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专题 22.17 二次函数（全章知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点1】二次函数有关概念
(1)定义：一般的，形如 (a、b、c是常数， )的函数叫做二次函数，自变量x的取值
范围为全体实数.
(2) 、bx、c分别称作二次函数的二次项、一次项和常数项， 、b分别称为二次项系数和一次项系数.
【知识点2】二次函数的解析式
(1)三类解析式
一般式： (a、b、c是常数， )；
顶点式： ( )，二次函数的顶点坐标是(h，k)；
交点式： ( )，其中x，x是图象与x轴交点的横坐标 ．
1 2
(2)待定系数法求解析式
①巧设二次函数的解析式（给顶点设顶点式，给交点设交点式，其余情况设一般式）；
②根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；
③解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.
【知识点3】二次函数的图象与性质
开口 >0时，开口向上；a<0时，开口向下.
方向 a
b
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=−
2a
( b 4ac−b2 )
(0，0) (0，k) (h，0) (h，k) − ,
2a 4a
顶点
与
4ac−b2
a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0(或k或 4a )；
最值
4ac−b2
a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0(或k或 4a ).b b
− −
a>0 x<0(h或 2a)时，y随x的增大而减小；x>0(h或 2a)时，y随x的增大而增大。
增 即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。
减
b b
性 − −
x<0(h或 2a)时，y随x的增大而增大；x>0(h或 2a)时，y随x的增大而减小。
a<0
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小
。
1.图象是轴对称图形；
对
称 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上；
性
3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等.
【知识点4】二次函数的图象与各项系数之间的关系
(1) 的正负决定开口方向: ，抛物线开口向上； ，抛物线开口向下.
的大小决定开口的大小: 越大，抛物线的开口越小； 越小，抛物线的开口越大.
(2) 、b的符号共同决定对称轴的位置
当 时， ，对称轴为y轴；当a、b同号时， ，对称轴在y轴左边；当a、b异号
时， ，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”）
(3)c决定抛物线与 轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与
y轴的交点在负半轴上.
【知识点5】二次函数图象的变换
(1)图象的平移：任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上
“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法
如下：(2)图象的对称：化成顶点式，结合图像，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解析式.
【知识点6】二次函数与一元二次方程
二次函数 ( )的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程 的
根.
(1)当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；(2)当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；
(3)当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
【知识点7】二次函数与不等式
(1)抛物线 在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的 x的所有值就是不等式
的解集；
(2)抛物线 在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的 x的所有值就是不等式
的解集.
【知识点8】二次函数的应用
(1)最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内.
(2)面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积.
(3)类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题.
(4)与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题
第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】求二次函数的解析式
【例1】（23-24九年级上·云南保山·阶段练习）抛物线 经过 ， ， 三
点，求抛物线的解析式．
【变式1】（24-25九年级上·浙江·假期作业）已知二次函数的图象顶点是 ，且过点 ，求这
个二次函数的解析式．
【变式2】（23-24九年级上·甘肃定西·期中）已知二次函数图象与 轴交于点 ，与 轴交点
是 ，求这个二次函数的解析式．
【题型2】二次函数的图象与性质
【例2】（22-23九年级上·天津宁河·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的对称
轴是直线 ，与 轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与 轴交于点 ．
（1）求 的值及B，C两点坐标；
(2) 为第一象限内抛物线上的一个点，过点 作 轴于点 ，交 于点 ．当线段 的长取
最大值时，求点 的坐标；
【变式1】（22-23九年级上·广东湛江·期中）关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是
C．该函数的最大值是5 D．当 时，y随x的增大而增大
【变式2】（2024·山东临沂·模拟预测）已知二次函数 的对称轴是直线 ，点、 在这个二次函数的图象上，若 ，则t的取值范围是 ．
