐标、最值；
【考点3】抛物线的与坐标轴交点坐标； 【考点4】二次函数的增减性；
【考点5】二次函数的对称性； 【考点6】二次函数图象与性质综合；
【考点7】一次函数、二次函数图象综合； 【考点8】二次函数与一元二次方程；
【考点9】二次函数与不等式； 【考点10】二次函数图形变换（平移、旋转、折叠）；
【考点11】二次函数与将军饮马； 【考点12】实际问题与二次函数；
【考点13】由二次函数图象判断式子符号； 【考点14】二次函数综合问题；
一、单选题
【考点1】二次函数的配方；
1．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线 向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知抛物线 与y轴交于点 ，则此抛物线
的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点2】抛物线的对称轴、开口方向、顶点坐标、最值；
3．（2024·浙江·模拟预测）抛物线 （a为实数）的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
4．（2024·广东东莞·模拟预测）已知 是一元二次方程 的一个根，则 的最小值是
（ ）
A． B． C．3 D．
【考点3】抛物线的与坐标轴交点坐标；
5．（2024·广东广州·二模）已知二次函数 （a为常数）的图象经过 和两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24九年级上·天津河西·期末）抛物线 与x轴的两个交点分别为（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【考点4】二次函数的增减性；
7．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）若 、 、 为二次函数 的图象
上的三点，则 、 、 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象只经
过三个象限，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【考点5】二次函数的对称性；
9．（23-24九年级上·河北唐山·期末）已知二次函数 的图像的对称轴为直线 ，且抛物线
经过点 和点 ．若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D．
10．（23-24八年级下·云南·期末）已知二次函数 的 与 的部分对应值如下表．则这条抛
物线的对称轴是（ ）
… …
… …
A．直线 B．直线 C．直线 D． 轴
【考点6】二次函数图象与性质综合；
11．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）对于抛物线 ，下列说法正确的是（ ）A．y随x的增大而减小
B．当 时，y有最大值
C．若点 ， 都在抛物线 上，则
D．经过第一、二、四象限
12．（2024·四川绵阳·模拟预测）关于二次函数 的性质说法正确的是（ ）
A．对称轴为 B．函数最小值为2
C．当 时，y随x的增大而增大 D．当 时，y随x的增大而减小
【考点7】一次函数、二次函数图象综合；
13．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）一次函数 的图象如图所示，则二次函数
的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·河南周口·三模）直线 与抛物线 在同一坐标系里的大致图象正确的
是（ ）
A． B． C． D．
【考点8】二次函数与一元二次方程；
15．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）二次函数 的函数值是 ，那么对应的 值是
（ ）．A． B． C． 和 D． 和
16．（21-22九年级上·福建福州·阶段练习）抛物线y＝﹣x2＋2x＋6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（
）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点9】二次函数与不等式；
17．（23-24九年级上·广西南宁·期末）如图为二次函数 图象的一部分，与x轴的一
个交点为 ，对称轴为直线 ．当 时，x的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． D．
18．（2024·江西·一模）下列各选项为某同学得出的关于二次函数 的性质的结论，其中不
正确的是（ ）
A．开口向下 B．顶点坐标为
C．方程 的解是 D．当 ，函数值小于0
【考点10】二次函数的图形变换（平移、旋转、折叠）；
19．（2024·宁夏固原·模拟预测）把抛物线 向左平移1个单位，然后向上平移2个单位，则平
移后抛物线的表达式是( )
A． B． C． D．
20．（23-24九年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，把抛物线 绕原点旋转 ，再向右
平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，所得的抛物线的表达式为（ ）
A． B．C． D．
【考点11】二次函数与将军饮马；
21．（19-20九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，直线y x+3分别与x轴，y轴交于点A、点B，抛
物线y=x2+2x﹣2与y轴交于点C，点E在抛物线y=x2+2x﹣2的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，
CE+EF的最小值是（ ）
A．4 B．4.6 C．5.2 D．5.6
