文档内容
微专题：作差或作商比较大小
【考点梳理】
作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符
号(判断商和“1”的大小关系)；④给出结论.
【题型归纳】
题型一：作差法比较代数式的大小
1．若实数 、 满足 ，下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若 ，则下列不等式不能成立的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：作商法比较代数式的大小
4．设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知 ， ， ，则正数 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．设x、y、z为正实数，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
题型三：由不等式的性质证明不等式
7．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司8．下列命题中，正确的是（ ）
A．若 ， ， 则 B．若 ， 则
C．若 ， ， 则 D．若 ，则
9．下列结论正确的是（ ）
A．若ac>bc，则a>b B． ，则a>b
C．若ab>0， 0N
C．M＝N D．M≥N
18．设a､b是正实数，以下不等式恒成立的为（ ）
A． B．
C． D．
19．下列选项正确的是（ ）
A．a与b的差不是正数用不等式表示为a-b<0
B．a的绝对值不超过3用不等式表示为a≤3
C．(x-3)2<(x-2)(x-4)
D．x2+y2+1>2(x+y-1)
20．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是（ ）
A．a＝±1 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0
21．已知实数a，b满足 ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
22．已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
23．若非零实数 ， 满足 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
24．实数 ， ， 分别满足 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
25．若正实数a，b满足 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
26．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，
当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平
（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买 黄金，售货员先将 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后
给顾客；然后又将 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ）
A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于
27．已知 的三边长分别为 、 、 ，有以下4个命题：
（1）以 、 、 为边长的三角形一定存在；
（2）以 、 、 为边长的三角形一定存在；
（3）以 、 、 为边长的三角形一定存在；
（4）以 、 、 为边长的三角形一定存在；其中正确命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
28．某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b匀速跑；选手乙前一半时间以速度a
匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑（注：速度单位 ），若 ，则（ ）
A．甲先到达终点 B．乙先到达终点
C．甲乙同时到达终点 D．无法确定谁先到达终点
29．某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：
每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为 、 ，则这两种方案中平均价格比较低的是
（ ）
A．甲 B．乙 C．甲、乙一样 D．无法确定
30．设 ， ，给出下列不等式不恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【高分突破】
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司一、单选题
31．实数 ， ， 满足 且 ，则下列关系成立的是（ ）
A． B． C． D．
32．已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
33．已知 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
34．已知等比数列 的公比为 ，前 项和 ，设 ，记 的前 项和为 ，则下列判断正
确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
35．已知 ， ，给出下列四个不等式，其中一定成立的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
36．下列命题成立的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
37．已知两个不为零的实数 ， 满足 ，则下列说法中正确的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
38．若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________．
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司39．已知 ， 为实数，则 ______ ．（填“＞”、“＜”、“≥”或“≤”）
40．已知 ， ，则M________N．（填“>”或“<”）
41．函数 在 上的平均变化率为 ，在 上的平均变化率为 ，则 与 的大小
关系是______．
42．下列四个命题：
①若 ， ，则 ；
②函数 的最小值是3；
③已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为 ．
其中所有正确命题的序号是__________．
43．已知 ，则 ___________ .（用“>”或“<”填空）
四、解答题
44．若 ， ，求证： ．
45．若实数x，y，m满足 ，则称x比y接近m，
（1）若 比3接近1，求x的取值范围；
（2）证明：“x比y接近m”是“ ”的必要不充分条件；
（3）证明：对于任意两个不相等的正数a、b，必有 比 接近 .
46．（1）设 ，试比较 与 的大小
（2）已知 ， ，求 的取值范围.
47．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若 ，那么称点 是点 的“上位点”．同
时点 是点 的“下位点”；
（1）试写出点 的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）已知点 是点 的“上位点”，判断点 是否既是点 的“上位点”，又是点 的
“下位点”，证明你的结论；
（3）设正整数 满足以下条件：对集合 内的任意元素 ，总存在正整数 ，使得点 既是
点 的“下位点”，又是点 的“上位点”，求正整数 的最小值．
48．已知 ， .
（1）求证： ；
（2）若 ，求ab的最小值.
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．A
【解析】
【分析】
利用作差法可判断各选项中不等式的正误.