【题型3】二次函数的图形变换（平移、折叠、旋转）
【例3】（22-23九年级下·江西抚州·阶段练习）在平面直角坐标系中，将抛物线 先绕原点
旋转 ，再向下平移5个单位，求所得到的抛物线的顶点坐标．
【变式1】（23-24九年级上·四川自贡·阶段练习）若将抛物线 平移后得到抛物线 ，
下列平移方法正确的是（ ）
A．向左平移 个单位，再向上平移 个单位 B．向左平移 个单位，再向下平移 个单位
C．向右平移 个单位，再向上平移 个单位 D．向右平移 个单位，再向下平移 个单位
【变式2】（2023·广东河源·一模）抛物线 的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单
位，再把抛物线绕顶点旋转180°，得到的新图象的解析式为 ．
【题型4】二次函数的图像与各项系数之间的关系
【例4】（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线 的图象如图所示．
（1）判断 、 、 及 的符号；
（2）求 的值；
（3）给出下列结论：① ；② ；③ ，其中正确的有 ．（填序号）
【变式1】（22-23九年级上·广东湛江·期末）如图是二次函数 （a，b，c是常数， ）
图像的一部分，与x轴的交点A在点 和 之间，对称轴是直线 ．对于下列说法：① ；② ；③ ；④ （m为实数）；⑤当 时， ，其中正确的是
（ ）
A．①②④ B．①② C．②③④ D．③④⑤
【变式2】（2024·内蒙古通辽·模拟预测）二次函数 （ ）的图象如图所示，则下列说
法：
① ；
② ；
③ ；
④ 当 时， ；
⑤ ．
其中正确的有 ．（填序号）
【题型5】二次函数与一元二次方程
【例5】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数 ，设其图象与x轴的交点分别
是A、B（点A在点B的左边），与y轴的交点是C，求：
（1） 、B、C三点的坐标；
（2）设抛物线的顶点为D，求 的面积．【变式1】（2024·河南周口·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，直线 和抛物线
，如图所示， ， 是方程 的两个根，且 ，则函数
的坐标系中的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 与相交于点
， ，点 的坐标为 ，若点 在抛物线上，则 的长为 ．
【题型6】二次函数与不等式
【例6】（23-24九年级上·北京石景山·期中）在平面直角坐标系 中，直线 与抛物线
的相交于点 和点 （点 的横坐标小于点 的横坐标）
（1）求交点 和点 的坐标；
（2）求当 时， 的最大值；（3）直接写出 的解集．
【变式1】（2024·四川泸州·一模）设二次函数 ，当 时，总有 ，当 时，
总有 ，那么c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22-23九年级上·广东湛江·期末）如图，二次函数 的图像与x轴的右交点为
，对称轴是直线 ，当 时，x的取值范围是 ．
【题型7】实际问题与二次函数
【例7】（2024·广西南宁·模拟预测）某县贡桔成本为10元/斤，售价不低于15元/斤，不高于30元/斤．
（1）每日贡桔销售量y(斤)与售价x(元/斤)之间的函数关系如图所示，求y与x之间的函数关系式；
（2）若每天销售利润率不低于 ，且不高于 ，求每日销售的最大利润．
【变式1】（2024·山西晋中·一模）如图是蔬菜塑料大棚及其正面的示意图．示意图中曲线 可近
似看作一条抛物线，四边形 为矩形且支架 ， ， ， 均垂直于地面 ．已知
米， 米，以 所在的直线为x轴，线段 的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系 （规定一个单位长度代表1米），若点M的坐标为 ，则抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·浙江宁波·模拟预测）某农场拟建一个矩形养殖场，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长
度为 ，不超出墙），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为 的矩形．已知栅栏
的总长度为 ，设较小矩形的宽为 ，则矩形养殖场总面积的最大值为 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销
售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应
值．
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
(1)求y与x的函数表达式；
(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果
日销售获得的最大利润为392元，求m的值．【例2】（2024·湖南·中考真题）已知二次函数 的图像经过点 ，点 ，
是此二次函数的图像上的两个动点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线 的上方，过点P作 轴于点
C，交AB于点D，连接 ．若 ，求证 的值为定值；
(3)如图2，点P在第二象限， ，若点M在直线 上，且横坐标为 ，过点M作 轴于
点N，求线段 长度的最大值．
2、拓展延伸
【例1】（2024·海南海口·模拟预测）如图，已知拋物线 与x轴交于点 ，B，与y
轴交于点 ，P点是抛物线上一动点．(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图1，P点是直线 上方抛物线上一点，当点P到直线 的距离为最大时，求此时P点坐标；
(3)如图2，点K是抛物线对称轴直线上一动点，点M，N在直线左侧的抛物线上，点N在M的左侧，若
为等腰直角三角形， ，设点M，N的横坐标分别为m，n，探究 的值是否为定
值，若是，求 的值；若不是，请说明理由；
(4)点P是y轴左侧抛物线上一点（不与点A重合），过点P作 轴，垂足为点D，直线 与直线
交于点E，当点E关于直线 的对称点 落在y轴上时，求点P的坐标．
【例2】（2024·重庆·模拟预测）如图，抛物线 交x轴于 两点，交y轴于
点C，抛物线对称轴交直线 于点D，P为x轴下方抛物线上一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点P在直线 下方的抛物线上时，连接 ，求 面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)直线 分别交对称轴于点M，N，当点M，N均在点D的下方时， 是否为定值？若是，
请求出该定值；若不是，请说明理由．