22．（20-21九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在抛物线 上有 ， 两点，其横坐标分别为
1，2；在 轴上有一动点 ，当 最小时，则点 的坐标是（ ）
A．（0.0） B．（0， ） C．（0，2） D．（0， ）
【考点12】实际问题与二次函数；
23．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）经市场调查发现，将进货价格为45元的商品按单价70元售出
时，能卖出150个．已知该商品单价每降低2元，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2022·湖北荆州·一模）如图，在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与
池中心的水平距离为 处达到最高，高度为 ，水柱落地处离池中心 ，水管的长为（ ）A． B． C． D．
【考点13】由二次函数图象判断式子符号；
25．（23-24九年级上·江西赣州·期末）二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 ．
下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
26．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图是抛物线 的部分图象，其顶点坐标为
，且与x轴的一个交点在点 和 之间．则下列结论：① ；② ；③
；④一元二次方程 有两个不相等的实数根；⑤若方程 的两
根分别为 ，则 ．其中正确结论的个数有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【考点14】二次函数综合问题；27．（2024九年级·全国·竞赛）已知同一个平面直角坐标系中有三点 、 、
，其中 ，如果二次函数 的图象上有一点 ，使得以点 ， ， ，
为顶点的四边形为平行四边形，则满足条件的点 的个数有（ ）．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
28．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点
，下列结论：正确的是（ ）
①点 的坐标分别是 和
②点 为 ，当 时， ．
③抛物线上存在点 （除 外），使得 的面积与 面积相等的点 有3个．
④点 是抛物线对称轴上一点，当 是直角三角形时，点 的纵坐标分别是 ．
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
【考点1】二次函数的配方；
29．（2023·辽宁丹东·模拟预测）将二次函数 化成 形式为 ．
30．（23-24九年级上·四川广元·期末）若把二次函数 化为 的形式，其中
为常数，则 ．
【考点2】抛物线的对称轴、开口方向、顶点坐标、最值；
31．（23-24八年级下·云南昆明·期末）抛物线 的顶点坐标是 ．32．（2024·吉林长春·模拟预测）若二次函数 顶点在 轴上，则 的值为 ．
【考点3】抛物线的与坐标轴交点坐标；
33．（2023·江苏宿迁·模拟预测）若抛物线 与 轴分别交于 、 两点， 、 两点间的距离
是 ．
34．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知抛物线经过点 和 ，对称轴为直线 ，则它与x轴
的另一个交点为 ，抛物线的表达式为 ．
【考点4】二次函数的增减性；
35．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）若点 ， ， 在抛物线 的图
象上，则 ， ， 的大小关系是 ．
36．（2024·广东梅州·一模）已知二次函数 ，当 时， 的取值范围为 ．
【考点5】二次函数的对称性；
37．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知抛物线 ，经过 ， ， ，
四点，则 与 的大小关系是 ．（填“ ”、“ ”或“ ”）
38．（2024·浙江·模拟预测）已知二次函数 ，当自变量x取两个不同的值 ， 时，函数
值相等，则当自变量x取 时的函数值是 ．
【考点6】二次函数图象与性质综合；
39．（23-24九年级上·江苏盐城·阶段练习）关于抛物线 ，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶
点是 ；② 抛物线开口向上，顶点是 ；③当 时，y随x的增大而减小；④当 时，y随x
的增大而减小；其中正确说法有 ．（填序号）
40．（21-22九年级上·全国·课前预习）已知下列二次函数① ；② ；③ ；④
；⑤ ．（1）其中开口向上的是 （填序号）；
（2）其中开口向下并且开口最大的是 （填序号）；
（3）有最高点的是 （填序号）．
【考点7】一次函数、二次函数图象综合；
41．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，已知抛物线 ，则直线 不经过的象限
是 ．
42．（21-22八年级上·江苏苏州·期末）“ ”是一款数学应用软件，用“ ”绘制的函数
和 的图象如图所示．若 分别为方程 和 的解，
则根据图象可知a b．（填“ ”“ ”或“ ”）
【考点8】二次函数与一元二次方程；
43．（2024·山东临沂·模拟预测）如图，抛物线 经过点 ， ．下列结论：①
；② ；③若抛物线上有点 ， ， ，则 ；④方程
的解为 ， ，其中正确的是 ．44．（2024·湖南衡阳·一模）二次函数 的图象如图所示，若关于x的一元二次方程
有实数根，则m的值可以为 （写出一个值即可）
【考点9】二次函数与不等式；
45．（23-24九年级上·吉林松原·阶段练习）如图是二次函数 的部分图象，其与 轴
的一个交点坐标为 ，对称轴为直线 ，则当 时， 的取值范围是 ．
46．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）已知函数 与函数 的图象大致如图所