【详解】
因为 ，则 ，故 ，A对B错；
，即 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，CD都错.
故选：A.
2．C
【解析】
【分析】
结合不等式的性质以及差比较法确定正确答案.
【详解】
为正数， 为负数，所以 ， ，
，
所以 .
故选：C
3．B
【解析】
【分析】
由不等式的性质及对数函数单调性依次判断即可.
【详解】
由 ，可得 ， ，A、D正确；
由 结合 的单调递增知 ，B错误；
，则 ，C正确.
故选：B.
4．D
【解析】
【分析】
利用比商法比较 的大小，构造新函数并利用放缩法比较 的大小，进而得到 .
【详解】
第 8 页因为 ， ，由 ，可得 ，
令 ，则
则 为增函数，又 ，
则 恒成立，即 时， 恒成立，
则 ，则
令 ，则 恒成立，
则 为增函数，又
则 恒成立，即 时， 恒成立，
则 ，则 ，则
综上，
故选：D
5．A
【解析】
【分析】
由已知求出m，n，p，再借助商值比较法及“媒介”数推理判断作答.
【详解】
由 ，得 ，由 ，得 ，
因此， ，即 ，
由 ，得 ，于是得 ，
所以正数 ， ， 的大小关系为 .
故选：A
6．C
【解析】
【分析】
设 ，将2x，3y，4z用k表示，再用作商比较法比较大小即可．
【详解】
解： 为正数，
第 9 页令
所以
所以 ，
又因为 ， ，所以 ，
故选： C．
7．A
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质可证充分性成立，举例说明可证必要性不成立.
【详解】
，所以充分性成立，
当 时，满足 ，但 不成立，所以必要性不成立．
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A．
8．C
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质及特殊值一一判断即可．
【详解】
解：对于A：当 ， ， ， ，满足 ， ，但是 ，故A错误；
对于B：当 时 ，故B错误；
对于C：由 ，所以 ，因为 ，所以 ，故C正确；
对于D：当 ， 满足 ，但是 ，故D错误；
第 10 页故选：C
9．D
【解析】
【分析】
根据题目条件分别代入反例使得结果错误排除错误答案即可判定D正确.
【详解】
选项A：若c为负数，则ab>0， 00，所以M>N，
1 2 2 1 2
故选：B.
【点睛】
此题考查大小的比较，利用作差法进行求解，是一道基础题．
第 14 页18．D
【解析】
【分析】
根据不等式性质和基本不等式逐项分析判断即可得解.
【详解】
对于选项A，因为a､b是正实数，所以 ，则 ，可得到 ，当且仅当 时等号成
立，故选项A错误；
对于选项B，因为a､b是正实数，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，故选
项B错误；
对于选项C， ，当且仅当 时取等号，故选项C错误；
对于选项D， ，则 恒成立，故选项D正确；
故选：D.
19．D
【解析】
【分析】
用做差法比较大小，即可做出判断.
【详解】
A.a与b的差不是正数用不等式表示为a-b≤0，故A错误；
B.a的绝对值不超过3用不等式表示为|a|≤3，故B错误；
C.(x-3)2-(x-2)(x-4)=1>0，所以(x-3)2>(x-2)(x-4)，故C错误；
D.x2+y2+1-2(x+y-1)=(x-1)2+(y-1)2+1>0，所以x2+y2+1>2(x+y-1)，故D正确.
故选：D
20．B
【解析】
【分析】
由a2＋1－2a＝(a－1)2可得结果.
【详解】
a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，∴ a＝1时，等号成立．
故选：B.
21．C
【解析】
【分析】
根据对数和指数的单调性可判断 ， ；在构造函数 ， ，再根据换元法和不等式放
缩，可证明当 时， ，由此即可判断 的大小.
【详解】
第 15 页因为
，所以 ；
由 且 ，所以 ，所以 ，
令 ， ，
令 ，则 ，
则 ， 等价于 ， ；
又 ，
所以当 时， ，
故 ，所以 ．
故选：C．
22．D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，结合指数函数、对数函数的单调性、作差法比较大小等知识，逐一分析各个选项，即可得答
案.