示，那么不等式 的解集是 ．【考点10】二次函数的图形变换（平移、旋转、折叠）；
47．（22-23九年级上·江西上饶·阶段练习）把二次函数 的图象沿 轴折叠后得到的图象的
解析式为 ．
48．（2024九年级·全国·竞赛）如图，二次函数 与 轴交于点 （点 在点 左边），与
轴交于点 ，点 为线段 上一点，将线段 按逆时针方向旋转 后得到线段 ，若点 恰好落
在二次函数在第一象限的图象上，则点 的坐标为 ．
【考点11】二次函数与将军饮马；
49．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）如图，已知拋物线 经过 ， ，
三点，直线 是拋物线的对称轴，点M是直线 上的一个动点，当 最短时，点M的坐标
为 ．50．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于
点 ，点 是抛物线的对称轴上一动点，连接 和 ，则 的最小值是 ．
【考点12】实际问题与二次函数；
51．（23-24九年级上·山东烟台·期中）某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图（1）所示，成本
与销售月份之间的关系如图（2)所示（图（1）的图像是线段，图（2）的图像是抛物线） 月出售
这种蔬菜，每千克的收益最大．（收益=售价一成本）
52．（23-24九年级上·广西·开学考试）如图，在 中， ， ， ，点P从
点A沿 向点C以 的速度运动，同时点Q从点C沿 向点B以 的速度运到（点Q运动到
点B停止），在运动过程中，四边形 的面积最小值为 ．
【考点13】由二次函数图象判断式子符号；
53．（2024·河南·三模）如图，抛物线 与 轴交于点 和点 ，以下结论：①；② ；③ ；④当 时， 随 的增大而减小．其中正确的结论有
．（填写代表正确结论的序号）．
54．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，二次函数 的图象与一次函数 的图
象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为 ，点B的横坐标为3，二次函数图象的对称轴是直线 ．
下列结论：① ；② ；③关于x的不等式 的解集为 ；；
④ （t为任意实数）．其中正确的是 ．（只填写序号）
【考点14】二次函数综合问题；
55．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点
C，抛物线 经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线 ．（1）求抛物线的表达式 ．
（2）若点P在抛物线对称轴上，当点P坐标为 ，点Q坐标为 时，使以点A，C，P，Q为顶
点的四边形是以AC为对角线的菱形．
56．（23-24九年级上·安徽六安·期中）已知：如图，在平面直角坐标系 中，点 在抛物线
上运动，过点 作 轴于点 ，以 为对角线作正方形 ．则抛物线
的顶点坐标是 ，正方形 周长的最小值是 ．参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出
平移后的抛物线为 ，再把 化为顶点式即可．
【详解】解：抛物线 向下平移2个单位后，
则抛物线变为 ，
∴ 化成顶点式则为 ，
故选：A．
2．B
【分析】把 代入解析式，得 ，解得 （舍去），得到解析式为
，继而得到顶点坐标为 ，解答即可．
本题考查了抛物线顶点坐标，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
【详解】把 代入解析式，得 ，
解得 （舍去），
故 ，
故顶点坐标为 ，
故选B．
3．C
【分析】本题主要考查了抛物线的对称轴，根据抛物线 的对称轴是 计算判
断即可．
【详解】抛物线 的对称轴为直线 ．
故选：C．
4．D【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，二次函数的最值，先将 代入一元二次方程
，可得 ，则 ，根据二次函数的最值，求出结果即可．
【详解】解：将 代入一元二次方程 ，得：
，
∴ ，
则 ，
设 ，则：
，
变形，得： ．
∴当 时， 可以取得最小值 ，
∴ 的最小值为 ．
故选：D．
5．B
【分析】本题考查了二次函数图象上的坐标特征，二次函数的对称性，关键是利用对称轴公式解题；
由抛物线的对称性求得对称轴为直线 ，即可得到 ，求得 ，即可求得 ，从而
求得二次函数与y轴的交点坐标为 ．
【详解】解： 和 两点关于抛物线对称轴对称，
抛物线对称轴为直线 ，
，
解得 ，
，
二次函数与y轴的交点坐标为 ．
故选：B．6．A
【分析】本题主要考查了二次函数和一元二次方程的关系，理解掌握两者的实质关系是解本题的关键．
求出一元二次方程 的两个根 ， ，即可得出抛物线 与x轴的两个交点 ，
．
【详解】解：令 ，
即 ，
解得一元二次方程的根为： ， ；
则抛物线 与x轴的两个交点分别为 和 ；
故答案选：A．
7．C
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据“当开口方向向上时，离着对称轴越远的
点的纵坐标越大”即可作答．
【详解】解： 抛物线解析式为 ，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
当点离着对称轴越远，对应点的纵坐标越大，
点 离着对称轴最远，其次是点 ，点 离着对称轴最近，
．
故选：C．
8．C
【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据题目中的解析式和二次函数的性质可以求得 的取值范围，本题得以解决．
【详解】解：∵ ，
∴顶点坐标是 ，
∵二次函数 的图象只经过三个象限，，
解得， ，
故选：C．
9．A
【分析】题考查了二次函数的对称性，根据抛物线的对称轴，利用对称轴，确定P的对称点，利用数形
结合思想，确定m的范围是解题的关键.
【详解】解：点 关于对称轴 的对称点坐标为 ，
∵ ，开口向上，离对称轴越远，函数值越大，
∴点 离对称轴近，
∴ ，
故选A．
10．B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
根据当 、 时的函数值都是 ，结合二次函数的对称性求解即可，
【详解】解：∵当 、 时的函数值都是 ，
∴这个二次函数图象的对称轴是直线 ，即 ，
故选 ．
11．D
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的增减性，可判断A，B；再由二次函数
的对称性，可判断C；求出抛物线的对称轴为直线 ，最低点为 ，与y轴交于正半轴，可判定
D，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴当 时，y随x的增大而减小，故A选项错误，不符合题意；
当 时，y有最小值 ，故B选项错误，不符合题意；
∵点 ， 都在抛物线 上， ，
∴ ，故C选项错误，不符合题意；∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，最低点为 ，
∵ ，且 ，
∴抛物线与y轴交于正半轴，
∴抛物线经过第一、二、四象限，故D选项正确，符合题意；
故选：D
12．B
【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴对称轴为直线 ，函数的最小值为2；故A选项错误，B选项正确；
∴当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小；故C，D选项错误；
故选B．
13．D
【分析】本题主要考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，正确确定 ， 的符号是解题关键．直
接利用一次函数图象经过的象限得出 ， 的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案．
【详解】解： 一次函数 的图象经过一、三、四象限，
， ，
，
二次函数 的图象开口方向向上，图象经过原点，对称轴在 轴右侧，
故选：D．
14．D
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一
次函数中 和 的正负情况和二次函数图象中 的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题
意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【详解】解： 、由一次函数的图象可知 ， ，由二次函数的性质可知图象 ， ，故选
项不符合题意；
、由一次函数的图象可知 ， ，由二次函数的性质可知图象 ， ，故选项不符合题意；、由一次函数的图象可知 ， ，由二次函数的性质可知图象 ， ， ，而抛物线
对称轴位于 轴右侧，则 ，故选项不符合题意；
、由一次函数的图象可知 ， ，由二次函数的性质可知图象 ， ，对称轴位于 轴左
侧，则 ，故选项符合题意；
故选： ．
15．C
【分析】把函数值代入函数解析式，解关于 的一元二次方程即可．
【详解】把 代入 ，
得 ，
整理得， ，
解得 ， ，
∴对应的自变量 的值是 或 ，
故选： ．
【点拨】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，一元二次方程的解法，把函数值
代入函数解析式得到方程是解题的关键．
16．C
【分析】求得抛物线与直线的交点坐标后即可求得截得的线段的长．
【详解】解：由题意得： ，
解得：x＝−3或x＝5，
故在直线y＝−9上截得的线段的长为5−（−3）＝8，
故选：C．
【点拨】本题考查了抛物线与直线的交点，要熟悉二次函数与一元二次方程的关系．
17．C
【分析】本题主要考查了二次函数的与x轴的交点问题，对称性．求出二次函数的图象与x轴的另一个交
点，再结合图象，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点为 ，对称轴为直线 ．
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为 ，∴当 时，x的取值范围是 ．
故选：C