【详解】
因为 ，所以 ，
对于A： ， ，所以 ，故A错误；
对于B： ，所以 在 上为增函数，
又 ，所以 ，故B错误；
对于C： ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，故C错误；
对于D： ，
因为 ， ，
所以 ，即 ，故D正确.
故选：D
23．C
第 16 页【解析】
【分析】
举出符合条件的特例即可判断选项A，B，D，对于C，作出不等式两边的差即可判断作答.
【详解】
取 ，满足 ，而 ，A不成立；
取 ，满足 ，而 ，B不成立；
因 ，即有 ，C成立；
取 ，满足 ，而 ，即 ，D不成立．
故选：C
24．B
【解析】
【分析】
由题意得 ， ， ，然后 与 作差结合基本不等式比较大小，构造函数 ，
可判断其在 上单调递减，则 ，化简可得 ，则 ，则可比较出 与 的大
小即可
【详解】
由题意得 ， ， ，则
，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
设 ，则 ，当 时， ，所以 在 上单调递减，所以
，即 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
第 17 页所以 ，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：此题考查对数与指数的互化，考查基本不等式的应用，考查导数的应用，解题的关键是构造函数
判断出其单调性，可得 ，再转化为 ，考查数学转化思想和计算能力，属于难题
25．D
【解析】
【分析】
根据函数单调性及 得到 或 ，分别讨论两种情况下四个选项是否正确，A选项可以用
对数函数单调性得到，B选项可以用作差法，C选项用作差法及指数函数单调性进行求解，D选项，需要构造函数
进行求解.
【详解】
因为 ， 为单调递增函数，故 ，由于 ，故 ，或 ，
当 时， ，此时 ；
，故 ；
， ；
当 时， ，此时 ， ，故 ；
， ；
故ABC均错误；
D选项， ，两边取自然对数， ，因为不管 ，还是 ，均有
，所以 ，故只需证 即可，
设 （ 且 ），则 ，令 （ 且 ），则
，当 时， ，当 时， ，所以 ，所以
在 且 上恒成立，故 （ 且 ）单调递减，因为 ，所以 ，结论
得证，D正确
故选：D
26．A
【解析】
【分析】
设天平左臂长为 ，右臂长为 （不妨设 ），先称得的黄金的实际质量为 ，后称得的黄金的实际质量为 .
第 18 页根据天平平衡，列出等式，可得 表达式，利用作差法比较 与10的大小，即可得答案.
【详解】
解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为 ，右臂长为 （不妨设 ），
先称得的黄金的实际质量为 ，后称得的黄金的实际质量为 .
由杠杆的平衡原理： ， ．解得 ， ，
则 .
下面比较 与10的大小：（作差比较法）
因为 ，
因为 ，所以 ，即 .
所以这样可知称出的黄金质量大于 .
故选：A
27．B
【解析】
【分析】
的三边长分别为 、 、 ，不妨设 ，则 ，通过平方作差判断（1）正确，直接作差判断
（2）（3），举反例判断（4），进而可得正确答案.
【详解】
的三边长分别为 、 、 ，不妨设 ，则 ，
对于（1）： ，所以 ，所以以 、 、 为边长的三角形
一定存在；故（1）正确；
对于（2）： 不一定成立，因此以 、 、 为边长的三角形不一定存在；故
（2）不正确；
对于（3）： ，因此以 、 、 为边长的三角形一定存在；故（3）正确；
对于（4）： 取 ， ，因此 、 、 ，能构成一个三角形的三边，而 ，因此以
、 、 为边长的三角形不一定存在，故（4）不正确，
所以正确的命题有 个，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：本题关键是设不妨设 ，则 ，然后（1）中带根号，所以平方后作差满足两边之和大
于第三边，对于（2）（3）直接作差，利用两个小编之和大于第三边，即可求解.
28．B
【解析】
第 19 页设马拉松全程为x，得到甲用的时间为 ，乙用的时间为 ，
做差比较大小可得答案.
【详解】
设马拉松全程为x，所以甲用的时间为 ，乙用的时间为 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，则乙先到达终点.
故选：B.
【点睛】
比较大小的方法有：
（1）根据单调性比较大小；（2）作差法比较大小；
（3）作商法比较大小；（4）中间量法比较大小.