18．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识．分别根据二次函
数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识逐项判断即可求解．
【详解】解：A. ∵ ，∴抛物线开口向下，故原选项正确，不合题意；
B. ∵ ，∴抛物线的顶点坐标为 ，故原选项正确，不合题意；
C. 解方程 得 ，故原选项正确，不合题意；
D. 由题意得，抛物线 开口向下，与x轴交点坐标为 ，∴当 时，函数
值大于0，故原选项错误，符合题意．
故选：D
19．B
【分析】本题考查的是二次函数的图象的平移，根据二次函数图象平移的方法“上加下减，左加右减”
即可得出结论．
【详解】解：∵ ，
∴把抛物线 向左平移1个单位，然后向上平移2个单位，则平移后抛物线的表达式是：
，即 ．
故选：B．
20．C
【分析】本题主要考查了二次函数的平移和旋转，解题的关键是根据抛物线 绕原点旋转 得到
新抛物线的表达式为 ，根据平移规律得出答案即可．
【详解】解：把抛物线 绕原点旋转 得到新抛物线的表达式为 ，根据抛物线的平移规律“左加右减（自变量），上加下减（常数项）”可知，抛物线 向右平移1个单位长度，向下平
移2个单位长度后得到的抛物线的表达式为： ．
故选：C．
21．C
【分析】C点关于对称轴对称的点C'，过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，则
C'F即为所求最短距离．
【详解】∵y=x2+2x﹣2的对称轴为 ，C(0，﹣2)，
∴C点关于对称轴对称的点C'(﹣2，﹣2)，
过点C'作直线AB的垂线，交对称轴与点E，交直线AB于点F，
∴CE=C'E，
则C'F=CE+EF=C'E+EF是CE+EF的最小值；
∵直线y x+3，
设直线C'F的解析式为 ，
将C'(﹣2，﹣2)代入得： ，
解得： ，
∴C'F的解析式为y x ，
解方程组 ，得： ，
∴F( ， )，
∴C'F ．
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数与一次函数的图象及性质；利用点的对称性，点到直线的垂线段最短，确定
最短距离为线段C'F的长是解题的关键．
22．D
【详解】解：如图，点A关于y轴的对称点A′的横坐标为﹣1，
连接A′B与y轴相交于点C，点C即为使AC+BC最短的点，
当x＝﹣1时，y＝﹣1，
当x＝2时，y＝﹣4，
所以，点A′（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），
设直线A′B为
当x=0时，y=-2
即C（0，-2）
故选D
【点拨】本题考查了轴对称确定最短路线问题，二次函数的性质，熟记确定出最短路径的方法和二次函数的对称性确定出点C的位置是解题的关键．
23．A
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．当这种商品的售价减低 元时，每个的销售利润为
元，销售量为 个，利用总利润 每个的销售利润 销售量，即可找出 关于 的函数关系
式，此题得解．
【详解】解：当这种商品的售价减低 元时，每个的销售利润为 元，销售量为
个，
根据题意得： ．
故选：A．
24．C
【分析】本题考查了实际问题与二次函数，根据图象得抛物线经过 ，对称轴为直线 ，则设抛物
线的解析式为： ，代入 可求得 ，令 ，解得
，进而可求解，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】解：由于在距池中心的水平距离为 时达到最高，高度为 ，
抛物线经过 ，对称轴为直线 ，
则设抛物线的解析式为： ，
代入 ，求得： ，
将 值代入得到抛物线的解析式为： ，
令 ，则 ，
则水管长为 ，
故选C．
25．C
【分析】本题主要考查了根据二次函数图像和性质判断式子符号，由抛物线开口向上， ，抛物线与y轴交于负半轴，可判断①，由 可判断②， 由 时， 可判断④，再根据
②，④可判断③.
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴ ，
∴ ，①正确，
∵
∴即 ，则 ，②错误，
当 时， ，
∴ ，④正确，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，③正确
以上①③④正确，
故选：C.
26．B
【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的性质等等，根据开口向下得到 ，
再根据顶点坐标结合对称轴公式得到 ，即 ，则可判断②；由对称性可得当 时，
，则可判断②；根据函数图象可知抛物线与直线 有两个交点，则可判断④；根据
二次函数与一元二次方程之间的关系可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴ ，
∵顶点坐标为 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，∴ ，即 ，
∴ ，②错误；
∵当 时 ，抛物线对称轴为直线 ，
∴当 时， ，①正确；
∵抛物线顶点纵坐标为n，
∴ ，
∴ ，③正确；
由图象可得抛物线与直线 有两个交点，
∴ 有两个不相等的实数根，④正确；
∵抛物线对称轴为直线 ，方程 的两根分别为 ，，
∴ ，
∴ ，⑤正确．
故选：B．
27．C
【分析】根据平行四边形的性质与判定，可分为平行四边形 ，平行四边形 以及平行四边形
来进行讨论分析．首先根据图形以及其余三点的坐标，将点 的坐标用含有 的代数式表示出来，
再代入函数即可求出．
【详解】①若平行四边形为
过点 作 于点 ，同理作
同理：是平行四边形
（AAS）
同理可得：
则点 ，
将点代入二次函数中，得到：
解得 （舍），或
点 ；
同理可得：②若平行四边形为 ，则点 ，
，
解得 （舍），或 点 ；
同理可得：③若平行四边形为 ，则点 ，
，
解得 （舍），或 点 ，
故满足条件的点 共有 个．故选：C．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等的三角形的判定等，解题的关键在于分类讨论．
28．C
【分析】本题主要考查二次函数的性质、解一元二次方程和勾股定理得应用，①由题意得
，即可求得点 的坐标；②由题意求得 、 和 ，设 时，求得
，结合 ，可得 或 ；③由点 ，可知点E的纵坐标为 ，解方程即
可求得；④根据题意得对称轴为 ，设点 ，则 、 和
，分 、 和 ，求解即可．
【详解】解：①由抛物线 与 轴交于点 ，则 ，解得 ， ，
则点 的坐标分别是 和 ，故①正确；
②由点 ， 和 ，则 ， ， ，
当 时， ，则 ，解得 ，
∵ ，
∴ 或 ，故②错误；
③由抛物线 与 轴交于点 ，则 ，∴ ，
使得 的面积与 面积相等，则点E的纵坐标为 ，
当 ，解得 ， ，
当 ，解得 ， ，
则除 外，还有3个点 使得 的面积与 面积相等；故③正确；
④由于抛物线 的对称轴为 ，
设点 ，则 ， ， ，
当 ，则 ，解得 ；
当 ，则 ，解得 ；
当 ，则 ，解得 ；
故④正确；
故选：C．
29．
【分析】本题考查了二次函数化为顶点式： ；利用配方法整理即可得解．
【详解】解： ，
所以， ．
故答案为： ．
30．
【分析】本题考查了二次函数的顶点式．先由二次函数转化为顶点式，即可得到 的值，即可求解．
【详解】解：由题意得， ，，
．
故答案为： ．
31．
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．必须牢记二次函数的三
种形式： 一般式： ； 顶点式： ；③两根式： ．
利用配方法将抛物线的解析式 转化为顶点式解析式，然后求其顶点坐标．
【详解】解： ，
抛物线 的顶点坐标是 ，
故答案为： ．
32．
【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标， 轴上点的坐标特征，先把二次函数的解析式转化为顶点式，
求出顶点坐标，再根据 轴上点的坐标特征即可求解，利用配方法把二次函数的解析式转化为顶点式求出
顶点坐标是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴二次函数的顶点坐标为 ，
∵二次函数的顶点在x轴上，
∴ ，
故答案为： ．
33．2
【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，熟悉掌握交点的运算方法是解题的关键．
代入 求出两个交点后，即可得到两点间的距离．
【详解】解：、把 代入 得：
解得： 或 ，∴ ，
故答案为： ．
34．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和求二次函数与x轴的交点坐标．先利用条件确定与
轴的另一个交点为 ，再设抛物线表达式为： ，再将 的坐标代入表达式得
，解得 ，最后求得表达式即可．
【详解】解：∵抛物线经过点 ，对称轴为直线 ，
∴抛物线与 轴的另一个交点为 ，
设抛物线的表达式为 ，
把 的坐标代入表达式得 ，解得 ，
∴抛物线的表达式为 ，即 ．
故答案为： ．
35．
【分析】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减
性是解题关键．先求出二次函数的对称轴，开口方向，然后根据抛物线的增减性来判断函数值的大小关
系．
【详解】解：∵抛物线 中 ，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
∵点 的对称点为 ，
又∵ ，即A、B、C三个点都位于对称轴右边，函数值随自变量增大而减小．
∴ ，
故答案为：
36．【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据 可可知二次函数 开口向下，且对称轴
为 ，进而根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵
∴二次函数 开口向下，
∵对称轴为 ，且 ，
∴离对称轴距离越远的，函数值越小，即当 时，y取的最小值为：
当 时，y取的最大值为： ，
∴当 时，， 的取值范围为 ．
故答案为： ．
37．