29．B
【解析】
分别计算出两种方案的平均价格，然后利用作差法可得出结论.
【详解】
对于甲方案，设每年购买的数量为 ，则两年的购买的总金额为 ，
平均价格为 ；
对于乙方案，设每年购买的总金额为 ，则总数量为 ，
平均价格为 .
因为 ，所以， .
因此，乙方案的平均价格较低.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差
——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商
30．B
【解析】
作差法比较大小及利用基本不等式判断可得.
【详解】
第 20 页解：设 ， ，
对于A选项： ，故A选项的不等式恒成立；
，故B选项不恒成立；
，当且仅当 即 时取等号，故C选项中的不等式恒成立，
因为 ， ， ，当且仅当 ， ，即 时取等号，故D选项中的不
等式恒成立，
故选：B．
【点睛】
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的
因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的
最值，这也是最容易发生错误的地方.
31．D
【解析】
【分析】
根据等式 可变形为 ，利用完全平方可得 大小，由 得 ，做差
，配方法比较大小.
【详解】
由 可得 ，则 ，
由 可得 ，利用完全平方可得
所以 ，
，
，
综上 ，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了做差法比较两个数的大小，考查了推理与运算能力，属于难题.
32．B
【解析】
【分析】
结合不等式的性质、差比较法对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】
第 21 页因为 ，所以 ，故A错误；
因为 ，所以 ，所以 ，故B正确；
因为 ，所以 不成立，故C错误；
，因为 ，所以 ，即 ，所以 成立，故D错误.
故选：B
33．D
【解析】
【分析】
根据对数函数的单调性及对数的运算法则，判断、计算 的符号，作商比较 的大小即可得解.
【详解】
因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
又因 ，
所以 且 ，
所以 ，所以 ，
故选：D
34．AB
【解析】
【分析】
先根据 求得 以及公比 的取值范围，再由 可得 ，计算
，讨论 的范围即可得 与 的大小关系，进而可得正确选项.
【详解】
由于 是等比数列， ，所以 ， ，
当 时， ，符合题意；
当 时， ，即 ，
等价于 或 ，
第 22 页对于 ，由于 可能是奇数，也可能是偶数，所以 ，
对于 可得： .
综上所述， 的取值范围是 ；
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，且 ，所以，当 或 时， ，即 ，故A选项正确.
当 或 时， ，即 ，故B选项正确，D选项错误.
当 时， ，即 ，故C选项错误；
故选：AB.
35．ABD
【解析】
选项A，利用基本不等式得 ，再利用基本不等式得 ，两次等号成立的条件必须相同；
选项B，把 展开，利用基本不等式即可证明；选项C，由基本不等式可判断；选项D，作差法证明
即得.
【详解】
对A， ，当且仅当 ，即 时，
等号成立，故A正确；
对B， ，当且仅当 ，即 时等号成立，故B正确；
对C， ， ，当且仅当 时等号成立，故C错误；
对D， ， ,
， ， ，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查基本不等式和作差法比较大小，属于中档题.
第 23 页36．ACD
【解析】
【分析】
利用不等式的性质判断A的正误，作差法比较 的大小判断B的正误，由 ，应用
均值不等式即可判断C的正误，由 ，结合已知条件即可判断D的正误.
【详解】
A：由题设知： ，而 ，则有 ，正确；
B： ，显然当 时 成立，当 时 成立，错误；
C：由 ， ，则 ，当且仅当 时等号成立，正确；
D： ， ，而 ，即 ，故 ，正确.
故选：ACD.
37．AC
【解析】
【分析】
对四个选项一一验证：
对于A：利用 为增函数直接证明；
对于B：取特殊值判断；
对于C：若 时，利用同向不等式相乘判断；若 时，有 ，直接判断；若 时，
利用不等式的乘法性质进行判断
对于D：取特殊值判断；
【详解】
对于A：因为两个不为零的实数 ， 满足 ，所以 ，而 为增函数，所以 ，即 ；
故A正确；
对于B：可以取 ，则有 ，所以 ；故B不正确；
对于C：若 时，则有 根据同向不等式相乘得： ，即 成立；
若 时，有 ，故 成立；
若 时，则有 ， ，因为 ，所以 ，即 成立；
故C正确；
对于D：可以取 ，则有 ，所以 ；故D不正确；
故选：AC
【点睛】
第 24 页（1）判断不等式是否成立：①利用不等式的性质或定理直接证明；②取特殊值进行否定，用排除法；
（2）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．
（3）要证明一个命题是真命题，需要严格的证明；要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例否定就看可以了.