【分析】本题考查了二次函数的增减性．根据 ， 两点可确定抛物线的对称轴，再根据开
口方向，C，D两点与对称轴的远近，判断 与 的大小关系．
【详解】解：∵抛物线 ，经过 ， ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵ ，
∴抛物线上到对称轴距离越近，函数值越小，
∵ ， ，且 ，
∴ ．
故答案为：
38．34
【分析】本题考查二次函数的对称性，由题意可知以这两个自变量的值为横坐标的点，关于抛物线的对
称轴对称，即可求解．【详解】解：当自变量x取两个不同的值 ， 时，函数值相等，
则以 ， 为横坐标的两点关于直线 对称，
所以有 ，
所以 ，
当 时， ，
故答案为：34．
39．①④
【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．用到的知识点：在
中，对称轴为y轴顶点坐标为 ．当 时，抛物线开口向下， 时，y随x的增大而增大；
时，y随x的增大而减小；顶点是抛物线的最高点．据此解答即可
【详解】解：∵ 中 ，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是 ，当 时，y随x的增大而增大；当 时，y
随x的增大而减小；
故①④正确，②③错误，
故答案为：①④．
40． ②③⑤ ① ①④
【解析】略
41．第二象限
【分析】此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该熟记一次函数 在不同情况下所在的
象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
先由二次函数图象得到字母系数的正负，再根据一次函数的图象的象限进行判断．
【详解】解：由二次函数的图象可知 ，对称轴在 轴的右侧，可知 、 异号， ，由直线
应经过一、三、四象限，故直线 不经过第二象限．
故答案为：第二象限．
42．【分析】本题考查了函数图象与方程的解之间的关系，关键是利用数形结合，把方程的解转化为函数图
象之间的关系．根据方程的解是函数图象交点的横坐标，结合图象得出结论．
【详解】解：∵方程 的解为函数图象与直线 的交点的横坐标，
的一个解为一次函数 与直线 交点的横坐标，
如图所示：
由图象可知： ．
故答案为： ．
43．③
【分析】本题考查二次函数，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数图象可知： ，
， ，得出 ，故①不正确；将点 ， 代入，得出： ，再求出 ，
故②不正确；根据函数图象可得 ，故③正确；把 ， 代入方程 ，解
出方程，故④不正确．
【详解】根据二次函数图象可知： ， ， ，
∴ ，
∴ ，故①不正确；
将点 ， 代入得出： ，
得出： ，
∴ ，
再代入 得出： ，故②不正确；∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
根据图象可知： ，故③正确；
∵方程 ，
∴ ，
∴
∴ 故④不正确；
故填③．
44． （答案不唯一）
【分析】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，掌握利用图象法解一元二次方程是解题的关键．
如图，画直线 由图象可得：当直线 与函数 的图象有交点时，则方程 有
实数根，从而可得到答案．
【详解】解：如图，
画直线 ，当直线 与函数 的图象有交点时，则方程 有实数根，
由图象可得：当直线 过 的顶点时，m有最小值，
此时： ，，方程 有实数根，
故答案为： （答案不唯一）
45． /
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点．根
据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛
物线的增减性可求当 时，x的取值范围．
【详解】解：∵抛物线 与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为直线 ，
即抛物线与x轴的另一个交点横坐标为 ，
∴抛物线与x轴的另一个交点为 ，
由图象可知，当 时，x的取值范围是 ．
故答案为： ．
46．
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数图象在二次函数图
象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：由函数图象可知，不等式 的解集是 ．
故答案为： ．
47．
【分析】设 是翻折后二次函数图象上的一点，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相
反数可得 是二次函数 上一点，由此可得 ，即可得到答案．
【详解】解：设 是翻折后二次函数图象上的一点，
∴ 是二次函数 上一点，∴ ，
∴ ，
∴把二次函数 的图象沿 轴折叠后得到的图象的解析式为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查二次函数图象与几何变换，掌握关于x轴对称的点的坐标关系是解答关键．
48．
【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合性质，掌握数形结合，构造全等三角形将点的坐标进行转
换是解题的关键．
根据二次函数解析式求出点A、B、C、的坐标，然后求出线段 的解析式，由全等三角形的性质得到
， ，设点D为 ，则用含m的式子可表示出点E的坐标，将点E的坐标代入
抛物线的解析式可求得m的值，从而得到点D的坐标．
【详解】 二次函数 与 轴交于点 （点 在点 左边），与 轴交于点 ，
令 ，则 ，
，
点A坐标为 ，点B坐标为 ，
令 ，则 ，
点C坐标为 ，
设线段 的解析式为 ，把 ， 代入得：
，
解得： ，线段 的解析式为 ，
作 轴于点M，作 轴于点F
，
， ,
,
线段 按逆时针方向旋转 后得到线段 ，
，即 ，
，
，
，
设
点 在第一象限上，
， ，
点 恰好落在二次函数在第一象限的图象上，
解得： ， （舍去），
；
故答案为：
49．【分析】根据抛物线的对称性，连接 交对称轴 于M，此时 最短，利用待定系数法求得直线
的解析式即可求得点M的坐标．
【详解】解：连接 交抛物线的对称轴 于M，则 最短，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入，得 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∵抛物线经过 、 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
当 时， ，
∴点M坐标为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、最短路径问题，会利用抛物线的
对称性解决最短路径问题是解答的关键．
50．
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接 ， ，设 交抛物线对称轴
于点 ，当 与点 重合时， 取得最小值，最小值为 ，令 分别求得 的坐标，勾
股定理求得 的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ， ，设 交抛物线对称轴于点 ，∵ ，
∴ ，
∴当 与点 重合时， 取得最小值，最小值为 ，
∵ ，当 时， ，则
当 时， ，
解得： ,
∴ ，
∴
即 的最小值为 ，
故答案为： ．
51．5
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题关键，掌握配方
法是求二次函数最大值常用的方法．
观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出 和 的解析式，由收益 列出W与x的函
数关系式，利用配方求出二次函数的最大值．
【详解】解：设 ，将 和 代入得，
，解得 ．
∴ ．
由图象知抛物线的顶点坐标为 ，
设 ，把 代入得，
，
解得 ．
∴ ，即 ；
∴设收益
，
∵ ，
∴当 时，收益 最大为 ，
故答案为：5．
52．
【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出 是解
题的关键．在 中，利用勾股定理可得 ，设运动时间为 ，则 ，
，利用分割图形求面积法可得 ，利用配方法即可求出四边形 的面积
最小值．
【详解】解：在 中， ， ， ，，
设运动时间为 ，则 ， ，
当 时，四边形 的面积取最小值，最小值为 ．
故答案为：15．
53．②③④
【分析】根据二次函数的对称轴位置和抛物线与 轴交点位置确定①③，根据 时判定②，由抛物线
图象性质判定④．本题考查了二次函数的图象和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐
标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
【详解】解：①抛物线的对称轴在 轴右侧，则 ，而 ，故 ，故错误；
② 时，函数值小于0，则 ，故正确；
③与 轴交于点 和点 ，则对称轴 ，则 ，故 ，故正确；
④当 时，图象位于对称轴右边， 随 的增大而减小．故正确；
综上所述，正确的为②③④．
故答案为：②③④．
54． /
【分析②】④本④题②考查二次函数的图象及性质； 熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．先判断 、
、 的值即可判断①；然后根据对称轴为 得到 ，然后代入当 时 即可判断
②；利用数形结合即可判断③；由 时抛物线有最小值，即可得到 ，然后得到结
论判断④.
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴ ，又∵对称轴位于y轴右侧，
∴ ，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴ ，
∴ ，故①错误；
∵对称轴为 ，
∴ ，即 ，
∵当 时， ，
∴ ，故②正确；
借助图象可得关于x的不等式 的解集为 或 ，故③错误；
∵当 时，二次函数有最小值，
∴ ，
∴ ，故④正确；
正确的是②④，
故答案为：②④．
55．
【分析】（1）先求得 ， ， 三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果；
（2）根据菱形性质可得 ，进而求得点 的坐标，根据菱形性质，进一步求得点 坐标．
【详解】解：（1）当 时， ，
，
当 时， ，
，
，
对称轴为直线 ，
，
设抛物线的表达式： ，
，，
抛物线的表达式为： ；
（2）设 ，
以 ， ， ， 为顶点的四边形是以 为对角线的菱形，
，
即： ，
，
，
，
， ，
， ，
．
故答案为： ， ， ．
【点拨】本题考查了二次函数及其图象性质，三角形的面积，菱形性质等知识，解题的关键是熟练掌握
知识点．
56．
【分析】将二次函数化为顶点式，可求出顶点坐标，当点 运动到抛物线的顶点处时， 的最小，正方
形的周长最下，由此即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线 ，
∴顶点坐标为 ；
∵四边形 是正方形，∴ ，
∵点 在抛物线 上运动，
∴当点 运动到抛物线的顶点处时， 的最小，
∴当 时， ，则 有最小值 ，
∴ 的最小值是 ，正方形 周长的最小值为 ．
【点拨】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数与线段最小值的综合，掌握二次函数顶点坐标的
计算方法，线段最小值的计算是解题的关键．