38．a0,1618>0，∴1816<1618，
即a
【解析】
【分析】
第 26 页利用作差法即得.
【详解】
∵ ，
∴ > .
故答案为：>
44．证明见解析
【解析】
要证 ，只要证 即可，所以利用作差法证明即可
【详解】
解：因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以
【点睛】
此题考查利用不等式的性质证明不等式，属于基础题
45．（1） ；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
（1）根据定义可得 ，从而可求x的取值范围.
（2）通过反例可得“ 比 接近 ”是“ ”不充分条件.利用不等式的性质可证明“ 比 接近
”是“ ”的必要条件，故可得所证结论.
（3）利用基本不等式结合分析法可证结论成立.
【详解】
（1）因为 比3接近1，故 ，
故 ，故 ，所以 .
（2）取 ，
则 ，故 比 接近 .
第 27 页但 ，
故“ 比 接近 ”推不出“ ”.
所以“ 比 接近 ”是“ ”不充分条件.
若 ，则 ，故 ，
所以 或 ，
若 ，则 且 ，故 ，
所以 ，
故 ，所以 ，
也就是“ 比 接近 ”.
若 ，则 且 ，故 ，
所以 ，
故 ，所以 ，
故“ 比 接近 ”是“ ”必要不充分条件.
（3）对于任意两个不相等的正数a、b，要证 比 接近 ，
即证： ，
即证： ，
即证： ，
因为 ，因为 ，
故 ，故 ，
所以 成立，
故 比 接近 .
【点睛】
关键点点睛：本题属于新定义背景下的不等式的求解与证明问题，其中必要不充分条件的证明应依据充分条件和
第 28 页必要条件的定义来展开，证明不等式恒成立要结合不等式的性质，也要结合基本不等式.
46．（1） ；（2） .
【解析】
（1）根据作差法，由题中条件，即可得出结果；
（2）设 ，求出 ，根据题中条件，由不等式的性质，即可求
出结果.
【详解】
（1）
∵ ，∴ ， ，
∴
∴
（2）设
则 ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴
即 .
【点睛】
本题主要考查作差法比较大小，以及不等式的性质求范围，属于常考题型.
47．（1）“上位点”为 ，“下位点”为 ；（2）是，证明见解析；（3）4039.
【解析】
（1）根据题设中的定义可得结果；
（2）作差可得 ， ，再根据定义可知结论成立；
（3）根据题意得 对 时恒成立，根据（2）的结论可知，当 ，
第 29 页时，满足条件，若 ，作差 可知 不成立，可得正整
数 的最小值为4039.
【详解】
（1）根据题设中的定义可得点 的一个上位点"坐标和一个“下位点”坐标分别为 和 ；
（2）点 既是点 的“上位点”，又是点 的“下位点”，
证明：∵点 是点 的“上位点”，∴
∵ ， ， ， 均大于0，∴ ，∴
∴ ，
即 ，所以点 是点 的“上位点”，
同理可得 ，即 ，
所以点 是点 的“下位点”，
所以点 既是点 的“上位点”，又是点 的“下位点”.
（3）根据题意得 对 时恒成立，
根据（2）的结论可知，当 ， 时，满足条件，
若 ，由于 ，
则 不成立，故正整数 的最小值为4039。
【点睛】
关键点点睛：理解并运用上位点和下位点的定义是解题关键.
48．（1）证明见解析；（2）1.
【解析】
【分析】
（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证.
（2）根据 ，可得 ，从而得到 ，进而求得 ，注意等号成立的条件，得到
结果.
【详解】
证明：（1）∵ ，
∴ .
（2）∵ ， ，
∴ ，即 ，
第 30 页∴ ，∴ .
当且仅当 时取等号，此时ab取最小值1.
【点睛】
该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，
一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题.
第 31 页第 32 页
